INSTYTUT BADA ´ N SYSTEMOWYCH POLSKIEJ AKADEMII NAUK
Karta Kendalla
jako nieparametryczne narz˛edzie do wykrywania zale˙zno´sci
pomi˛edzy kolejnymi pomiarami procesów
Streszczenie rozprawy doktorskiej
Anna Olwert
Promotor: prof. dr hab. in˙z. Olgierd Hryniewicz
Warszawa, 29 maja 2012
1 Wprowadzenie
W obecnej dobie dobrze wiadomo, ˙ze ˙zadne przedsi˛ebiorstwo, czy to produkcyjne, czy usłu- gowe, nie utrzyma si˛e na rynku bez wdro˙zenia do swej codziennej i stałej praktyki dbało´sci o jako´s´c, najlepiej przez wprowadzenie gruntownie przemy´slanego i wła´sciwie dopasowanego do swoich potrzeb systemu zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a. Ta wynikaj ˛ aca z presji rynku konieczno´s´c wprowadzania systemów zapewniania jako´sci zwróciła uwag˛e praktyków zarz ˛ adzania na znane od ponad osiemdzi˛esieciu lat narz˛edzie statystycznego sterowania jako´sci ˛ a, jakim jest zapropo- nowana przez Waltera Shewharta karta kontrolna.
Wprowadzenie przez Shewharta karty kontrolnej jako narz˛edzia słu˙z ˛ acego do wykrywania sygnałów rozregulowania procesu produkcji lub procesu ´swiadczenia usług jest uznawane za pocz ˛ atek nowoczesnego zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a. Po raz pierwszy karta kontrolna została zasto- sowana w 1924 roku przez swego twórc˛e w koncernie Western Electric w Chicago. Tam te˙z Shewhart opracował algorytm sterowania jako´sci ˛ a. W 1931 roku opublikował swoje monumen- talne dzieło o znamiennym tytule Economic Control of Quality of Manufactured Product.
Oczywi´scie na popraw˛e procesu wytwarzania wyrobu nale˙zy spojrze´c szerzej ni˙z przez pry- zmat niezast ˛ apionych kart kontrolnych. Działaniami projako´sciowymi powinny by´c obj˛ete nie tylko procesy produkcyjne realizowane w danym przedsi˛ebiorstwie, ale te˙z wszystkie aspekty działania tego przedsi˛ebiorstwa. Shewhart ograniczył si˛e do tego, co dzi´s nazywamy statystycz- nym sterowaniem procesem (w skrócie SPC, od angielskiego terminu statistical process con- trol). Natomiast jego wybitny ucze´n William Edwards Deming rozszerzył program sterowania jako´sci ˛ a do dziedziny zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a. Od tamtego czasu opublikowano wiele prac doty- cz ˛ acych zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a, w tym jako jedne z pierwszych, dwa fundamentalne dzieła Total Quality Control A. V. Feigenbauma oraz Quality Control Handbook J. M. Jurana. W rezultacie SPC stało si˛e jednym z filarów wła´sciwego zorganizowania procesu produkcji.
Rysunek 1: Karta kontrolna Shewharta pojedynczych pomiarów dla badanego parametru w pro-
cesie chemicznym. ´ Zródło danych: (Montgomery i Mastrangelo, 1991)
Rysunek 1 przedstawia przykład karty kontrolnej Shewharta. Karta została skonstruowana na podstawie odczytywanych co kilka minut pomiarów pewnego parametru w procesie che- micznym (Montgomery i Mastrangelo, 1991). Widocznych jest na niej wiele pomiarów poza tzw. granicami kontrolnymi UCL i LCL. Pojawienie si˛e wyniku poza granicami kontrolnymi karty generuje sygnał alarmowy ´swiadcz ˛ acy o prawdopodobnym rozregulowaniu si˛e procesu na skutek wyst ˛ apienia przyczyny specjalnej. W takim przypadku, warto zweryfikowa´c, czy proces faktycznie uległ rozregulowaniu i w razie potrzeby przyst ˛ api´c do podj˛ecia działa´n maj ˛ acych na celu usuni˛ecie przyczyny rozregulowania.
Idea stosowania kart jest prosta i intuicyjnie przekonywuj ˛ aca, st ˛ ad ich popularno´s´c nie powinna dziwi´c. Nie zawsze jednak monitorowanie procesu przy u˙zyciu tradycyjnych kart kontrolnych prowadzi do wła´sciwych wniosków. Konstruuj ˛ ac klasyczne karty kontrolne, za- kłada si˛e mi˛edzy innymi, i˙z kolejne obserwacje procesu s ˛ a niezale˙zne. W praktyce niezale˙zno´s´c ta mo˙ze jednak nie by´c zachowana. Dzieje si˛e tak na przykład wtedy, gdy do próbki pobie- ramy kolejno wyprodukowane elementy lub gdy odczytujemy pomiary procesu w zbyt krótkich odst˛epach czasu. Zaburzenie zało˙zenia o niezale˙zno´sci jest charakterystyczne szczególnie dla procesów chemicznych i ró˙znych ci ˛ agłych procesów produkcyjnych (Wetherill, 1977), (Mont- gomery i Mastrangelo, 1991), (Wardell, Moskowitz, Plante, 1994), (Alwan, 1995). Z takim przypadkiem mamy równie˙z do czynienia w przykładzie prezentowanym na rysunku 1, gdzie kolejne obserwacje procesu chemicznego s ˛ a ze sob ˛ a silnie skorelowane (współczynnik korelacji mi˛edzy s ˛ asiednimi obserwacjami wynosi 0,86). Alwan (1989) przeanalizował 235 zbiorów rze- czywistych danych wykorzystanych w ró˙znych opublikowanych przykładach prezentuj ˛ acych działanie standardowych narz˛edzi SPC. Okazało si˛e, ˙ze w około 85% przypadków zastosowano niewła´sciwie wyznaczone linie kontrolne. W prawie połowie tych przypadków przyczyn ˛ a był brak zwrócenia uwagi na wyst˛epuj ˛ ace mi˛edzy danymi zale˙zno´sci.
