MISCELLANEVM
GEOMETIUCVM
In Quatuor partes Diuifum.
'n quorumprima »agitardemenfura» & centro grauitatis quorundant folidorum à Geometria nondùm considerator um.
dnjecundaide centris oquiUbrij in bafibus, <ճրgrauitatis in altitudinibui quampluriumtruncorumcylindricorum diagonaliter
refeił árum.
cerram
quamcirca bafim.
AVTHORE
I. STEPHANO DE ANGELIS
VENETO,
У E N Е т 11 s, M DC LX.
лг
Apud Ioannem La Noú,
*p ՃՀ MI s 5 r;
ŕ
* ч,
л>
• xj
>
/
Ժ
Z ծ Tél
■ V
'Հ
WyższaSzkoła Pedagogiczna w Bydgoszczy Biblioteka Główna
llluftriflïmo arque Excellentiílimo Equiti
PETRO BASADONNA
Ad S^nčtiílimum D. N.
alexandrvm vil
P- O. M-
VENETO ORATORI-
F- STEPHANVS ANGELI VENETVS
Ord. lefuatoriim S. Hieronymi,ac inProuincia VenetaProuincialis Definitor.
Eauítiílímam Perennitatem.
A ergo, me, fiüußriffime 5 atqueExcel- lentißfime Eques , ac Senater,ext it ere femper, hodieque fant humanísima be-
neficentiœ Tua prometa, >~ut recenfire eadem qm ^jdit, non epddolam die, ոճ»
lib'rwfä, fed. bibi’,otbe cam pene confinat ' edSsßt, Cfpqtíe <Ղ>ոստ ego, qui arcanaanimi confientia^
grataqs podusmtmwiaquid tot t anti fue beneficias deb^m
a z taci* /
Jß/Zuf/ca jRk&g/MÚ fdw/Æ, dŕ fWÁÍ4%;W(7rw# HfrMWjDdŕrocwM ,
4^0 4c^/r;^»,
cyf/ľ^?4rf%jr, 4W4%^4, G?f#n
jß%4, #¿4 ^»^477 4¿ wc-
nŕo jp^f .
STAfj# ffdľ/Sr/ff .Wear-
¿fráz#, ;w%/Z%gWŕ //Åra /%со (S/arrau ^r¿yn4r«w /%%;,*# imperatlaudion ; quin nec fat is encomio earn cumulat Hif
Veneta Reipublicz Oratorem Petrum Bafadonna excipiens ¡ Brixiana Prafwrd/ŕrrfď ;%frrrrgwzwj rz/ÿifra
wor/^j ; ք՜ք*քք«յ JŕJť«wr«w,/ť(f Blagnorum Sapientum confefus naere Petrum, hoc eßэ /rw/ýKw^ ¿ó/»wc»^»zrf cw%p/f.w- Fr/wwj a Prwf^f Zwrwjr ^«^дГт^д/д Co«/%Z rium 5 fcma demum aurea, rot ohmerat m ‘Beroßore, Le-
jPdrWM; &%g%4 4z/w^4Z«r4.
cAtvero Bafadonnæin noscantíos Familia beneficentiam v/#4 f%r%6f wfrdwjoannem
/orr«^ryj^W ,4^.
/%/zgzŽ
*
^-
lifsimus Fecior Հ omnia pene Senatus munia quotidianis repetens Purpur is cunfåos attigit 5 qutbus ßt tnhiandum potior es Gima titulas . Num porro infinitan։ erga Excel- lentiam Гааги di bit or um meorum enumerationem eximie cencluderint HluftHflimi & Excellcntiflimi D.D. Hie- ronymus э Joannes, & Antonius Fratrum tuorum fg~
licfsima Trias , qui áureo Fraterni Equitatus ornamente
Sra»t”‘« РагРи™ ßclmtes , qMtttOT W(ed
M GŁr« ^ vidriMica Currum f(licit»tis m triumph»»
^8Ȁ=j:
,йг‘<та'«cordât«semteiUiftimum W» j T«»ճ».
h- Excellentne ¡ cutcummultts alijs, tum boc
■
LECTORI I
BENEVOLO-
Bftupefccs fortafie Lećtor, feriem, progrefiumque noArarum ehicu- brationum mente obuoluendo . Breui etenim menfium interuallo tres libelles euulgauimns : nimi- rum, Df Infinitis Par abois &с՝у Mi-
/r/bßfüm # Afýcŕ^-
пентprafins՝, doârinas enucleanres, quævnicopo- tuiifent volumine comprehend!. Ira eile liberé fa- temur, ас fie euenifíet , fi tarnen omnia nobis eo- dem occurriiTent tempore. Verum fucceíliuè nu
gas hafee geométricas contemplat! fuimus 5 vici- bus ergo diuerfîs tibi ipfas communicauimus. Ex- cipe cas, & forfan, (dummodò rebus geometrids deleâerisj non futilem ex eiscapies voluptatenu.
Sed amató Ыгег geometria imbutus noli ad illa,
i as
HAtiendo oßeruato per fededel P. Inquifitorenonefferuinel Li bro intitoiato MifcellaneiimGeometriáim del Pad. F. Stefta- no de Angelis cofa contro la Santa Fede , e parimente per atte- 'ftato dal Segretario noítro niente contro Prencipi, ò buoni co- ítunibconcedemo licenza, chepoífieifere iłampato,doñeado oíTer- uartigľordini) &eПегас prefentatc dyecopie per le prefente Libră
rie di Padoa, e di quefla Cittá,
Dat. dalMagiít. nolíroli 21. Marzo 1660.
Sziianne Donado Ref.
CNicolo Capello Ref.
AlemanteAngelo Donini Segr.
incultas Treuerenâtfsimi Patris Generalis.
Landetnr lefits Chrißus.
OPus infcriptum, Mij'cellaneum Geometriáim,compofîtiimabAd- mod urn Reu er.P.Stéphane de Angelis Veneto ProieЛо Notłrf Ordinislefuatorum, ac inProuinciaVenetaDefinitore,concedimus Typisdemandan, dum modo babear necesarias licentias, & appro
bations , quç de iure funt necefiarif &c. In quorum fidem prefentes manu propria fubfcripfimus> ac proprio Noítri Ofticij figillo тя- niuimuș.
Datum Brixie iu Noítro Monaíterio Corporis Chrifti, die 26. Ia֊
nuarij i66e.
Fb AntoniusNouellus Gen.Ieíiiat.
Lqcus Sigilii,
ML
<¿l 'ճՅՃՀՋՃւճ ՀՏ5*ճր
Լճչ՝,
Miscell anei
GEOMETRICI,
PARS PRÍMA.
*N Q.VA PRÆCIPVE AGIT VR
de meniu ra, & centro grauitatisquorundam folidorum à Geometria nondum
confideratorum t
ľ ROPOSITIO PRIMA.
4Х/, ŕ^g ¿M/rnc; /3/^.
Л5 AUts ex reitolutione partis figura gemtricis^bficifia ձ JUWOyZćWZff , Г^/^ГД 4^ 4^W, dr^4x/w/ťnr
^taitsfiol do rotundo^ orto ex dimidia figura, genitaa
r^0^r4CZľMM/W«W^W рЫ
mmcMуз//^ ;
pWens propoiitio defumicur ex Torricellio in A ppendiccde dimenfione cochleæ,lem pri Efto .olidum qucdlibct rotundum ABC, drca_
A axim
x Mifcellanet Geometrici,
зхіт B D, quodintelligatur fedum piano E F H, áequidiftanteraxi B D, & ere&o ad figuram gene- tricern AB D; & intelligamusfemifiguram GFH, rotari circa FG, ас genitum efie fob'dum E F H.
Die ohoc, æqude efieannulolato , orto ex A F G, rcuolutacirca BD, & hoc tam fecundamtotúm՜, quam fecundam partes proportionates . In FG, fumatur arbitrage , pundum I, per quod & per punda K) N, M> intelligaturtranfire aliud pla num, plano A E CH , parallelum. Ergo hoc cric círçulus , aeproinde, panda K, N, M, crunt in fetnicirciíli periphætia, cuius diameter eft k M. Erit ergo quadratum IN, æqualercćłangulo KIM.
Paricerque, armillacircularii ki M, genita ex re- uolutione kl, circa OD, erit æqualis circulo, cuius femidiameter IN, nenipecirculo fado in fo- lido EFEE, aplanofecante. Sed hoc verum eric, vbicunque fuerit acceptum pundum I. Ergo om- nesarmiiiæ fimulfolidi ex A FG, circa BD, squa leseruntomnibus circulis fblidi EFH. Ergo foli- dum erit aquale folido ipfo. Quod vero often fum eftde rotis folidis, pater, eodem modo, veri ficari de partibusproportionalibusi v. g. de partibus inter- ceptis inter plana kNM, AECH. ^are pater propofitum.
SCHOLIVM I.
*
Supradida propofitio, in tali vniuerfalitate pro-
Print. ?
pofira, non videtur probationem recipere pofte, nifi incomparabili methodo indiuifibilium . Jn folidis veroparticularibus, etiaminfimtis, & quideminfi- nitis modis diuerfificatis , poterie comprobar! me
thodo antiquorum per inferiptionem tuborum cy- mdricorum in annulo , & cylindrorum in folido»
Hæc vtique expertis geometris nirnis fiintobuia;qua- Fead alia tränfeámus. Sed antecætera præmittamus
•'Vо
íimusjinqub
A շ bus*
póftremkdiľl^GalÍleÍ Par»do,um > quod habet ia bare circuli 1105,2 vbinititur pro-
“ՀտՃճ^ՋՋՏ:՛
ą MifîelUnü Geometrici,
bus veftigiaGalilei fequentes , ac dutntaxat folida*» variantes, idem fequi > difcurrebamus. At in fcho-
lio %, propofit.30. Mifcellanei noftri hyperbolici, &
parabolici , manifeftauimus difcurfum Galilei , &
confequenter noftros , baud geométricos fore, fed phyficos folummodo . Vifum fuit amico noftro de geometria benemérito, nos rigorose n im is Galileum obiurgafle, adhibendo verba paralogifmUc erronei difeurfus , vt loco citato licet intueri. Quare te- ftamur Deummunquam noftrum intentum extitifle,
Galileum maledidis laceffere, fed ilium femper ve
neran fummopere. Sed ad paradoxem redeuntes, innumera funt íblida, quæ Galileo inferuire pote- rant, pro fuo paradoxo confirmando . Etenim, fi quodlibetíolidumrotundum ABC, præfentis pro- pofitionis , in alteram partem deficiens, & adpun- áum В, terminans , cuius infinitas propemodum poffunt fpecies reperiri, fececur, vt dićłum eft , &
hant, quo: fupra,-paradoxum probabitur. Cum enim probatum(it,armillam circularem к IM, æqualem fore circulo , cuius femidiameter IN, & cum an
nulus ex AFG, circa BD, definat incircumfe- rentiamdeferiptam a puncto F, moto circa BD, ôc fol idu m E FH, definat in F 5 patebit iuxta Ga
lilei difeutfi m, illam circuí* ferentiam æqualem fo
re punćto F. Imo, pacebit id > quod minime pa
tait , песin Galileidifeurfu,песinnoft ris alias habi
tis . Semper enim vertex folidi, qui oftendebatur æqualis circumferential, erat quid diuerium abipfa
circum-
nam femper eratcentrum ipfius 5 at effec
* Cntr* F> vercex folidi F F H, viderur idem c cu m F, punao,àquodefcribiturcircumferen- X«™ k æqualis,, Quare videturcon- eiudendum,vnicumpunctum circunferencia?, æqua-
e rore tou Crrcumferentiæ. Sed quæfo non alluci- netur leâor , quin attenté confident , phyfice lo- qutodo. Hla punćta F, diuerfiffimą effe ab Licem.
