W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7

(1)

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7

1 METODA ODPOWIADAJĄCYCH STANÓW NAPRĘŻENIA

dla gruntów spoistych w granicznym stanie naprężenia

1. Istota problemu

Jak znaleźć rozwiązanie dla granicznego stanu naprężenia w ośrodku Coulomba-Mohra w gruncie spoistym (c > 0), jeśli znane jest rozwiązanie tego samego zagadnienia, ale dla gruntu niespoistego (c = 0)?

Określenie ,,tego samego zagadnienia" oznacza, że wszystkie parametry mechaniczne i fizyczne są takie same (oprócz spójności), jak również kształt ośrodka – powierzchnie brzegowe, zadane obcią- żenia zewnętrzne itp.

Ośrodek niespoisty, który spełnia te warunki nazywa się ośrodkiem odpowiadającym; różni się on od rozpatrywanego ośrodka spoistego tylko jednym parametrem: c = 0.

Rozpatruje się przypadki 2D w płaskim stanie przemieszczeń, tj. przekroje poprzeczne dla konstrukcji

„bardzo długiej”; dotyczy to w szczególności długich ścian oporowych, skarp, ław fundamentowych.

2. Komplet równań i procedura postępowania

Składowe stanu naprężenia w rzeczywistym ośrodku spoistym wynoszą σ

^z

, σ

^x

, τ . Spełniają one:

1. Równania równowagi statycznej (zagadnienie dwuwymiarowe)

+ = (1a) + = 0 (1b) 2. Algebraiczny warunek graniczny Coulomba-Mohra dla ośrodka spoistego

− + 4 ∙ − + ∙ sin = 2 ∙ ∙ cos (2)

Rys.1. Warunek stanu granicznego.

1. Równania równowagi statycznej (zagadnienie dwuwymiarowe)

∗ + ^∗ = (1a*)

∗ + ^∗ = 0 (1b*) 2. Algebraiczny warunek graniczny Coulomba-Mohra dla ośrodka spoistego

^∗ − ^∗ + 4 ∙ ^∗ − ^∗ + ^∗ ∙ sin = 0 (2*) Jeśli dokonać poziomego przesunięcia osi τ w lewo o wartość σ

^H

= c ⋅ ctg( ϕ ) = const > 0, to składowe stanu naprężenia wynoszą w nowym układzie współrzędnych σ

^*

, τ

^*

: σ

^z

* = σ

^z

+ σ

^H

, σ

^x

* = σ

^x

+ σ

^H

, τ * = τ , i odwrotnie

σ

z

= σ

z

* - σ

H

, σ

x

= σ* - σ

H

, τ = τ*.

W układzie osi σ , τ mamy do czynienia z odpo- wiadającym ośrodkiem niespoistym w granicznym stanie naprężenia, co widać z równań (1) i (2), wyprowadzone z równań (1) i (2).

ϕ

τ

c

τ=σ⋅tgϕ

σ , σ ^*

0

τ ^*

σ

H

= c ⋅ ctg ϕ

(2)

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7

2 Sposób postępowania można podsumować następująco.

a) Zdefiniować obszar zajmowany przez rzeczywisty ośrodek spoisty.

Na części brzegu B

o

ośrodka spoistego działają znane obciążenia τ

o

oraz σ

o

; może to być np. q, σ

^z

albo σ

^x

, albo również τ , czyli obciążenie nachylone. Na pozostałej części brzegu B

1

należy określić, jakie występują nieznane (poszukiwane) obciążenia, czyli σ

¹

, czasem też τ

¹

lub związki między nimi

¹

; może to być np. warunek τ

1

/ σ

1

= tg δ zależny od tzw. tarciowej szorstkości

powierzchni ściany

²

.

b) Sformułować identyczne zadanie w odpowiadającym ośrodku niespoistym (), modyfikując na tej samej części brzegu B*

o

działające obciążenia, czyli biorąc τ

o

* = τ

o

oraz σ

o

* = σ

o

+ σ

H

.

Rozwiązać znanymi metodami to zadanie, tj. mając zadane τ

^o

* oraz σ

^o

* na brzegu B

o

należy znaleźć τ

¹

* oraz σ

¹

* na brzegu B

1

, przy czym c* = 0.

c) Powrócić do rzeczywistego ośrodka spoistego stosując transformację odwrotną:

τ

¹

= τ

¹

* oraz σ

^{1 =}

σ

¹

* - σ

^H

. Jest to szukane rozwiązanie dla ośrodka spoistego.