Do ko´nca lat osiemdziesi ˛ atych w prawie wszystkich pracach dotycz ˛ acych narz˛edzi SPC przyjmowano zało˙zenie o niezale˙zno´sci obserwacji procesu. W niewielu rozpatrywano przypa- dek wyst˛epowania zale˙zno´sci. Goldsmith i Whitfield (1961) badali wpływ korelacji na zacho- wanie si˛e karty CUSUM, u˙zywaj ˛ ac symulacji Monte Carlo. W tym samym roku Page (1961) napisał: „The effects of correlated observations have been examined in one case by Goldsmith and Whitfield; wider study is desirable”. Od tamtego czasu min˛eło około dziesi˛eciu lat za- nim zacz˛eły pojawia´c si˛e publikacje traktuj ˛ ace o SPC w przypadku skorelowanych obserwa- cji procesów. Zacz˛eto bada´c wpływ korelacji w´sród danych na własno´sci karty Shewharta dla
´sredniej oraz kart CUSUM i EWMA. Ciekawe wyniki i spostrze˙zenia mo˙zna znale´z´c m.in.
w pracach Johnsona i Bagshawa (1974), Bagshawa i Johnsona (1975), Vasilopoulosa i Stambo- ulisa (1978), Alwana (1992), Maragaha i Woodalla (1992), Yashchina (1993), Schmida (1994) oraz Reynoldsa, Arnolda, Baika (1996). Podstawowy wniosek zawarty w tych publikacjach jest nast˛epuj ˛ acy: wyst˛epowanie korelacji w´sród obserwacji procesu zmienia w zasadniczy sposób własno´sci kart kontrolnych konstruowanych przy zało˙zeniu niezale˙zno´sci.
2 Cel rozprawy
Niezwykle popularne karty kontrolne Shewharta konstruowane s ˛ a przy zało˙zeniu, ˙ze obser-
wacje procesu s ˛ a niezale˙zne. Jak wspomniano we wprowadzeniu, w praktyce zało˙zenie to nie
zawsze jest spełnione, a stosowanie kart kontrolnych w przypadku zaburzonego konstrukcyj-
nego zało˙zenia o niezale˙zno´sci prowadzi zwykle do niepo˙z ˛ adanych skutków. Typowym efek-
tem stosowania kart w obecno´sci korelacji pomi˛edzy kolejnymi pomiarami procesu jest wysoki
wzrost lub spadek (w zale˙zno´sci od rodzaju zale˙zno´sci) oczekiwanej długo´sci serii pomi˛edzy
kolejnymi fałszywymi sygnałami alarmowymi (w przypadku procesu w stanie statystycznego
uregulowania), czyli tzw. ARL (ang. Average Run Length). To z kolei prowadzi, odpowiednio, do istotnie wi˛ekszego lub mniejszego prawdopodobie´nstwa wyst ˛ apienia fałszywego alarmu ni˙z w przypadku procesów nieskorelowanych. W praktyce taki stan rzeczy przekłada si˛e na fał- szywe przekonanie, ˙ze proces jest w stanie uregulowanym b ˛ ad´z fałszywe przyj˛ecie, ˙ze proces uległ rozregulowaniu.