1 prout eft vertex phyficus (elidi ÊFH,
£еот^гісе corpüículum quod am ipfius ii nS VIla me^etas vergit in cauam partemannu-
^necarcumferentiamàpunâo F, circa B D, de- p am, îngreditur. His per tranfennam véluti^
expli.
6 Mifieliánét Geowstriciy
explicatis, progrediamur ad finem princîpaliterin֊
tentu m.
<լ
scho l ï ѵ м il
In præfenti ergo propofitîone , oftenfa fuit æqua- liras, inter annulum latum ex AFG, circa BD,
& interfolidum rotundum EF H, nonfolum fecun- dum totum, verum etiam fecundum partes propor
tionales. Attenteautem confidcrantido&rinam tra- ditam innoftrolib. 4. de Infinitis Parabolis,;paflitn.
que adhibitam in noftro Miicellaneo Hyperbolico,
&c, facile innotcfcet, folida prædida, eiïe quanti
tates proportionaliteranalogas, tam in magnitudi
ne, quam in grani tate » tamfecundum to tum, quam fecundum partes proportionales. Quare euam pa
łam ei fiet ex propofit. 15. lib.4. centra grauitatis horum folidorum, eodem pado fecare O D, FG.
( fijppofita OD, æquali F G ) Dato ergo cen tro grauitatis alreriushorum folidorum, ftatim eli- cietur centrum grauitatis etiam alten us , & hoc fem per.
SCHOLIVM IIL
4 ■ I t; .
Sednon minus rfi attente confideranda , acme՛
rnoriæ commcndända fequens doćłrina . Figuræ A FO D, íntelligamus circumfcriptum rcćtangu- Խա T D, ficutifiguræ A FGJit circumfcriptum
ledan-
Раг/РуІПіл. ■ 7
re&angulum T G, intclligamufque hæc rećbngula rotari circa O D. Pater mani feite, ex rotatione re- ćlanguli TD, genitumeíTecylindrum T C, exro- tationeveroreâïanguli T G, generări tubumcylin- dricum TGZj fiergointellexerimusplanum fFH, prius dućlum , ас fecans folidum ABC, extendi hincinde, vfque dum fecet cylindru m, (quodtatnen fchemate non exprimimus, ad euitandam confufio- ncm) patebit planum fecans talem cylindrom, eße p2rallelogrammum. circumfcriptum figuræ EFH, асex rotatione ipfius dimidij circa F G, genitum elle cylindrom ftringentem folidum itîdem EFH.
Lie cylindrus circumfcriptus, vigore præfentis pro- pofitionis, æquatur tubo cylindrico TGZ, tam fecundum totum , quamfecundum partes proportio
nales. Cum ergo etiam annulus latus ex AF G> cir
ca BD, fit æqualis folido rotundo EFH; fequi- rur , quam proportioned habet tubus cylindricus TG Z, adannulumex A F G, circa BD,eandem habere cylindrom ftringentem folidum EFH, ad ipftim . Data ergo ratione, vel tubi cylindrici, ad annulum, vel cylindri aJ folidum EFH, quæcun- quciiîa fit, quædetur, ftatim habebitur aHa ratio data-..
Exdoćłrina ergo præfenti, maiori, qua nobis li- cuit > diligentia explicata conabitnur impofterum-, colligere menfuram, & centra grauitatis quorundam fojidorun),interqtie eruntnonnulla, dequibus nul
lás geometra pertraćlauit. Porro prius animaduer- tetur,
8 Mtfiellanei Geometrici)
tetar, nos in hoc opufcuïo , adduáuros cítationeá noftrorum li brorumde infinitis parabol is, mifcella- nei noAri hyperbolic!, & parabolici, & operis prz- fentis. Dum citábimus libros de infinitis parabolis, adducemus tantum propofitionem, & librum. Vg.
expropof.20. lib. pri. Dumcitabimus mifcellaneum, dicemusex propoficione tali miícellanci. V. g. ex pro- pofit. 20. mifcel. Dum denique nominabimus prz- fensopus,dicemus abfolutèex propoficione tali. V.g.
ex prop. 2o.fi eriteiufidempartis,at fi eric alcerius,hoc etiam exprimemus.V.g.exprop.zo.pri.part.
PROPOSITIO II.
Si quodlibet conoides parabolicum , cuius exponens fit nume՝
ruspar, fice turnytin ant. propoßt. ptjannulo tilt, fit cir-*• cumfiriptus tubus cylindricus^exponaturque portié para- bebecuiusaxisfitœqualis axi conotdtsfi^ cuius exponens, fit fiibduplus exponents conoidis D refina linea axipa- rallela', quafit œqualis axi annuli, cut etiam fit cir- cumficnptum refitangulum . Tubus cylindri cus circitm- fcriptus annulo, ent adipfium, «՜սէ refit'angulum circum- fcripTum portioni, ad ipfim, tarnfiecundum tot um,quam fecundumpartesproportionales •
SOliduniergo ABC, antecedentspropofit.fit quodlibet conoides parabolicum, cuius expo
nens fit numerus par,fitquefećłum vt fu pra ; & annu
lo ex portioné A F G, circa BD, fit circumfcri- ptus
Tdfj Primi, ջ
tubuscylîndricus TGZ. Supponamusetiam и
aãglii
B lam
՜ , ., • л ք o MlfcellaxuGtõmetrici,
lam lincae DC. Quoniam, in parabola ABC, ge* nitriceconoidis, eft vtpoteftas A D, ehfdemgra- duscumconoide , ad fimiíçm poteftatem F O, fie DB, ad ВО ; ex natura irifinitariim parąbolarum explicara in lib. pri. & pariter in alia fc«иipar .bola BBC, eft ve DB, ad BO, fie poteftas DC, eiufdemgrad us cum femiparabol a, ad fi mil em poce- ftatem О Р; ergo & vt inconoide , poteftas A D ,
eiufdem gradns cum ipfo, ad fimilcm pote ft atem—*
FO, fic in femi parabola DBG, poteftas DC, eiufdem gradus cum ipfa , ad fimilem pcteftatem OP. V.g ficonoides ABC, fitquadratoquadra- ticum , fcmiparabola DBG, fupponi debec qua- dratica: vtergo quadratoquadratum AD, ad qua-
dratequadratum FO, fic quadratu m DC, ad quadratum OP. Cum ergo ex hypothefi , expo
nensconoidis, fupponatur duplus exponents femi- parabolæ, congruent! modofubmultiplicando tér minos , termini vltimi crunt proporcionales ,• nem* pe cric vc quadratum A D, ad quadratum FO, feu GD, fic DC, linea,ad lineam OP, feu D Ergo & perconuei finnemracionis, & conuertendo, eritreftangulum A G C, ad quadratum AD, vt QC, ad DC. Parirer, non difiimili modo, pro* babimus, eftequadratrm A D, ad quadratum k L, vt DC, ad LM. Quare,cumprobatumfic,etiatn (fiequadratum AD, ad quadratum FO, feu 1Խ vt DC, ad OP, feu LB; eritcriam & vtqua՜
dratum AD, ad difFerentiam quadratorum KL, L1,
II
ւ։ (nempeadreâançutam КГМ) fic DC, ad ditterentiamipfarum LM, LR (nempead RM), iedetiam probatura eft, reäangulum aGC, efte ad quad: atum AD, vt ąc, ad CD. Ergo ex vVv *1 er*tre^tangulum .A G C, feu redangulum
vlx> adreâangulum kIM, vt QC, feu XR, ad RM. Ergo & vt armillacirculans V I X, adar- mülamcircularem Kl M, fic RX, ad R M. Cum vero pu nótum L, fiimptum fuerit arbitrarle, crunt omneslinea:parallelogrammi QZ, parallel QC, ad omnes lineasportionis QPC, itidem pa-alíelas
4.ț- , vtomnesarmillæ tubi tylindrici T G Z, pa- lailclæ armillar aGC, ad omnes armillas annuli
B i ex
iг Mifcellanei бйѵйігкі >
tx AFG, circa ÇD, itidem parallelas ACC.
Et coníequénter vt QZ >-ad QPC > fie tubus , ad annuhtm, Quod &c.
SCH О LI VM L
Propofitiononfolum confirmări pote ft methode indiuifibilium , fedetiam archimecea 5 quia in fupra- dićłismagnitudinibus, poffunt fieri inferiptiones fi
gu rarum ; vtmediocriter in geometria verfatis, pate
bit. Sed adnotetur, quodmagis intereft. Nempe, in propofit. i ) .libri prim, aflignatam fiiiíľe ration emу quam habet parallelogrammum QZ, ad omnem portionéin parabolæ Q PC . Quapropter habebi- mus etiam rationem , quam habettubus T G Z, ad prædiétum annulum. Particulariusetiam tenebimus, quod, cum fuppofito ABC, conoide parabolica quadratico, QPC, fit triangulum, cuius duplum eft parallelogrammum QZ$ tenebirnus eriam, tu
bám TGZ, femper, in illo conoide, duplum fore præfati annuli. Șicuri ergo, cylind us circumfcri- ptustoticonoidi ABC, parab dkoquad ático,cit ipfius duplos, vt confiat exArchimcdeirrkb. de co
noid. & iphæroid. propci $.& vr nos d :monft,aui- niusf luriuus vic bus m neftris opcribus, pr fiitim propofit. 1$.lib.2.fictubus 1 GZ circumicriptus annuloeX qualibst portioné minori A F G, feruat talem ordinem, vt fit i. Ii s duplus.