3. Przykłady Przykład 1. Wzór Coulomba

Metoda odpowiadających stanów naprężenia jest metodą ścisłą i daje taki sam wynik jak ścisła metoda Coulomba-Mohra (zadanie na Wykładzie 6), czyli dla parcia czynnego:

= ∙ ∙ + − 2 ∙ ∙ , gdzie = !"#$ %

&"#$ % = ' &"#$ % ^{()" %} * .

Bezpośrednie zastosowanie procedury w przypadku ściany Coulomba i parcia czynnego przebiega następująco.

Pkt. a)

B

o

= pozioma powierzchnia terenu z = 0 jest obciążona równomiernie pionowo τ

o

= 0, σ

o

= q = const;

B

1

= pionowa gładka ściana, τ

¹

= 0, σ

¹

= e

a

= ? Pkt. b)

τ

^o

^* ⁼ τ

^o

^{= 0 oraz} σ

^o

^* ⁼ σ

^o

+ σ

^H

= q + σ

^H

= q* na poziomej powierzchni ośrodka odpowiadającego, parametry z, γ , ϕ oraz K

a

nie ulegają zmianie; po rozwiązaniu dla c* = 0:

∗ = ^∗ = ₊ ∙ ∙ + ^∗ = ₊ ∙ ∙ + + ₊ ∙ _, oraz τ

¹

* = 0.

Pkt. c)

Transformacja odwrotna : τ

1

= τ

1

* = 0 oraz σ

1

= σ

1

* - σ

H

= e

a

* - σ

H

= e

a

, czyli

= ₊ ∙ ∙ + + ₊ ∙ _, − _, = ₊ ∙ ∙ + − _, ∙ 1 − ₊ .

= ₊ ∙ ∙ + − ∙ ^cos _sin ∙ _1+sin ^2∙sin = ₊ ∙ ∙ + − 2 ∙ ∙ ₊ , Ponieważ ^{()" %}

&"#$ % = ! "#$ %

^/

&"#$ %

^/

= !"#$ % ∙ &"#$ %

&"#$ % ∙ &"#$ % = .

Przykład 2. Współczynnik nośności N

c

dla ławy fundamentowej

Dla gruntu niespoistego nośność podłoża pod ławą określa się w EC7-1 jako ₀ = ∙ 1 2 + ½⋅γ⋅B⋅1 3

[kPa], a współczynnik nośności N

q

wynika ze wzoru Prandtla (w odrębnej zakładce).

Pkt. a)

Obszarem jest półpłaszczyzna B0A, będąca szczególnym przypadkiem klina Prandtla obciążonego tylko pionowo, Rys.2.

B

o

= 0B, τ

o

= 0, σ

o

= q (znane), B

1

= 0A, τ

¹

= 0, σ

¹

= q

f

= ?

1 σ

1

nie oznacza tutaj – wyjątkowo – naprężenia głównego, lecz ogólnie naprężenie normalne wzdłuż B0.

2 Kąt δ jest z reguły częścią kąta ϕ, który nie zmienia się w tej metodzie, a zatem kąt δ również nie ulega

zmianom.

(3)

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7

3 Pkt. b)

τ

o

* = τ

o

= 0 oraz σ

o

* = σ

o

+ σ

H

= q + σ

H

= q* , τ

1

* = 0.

A zatem dla c* = 0 jest ^∗ = ₀ ^∗ = ^∗ ∙ 1 2 + ½⋅γ⋅ B ⋅1 3 = ∙ 1 2 + 4 ∙ 1 2 + ½⋅γ⋅ B ⋅1 3 . Pkt. c)

Transformacja odwrotna: = 0 = ₀ ^∗ − 4 = ∙ 1 2 + ∙ 1 5 + ½⋅γ⋅ B ⋅1 3 , gdzie przyjęto oznaczenie 1 5 = 67 ∙ 81 2 − 19, zgodnie z EC7-1.

Pozostałe współczynniki nośności N

q

, N

γ

nie ulegają zmianie, ponieważ kąt ϕ nie ulega zmianie.

Rys.2. Nośność podłoża odpowiadającego (c= 0) pod ławą fundamentową.*

Przykład 3. Parcie nieważkiego gruntu spoistego na ścianę oporową

Ta sytuacja nawiązuje do ogólnego przypadku nieważkiego klina Prandtla i pokazuje istotne skutki wektorowego charakteru parcia gruntu

³

.

Przyjmuje się oznaczenia jak w pliku dot. rozwiązania Coulomba-Prandtla.

Rys.3. Klin Prandtla.

Należy wyznaczyć wektorowe parcie graniczne czynne q

1

gruntu spoistego.

Pkt. a)

Obszarem jest nieważki klin A0B, obciążony ukośnie wzdłuż 0A, dane są ϕ, c

,

q, α

o ,

β, ε, δ = η⋅ϕ, gdzie η ≤1 jest pewną stałą.