W celu wyeliminowania niepo˙z ˛ adanych skutków działania kart Shewharta w przypadku wy- st˛epowania zale˙zno´sci w´sród obserwacji procesu opracowano wiele ró˙znych podej´s´c SPC dla skorelowanych procesów. Najstarsze z nich to karty kontrolne z odpowiednio zmodyfikowa- nymi granicami (Lu, Reynolds, 1999a, 1999b, 2001), (Schmid, 1995, 1997), (VanBrackle III, Reynolds, 1997), (Vasilopoulos, Stamboulis, 1978), (Zhang, 1998). Drugie podej´scie dotyczy kart kontrolnych dla residuów (Alwan i Roberts, 1988), (Lu, Reynolds, 1999a, 1999b, 2001), (Montgomery, Mastrangelo, 1991), (Schmid, 1997). Inne, trzecie podej´scie, opiera si˛e na mo- nitorowaniu procesu na podstawie współczynnika autokorelacji, odzwierciedlaj ˛ ac struktur˛e za- le˙zno´sci w monitorowanym procesie (Yourstone i Montgomery, 1989, 1991). Z kolei jeszcze inne, oryginalne, jedne z głównych podej´s´c do rozwa˙zanego problemu to tzw. karta kontrolna ARMA (Jiang, Tsui, Woodall, 2001). W wi˛ekszo´sci przypadków zaproponowane podej´scia s ˛ a oparte o zło˙zone procedury statystyczne trudne w zastosowaniu dla przeci˛etnego praktyka i wy- magaj ˛ ace zidentyfikowania modelu zale˙zno´sci opisuj ˛ acego kontrolowany proces. Wobec tego naturaln ˛ a potrzeb ˛ a zdaje si˛e by´c umiej˛etno´s´c oceny, czy rozpatrywany proces jest faktycznie skorelowany czy nie. Umiej˛etno´s´c ta, po pierwsze pozwoliłaby zwróci´c uwag˛e na to, ˙ze ocena stanu procesu na podstawie karty Shewharta mo˙ze w danym przypadku prowadzi´c do bł˛ednych wniosków. Po drugie, umo˙zliwiłaby wykluczenie sytuacji, w których stosowanie zaawansow- nych metod SPC skonstruowanych dla procesów skorelowanych nie jest konieczne. Po˙z ˛ adane jest zatem stworzenie metody statystycznej - mo˙zliwie najprostszej w swej konstrukcji i inter- pretacji, która mogłaby słu˙zy´c jako narz˛edzie do wykrywania zale˙zno´sci wyst˛epuj ˛ acych w´sród obserwacji procesu.
Głównym celem rozprawy doktorskiej było zaprojektowanie karty kontrolnej jako prostego i uniwersalnego narz˛edzia statystycznego do wykrywania zale˙zno´sci pomi˛edzy kolejnymi pomiarami procesu.
Wybór metody karty kontrolnej jako narz˛edzia statystycznego wydaje si˛e w tym przypadku uzasadniony z uwagi na charakterystyczn ˛ a dla kart prostot˛e stosowania i kompatybilno´s´c nowej metody z popularnymi kartami Shewharta.
Postawiony powy˙zej główny cel rozprawy doktorskiej osi ˛ agni˛eto, proponuj ˛ ac w rozprawie now ˛ a kart˛e kontroln ˛ a, nazwan ˛ a kart ˛ a kontroln ˛ a Kendalla.
Nazwa nowej karty wynika ze sposobu jej konstrukcji. Mianowicie, do budowy tej karty wyko- rzystano znany współczynnik Kendalla zdefiniowany dla seryjnie skorelowanych danych. Wła- sno´sci tak okre´slonego współczynnika zostały stosunkowo niedawno zbadane przez Fergusona, Genesta i Hallina (2000).
Ponadto, w rozprawie uogólniono badania własno´sci współczynnika Kendalla dla skore- lowanych danych do przypadku, gdy dane te nie s ˛ a okre´slone w precyzyjny sposób.
Drugim celem rozprawy doktorskiej było zbadanie własno´sci współczynnika Kendalla
w przypadku, gdy obserwacje w próbkach s ˛ a skorelowane i nie s ˛ a okre´slone w sposób
precyzyjny.
Problemy statystycznego sterowania procesami przedstawiane s ˛ a we wszystkich publika- cjach ksi ˛ a˙zkowych po´swi˛econych sterowaniu i zarz ˛ adzaniu jako´sci ˛ a. W polskiej literaturze spe- cjalistycznej podstawowe informacje na ten temat mo˙zna znale´z´c np. w po´swi˛econych praktycz- nym problemom zarz ˛ adzania jako´sci ˛ a ksi ˛ a˙zkach Hamrola i Mantury (1998) oraz Iwasiewicza (1999). Z kolei w ksi ˛ a˙zkach Hryniewicza (1996) oraz Thompsona, Koronackiego i Nieckuły (2005) mo˙zna znale´z´c wi˛ecej informacji na temat matematycznych aspektów statystycznego sterowania procesami. Nie istnieje jednak publikacja w j˛ezyku polskim, w której przedstawiono by problematyk˛e statystycznego sterowania procesami dla danych zale˙znych. Co wi˛ecej, publi- kacja podsumowuj ˛ aca wyniki bada´n w tym zakresie, zgodnie z nasz ˛ a najlepsz ˛ a wiedz ˛ a, nie istnieje tak˙ze w literaturze ´swiatowej. W zwi ˛ azku z tym, sformułowany został poboczny cel rozprawy, a mianowicie:
przeprowadzenie krytycznej analizy aktualnego stanu wiedzy dotycz ˛ acej projektowania systemów SPC w przypadku wyst˛epowania zale˙zno´sci w obserwowanych w procesach da- nych statystycznych.
3 Tre´s´c rozprawy
Rozprawa doktorska składa si˛e z 7 rozdziałów.