1 Panter elickmus, coufequenter ad fir pe frpiu»
• repeti ta3
ParsPritna. 13
repétita,& mlib. & in mifcellaneo, & ètiam in propofit,antee. annulumpraedićbm, & portionéin QPC, eflequantitates proportionahteranalogas, tamtnmagnitudine, quamingrauitate, tamfecun-
um totum, quam fecundumpartes proportionales. Quare, OD, PQ, fecabunturæqualiter,illaà cen- ro grauitatis annuli, hæc vero à centro æquilibrij portionis, aíTignato in PQ, axi BD, parallela.
^um ergo inpropof. 15.lib. ;. fuerit aflr> natumeen- risriæT' ikrijin PQ¿ cuiuslibet portionis mino- í7raiiÍr1ľfCUn^l^.^ara^O^,^a^>e^>llTIUSetÍam€enCrUnl j.: j 1S m r pr^dićłi annuli. Particularius It dem, cumfuppofito ABC, conoide parabólico q a ratico,fit QPC, triangulum;асproinde,eiüs fitdľpľa^o fi,feCet Գ'յ’ V'g-in R’ vtPR>
Qi etiamcentrum grauitatis annuli dunl t1 neCrbK Ol?..vg.m L, vt OL, fit
tur priam Ŕ vero,ineadem proportion icce- àLríri A rp’ a cnentro ârau’lâtls conoidis qua.
atici ABC, vtoftendicuràmultis.&etiamàno- r ,m 4 ProPofir* MSÍèquitur» conoidesparaboli-
ÄS? » fimilem
SCHOLIVM II.
cunťfiľ lm*n c'lcâo,vtfupra։folidorotundo F. FH, Vt tubus тСг7ГсгіРю^lindro, fit hicadfoiidaui,
» ad annulum 5 fequitur nos habere ratio»
14 Mifcellanei Geometrici,
rationem taliscylindri, adfolidum EFH. EtCttm folidum EFH, fit proportionaliteranalcgumcum an culo5 fequirurin F G , nos habere centrum gra- uitatisíolidi EFH. Sed particularius in parabola quadraticahabebimus, cylindrum, duplum eífefo- lidi EFH,- & FG, fic íccari v. g. ab I, centro graüitatis, vt FI, fit dupla IG. Sic autem eile, necelie eft ; quia EFH , eft vera parabola qua- dratica . Nam, duda IN, parallela GH, iam probatum fuit > redangulum AGC, nempc qua* dratum GH, efle adreâangulum к IM, nempc ad quadrature IN, vt QC, ad RM; nempevc QP, ad PR (quia Q PC, efttriangulum); Пет ре vt G F, ad Fl. Eft ergo EFH, vera parabola quadraticaex primi conici propcfitio. Quarepater, quod fedo conoide parabólico quadratico , plano eredo parabola? genitrici А БС, & æquidiftanter axijfempcr fedio EFH, eritparabola quadrarica.
Scifciranti autem, an hocverificetur etiam inalijs conoidibus, nempe, an & ipfis iedisprædidomo
do, fediones fint para bc læ. Reipondebitur nega- tiuè. Qu cd quidem fi experierur, facile componer.
Nobisautem fufiiciat,eum remitters ad Apollonium pri. coni, propofit-12.vbi ait, quod fi conus, qui eft primum conoides , fi cetur prædido modo , fedio Bonerittriangulum, fed hyperbola. Benequidem infra oftendemus, adplemorem feientiam, quod fi conoides hyperbolic urii ficfecetur,fedio erit hyper bola. Et pariter, quodfi lphaera, &jphæioidesdi
cto
, - t Parí Prlntd Հ 15 do modo íečentur > fediones erunt, in fphæra qui dem circulas, in fphæroide veroellipfis. Sed adco
noidea parabolica redeamus .
In quibus, non modoea, qux dida funt> verîfican- tur,fed etiam,quod cum annulusex A F G, & foli
dum E FH, fint magnitudines proportionaliter ana
logue, tam fecundum toíum, quamfecundum partes proportionales; in conoide parabólico quadratico, traieto plano VX, pa^allelo AG; habebimus, &
rationettttübi cylindrici VGX, adportionem an
nuli, quam includit, & in DL, centrum graüitatis talis portionis annuli. Racionem tubi VGX, ad fegmentum annuli, habebimus ex fchol. 2.propof.
15. lib.2. centrum vero graüitatis, habebimus ex íchol propofit. 15. lib. 4.Colligemusenim ex dido fcholio, talecentrum , fie Pecare I G, vt pars ad I, terminata, fit ad partem terminaram ad G> vt du
plum redangulum AGC, cum redangulo KIM, ad redangulum duplum к 1М, cum redanguloAGC.
liro colligemus ex codem fcholio, tale centrum . graüitatis, ficfecaremediam tertiam partem IG, vt
pars propinquior 1, litad partem G, proximiorein, vtredangulum AGC, adredangulum klM.
SCHOLIVM in.
Rationem tubi TGZ, ad anmlam ex portiont A FG, circa BD, & Confequentei cylindii ad foli
dum EFH, quod includit, poiTumus habere ex alias à nobis
♦
Jefötoms^
ճ x
ï б Mifiellanet Geometrid,
à nobis di^îs, alio modo, &quidem vnítierfaliter ia quocunque conoide parabólico , Nam, cum ex hy* pothcrLdenturtam A D, quam FO, feu G D, fa cile criam patcbit, dari radonem rećbnguli AGC, ad qiiadratum A D; nempe armillæ AGC, ad cin.
culum A ECH; nempe tubi TGZ, ad cylindrum TC, Cum veròex fchoL i. propofit. r j.lib.z.detur etiam ratio cylindri T C, ad fegmentum conoidjle A FPC; dabitur etiam ex æquali, ratio tubi TG Z, adfegmentum A F P C. Sed & tubi ad cylindruna F Q» Ergo& tubi adannulum.
Item ex fchol. propofic. 15. lib.4.facile eliciemus, alio modo, centrum grauitatis annuli prædidti, fed cuius exponens fit numeruspar. Nam,ex didtofcho- lio,habetur centrum fufti conoidalis A F PC. Ha
betur etiam centrum cylindri FQ. Ratio annuli ad cyl ind rum FQ , non ignoratur . Ergo habebitur centrum pracdićti annuli.
PROPOSITIO HI.
Si reföd A B, jitfieföa mpunföis C9 ЧХ BeföüngulwmJuh compoßta ex AB, &ex C D, &/ քսե BD, entexceß fuSr(ïïanguli ABC,Juprareföangulum ADC,
V---է---ծ
N Am rectangulum ABC, diuiditur in rectan.
gulum ABD, &in rectangulum AB, CD.
Item
Pars Prima. ■֊ '17 Ítemrectangulum AB, CD, diuiditur in rectangu- * la ADC, CDB. Ergo exec fl s r< cranguli A B C, fuprarectanguhim дос, erunt rectángula ABD, CD В,- nemperectangulum fub compofitaex AB, CD,&exDB.Quod&c.
լ
PROPOSITIO IV.* ֊
.9/ pro.
tra^fuerfium y erit compofita exlatere trau fiterfo conoidts,
...
Esto conoides hyperbolicum A BC, cuius axis , äius tianfuerfum H B, & conoides fit 1C ecuinplano F EG, æquidiftanter axi B Q, & ad
rompofiiæex Hß,&exdupla BL, exceíTu BD,fu- p a EO. Dicofiguram F EG, effe hyperbolám,¿u-
À bc tranfuerfl,mÄE* Ducatur i" hyperbola я
finnem rad reaangUlum HLB;ergo&perconüer-’
ntm ratlOûls > & conuertendo, erit rećtangulum
C A OC,
А ОС, ad quadratum AD, vt excefus reőa-iguli HDB, fupraredangulum HLB, ad redangulum HD B; nempe ex propofit. antee, vt rcćtangulum Tub com pofira ex HD, &ex B L, &fub L D( Пет ре re¿tangulum К OE ) ad rcćtangulum HDB.
Rurfum,eftquadratum AD, ad quadratum MP, vt redan gu lum HDB, ad rcctangulum H P В: fed crac eriamquadratum A D, ad quadratum F L, feu NP, vtreccangulum HDB, adrcctangulum HLB;
ergo
Î
Pm Primaip ergo encidem quadratum Ad, ad diferenciam qua-
dratorum MP, PM, nempea Ireqtaògulum MNR, vtreccangulum HDB, ad diferenciam rectangulo- rum, H PB, HLB; nempeex propofit.anteced.ad rrectangulumfub compofita ex HP, BL, & fub PL;
ncmpeadreccangulum к NE. Quire ex æquali,eric rcctangulum A OC, nempe quadratum O G, ad icctangulum MNR, nempe ad quadratum NQ>
vtreccangulum k O E, ad rcctangulum K N F.Sed punctum N, íumptum fuit arbitrage; ergo FEG, Quod crac oftcndenďuni *.US *“** tlanfuetfum k E*
SCHOLIVM i
Ex fignra int el liga mus fieri conoides hyperboli֊
cum E G, & mente corícipiamusipfi circumfcri- ptum c cfuurncylindrum, ficutiannuloex ÄEO, circa B D, ílium tubiim cylmdricum . Patebit ex
upra dictis, tu bum ad annulum, & cylindrum ad conoides, habere eandem racionem. Quare ex pro- po it. j. 7. & 11,mifccll. patebit, tubum cylindri* cum, efeadannulum, vt Ko,ad dimidiam KE, vnacumtertia parte EO.
Infuperex fuperioribuspatebit, annulum, &co- oides Fxi G, efeqtiantitatesproportionaliteraaa*
t>as,tam in magnitudine, quam ingravitate, tam ecun um totum, quam fecundumpartes propor rio-
ales. Patebit ergo etianacentrum grauicaeis ann^
C a li in
Q
շ q M ifi ellhet Geometrid t
ii în LD. Hoc autem, vel ex propofit. 13. mifcelL' ita diuidct duodecimarnpartem LD, ordinèquar* tarn à D, vrparspropinquior D, fit ad reliquam^
vt dimidia k E > ad tertiam partem E O, feu LD.
Vel expropof. r^.eiufdem mifcclî. itadiuidccquar- lampartem LD, ordine fecundam à D, vt pars propinquior D, fiíadreliquam» vtfextapars k E, ad tertiampartem к O. Veltandemex propofit.44' ciufdemopens> itàdiuidit vtpars terminata
... ; ) ՜ ‘ ad
ЗП , o î , ՚ ;ւր,ո
л/ ' ՚ ՛""!՛ -՛ - ՚ . : i-՝֊
* Հ tilt Nj լ il tt ՝ p’ ■ • - ;
PROPOSITIO V
» /. . . V՛;. V* V., Դ fphtfroiiiesßcefttttrútinantecedentes propa-
Eft»
«V Pwi Prim«;՝ ' < . it c
»d L, fit adreliquam,vt kE, cumfubfefqùitértia E O, feù LD, addimidiam k E, cumqaartapar
te LD-
SCHOLIVM II.
