Wszystkie rzeczywiste ciała „sztywne" są w jakimś stopniu spręŜyste, co oznacza, Ŝe

Wykład 8

Gdy duŜa liczba atomów znajduje się bardzo blisko siebie, atomy zajmują

połoŜenia równowagi w trójwymiarowej sieci. Atomy znajdują się blisko siebie dzięki występującym między nimi siłom międzyatomowym. Działają one tak, jak gdyby atomy połączone były małymi spręŜynkami, jak na rysunku obok. Sieć jest niezwykle sztywna, co oznacza, Ŝe te „międzyatomowe spręŜynki" są bardzo mocne.

Wszystkie rzeczywiste ciała „sztywne" są w jakimś stopniu spręŜyste, co oznacza, Ŝe

moŜna nieznacznie zmienić ich rozmiary,

ZaleŜność odkształcenia od napręŜenia dla próbki ze stali. Próbka ulega odkształceniu trwałemu po przekroczeniu przez napręŜenie

= MODUŁ

SPRĘśYSTOŚCI x

ODKSZTAŁCENIE

E L

F = ∆

KaŜdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem okresowym.

W ruchu harmonicznym zaleŜność przemieszczenia x ciała względem początku układu współrzędnych od czasu opisana jest wzorem:

gdzie:

x(t) – przemieszczenie w chwili czasu t, A – amplituda,

ω

– częstość kołowa, t – czas,

Φ – faza początkowa.

( ^{+ Φ} )

= A t t

x ^{( ) cos} ω

• (a) zmienia się A : stałe T

• (b) większe m : większe T

• (c) większe k : mniejsze T

T m

k

t A

t x

ω π

ω

2

0

) cos(

)

(

=

=

= Φ

Φ +

=

) cos(

)

( t A t

x

ω

) ) sin(

) (

( A t

dt t t dx

v

ω ω

) ) cos(

) (

( dv t

A t

t

a

ω ω

Przemieszczenie

Prędkość

Przyspieszenie

4 3 42

1

) (

2

cos( )

) ) (

(

t x

t dt A

t t dv

a = = − ω ω

) ( )

( t

x t

a = − ω

W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia, ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik

proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej.

Z drugiej zasady dynamiki Newtona

( ^x )

m ma

F = = − ω

Z drugiej strony wiemy, Ŝe

kx F = −

Stąd

x k = ω

Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa

( ^x )

m

ma = − ω

m x k dt

x

d

= −

(rad/s) m

= k ω

Rozwiązanie

) cos(

)

( t = A ω t + φ

x A

x x A

x ( 0 ) = cos φ =

, φ = arccos

( ^{+ Φ} )

=

= kx kA t

E

^cos

ω 2

1 2

1

Energia potencjalna

Energia kinetyczna

( ^{+ Φ} )

=

= mv kA t

E

^sin

ω 2

1 2

1

Energia mechaniczna

( )

( )

2

2 sin

2 cos 1

2

1 kA t kA t

E

E_p + _k = ω + Φ + ω + Φ =

2 2

2 2

2

2 1 2

1 2

1 A x

m v k

kA kx

mv + = ⇒ = ± −

Energia mechaniczna ruchu harmonicznego jest stała, stąd

( ^F

^{sin θ} )

L F

r

M = × = −

Z drugiej zasady dynamiki Newtona

( ^{mg θ} ) ^{I ε}

L =

− sin

⇓

θ

ε I

− Lmg

=

w pionie zawieszony na spręŜynie o stałej

spręŜystości k. Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką (zakładamy, Ŝe oba te

elementy mają znikomą masę) zanurzoną w cieczy. Gdy łopatka porusza się w górę i w dół, ciecz wywiera na nią (i w konsekwencji na cały układ drgający) siłę oporu. Z upływem czasu energia mechaniczna układu klocek-spręŜyna maleje — przekształca się w energię termiczną cieczy i łopatki.

Siła oporu F₀, jaką działa ciecz, jest proporcjonalna do wartości prędkości v łopatki i klocka (takie

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego wynikające z prawa Newtona przyjmuje postać:

ma kx

bv − =

−

2

0

2

+ + kx =

dt b dx dt

x m d

Rozwiązanie tego równania ma postać:

( )

2 2

'

' cos

) (

b k

t Ae

t

x

−

=

Φ +

=

ω

ω

Rodzaje tłumień:

- Małe

(niedotłumienie)

- Średnie

(tłumienie krytyczne)

b mk

mk b

=

<

Taki oscylator wymuszony drga z częstością kołową ω_wym siły wymuszającej, a jego

przemieszczenie x(t) dane jest wzorem:

) cos(

)

( t = A t + Φ

x ω

jest przyłoŜona do harmonicznego oscylatora tłumionego, w rezultacie powstają drgania wymuszone.

) cos(

F

F

=

ω

t

ω_wym=1.01ω Siła wymuszająca:

Amplituda drgań wymuszonych:

2 2 2

2 max

)

( k m

b

A F

ω

ω +

= −

A

Kiedy

wtedy A przyjmuje maksimum w

2

m wym

k ⁼ ω

m

wym

= k / ω

REZONANS