Rozdział 1 ma charakter wprowadzenia. Przedstawiono w nim statystyczne i intuicyjne pod- stawy SPC, w szczególno´sci odwołuj ˛ ac si˛e do poj˛ecia karty kontrolnej Shewharta. Zwrócono uwag˛e na brak odporno´sci karty kontrolnej Shewharta wobec naruszonego konstrukcyjnego za- ło˙zenia o niezale˙zno´sci kolejnych obserwacji procesu. Na podstawie przegl ˛ adu literatury odnie- siono si˛e do sposobów, w jaki starano si˛e do tej pory ów problem rozwi ˛ aza´c. Z przedstawionej w rozdziale pierwszym analizy wynika cel rozprawy doktorskiej.
W rozdziale 2 omówiono ogólne zasady statystycznego sterowania procesami ze szczegól- nym uwzgl˛ednieniem kart kontrolnych. Przedstawiono sposób konstrukcji i zasad˛e działania kart kontrolnych. Opisano najcz˛e´sciej stosowane karty do kontroli warto´sci ´sredniej (podroz- działy 2.1 - 2.6), a mianowicie:
A1. karty kontrolne ¯ X–R, A2. karty kontrolne ¯ X–S,
A3. kart˛e kontroln ˛ a pojedynczych pomiarów, A4. kart˛e kontroln ˛ a MA,
A5. kart˛e kontroln ˛ a EWMA, A6. kart˛e kontroln ˛ a CUSUM.
W podrozdziale 2.7 przedstawiono ide˛e uwzgl˛edniania tzw. sygnałów sekwencyjnych, czyli
metod˛e Western Electric, której wykorzystanie mo˙ze zwi˛eksza´c efektywno´s´c działania niektó-
rych kart kontrolnych.
Rozdział 3 po´swi˛econy jest problemowi badania zale˙zno´sci w´sród obserwacji procesu.
W podrozdziale 3.1 przedstawiono znan ˛ a nieparametryczn ˛ a miar˛e zale˙zno´sci, jak ˛ a jest współ- czynnik Kendalla. Podano jednak równie˙z posta´c tej miary dla seryjnie skorelowanych danych zaproponowan ˛ a przez Fergusona, Genesta i Hallina w 2000 roku. To wła´snie na jej podstawie skonstruowano kart˛e kontroln ˛ a Kendalla. Współczynnik Kendalla dla seryjnie skorelowanych danych mo˙zna zapisa´c w nast˛epuj ˛ acy sposób.
Niech Z
1, Z
2, . . . , Z
nb˛edzie próbk ˛ a losow ˛ a zło˙zon ˛ a z n kolejnych obserwacji kontrolowa- nego procesu oraz (X
i, Y
i), gdzie X
i= Z
i, Y
i= Z
i+1dla i = 1, . . . , n − 1 b˛edzie dwuwymia- rowym wektorem losowym z rozkładu pary ci ˛ agłych zmiennych losowych (X, Y ). Statystyka Kendalla dla próbki (Z
1, Z
2), (Z
2, Z
3), . . . , (Z
n−1, Z
n) ma posta´c
˜
τ
n= 4 n − 1
n−1
X
i=1
V
i− 1, (3.1)
gdzie
V
i= card{(Z
j, Z
j+1) : Z
j< Z
i, Z
j+1< Z
i+1}
n − 2 , i = 1, . . . , n − 1. (3.2) Z kolei równowa˙zna jej posta´c oparta na liczbie par niezgodnych
M =
n−1
X
i=1 n−1
X
j=1
I(Z
i< Z
j, Z
i+1> Z
j+1) (3.3)
jest nast˛epuj ˛ aca
˜
τ
n= 1 − 4M
(n − 1)(n − 2) . (3.4)
W przypadku wzajemnie niezale˙znych par obserwacji (Z
i, Z
i+1), i = 1, 2, . . . , n − 1 rozkład prawdopodobie´nstwa statystyki (3.4) jest znany. Jednak˙ze w rozpatrywanym w rozprawie przy- padku, zało˙zenie to nie jest spełnione, nawet wtedy, gdy oryginalne obserwacje Z
1, Z
2, . . . , Z
ns ˛ a wzajemnie niezale˙zne. Dla takiego przypadku Ferguson, Genest i Hallin (2000) wyznaczyli warto´sci prawdopodobie´nstwa P (M ≤ m). Dla małych próbek, tj. o liczno´sci n = 3, . . . , 10 obliczyli dokładne warto´sci tego prawdopodobie´nstwa, za´s dla wi˛ekszych próbek (n > 10) podali jego przybli˙zone warto´sci. Prawdziwe s ˛ a bowiem nast˛epuj ˛ ace twierdzenia (Ferguson, Genest i Hallin, 2000).
Twierdzenie 3.1. Przy zało˙zeniu niezale˙zno´sci obserwacji w n-elementowej próbce (n ≥ 3), warto´s´c oczekiwana oraz wariancja statystyki Kendalla τ ˜
n(3.1) wynosz ˛ a, odpowiednio,
µ
τ˜n= E(˜ τ
n) = − 2
3(n − 1) = O(1/n) (3.5)
σ
τ2˜n= Var(˜ τ
n) =
8/9, dla n = 3
20n
3− 74n
2+ 54n + 148
45(n − 1)
2(n − 2)
2= 4 9n + o(1/n), dla n ≥ 4 (3.6) Twierdzenie 3.2. Przy zało˙zeniu, ˙ze obserwacje z n-elementowej próbki s ˛ a niezale˙zne, staty- styka √
n˜ τ
nma rozkład asymptotycznie normalny o warto´sci oczekiwanej 0 i wariancji 4/9.