Sed cum prxdictus annulus, & folidum FEG, fínt quantitates proportionali ter analogæ, non tan- >
tum fecundùm țotum , fed etiam fecundam partes >
proportionales 5fequitur, partem annuli ortam v. e<
exrotat,one figura; A M N O, circa BD, eile pro- portiona iter analogam cum parte iolidi ortam ex rotauone ON^G, circa EO. Pars ergo tu bi cyhndrici circumfcripti ՛ parti annuli ex figura.,
enc ipfum , vt cyl ind rus circumfcri- ptus fruftoconoidi ex ON QG, ad ipfum. Ex pro-¡ po iț.ergo 15. mifcelL éritprædi&apars tubicylin-
Pra?dićiam partem annuli, vt rećiangulum, КОЕ, ad rcâ-angulum к O, EN, vna cum№ tiangulofubcompofíta ex dimidia KE, & ex tercia parte ON, &fubtercia parte ON. Item expro
pont. 17» cit. milcelL habebimus in PD, centrum grauitatis frutti annuli ex fegmento AMNO»
circa BD ľ *
՛_ Г v í
1
гі Mi/се lianei Geometricii
ESto fphæra, ¿ fphæroïdes, quorumaxes B D, fi gurar genitrices A BCD, centrum E, & Lrc folida fint fećla plano HGК F, vt fupra. Dico, planum HGKF, e(le reí circulum, vel ellipfim.
Secetur G F, bifariam in О, & perpuhćU O, E, ducaturaxisconiugata A E ОС, apunčtovero О, exciteturin femifigura GkF, linea Ok, normá lis GF, fumptoque in GF, quolibet pnnćlo N, ducancur LMNQj NP, parallelæ AC, Ok;
item pcrpunćła G, F, ducantur S R G, T VF, pa
rallelæ AC. Quoniamexhypothefi, ABC D, eft velcirculas, vel ellipfis, ergo exprim, conic, propoil շľ. érit quadratuni EC, adquadratum RG, feu EO, ytrećłangulum DEB, ad rcćiangulum DRB.
Etperconuerfionemrationis, &conuertcndo, eric rcćiangulum А ОС, ad quadratuni E C, vt quadra
turn R E, ad rcćiangulum D EB. Rurfum,propter eandem rationem, ell & vt quadratum E C,ad qua- dratum M Q, fic rcćiangulum DEB, ad rećłangu- lum D M В ,• &erat vtquadratum E Շ, adquadra
tum RG, feu MN, ficrcćiangulum DEB, adre- ćlartgulum DRB; ergo erit etiam vt quadratum EC, ad diflerentiam quadratorum MN, nempe ad rcćiangulum LNQ, fic re^angulurru DEB, addifferentiamrećlangulorum DMВ, DRB, nempeadrcćiangulum V MR ('ećtangulum enim D MB, dLiditur in rećłangula DM, R B; D MR;
Հ& redangulum DM R , diuidirur in remanga la_, VMR>
* & DY, MR, feu BRM;.quod cum BR,
Pr ints. 1Հ
г ^D, facit BRD) . Porró fupra probatuűt Ulc3 rectangularii AOC, effe ad quadratum ЕС, Vt quadratum R E, ad rectangulum DRB. Ergo схапан, erit vt lectangulum А ОС, ad rectan- gulum LNq^ fic quadratum RE, fcu rectangu- 1Llm I<EV, ad rectangulum VMR. Sedquadra- tum Ok> cftæqualerectángulo A OC, ficutiqua- dratum N P, æquatur rectángulo LN G. Ergo &
VMDaT1UmVER) feu FoG> ad rectangulum VMR feu FNG, íic quadratum Ok, ad quadra turn NP. Sed punctum N, fumptum fuit ajbitra-
егД° FSura НGkF, éritvelcirculus, velеШ- PUs* Ouod
SCHO»
2 4 Mi{ce[UwCe9m€tríci,
S с H Օ Լ I V M L
j ' "--•ՀՀ
Diximus autem , fectionem prædictam eíľe vel circulum,vel ellípfim , non quafi hoc verificetur in differenter; fed quia in fphæra quidem , eil circulas, in fphæroide vero eft ellipsis. Q¿od enim infphæra fit circulus, manifeftatum fuit à quamplurimis, &
quidem facile oftendipoteft. Quia cumparuolabo
re pa teat, rectan gulum A.OC, effeæqcale, & qua- drato Ok, & rectángulo G O F, parit,ér rectangiu Խւո LN Q, äquale eile, & quad rato N P, & re ctángulo G NF; feqiiitur, rectangulum F () G, efieæqualequadtaco Ok, & rectangulum FMG, æqualeforequadrato N P. idemqueoftenderetur dealijs; quare exPappolemmaté 2. fuper prim, co
nic. HGkF, érit perfedus circulus in fphæra-,.
In fphæroide vero non eft circulus, quia licet re- ćłangulum AO C, fit æquale quadrato O K, non tarnen eft æquale rectángulo FOG. Idem intel- ligaturdecætens. /
s с н о ւ i v м ii.
■
Sed vt proprius ad noftrum inftitutum acceda- mus, facile ex fuperionbus adnotabimiis, quod fi tam fegmento fphæræ, vel fphæroidis T AS G C F, quam fphæræ vei fphæroidi HGkF, orto ex férni- figura G к F, circa GF, rcuoluta,incellcxerimus
1 M i -, id .
, iA ՝ F-й Primi'.
<21 ? Հ
»- ЛІШ
՚ O. i
< ЛЬП ¡ՍՉՌ . ՛- >:ա
C
lídfJd nur
^±Pt0S^Índr0S ; fac!Ie inq«=« adnotabi.
■
"emcoLcfpondentis p’orciomstùbuadaZkmľx
гб M'tfcellanei Geometric^
fegme nto N QF. Item ratíonem tubi correfpoti- dentis, ad feg entum annuli ex NQ^O. Q^od 6 intellexerimus inter plana’LQ^ АС» traici aliud»
planum fecans omnia folida ; eliciemus etiam ratio-* nem partis tubi, ad hoc fègmencum annuli contend inter planum dućhim, & planum LQ Sedii intel- lexerimus dičíum planum traici inter plana TF, AC; eliciemusrationem partistubi adfegmcntum
intermedium annuli, concentuni itidem inter pla
num dućtum, & planum Լ Pro horum maiori intelligentia, infpiciatur fupradiftapropoficio, quia
ex ipía clarius, & ucundusdî&a percipientur.
Sed non folum hxc , fed eriam facileeliciemus ex' fuperioribus , annulum prædidtum » & folidum^
HGkF, efle quantitates proportionaliter analo
gas,cam in magnitudine, quam in grauitate, tam fe- cundum coturn , q,-am fecundum partes proportio
nales , Cum vero in propofic. 2.0. lib. 4. aflîgnaueri- mus centra grauitatis variorum fegmentorum fphæ- rx, velfph.croidis;confequemerhabebimusin R V, centra grauitatisomnium fupradidorumfcgmento- rum prxdiótiannuli. Hacvideantur incit, propofic.
folum enimadnotabimus.fcitu pukherrimum; Пет
ре, centrum grauitatis annuli ex OGC, Temper fic fecare RE, vt pars terminata ad R, fitad partem terminaram ad E, vc 5. ad 5. Quo modo íecacur B E? à centro grauitatis hemifphærij , feu hernii-;
phxroidis.
Antequaraetiamadalia tranfeamus,adao'crir, magni-
I /.1
>»« TrW* ; ir. 27
«lagnitudinibus proportionaliter analogis, de qui tusaćtam eft varijs in lotis, fed præcipuè in fchol.
3. prop.26. & mfchol.L.prop.45.tnifccll.addietiam annulum prædiâum. L-
io r(ü.3 :i 5 , ,ť f; í
PROPOSITIO VI.
Տ։ qualibee figura circa diametrum -boluatur circa par allt, lam atometra ։ daliam arel per extremitatem bafts,-uti extra afim. Armului latus exfirm figera exteriori,ent aqua is tn usfolidts, quorum duo fiat, qua oriuntur ex reuolutiom femifiguraCirca diametrum,aliudexreuolu- tioneetufdem vel circa porallelam diámetro dublam per extremitate։»fiabafissuel extro-,&hoctam fecundam
totum>quamfecundumpartesțroportimales.
HÆc propofitio facile intelligetur ex propofit.
30-mifccll. Sitergoquadibet figura ABC, circa (hametrum BD, quæ rotetur vel circa PC, nrim cam ?B’ ¿uctam. Per punctum C, vt in P • g* vel per T S, vt in fecundo fchematc. Di- co annulum latum ortum ex rotatione femifiguiæ ABD, (quamvocamusexteriorem,addifferenciám
° remate з & hoc quidem tam fecundeim to- sum » quam secundam partes proportionales. Pater,.
D 2 quk
u ■ О
■
Ï9
Հհ
1
I
>ț'
-e
% Л irs г
s
Т-Vi • i
Prima, i
■ ...
1Է Հ H
- J.V'Ü ր. ?Դ '■ ľ Л OLIVM.
Facile ergo ad módúm tot vicibus inculcatæ do* ctrinæpatebit 5 annula mex ABD, prædicto modo reuoluta , & tria prædicta fol ida, elfe quantitates proportionaler analogas, tam in magnitudine, quam in grauhace, tarn fccimdum totum, quam fe-
cundum parres proportionales. Quareri habebimus rationem trium cylindrorum circumfcriptorum ad tria dicta fplida, habebimus etiam rationem tubicy- lindrici circumferiptiprædictoannuload ipfum.Pa nter fi habebimus centrum grauitatis triumfolido- rum (until, habebimusetiam centrum grauitatis pre
dict! annuli. Ex hac doctrina, vtpatebit impofte- rum, variapoffumus elicere, tamcirca menfuram>
quam
У '
յ ... . ՚ ՜ quam circa centra grauitatis aliquot foüdorum, &
«um ։llorum,dequibusnUnqUam geometria loquu-
¿ձճճճճԴՃ
՚ „¡յՃ՞1՞ 1ոհոԱԱ” r«'O tríumcyliadronim ad
»-ձճՀՃՏճճճ^Տճ
/*
_ 1 e? Cln-cps nonagemus detali reuolutione nour$, íed tantum dereuolutione figura circa FC,
A inpri-
R
* ♦■■ V- Հ-/ր- - -r- v
18 Mifcellanei ____ ______
quia ex citata propofit. jo.totum Colidumortum ex rotatione totius figuræ ABC, circa FC, vel cir ca T S , æquatur quatuor folidis prædicto mo do , nernpeduobus ex ABD, çirca B D, & duobus ex DВ С, circa C F. Cum ergo foliduin ex ABC»
non íuperaddat Colido ex* A BD, circa F C, vel T S, niíi vnicum Colidum ex DBG, circa C F, vel T S;
patet Colid.um çx AB D, circa F C, vel TS, æqua- Ic effctribus alijss & hoc q u idcmtam Cecundum to-
tum,quam Cecundum partes proportionales,vt etiam magis patebit legend módúin in citata propofit. 30.
miCcel. à nobis obCeruacum. Quare patee propôíi-
■ ^՜՜ 4 4 4 .-e tum֊..