B

o

= 0A: τ

o

= q⋅sin(α

o

), σ

o

= q⋅cos(α

o

).

B

1

= 0B: q

1

= ? Pkt. b)

3 Dotychczasowe zagadnienia były właściwie skalarne, ponieważ na brzegu τ = 0,

czyli poszukiwana była tylko jedna składowa wektora parcia gruntu – składowa normalna σ

1

.

q ^*

q f * q f *

B A

B

w

A

w

0 β

ε

q

1

+

+ ∞

+ ∞ δ 0

α ^o

A

B

c > 0, γ = 0

δ

(4)

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7

4 σ

^H

= c ⋅ ctg( ϕ ) zwiększa składową normalną obciążenia brzegowego σ

^o

^* ⁼ σ

^o

+ σ

^H

i przy zachowanym τ

^o

^* ⁼ τ

^o

tworzy nowe wypadkowe obciążenie stałe wzdłuż 0A

∗ = : ∗ + : ∗

Uwaga:

w ośrodku odpowiadającym wzdłuż 0A zmniejszył się kąt nachylenia obciążenia do normalnej i zamiast rzeczywistego α

^{o =}

arctg( τ

^o

^/ σ

^o

) dla q wynosi on obecnie α

^o

* = arctg( τ

^o

^*/ σ

^o

^*) ≤ α

^o

dla q*

(chodzi oczywiście o wartości bezwzględne kątów α ).

Rozwiązujemy zagadnienie w ośrodku odpowiadającym,

czyli stosując np. wzory (4),(5) z Wykładu 7 dla rozwiązania Coulomba-Prandtla.

Biorąc: ϕ , c = 0

,

q,* α

^o

*

,

β , ε , δ = η⋅ϕ otrzymuje się pewne rozwiązanie stałe q

1

* wzdłuż 0B, które ma składowe σ

1

*= q

1

* ⋅ cos( δ ) oraz τ

1

*= q

1

* ⋅ sin( δ ).

Pkt. c)

Transformacja odwrotna daje jak zwykle σ

1

= σ

1

* - σ

^H

, τ

1

= τ

1

*. Wynika stąd rozwiązanie wektorowe q

1

wzdłuż 0B jako wypadkowa, tj.

= + = ;<=6

które jest nachylone do normalnej pod kątem δ

^c

; jest to kąt większy niż tarciowa szorstkość δ , ponieważ tg( δ

^c

) = τ

1

/ σ

1

= τ

1

*/( σ

1

* - σ

^H

) > τ

1

*/ σ

1

* = tg( δ ).

W efekcie:

spójność c > 0 powoduje, że maleje długość wektora parcia q

1

i zwiększa się jego odchylenie od normalnej; ponieważ może się zdarzyć δ = ϕ , a zatem odchylenie wektora parcia gruntu spoistego od normalnej może być większe od kąta tarcia wewnętrznego

⁴

.

Przykład 4. Parcie ważkiego gruntu spoistego na ścianę oporową

⁵

Postępowanie jest podobne jak w przykładzie poprzednim, ale sprawę komplikuje brak ścisłego wyjściowego rozwiązania dla gruntu niespoistego, koniecznego w Pkt. b). Na ogół nie może być nim nawet standardowe rozwiązanie Ponceleta z Wykładu 6, ponieważ dotyczy ono tylko pionowego obciążenia naziomu q ( α

^o

= -ε ); dla kąta |α

^o

* | < |α

^o

| nie będzie to już obciążenie pionowe ośrodka odpowiadającego (chyba że ε = 0).

Łatwo jednak przewidzieć cechy takiego rozwiązania dla parcia gruntu na ścianę: wzdłuż krawędzi 0B parcie gruntu będzie wzrastało – zarówno τ

¹

* = τ

¹

, jak i σ

¹

*. Wzrastać będzie też σ

¹

= σ

¹

* - σ

^H

, ale wpływ korekty σ

^H

będzie się relatywnie zmniejszał, bo jest to wartość stała. Czyli tg( δ

^c

) > tg( δ ) oraz tg( δ

^c

) → tg( δ ).

Oczywiście, nie ma w tym niczego odkrywczego, bo już z warunku Coulomba τ = σ⋅ tg ϕ + c widać, że spójność c ma małe znaczenie, jeśli σ jest „bardzo duże”.

4 Podobnie jak nachylenie siły wypadkowej w stateczności GEO na przesunięcie po stropie warstwy gruntu spoistego.

5 Niektóre szczegóły można znaleźć w Zał.1 do PN-83/B-03010.Ściany oporowe.

W.Brząkała: Fundamentowanie II - Wykład 7