Autorzy powy˙zszych twierdze´n pokazali, ˙ze bardzo dobre rezulaty aproksymacji statystyki τ ˜
n(3.1) rozkładem normalnym osi ˛ aga si˛e ju˙z dla liczno´sci próbki n > 10. Powy˙zsze informacje
o rozkładzie statystyki τ ˜
n(3.1) posłu˙zyły do budowy karty kontrolnej Kendalla.
W podrozdziale 3.2 - na potrzeb˛e prezentowanych w rozprawie metod SPC dla skorelowa- nych danych - podano krótk ˛ a charakterystyk˛e podstawowych modeli z klasy ARMA i ARIMA stosowanych do opisu stochastycznych procesów stacjonarnych i niestacjonarnych. W podroz- dziale 3.3 przedstawiono podstawowe poj˛ecia dotycz ˛ ace teorii kopuł, ze szczególnym uwzgl˛ed- nienim kopuły gaussowskiej, FGM, Placketta oraz kopuł archimedesowskich (Nelsen, 2006).
Kopuły stosowano jako alternatywne narz˛edzie do modelowania zale˙zno´sci pomi˛edzy pomia- rami procesu, co stanowi swego rodzaju innowacj˛e w uj˛eciu poruszanego problemu.
Rozdział 4 w całej swej rozci ˛ agło´sci dotyczy problemu statystycznego sterowania proce- sem, o którym nie zakłada si˛e, ˙ze jego kolejne obserwacje s ˛ a niezale˙zne. W pierwszej cz˛e´sci rozdziału (podrozdział 4.1) zilustrowano na kilku przykładach jakie mog ˛ a by´c skutki stosowa- nia kart kontrolnych Shewharta wobec zaburzonego zało˙zenia konstrukcyjnego kart o niezale˙z- no´sci obserwacji procesu. Dokładniej, przedstawiono jak drastycznie zmieniaj ˛ a si˛e własno´sci statystyczne narz˛edzi, takich jak:
• karty pojedynczych pomiarów w przypadkach, gdy kontrolowany proces opisywany jest modelem autoregresji rz˛edu pierwszego AR(1) b ˛ ad´z modelem ´sredniej ruchomej MA(1) (Margrah i Woodall, 1992),
• karty EWMA w przypadku zaburzenia niezale˙zno´sci opisywanego kopuł ˛a FGM (opraco- wanie własne),
• karty CUSUM w przypadku zaburzenia niezale˙zno´sci opisywanego modelem AR(1) z bł˛edem losowym (Lu i Reynolds, 2001).
W powy˙zszych i wielu innych przypadkach - zgodnie z literatur ˛ a przedmiotu (Alwan, 1992), (Alwan i Roberts, 1995) dochodzi si˛e do wniosku, ˙ze stosowanie klasycznych kart kontrolnych dla ´sredniej przy naruszeniu zało˙zenia o niezale˙zno´sci obserwacji procesu najcz˛e´sciej skutkuje:
• fałszywym przekonaniem, ˙ze proces jest w stanie uregulowanym,
• nieuzasadnionym poszukiwaniem przyczyn specjalnych rzekomo rozregulowanego pro- cesu (kiedy wła´sciwie interpretowane dane nie sugeruj ˛ a istnienia przyczyn specjalnych),
• zaniedbaniem poszukiwania przyczyn specjalnych, kiedy wła´sciwie interpretowane dane sugeruj ˛ a istnienie przyczyn specjalnych,
• niedostrzeganiem systematycznej zmienno´sci procesu, takiej jak np. trend, czy okresowa zmienno´s´c.
Nale˙zy ponadto podkre´sli´c, i˙z obecno´s´c nawet słabej zale˙zno´sci w´sród obserwacji procesu, (któr ˛ a trudno zauwa˙zy´c bez zaawansowanych metod statystycznych) istotnie osłabia zdolno´s´c klasycznych kart kontrolnych do rozró˙zniania przyczyn specjalnych i losowych (wniosek na podstawie bada´n własnych zachowania si˛e klasycznych kart wobec słabych zale˙zno´sci w´sród obserwacji procesu opisywanych kopuł ˛ a FGM).
W drugiej cz˛e´sci rozdziału 4 (podrozdziały 4.2 - 4.6) przedstawiono ró˙zne zaawansowane metody SPC, jakie na przestrzeni kilkudziesi˛eciu lat zaproponowano do statystycznego stero- wania procesami, których kolejne obserwacje s ˛ a skorelowane. Mianowicie omówiono: metod˛e modyfikacji klasycznych kart kontrolnych, ide˛e kart kontrolnych dla residuów oraz inne ory- ginalne pomysły takie jak karty EWMAST i ARMA oraz kart˛e współczynnika autokorelacji.