Э
/и v
і\м N о/f ľf \ -—֊'-j ,
/ т \ J
T:
շ:
L " F 1
... H - *
լՀչ/y / ՚
л---
l\h
M
>' M v
к Հ x\՜ * » ր\Գ . . ;
3
> i է Հ
՚
■ I
\
<■ \
\ i
\k
C c " T
"
* ՚՜ * ■ ճւ Jk 1
5o Mt/ceHunét ÔeàmÍtrtcl ,՛
in primo fchemite, vbi proportio data éritdeteraji* nata, & numero cxprimibilis ve plurimum.
PRÖPOSITIO VIL
Siquuhbet parabolu evoluatur «՞սէ inant.prop. Habitur rația tubi cilindrici ad annulumt
E Sto quælibet férni parabola ABD, cuius axis BD, parallelogrammum circumfcriptum fit EC, &intelligamus EC, cum ABC, rotari circa F C. Dico dari rationem tubi cylíndrici ex E D, cir ca FC, ad annulum ABDVHG, Namexpro- pofib 15. lib. 2. dantur rationes cylindri ex ED, fi- ue circa B D, fiue circa E A 9 reuoluti, ad folidaex
ABD, reuoluta tarn circa BD, quam circa EAj ergo dabitur etiam ratio tripli cylindri ex E D, re- uolutovtdičtum eft, adduo folida ex ABD, circa BD, fimul cum vnoex ABD, circa EA. SedeX propoiit.anteced. tubus cylindricus ex ED, circa F C , æquatur illis tribus cylindris , & annubs ABDVHG, æquatur illis tribus folidis. Ergoe- tiam dabitur ratio tubi ad annulum prædidum. Qua re &c.
SCHOLIVM L
Forró ratio hæc poteft etian numero exprimi, quamuis in tali progreilione non contineatur vlla
pul-
■
Տ֊ճտՋճճ
FC, '
PariPHwZ
а ցշ Mifcellanet Geometrici9
PC, ad annulos or tes ex rotations trilineorunu ДЕВ, circa FC, adJpfos. Jnprimo ergoannulo eritvt 9) ad 5. Infecundo vt 1 8, ad 7.,ln tertio VC 30, ad 9) feu vc 10, ad 3. Etficdifcurrçqdo.֊
SCHOLIVM II.
x * Հ
Sed vt principale intenrum aflequamur, intelli* gamusannulum prædiâumin fequenti fchematefe- carifemifigura DBX, ereda ad figuram genitricem ABD, acex reuolutione DBX, circa B D, geni* tu mcfíe folidum rotundum Z B X, & pariter ipfiin* telligamus circurnfcripcum cylindrum : habebimus raciones cýlindrorum tálium circumfcriprorum, ad infinita folida rotunda Z B X. hi primoergo annu* lo3 eritcylindrusad primum foliduťn, quod vtique ex prim, conic, eric conoides hyperbolicum, vt 9,ad 4. Infecundo, vt 18, ad 11. & fie raciocinando vt fupra. Exquibus patebunt ctiam per conuerfionem rationis, raciones cýlindrorum ad excefíus ipforum fupra prædidafolida.
PROPOSITIO VIII. I
Ճ;folida antee propofi.fecentur piano ba.fipar allele. DabituT ratio tubi cylindriciadfigmentumannuliad ba fim,tpiiod comprehends.
SOlida.antcc. propofit.fecenturpiano K R, pTa* no AZ G X, parallelo. Dico dariracionem
ISslgșș
I s»
E SCHO-՜
3Հ MïÇcelUnei Geometrici,
S C H O L I V M.
• . - . , —x • • > r f-—ж-. -4- ' Г • Sed cum dutia I*, parallela D X, Streuoluto Tegmento Dl>í<X, circa ID, ątque foli do orto circumfcripto cyîindro, fit hic ad ipfum folidum, ve tubus кDR, ad annulum ex fegmento ALID, circa FC, vt expíicatum fuit in fchol. 3.propoht.
15 fequitur dari etiam rationemcylindri circumieri- pti folido ex Tegmento DI>ЬХ3 circa ID, ad
ipfum-». - .. ...
Probautmus duas fuperiores proponcioncsfupra- ditiamepfeodo, vtillius vfus agñofceretur, fed datur aliavia facil io r, & fimplicior oftendendi has>& fimi- IesjquaproptCi fit.
PROPOSITIO IX.
í Prop)pûmesfèpùma, cCiаил aliter ргоЬлпіИГ • CJInt in primis eadem dara, quæ ín propofit,?-Dî-
¿Ъ со daci radonem tubi cylindriciex ED, circa EC, ad annulum ABDV HG. Nam ex corolL prim«propofit. ir.lib.a. habemus racionem cylindri EG, ad annulum coturn ABC HG. Pariier eX propofit. 15. eiufdem lib. 2 habemus raponem cy
lindri BV, ad annulum DBCHV. F go etiarfl habebimus racionem tubiex ED, circa F C, adan- nulumcx ABD, circa FC.
R
>
I
,՜ érit ad 2 ipfum Հ*. ,
Հ Pan Príma . Հ<
A Չ C "V G
pofit. 11. hb.X. datur ratio cylindri KG, ad fe^'
fegmentum annulare DlMCOPV . Quare da- VPQG^od&c. kDR1 adabnul“m ALID
SCHOLIVM.
MBB
E H
/ւ
X к
No/Т
v
1 1
M
L
16 Mifcellanti Geomtîrlci^
ipfum vt a.ad i, nempevt 12, ad 6.Sed cylindrus В V, quarta pars cylindri EG, eft ad annulling
D B CH V, vt 3. ad 2. Ergoreliquus tubus ex ED, circa F C, erit ad reliquum annulumex AB D, cir ca F C, vtp.ad 4. In parabola quadratics, cylindrus EG, eftadannulum ABCHG, vt3.ad2.nem- pévt 24,ad itf.Sed ex cit.propofic. 15. lib. 2. cylin- drus В V, eftadannulum DBCHV, vt 6, ad $ » Ergoreliquustubus ad annulumex ABD, circa FC, vt 18.ad ii. Et fieprocedemusin alijs.
PROPOSITIO X.
>
Si quxlibetßmiparabala, cuius exponensfit numerus par,
<voluatиг<~vtdiii um eß in prop. 7. babebimus in axe an»
nuligenții eius centrum grauitatis,
■
P Arabola ABC, cuius exponens fitnumeruspar, voluatur circa FC. Dico in FC, dari cen trum grauiratis annuli ex ABD, circa FC. Nam exfchol. propofit. ip. milcell habemus in FC, cen trum grauitatis torius annuli ABCHG. Ex pro- Pofic. 5 3. miícell habem us in FC, centrum graur taris annuli DBCHV. Ex fchol. 2. propofit. 11«
lib. 3. habemus radonem annuli exterioris A BP VHG, ad annulum interiorem DBCH V;( Տ1Հ enim appellabimusdeincepsbosannulos. ) Ergo ha- bebimuseuam in FC, centrum grauitatis annuli exterioris. Quod&c-
SCHO-
Pars Prima l 37
SCHOLIVM.
Poteritautem numero exprimí, in qua rationed cctur F C, à tali centrograuitatis. Nos autem hoc exprimebimus in tali annulo ex fem iparabola qua- dratica; & fi lećtor obferuaiierit methodum , qua vtemur, poteritctiam numero exjfrimerein alijs. In fequenti figura,centrumgrauitatisannuli ABCHG, fiediuidit FC, in S, vt FS, fit ad SC, vt nu
merus parabolae genitricisvmtateaučhis, ad nume- rum parabolae» exfchol.propofit.ip.miicell. nempe
ent ad ipfam vt 3. ad 2. feu vt 15. ad 10. Pariter ex fchol. propofit. 34. eiufdem mifceLcentrum grauita- ds annuli interioris DBCHV, fie diuidic F C, in
vt F N, fit ad NC, vt 14,3d 11. Ergo qualiuna tou FC, eft 25,tálium FS, eft 15, FN, 14; &
. » 1 • Brgoqualiuna NS, eft 1 Խ tálium FC, cric չ75>* & FS, гб)» Quoniam vero , vt colli- g’turex corollario 3 • propofit 4 lib. 3 . annulus latus exterior A B D V H G, eft ad annulum interiorom
B C H V, vt 11, ad 5 &fifiar vtanniiLs exterior adannuluminteriorem, fie reciproce NS, ad S Г, fit T, centrum grąuitatisannuliexterioris A BD V HG,- fequitur, quod qualium N S, eft 11, tálium T, fit 5. Sed tálium FS, erat < 6 j j ergo tálium FT, erit 170. Sed tálium tota FC, 273. Ergo re- liqua Г C, joj. T, ergo centi un grauitatis dićłi annuli exterioris parabolici quadratic!, fie fecabit
í. V/
I
g, in 1, ví
\ I
■ . kV'
PRO- է '.
■ ’ .
s сн olí ѵм.
_ Sed cum fol idu m rotundum cx Dl>bX, circa nDy^PrrOpOrdonalitcranaloSuminSrauitatecum praedićb fegmento annulari exteriori, nequáquam ftlíóLd¡niUS 1Ո ^^crum grauicatis talis ГгЦ-
PRO*
f. . Հ. 39
PROPOSITIO XL
Si quilibet Annulus antecedents propoßt. fecetur plano baß pay alíelo. In axe annuli habebimuș centrum grauitatis ftgrnentiannularis adbaßtn. ֊ ,
SEd folida antecedentes propofit. fccentur piano kR> baft AG, parallelo. Dicoin NC,nos habere centriim grauitatis fegmenti annularis ex
¿ íirca NCe Nam exfchol.propofit. շք.
feel, habemusin N C, centrum grauitatis totius fegmenti annularis ALMCOQG. Item ex pro- pout, 3 5. eiufdem mifcel. habemus ineadem N C,
grauitatis fegmenti annularis interiori։
1MCOPV. Necnonhabemusexfchol. շ.pro- pout. 11.lib. 3. rationem, quam habet fegmentum annulareexterius AL1DVPQG, adfegmentum annulare interius DIMCOPV. Quare eiufdem cgmenti exterioris non ignorabitur centrumgraui-
Աստա NC. ծ -
fCi in T, vc FT, fit ad TO, vc 170, ad 105J nempevt 34, ad 21. In alijs difeurretur eodem modo*
Sed quod magisintere A , cum intellećto folido rotundo ZB X, genito modo fupra explicato , fit hoc proportionaliter analogum & in magnitudine, 8í in grauitate cum annul o exteriori, fequitur etiafl* nos habere in BD, centrum grauitatis tali sfolidi, non quidem cuiufcumque, fedtantum eæparabolae cuius exponens fit numerus par. Et in folido para՜
bolæ quadratic« fie fecabit BD, v.