Podano sposób konstrukcji kart kontrolnych dla skorelowanych danych zgodny z przedstawio-
nymi podej´sciami, w szczególno´sci takich kart, jak:
B1. zmodyfikowana karta pojedynczych pomiarów, B2. zmodyfikowana karta EWMA,
B3. zmodyfikowana karta CUSUM,
B4. karta pojedynczych pomiarów dla residuów, B5. karta EWMA dla residuów,
B6. karta CUSUM dla residuów, B7. karta EWMAST,
B8. karta ARMA,
B9. karta dla współczynnika korelacji.
W zako´nczeniu rozdziału 4 (podrozdział 4.7) przedstawiono porównanie efektywno´sci klasycz- nych kart kontrolnych (A1 - A6) oraz kart kontrolnych dla skorelowanych danych (B1 - B9) na podstawie wyników bada´n prezentowanych w kilkunastu pracach zaczerpni˛etych z bibliografii rozprawy doktorskiej.
W rozdziale 5 wprowadzono oryginalne narz˛edzie do wykrywania zale˙zno´sci pomi˛edzy obserwacjami procesu - kart˛e kontroln ˛ a Kendalla. W podrozdziale 5.1 przedstawiono sposób konstrukcji zaproponowanej karty. Ostatecznie, do kontroli współczynnika Kendalla τ ˜
ndanego wzorem (3.1), mierz ˛ acego stopie´n zale˙zno´sci kolejnych obserwacji procesu zaproponowano nast˛epuj ˛ ac ˛ a kart˛e kontroln ˛ a:
UCL = min − 2
3(n − 1) + k
s 20n
3− 74n
2+ 54n + 148 45(n − 1)
2(n − 2)
2, 1
!
CL = − 2
3(n − 1)
LCL = max − 2
3(n − 1) − k
s 20n
3− 74n
2+ 54n + 148 45(n − 1)
2(n − 2)
2, −1
!
, (3.7)
gdzie UCL, CL i LCL s ˛ a, odpowiednio, górn ˛ a, ´srodkow ˛ a i doln ˛ a granic ˛ a kontroln ˛ a karty, za´s k jest pewn ˛ a stał ˛ a. W praktyce najcz˛e´sciej przyjmuje si˛e k = 3, co odpowiada prawdopodo- bie´nstwu fałszywego alarmu równemu 0,0027. W rozprawie rozwa˙zano ró˙zne warto´sci stałej k.
Wła´snie t˛e kart˛e (3.7) nazwano w rozprawie kart ˛ a kontroln ˛ a Kendalla.
W podrozdziale 5.2 opisano eksperyment symulacyjny przeprowadzony celem zbadania własno´sci statystycznych zaproponowanej karty do wykrywania zale˙zno´sci mi˛edzy kolejnymi obserwacjami procesu. Interesuj ˛ ace przy tym było zbadanie efektywno´sci tej karty w sytu- acjach, w których z uwagi na zało˙zenia konstrukcyjne nie powinna by´c stosowana znana (pro- jektowna te˙z w tym celu) karta autokorelacji. Eksperyment symulacyjny zaprojektowano w taki sposób, by mo˙zliwe było zbadanie zachowania karty Kendalla wobec ró˙znego rodzaju zale˙zno-
´sci wyst˛epuj ˛ acej w´sród obserwacji monitorowanego procesu. W szczególno´sci, projektuj ˛ ac go, uwzgl˛edniono:
• ró˙zny sposób generowania liczb losowych odpowiadaj ˛acych kolejnym obserwacjom pro-
cesu,
• ró˙zny rodzaj i stopie´n zale˙zno´sci mi˛edzy kolejnymi obserwacjami procesu,
• ró˙zne postaci rozkładów brzegowych par kolejnych obserwacji procesu,
• ró˙zne liczno´sci próbek.
Efektywno´s´c karty Kendalla zbadano na podstawie jej wa˙znej charakterystyki, jak ˛ a jest ARL.
Równolegle przeprowadzono badania karty autokorelacji. W rozprawie wyniki bada´n przedsta- wiono w postaci wykresów i tablic. W niniejszym autoreferacie podano jedynie przykładowe z nich. W tablicach 1–4 przedstawiono wyniki dla próbek 10 i 50-elementowych w przypadku, gdy zale˙zno´s´c pomi˛edzy kolejnymi obserwacjami procesu opisywana jest kopuł ˛ a FGM, przy czym posta´c rozkładów brzegowych mo˙ze by´c znana lub nie. Dodatkowo, w przypadku wy- kładniczego rozkładu brzegowego wyniki te zostały przedstawione na rysunku 2. Porównuj ˛ ac warto´sci ARL dla kart Kendalla i autokorelacji przy ustalonym stopniu zale˙zno´sci α uzyskano nast˛epuj ˛ ace wnioski:
1. W przypadku próbek o liczno´sci n = 10 (tablice 1–2) trudno jest jednoznacznie stwier- dzi´c, która z badanych kart jest efektywniejsza. Dla brzegowych rozkładów normalnych karta Kendalla szybciej wykrywa wyst˛epowanie ujemnych zale˙zno´sci (α < 0), z kolei karta autokorelacji wykazuje lepsze osiagi w wykrywaniu dodatnich zale˙zno´sci (α > 0).
Podobn ˛ a sytuacj˛e zaobserwowano dla rozkładów brzegowych ró˙znych od normalnego, przy czym ró˙znice w efektywno´sci działania kart s ˛ a tu korzystniejsze na rzecz karty Ken- dalla. Mianowicie, karta Kendalla zdecydowanie szybciej wykrywa ujemne zale˙zno´sci, co jest wyra´znie widoczne w przypadku rozkładów niesymetrycznych (Exp(0, 1), W (1,
12)), natomiast nie zachowuje si˛e znacznie gorzej od karty autokorelacji w przypadku dodat- nich zale˙zno´sci.
2. Dla próbek o rozmiarze n = 50 (tablice 3–4) zaobserwowano tak ˛ a sam ˛ a efektywno´s´c obu kart w przypadku brzegowych rozkładów normalnych, a tak˙ze w przypadkach pozo- stałych rozpatrywanych rozkładów brzegowych, o ile tylko posta´c tych rozkładów była znana. Je´sli prawdziwe postaci rozkładów brzegowych nie s ˛ a znane, tj. w domy´sle bł˛ednie przyjmuje si˛e, ˙ze s ˛ a one normalne, wówczas karta Kendalla wykazuje nieco lepsz ˛ a efek- tywno´s´c w wykrywaniu zale˙zno´sci pomi˛edzy obserwacjami procesu. Dla próbek o licz- no´sciach wi˛ekszych ni˙z 50 zaobserwowano podobne rezultaty.
3. Przewaga karty Kendalla nad znan ˛ a kart ˛ a autokorelacji uwydatnia si˛e w przypadku nie- symetrycznych rozkładów brzegowych niezale˙znie od rozmiaru próbki.
Ogólnie rzecz bior ˛ ac, w wielu rozpatrywanych przypadkach wyra´znie widoczna jest prze- waga karty Kendalla. Jedynie dla małych prób i przy zało˙zeniu, ˙ze rozkłady brzegowe s ˛ a znane, a karta autokorelacji wła´sciwie skalibrowana zaobserwowano wieksz ˛ a efektywno´s´c karty au- tokorelacji. Trzeba jednak doda´c, ˙ze prawidłowa kalibracja tej karty mo˙zliwa jest wył ˛ acznie wtedy, gdy znana jest nie tylko posta´c rozkładów brzegowych, ale i rodzaj kopuły. St ˛ ad te˙z, wykorzystanie tak zmodyfikowanej karty autokorelacji jest w praktyce mało prawdopodobne.
W pozostałych przypadkach, tj. dla próbek o liczno´sci co najmniej równej 50, niezale˙znie od
charakteru rozkładów brzegowych oraz kopuły karta Kendalla jest zdecydowanie lepszym roz-
wi ˛ azaniem. Szczególn ˛ a jej przewag˛e zaobserwowano dla modeli z niesymetrycznymi rozkła-
dami brzegowymi. Podsumowuj ˛ ac, kart˛e autokorelacji nale˙zy stosowa´c z ostro˙zno´sci ˛ a, je´sli
brak jest pewno´sci co do normalno´sci rozkładu brzegowego. Z kolei nawet w sytuacji, gdy
mo˙zliwe jest odpowiednie skalibrowanie karty autokorelacji, efektywno´s´c karty Kendalla jest
co najmniej porównywalna z efektywno´sci ˛ a zmodyfikowanej karty autokorelacji.
Tablica 1: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM z nieznanymi rozkładami brzegowymi, liczno´s´c próbki n = 10. ´Zródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla Karta autokorelacji
k = 2,70 k = 2,531
α dowolny rozkład N (0, 1) Exp(0, 1) W (1,
12) U (− √ 3, √
3) L(0, 1) prawdopodobie´nstwa
1 178,57 92,48 107,57 198,41 63,99 108,80
0,75 236,22 129,03 147,07 261,94 87,91 152,30
0,50 301,35 184,33 206,57 354,08 124,01 217,69
0,25 349,70 263,10 293,86 490,06 174,68 310,43
0 350,66 349,79 409,61 689,84 230,28 413,17
-0,25 302,73 391,20 522,70 966,98 255,88 464,18
-0,50 234,58 345,44 555,75 1293,28 224,66 413,73
-0,75 173,31 255,72 479,05 1530,77 166,14 309,16
-1 126,64 176,05 356,38 1502,01 114,62 214,15
Tablica 2: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM ze znanymi rozkładami brzegowymi, liczno´s´c próbki n = 10. ´Zródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla Karta autokorelacji
k = 2,70 k = 2,531 k = 2,491 k = 2,341 k = 2,639 k = 2,493 α dowolny rozkład N (0, 1) Exp(0, 1) W (1,
12) U (− √
3, √
3) L(0, 1) prawdopodobie´nstwa
1 178,57 92,48 96,87 118,55 82,03 97,75
0,75 236,22 129,03 131,04 151,52 116,25 135,30
0,50 301,35 184,33 181,99 197,79 170,14 190,94