Bl, fit ad ID, vc 34? ad 21.
■ - ■ '՜՜ ■ ֊ ՝. > ". . .
4(3 Mifcellańei Geometrici,
PROPOSITIO XII.
Quilibet femifufus paraboltcMsortuttx fémiparabola, £«« ! babe at axim fe cetur ՜սէ [olida antecedent umpropoßtio»
num. D abitarratio tubicfltodrui, adannulum^ ՜սէ ex»
plic at um eSł.
ESto quilibet Teiaifufusparabolicus A B C, or- tus c x rotacioiic (cmiparabolæ cu iufenn que—» cuius axis AD, circa bafim BD, quificfeéhisfe- mifigura GFH, eequidiftantcr bafi BD, & ad fi guram genitricem ereäa $ annulo vero ex fémipara- bolaadverticem, AFG, circa OD, fitcircumfcri- ptustubustylindricus TGZ. Dico,darirationem talis tubi, ad ilium ànnuLm. Nam, cum ex hypo- thefîjdentur AG, A D, G C, GD, dabituretiam ratio rećtanguli A G C, ad quadratum A D; nempe ratio armillæ circularis ex A G, circa B D, ad cir- culúm A E CH; nemperatio tubi cylindnei TGZ, ad cylindrum TC. kem , cum detur ex fehol. у.
propoiît. 15. lib. 3. ratio cylmd i TՇ, ad totum-.
fegmentum fuíi AfPC, 0¿ facile pofiit probăriex hypothefi>darirationemeiuldemcylindri TC, ad cylindrum FQ; dabituretiamratio cylindri TC»
adannulum AFGQPC- Quare ex aquali, dabi- turratio tubi cylindrici TGZ» annulum præ- dićlum. Quod &c.
SCHC’
S CH OLI VM.
Cum ergo, genito folido EFH, ex reuolucione G F H, circa FG, atque ci circumfcripto cylindre, fithicadfolidum,vt tubus ad annulumjdabiturctiani ratio prædtâi cylindri, ad annulum •
PROPOSITIO XIII.
Isatis ijfdem, ղսճin antee,propofit. daturinbaß fémipari bola gemineis., centrum gr amt atis itliusannuli.
F Nam,
4 4 Mijcellattet (kzmetrià,
Am, datur in OD, fegmenro baíí fémipar* bolæ A B D, centrum grauitatis rotins feg- menci fufi AFPC, ex propofit. 57. mifcell. Item datur in eadem O D, centn m grauiraris cylindri FQ. Ratio annuli A F G ՎԲ C, ad cylindrum cun den) F(լԼ, datur. Ergo пес ignorabicur centrum grauitatisannuli in OD»
•* S C H О L I V M.
Sed cum adinftar fuperiorum diícurrendo, con- ftet, folidum E FH, elle proporționalilor annalo- güm cumprædidoannuloi пес etiam ignorabimus in F G, centrum grauitatis Colidi EF H.
Sed duabus propoiîdonibus antccedentibus ad
dendum eft, quod fi planum G F H, fit talirer du- ćłum, vtbifccet AD, in G, dabitur in numerisra
tio tubicylindrici TG£, ad annulum prædictum:&
pariterin numeris dabicurratio, in qua OD, fece- tur à centro grauitatis annuli. Nam,quoniam A G, G D, funtitquâles, fiintelligamus femiparabolam A F G, duplicări ad partes F G, attinget pu ոճս m D. Sit ergo vt in fequenti figura, in qua fen ¡para
bola quiconque ABD, cuius bafis BD, fitdupli caráadpartes B D, vt fit ABC, figura cor fians ex duabus femiparabolis ; hæc cum parallélogramme EC, fibi circunscripto, rote^urcirca F C. Sequen- ti modo in parabola quadratica, quem kćłorinalijs imitabitur,exprimemus in numeris racionem EDY,
ad
Pars Prima. 4 Հ
adannulum ABD VHG« Quoniam EG,cylin- drus, eftadtotumannulum ABC HG, excorol.2.
propofit. 11.lib. 2. vt 3-ad 2. nempevt ճo. ad 4<Ն 6¿exfchol.2. propofit. 14. eiurdemlib.eftcylindrus В V, ad annulum interiorem DB CHV vt 5, ad 4
* Петре vt 15» ad 12. Ergoreliquus tubus cylin- dricus EDY, érit adreliquum annulumexteriőrein ABDVHG, vr 45, ad 28. In parabola cubica in- ucniet eflevt 21, ad 15, íeu 7, ad 5. Inquadrato- Quadratica, vt 135, ad 104- Etficdiícurrendo. In Prædiftisergo etiam rationibns, érit cylíndruscir- cumfcriptusíolido Z BX> adipfum.
Centrum vero grauitatis fic inuenietur in parabo
la quadratica. Sit S, centrum grauitatis totius annu li AßCHG» ergo ex fchol.propofit. гэт mifceU
F x fie
Հ-IV 4Ą Mifcțllanei Geöwetr'icl^
ficfecabic FC, vc FS > fit ad SC, vt numeruspa- rabolæ ternario aućtus.ad numerum vnitate aućhmw nempe vt 5.ad 3. nempevt 15, ad p. Pariter expro- pofit. 18. lib. 4, fi N, fitcentrum grauicatis annuli interioris DB C H V, ficfecabit FC, vt FN, fit ad NC, veduplus numerus ternario aućtus , ad du plumnumeram vnitate aućłummenape vt 7, ad j,íeu vt 14. ad i o. Qualium ergo FC, érit 24, tálium FS, érit 155 FN. 145 & NSj vnitas. Si fiat vtannulus exterior ABDVHG, ad annulum interiorem.»
DBCHV, fie reciproce N S, ad S T, érit T, cen trumgrauitatis prædi&i annuliexterioris. Ex coro!, prim. propofit.4.lib.3. elicitur, annulumprædiétum exteriőrein, efleadannulum interiorem ve 7, ad 3 j ergoqualium N S, eíly« tálium S T, érit 3. Sédqua lium NS, eratvnitas, tálium FC, erat 24, & F S, 15՛ ergo fi omnia multiplicentur per 7, qualiunu NS, érit 7, &ST, 3, tálium F C, érit löSj&FS, 105. Ergo tálium F T, érit 108, & reliqua T C> ճօ»
Ergo T, centrum grauitatis prædtôi annuli exre- rioris, fiediuidit FC, in T, vt FT, fit ad T C, ve lo8, ad 60; nempe vt p, ad 5. Sic ergo inueniemus centra grauitatisin FC, táliumannulorumexterio- rums cum qui bus, exiftentibusproportionalster ana logis íolidis Z B X, etiain ipíorum centra grauitatis fecabunt B D, in eadem racione.
PRO-
Pars Prima, 45
Si Sernicy doisprimaria cum fibi circunscripto parallelogram- mo uoluatur circa parallelam baß ab ipfi diÜantem fe- cundumquantitatem axis eittfdem. Tubuscybndncusex parallelogrammo, érit ad annulum ex femicycloide > ՞սէ
24» ad 17.
Esto femicyclois primaria A BD> cum fibi cif- cumícripto parallclogrammo E p, quæ yo- luantur circa F C, parallelam ВD> bau îemicyclojr dis » íicque ab ipfa difiitam, vt A D, axis, & D C, fínt æquales. Dico tubum cylindricum E D Y, сие adannulum ABD VHG, vt 24? ad 17» in*
telhga-
4б Mifcellanei Geometrici,
telligamus ABC, eflefiguram conftantemex dua- bus femicycloidibus ficdiipofitis, vc BD, bafes cuadant communis axiss & iutelljgamusrotam figu ram A BC,cumfibîcircumfcriptoparallelogrammo ЕС, circumagi circa FC. Ergo ex coroll. 4, prop.
Iblib. î.cylindrustocus EG, érit ad rotamannu- lum ABC HG, vt4, ad 3, fcu vt 32.ad 14. Sedex propofic.28, lib. 3. eftcylindrus BV, adannulum interiorem DВСH V, vt 8.ad 7. Ergo reliquus tubuscylindricus E D Y, erit ad reliquumannulum exteriorem ABDVHG, vr 14.ad 17.Quod&c.
SCHOLIVM.
Si ergo annulus ABCHG, fecetur femifignra DBX, tranfeunte per DB, & adfiguramgenicri.
cernerećła,quę roterurcirca DВ Cylińdrus circum- fcriptusfoiido ZBX,eritadipfum vt 24.ad 17.
PROPOSITIO XV.
Siquilibet ex infinitis conicii circa diametrum, feceturad modum conoideorum parabolicorum fecun.propofit. plano aquididanter diámetro> (Ջէadfiguramgenitricemero Clо, G- annula Uhpt circumfcriptus tubus cylindricus i expo- naturque portia trilineiparabolici quadratic^ cuius diame- ter œqulis diámetro conici, & cuius exponens fit duplus exponentis conici, հ>portiohac pt refecta a toto trilmeoli- ne
* diámetro par alíela , Հջ* ճ quali diámetro annuli, cui etiam.
, Pars Prima'. 47
etiamportion'։ptcircumfiriptumparallelogrammum. Tu, büs cylindricus circumfcriptus annula, ent adipfitm, ut reCtangulum circumferiptum portioni, adipfcm 3 tamfe~
cundum tot um,quamfecundampartes proportionales.