0,25 349,70 263,10 255,41 262,57 250,83 268,23
0 350,66 349,79 349,96 350,24 350,20 350,32
-0,25 302,73 391,20 437,75 459,93 409,66 387,22
-0,50 234,58 345,44 458,47 569,22 366,00 343,13
-0,75 173,31 255,72 394,02 624,63 264,99 257,86
-1 126,64 176,05 294,97 587,93 176,08 180,44
Tablica 3: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM z nieznanymi rozkładami brzegowymi, liczno´s´c próbki n = 50. ´Zródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla Karta autokorelacji
k = 2,20 k = 2,15
α dowolny rozkład N (0, 1) Exp(0, 1) W (1,
12) U (− √ 3, √
3) L(0, 1) prawdopodobie´nstwa
1 64,87 64,72 81,80 148,81 61,71 67,90
0,75 87,63 88,17 113,01 196,43 81,71 94,20
0,50 138,91 140,52 174,07 271,75 127,81 151,19
0,25 248,46 249,57 292,85 396,24 226,93 267,65
0 352,46 352,79 445,38 604,99 323,24 375,35
-0,25 249,64 255,06 395,88 921,43 231,92 273,22
-0,50 139,05 143,06 228,06 1150,21 130,18 153,90
-0,75 86,99 88,94 130,92 923,13 82,35 94,98
-1 64,00 64,58 85,42 546,18 61,63 67,78
Tablica 4: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM ze znanymi rozkładami brzegowymi, liczno´s´c próbki n = 50. ´Zródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla Karta autokorelacji
k = 2,20 k = 2,15 k = 2,038 k = 1,783 k = 2,194 k = 2,120 α dowolny rozkład N (0, 1) Exp(0, 1) W (1,
12) U (− √
3, √
3) L(0, 1) prawdopodobie´nstwa
1 64,87 64,72 76,71 113,66 62,70 66,91
0,75 87,63 88,17 103,06 143,16 84,14 91,95
0,50 138,91 140,52 153,79 188,28 133,88 145,91
0,25 248,46 249,57 246,99 256,95 226,93 254,30
0 352,46 352,79 352,29 352,12 352,89 352,39
-0,25 249,64 255,06 308,14 435,05 248,86 259,50
-0,50 139,05 143,06 186,68 414,74 136,54 148,34
-0,75 86,99 88,94 113,45 304,29 84,89 92,63
-1 64,00 64,58 77,60 202,87 62,64 66,77
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0
200 400 600 800
α
ARL
karta K karta A karta mA
n=10
ARL=350
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 200 400 600 800
α
ARL ARL=350
n=50
karta K karta A karta mA
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 200 400 600 800
α
ARL
karta K karta A karta mA
n=100
ARL=350
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 200 400 600 800
α
ARL ARL=350
n=200
karta K karta A karta mA
Rysunek 2: Porównanie ARL dla karty Kendalla, karty autokorelacji i zmodyfikowanej karty
autokorelacji dla kopuły FGM o brzegowych rozkładach wykładniczych Exp(1). ´Zródło da-
nych: opracowanie własne.
W ostatnim podrozdziale rozdziału 5 zaprezentowano zastosowanie zaproponowanej karty Kendalla na dwóch przykładach - dla danych rzeczywistych i symulowanych.
W rozdziale 6 zaproponowano rozszerzenie karty kontrolnej Kendalla do postaci rozmytej, tak by mo˙zliwe było jej stosowanie równie˙z w przypadku nieprecyzyjnych danych. Do opisu nieprecyzyjno´sci danych wykorzystano teori˛e zbiorów rozmtych. Jej podstawowe poj˛ecia po- dano w podrozdziale 6.1. W podrozdziale 6.2 przedstawiono rozmyty odpowiednik statystyki Kendalla dla seryjnie skorelowanych danych (3.1). Mianowicie, przyjmuj ˛ ac, ˙ze ka˙zda rozmyta obserwacja ˜ Z
izdefiniowana jest przez α-ci˛ecie [Z
i,Lα, Z
i,Uα], 0 < α ≤ 1 oraz korzystaj ˛ac z za- sady rozszerzania, zdefiniowano α-ci˛ecia dla wielko´sci V
i(3.2) w nast˛epuj ˛ acy sposób:
V
i,Lα= min
zi∈[Zi,Lα ,Zi,Uα ] i=1,...,n
card
j6=i{(z
j, z
j+1) : z
j< z
i, z
j+1< z
i+1}
n − 2 (3.8)
oraz
V
i,Uα= max
zi∈[Zαi,L,Zi,Uα ] i=1,...,n
card
j6=i{(z
j, z
j+1) : z
j< z
i, z
j+1< z
i+1}
n − 2 (3.9)
dla i = 1, . . . , n−1. Znaj ˛ac z kolei α-ci˛ecia [V
i,Lα, V
i,Uα], 0 < α ≤ 1 dla ka˙zdego i = 1, . . . , n−1 bezpo´srednio wyznaczono nast˛epuj ˛ ace α-ci˛ecia dla rozmytej statystyki τ Kendalla:
τ
Lα= 4 n − 1
n−1
X
i=1
V
i,Lα− 1 (3.10)
oraz
τ
Uα= 4 n − 1
n−1
X
i=1