■
СЧ Vid intelligamus perinfinitos cónicos parabo- լ Heos circadiametrum, explicauimiis defin.
lib.շ. Eftoigiturcónicas quilibe* parabólicas ABC, cuius diameter В D, & fir fedus femifigura EG V, Rquidiftanterdiametro BD, &ad ABD, figuram genitricem conicierećta ; annulo vero orto ex reao- Ltione fegmenti AGE, circa BD, intclligamus circumfcriptum tubum cylindricum 1EH: fuppo- namusparirer DBC, nobis representareetiam tri- lineum, cuius diameter fit DB, & cuius exponens fitduplus exponentis conici, quod fit fetium kL, pa
ralleia BD, & rcquali M D, diámetro annuli ex AG E ; portion! verb L k C, in tel ligam us circum scriptum parallelogrammum LH. Dicotubumcy- fir.d icum 1E H, eife ad annulum ex AGE, circa
&D, vtparallelogrammum LH, ad portionem tri- linei L kC, &hoctamfeeundumtorum, quam fe
cundam partes proportionales. Accipiaturin MD,
<rbitraric punćtum N, perquod in folidis tranfeat planum ONP, fecansipfa vt in (chemate, paralle
len A ec V, incrilineo vero DBG, & in paralle- logrammoducatur N P, parallels DC. Quoniam ex natura irfinitorum trilineorum explicata initio
prim, fib. ell in conico, AD, ad GM, ut pote- ñas
4
* Mißellanei Geometrici,
ftas DB) eiufdemg^adusconici, ad fimilem pote- fiatem B M; ergo & vt quadratura A D» ad qua* dratú m GM, fiepote (ես ÜВ, duplicara potefta- tis conici, ad íimilem poteftatem B M. Sed quo- niamtrdineum DBC, fupponiturg adusduplica- ci poteftatis conici, eft inipfo DC, ad M k, vtdi ela poteftas DB, addićlampot ftatem BM. Ergo
& vt quadratura A D, in conico , ad quadratura».
GM, feu ED, ficin trdineo, DC, ad MК, feu D L. Ergo perconuerfionem rationis, & conuerten- do, vt inconico, rcAangulum A EC, ad quadra
turn A D, ficintrdineo, L C, ad DC. Eodeínmo- do probabirur, etfe quadratura A D, ad quadratura QN, vt DC, ad N T, & quadratura AD, adre- dangulum QRT, vt DC, ad ST. Ergoexæqua- li , erit rećłangulum AEC, nempe rećlangulum О К Р, ad rećłangulum QRT, nempearmilla cir cul arisex OR, circa BD, adamillaracircularem ex QR, circa B D, vt L C, feu S P, ad ST. Sed punćtum N, furapte mfui tarbitra rie; ergovt vnuni ad vncm, fie omnia ad omnia. Ergo & vtomnesar- milke circulares bafibus parallels tubi cylindricí IEH, adomnesarmillascirculares, itidembafipa
rallels, annuli ex AGE, circa B D, fie omnesli- neæparallelogrammi LH, parallels LC, adom- neslineas portionis L к C, parallelas L C 5.nempe Vttubuscylindricus,adannulum, fie paiallelogram- nium adportionera . Quod vero probatura fuit de rotis, exper tus geómetra agnofeet,probad pofte pa
ri paf-
x №<) 45
íipaíTu de partibus proportionalibus. Quare pater propofitußi.
S CHO LI VM I.
Præfens propofitio etiam poteft probări modo Archimedeo, vt clare patet. Sed adnotetur, quod cumfueritincorolL propofit. 15.lib.prim- aflîgnata ratio parallelogrammi LH, ad portionem LkC, cuiufcunquetrilineî parabolici,confequenterhabe-
^imusrationemtubi cylindrici IEH, ad annulum e* AGE, inquocunque conicoparabólico, circa BD Pariter cum facile ad módúm fuperiorumin-
^otefcat, annulum ex AGE, &portionem L k C, G eile
У
Pari Prima . Ի՛
f Б
c
?
?
-л
I о
>X D Հր*”*
ï p
Տ GHO LI VM IL
Nunc, fupponamus ex femifigura EGV, cir- cumaźłacirca GE, genitum folidum F G V, ipfi- que circumícriptumeíTe cylindrum , Cum hic fit ad jpfum, exfæpe iæpius repentis, vt tubus cylindricus 1E H, ad annulum ex AGE, circa M D, ha bebí՜
mus etiam racionem prædi&i cylindri, ad omnia prz- dićta
SCHOLIVM III.
Sed racionem tubi IE H, ad annulum AGE ŁkC, poífumus alio modo,ex alias à nobisprolatis, aliter indagare . Nam ex hypothefi , cum dentur ĄE, ED, EC, dabitur eriam ratio rećłanguli
^ Ec, ad quadrata AD, ED. Dabitur ergo e- r,amratioarmillæ circularis AEC, tam ad circu- Utp> cuius femidiameter AD, quam ad circulam cuiusfemidiamter ED; quaredabiturctiamratio
G » tubi 4 ՚ VșfA
(olida F G V. Item habebimus in GE, cen- tra grauitatis omnium prsedićtorum folidorum-.
FGV.
i- ՜ ; ' ¿
К 50 Mifcellanei Geometrici,
efle quantitates proportionaliter analogas ¡ tam irt magnitudine, quam in grauitare, tam fecundum to- tum, quam fecundum partes proportionales^patebic etiam, eodempado fecari KL, à centro æquilibrij fegmenti LKC, ac MD, àcentro grauitatispræ- didi annuli. Sed cum ex didis aliquando à nobis, vt ftatimpatebit, babeamusfaciliter centraæquilibrij in kL, cuiufcunque fegmenti LkG; habebimus etiam faciliter in MD, centrumgrauitatis omnium prædidorum annulorum.
Quod vero teneamus centra æquilibrij in kL, omnium fegmentorum LkC, trilineorum parabo- licorum,ficfietmanifeftum. Expropofit. 14.lib.5.
habemusinbafi HC, feu in K L, centrum æquili- brij mineris portionis KHC, parabolæ. Item in cadem K L , tencmuscentrum æquilibrij parallelo- grammi LH. Ratio autem portionis кНC, ad legmen turn LkC, facile elicietur expropofit. 15.
lib. I. Quarenecignorabiturin kL, centrumaqui՛
librijfegmenti LkC.
<ŕ
M Я s \т
/¡к
лі
5 % Mi/celUnei Ôeowttrlct
țubicylindrici I EH, tam ad totum cyliridrum IC>
quamad cylindrum GL. Item ex fchol.4.propo-
¡4. lib.x. habemus rationem cylindri IC, ad fegmencum conicum AG k C. Sed & eiufdem cy
lindri IC » ad cylindrum GL. Quare & eiuídem cylindri * C) ad annulling AGELJCC. Ergo ex squall , tenebimus rationem vniuerfaliter tubi 1EH, ad annulum A GÉL kC.
Item alio modo eliciemus centra gravitatîs րու>
M D, annulorum A G EL k C. Nam cxfchol.pro* pofit. í 8, lib.4. in M D, habernos centrum grauita- tis cuiufcunque frufti conici AG K C. Pariter in eadem M D, habemus centrumgrauitatis cylindri GL. Ratio annuli AGELkC, ad cylindrom...
GL, ex ftatim fupradidis » minime ignoratur- Hand ergoignorabituŕin MD, centrumgrauita- tispradíčb annuli.
Sedhax omnia funt generalia, Particularius ve
ro, G ABC, Gt primus conicus, nempeconus,pa
ter ex p: im.conic, propofic. i x, EGV, efíe femi- hyperbolám ; & conícquencer FGXV, efle conoides hyperbolíci m. Conoides ergo hyperbolicum,cric proporție ndi ter analoguni , tam cum aiinulo ĄGE L kC, quam cum legmento trilinei paraboli- ciquadratici Lkc. Aliquaergo, exdiâis, parti- cuLiriuscolligcmus . Sedcumdiuerfo modo ab afli- gnatis in propofit. 5.7. & 11, mifcel. pofiinins pro
bare rationem cylindri circumferipticonoidi hyper- boli-
Հ՝ Pars Prima. ? ? bolico,adipfum,ideopræmiffa proporcionefequeii- ti,etiam huneadnotabimus.
PROPOSITIO XVI.
b. -v - •: .■ ? ՝ ■
trihneum parabolicum quadratics А В C, f?detur ti nea DE) diámetro C A, parles qua dc fitprodu֊
Blaad G) ՞սէ G7), fit dupla Cvs excesu diametri Q A՝ fupra DE, & ducatur rufebet HK, par alíela EB. Erit EB. ad H K, ՞սէ rctfangulum GED¡
ad recl angulum G HD»
PRoducaturHk, ѵП- que ad L. Quo- niam ex naturaparabo- iæ explicata.initio libr.
Pri.eft AB, ad FD, feu A E, vt quad>atum AC, ad quadraniRL»
P » ergo & per con- Ucrfioncm rationis, &
conuertendo> erit E B, ad bą5 vtexceffusqua- öiati CA, fupra qua- dratum CF, ad qua- dratum C A. Pariter, Suoniam vt AB, ad
> ftc quadratura^
AC, ad quadratura^
54 MiftelUnïi GewietricT,
€L; ergo & vt AB, ad Hk, differential L к, & FD, fie érit qaadratum AC, ad diffe
renciám quadratorum LC, CF. Quare exxqua- fi , vt EB, ad Hk, fic differentia quadrato rum AC, CF, ad differenciám quadratorum LC>
CF. Porró differenciaquadratorum AC, FC, funt duo rećłangula CpA, cum quadrato F Aj nempe (fada MF, dupla FC) reóhngulum MFA, cum quadraco F Aj nempe rećtangulum MAF,- nempe xedangulum G ED: pariter eodem modo patebit, differenciám quadratorum L C, C F, effe redtangu- lum MLF; nempe redtangulum GHD, Ergo &
vt EB, ad HK, fic redtangulum GEO, ad re- dtangulum G HD. Quod erat oftendendum.
PROPOSITIO XVII.
Cyltndrus eircumfcriptus conoidi fypeMico,efl ad
r-vt compoßta ex axi, fett diámetro, ex latere էր an f- uerfo conoidis,addimidium lateristranfuerf¿<~имаcum tertiaparteaxis¿feu diametri.
ESto conoides hyperbolicum ABC, cum fi bi circumfcripto cylindra E C, fitque F B,latus rranfuerfum, B D, diameter. Affero EC, cylin drom, effe ad conoides ABC, vt FD, ad dimi
diam, F B, cumtertia parce BD. Exponatur redla linea M A, in anteced. fíg. æqualis F D, fequ. &
cxipfaauferatur A F, æqualis DB, & fedia MF, bi֊
fariam
fariam in C, întelligatur parallelogrämmum An, arque in co femiparabola quadracica BCN, cuius Vertex C, diameter CN, femibafis NB; perpun- F, ducatur F DО, parallels AB,&perpun-
&um D, DE, parallels CA . Tuncacceptovbili-
^tpunćto H, in diámetroconoid is, ducatur per ip- planum GL, AC, parallelumj faétaque in an
aced,fig. DH, æquali BH, in hac; ducatur H к P, Parallels EBj ED, vero producatur vt GD, fiac dupla CF, ac proinde aequalis diámetro traníbería
Հ conoidis. F D, ergo in conoide, tam fecundum totum
W ■■ШИГ
■SB
L
v
ít՜
(
H
■
A K
^4 GVÏÏfoetr’ici,
totuna , quam fecundum omnes partes , fecunduní quas fcćta fupponirur, æquatur GE, in parabola,
& fing’iliș fuis partibus, vtinfchemacibus. Tunc, quoniam ex propofit.anrcced.eft in trilineo, EB, feu PH, ad Hk, vtrećUngulum GED, ad re- ćbngulum GH D, & pariterexprim, conic, propo
fit. շ ь eftin conoide,vtrećłangulum F DB, adre- dangulum FHB, iic quadratum A D, feu G H, ad quadratum HR;ergo & vt PH, ad Hk, intrilineo, ficquadratum GH, ad quadratum HR, in conoide;
neirpe fiecircuios GL, ad circulum RO. Cum ve
ro pu nera H, in ambabus figuris fupponantur acce pta fecundum arbitrium , rećte concludere poteri- mus, effe omnes lineasparallelogram mi E O, paral- lelas EB, adomneslineasfegmeiiti trilinei EDВ, itidem parallels EB, vt omnes circuli cylindri EC, дС, parallell, ad omnes circuios conoidis ABC, eidem AC, paralleles. Nempefieeile E O, paral
lele grämmum, ad EDE, vt EC, cylindrus ad ABC, conoides. Sed ex calce fchol.propofit. i lib. primi, parallelogrammám E O, eft ad E D В, vt GE, ad dimidiam GD, cumtertiaparte E D, vt attente confidcrantinullo negotio patebit. Ergo &
ЕС, cylindrus, erit ad ABC, conoides, vt FD, ad dimidiam F В, cum tertia parte DB. Quod&c.
57
S C H O L I V M I.
£ x i J
Ex progreifu ergo demonfírationis patet, proba tura
Pars Primai.
tum cylindrum EC, ef
fe ad conoides ABC, vt E O, parallelogram- mum , ad Tegmentum trilinei EDB. Exper
tas autem geometra a- gnofcet, facilius dićło probări pofié , boc ve
rificări non modo fe cundam coturn , fed e- tiam fecundum partes proportionales : 3c pa
riter per conuerfionem rationis, eíTe E C, cy
lindrom , ad excefium ipíius fupra conoides, Vt parallelogrammum-.
EO, ad DB O, ^brtio-
tiem minorem parabola:. Facile criam difcurrendo,vt fæpe fæpius nos feci mus, eliciet,conoides ABC, &
fegm enrum trilinei ED вЛсет exceifum ЕС, fupra conoides, & DB O, portionéin minorem parabo
li quadratics, effeqtiIHRhtitesproportionaler ana- logas ,tam in magnitüWe, quam in grauitate >, tain fecundum totum, qtiamfecundum partes. Exhis, ճշ ex alibi à nobis dićtis, poterit leâor quamplurima
C011igere* . ... пк »
Colliget ergo primo, ccBĘtrum æquilibrij in Dùj fegmend trilinei quadratic! EDВ, vel fie focare
4 H duo-
M
"Հ \ ŕ \
■
0 C
Լ
\ր<
2-4
/
5 Я Mifcellanei Geometrici,
duodecimampartem DE, ordinequartam ab E, ve passpropinquior E, fit ad partem aliam, vt dimi»
dia G D, ad térti am partem D E, fieuti ex prdpo- fit. i 3. mifcel.fecatur duodécima pars DE, diame»
tri conoidis hyperbolic! ab eius centro grauitatis.
Vel fie fecari quartam partem D E, ordine fecun
dam ab E, vt parspropinquior E д fit adaliam, vt fexta pars CD, adtertiampartem GE, veluti fe- catur quarta pars B D, diametri conoidisex propo- fit. 14. mifeel. Vel tandem , fic diuidere DE, vt parsterminata ad D, fit adreliquam, vt G D, cum fubfefquitertia ED, ad dimidiam GD, cumquat* ta parte DE, vt hauritur ex propofit. 44. eiufdem mifcel.
Ex propofit. 15. eiufdem mifcel. in qua aifignatuf ratio cylindri GC, ad fegmentum conoidis AROC, colliget rationem parallelogrammi E P, ad legmen՛
tum EH кВ,- nempe colliget elfe vt rećtangulum GED, adrećtangulum G E, DH, vna cumlećtan- gulo fub compofitacxdimidia G D, & ex tertia par՜
te EH, frfubdidlatertiaparte EH.
Expropofit. 17. mifcel. colliget centrum æquilÉ brijin HE, fegmenti EH k B.
Sed cum , vt paulofupradićtum fiit, fit excefíii5 cylindri ЕС, fupra conoides hyperbolic: im , pro' portionalirer analogascum DBO, portionémino* riparabolæquadraticæ, & in lib. 3. propofit. 14. # in fchol. propofit. 48. mifcel fit affignaturn in OB>
centrum æquilibrij portionis DB O, érit confe՜
quen-
Parí Primai ՀՔ
quenter aílignatum in BD, centrum graui
tatis exceífus cylindri EC, fupra conoides . Vt ergo in citat. fchoL propofit.48. mifcel.po- teít confpici , cen
trum æquilibrijportio nis DBO, in ВО, Ge ipfam diuidit , vt parsterminata ad B, fit ad reliquam , vt dupla Xo, cum dupla NB>
& cum dimidia OB, NO, cum NB, &
cumdimidia OB; col.
țigerergolector, etiam 111 prædiito exceíľu,
centrum eius grauitatis fic diuidere BD, vt pars terminataad D, fitad partem terminaram ad B, vt EB, ( æqualisduplæ N O) vna cum F D, cum D В fæqualiBusdupla: NBJ &cumdimidia DB(çqiia- lj dimidi e OB) ad dimidiam F В ( æqualem N О) Vna cum compofita ex dimidia FB , &ex B D (quae lunt æquales N В) & cum dimidia D В. Sed F В, Vna cum F D, cum DB, & cum dimidia DB, fa- ciunt duplám F D, cum dimidia D В: panterdimi
dia FВ, cum dimidia F B, cum В D, & cuna dimi
dia DB, faci unt FD, cum dimidia DB. Ergo cen ti 2 trom.
61
ч
>Л 5<í
4 ł
T V
Mifcellanel Geometrici.)
trumgrauițatis exceíTus EC, fupraconoides, fie di- uidic DB, vt parsterminata ad D, firad reliquam, vt dupla FD, cum dimidia BD, ad FD, cum di
midia DB. Sed cum íupra , & alias, fit affignata ctiam ratio E C, cylindri, ad conoides , & confe- quentcrdiuidendojexcefíuscylindriúipraconoidesi adi pílim conoides: pater,polfe etiam alio modo, ha
ben centrum grauitatisçonoidisprædidtû
SCHOLI VM II.
Conoides ergobyperbolícum ABC, efi:propor* tionaliter analogum cum Tegmento ED B; fieuti pa- riter, exceíTus cylindri E C, íupra conoides,eit pro* portionaliteranaloguscum portionéminoriparabo las D BO. Ergoconoides>&exceíTus cylindrifupra ipfum, erunt magnitudinesproportionaliter analo- gæ cum illis magnitudinibus, cum quibus crunt ma gnitudines proportionaliter analogæ E DB, Teg
mentum rrilinei, & DBO, portio minor parabo
la?. In prim is verb, portio minor DBO, probata fuit proportionaliteranalogain fchol.pri.propofit.8« lib 4. cumportioné Tphæræ, &fphæroidis, quorum femidiamecri N В > axis verotálium portionom, fint BO. Cum his ergo portionibus Tphæræ, & Tphæroi- dis, érit proportionaliteranalogusexceíTuscylindri EC, fupra conoides. Sicuti etiam conoides , eric proportionaliter analogumcum excefij cylindroruru circumferiptorumportionibus,fupra ipfas»
De-
P D f О
Deinde in fchol. հ.propofit.i 6.mifcel. portio pa rabolæ quadratics: D В O, cuius vicein fenem., anu
/
Հ E ՚ .
L
s В
z Հւ
/
Ճ. I я ՚ Y X
Л
6г MtfcelUnet Gêomètrhi}
illiuspropofit.accipiemus portionéin ARI, para- bolæ quadratics А ОС, cuius bafîs AC, fitsqua b's duplæ NB, bafi parabolæcuius DBo, portia fupradićta fupponitur portio, probata fuit propor tionaler analoga cum Tegmento annuli ex portioné AHI, hyperbola: ABC, reuolutacirca kM, fe cundam coniugatam dia metrum : ficuti pariter por tion! parabolæ AIR, circunscripto parallelogram- mo, cxceiTushuiusíupra portionéin, eft proportio- naliter analogus cum exceffu tubi cylindrici exparal- lelograinmo A H, íupra fegmentum annuli ex por tioné AHI, reuolutis ambobus circa kM. Excef֊
fus ergo fupiadićhis cylindri EC, íupra conoides hyperbolicum ABC, érit proportionaler analo- guscum annuloex AHI, circafecundam coniuga
tam diametrom KM» Pariterque conoideshyper- bolicum ABC, erit proportionaliter analogum_, cum excel! u prædiâo tubi cylindrici ex parallelo
gram mo AH, circa kM, íupra prædidum feg mentumannuliex portioné AHL
Paricer fi in fchem. feq. propofit. 45. mifcel. acci- piamus vice DBO, portionisparabolæfuperioris»
portionéin A GF, cumhæc fuerit probata indićła propofit. țhol. 2. proportionaliter analoga cum lo- lido ex portioné R В T, reuoluta circa В V (fiip- ponendo AB c, c fie portionéin fphæræ, velfphæ- roidis, ABC, elfe con um, & B D, axi m portio
nis ) du m modo В V, &" A F, fint æquales. Ergo etiamexccftuscylindrifuperioris ЕС, fupraconoí-
ParsPrim*e ճջ
des hyperbolicum ABC, erit proportionaliter analogus cum prædiâo exceffu pórtionis R B Y, fphæræ, vel fphæroidis, ill pra conum T B X. Quod ex dićłis ibidem, verificator etiam de exceflu feg- menti AFGC, fupra fruftum conicum AHIC, dummodo tarnen fiipponamus , BV , DE, axes tálium folidoriim,& Ap, bafim portionis AGF, squales cfTe in figura fuperiori BD, axi conoidis hyperbolic!.
T andem, fi in {chemate propofir. fiipponamus ABC D, eile fphæram, vel fphæroides , fem iaxis Vero B E, fit maior axi B D, conoidis fuperioris hyperbolki, cuiusetiam fit maior ER, fa^isau
tem, ас fuppofitisijídem, quæ in diéta propofit.?•
fiipponamus G M, vel RM, æqualem BD, axi conoidis. Ex fchol. z. dićtse propofit. {ciemos, co
noideshypcrbolicum ABC, efieproportionaliter analo-
