1. Układy o zmiennych współczynnikach
Niech akl : (p, q) → R i bk : (p, q) → R, gdzie k, l = 1, . . . , n będą funkcjami ciągłymi. Wtedy wzory:
A(x) =h akl(x)i
16k,l6n i B(x) =h
bk(x)i
16k6n, x∈ (p, q)
definiują: ciagłe pole macierzowe A i ciągłe pole wektorowe B (zapisane w postaci kolumny). Układem równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu nazywamy układ
y′1= a11(x)y1+ . . . + a1n(x)yn+ b1(x), . . . . yn′ = an1(x)y1+ . . . + ann(x)yn+ bn(x) lub krócej, w postaci macierzowej, układ
(1) y′ = A(x)y + B(x).
Prawa strona układu (1) jest określona w zbiorze otwartym
G= {(x, y) ∈ R × Rn: x ∈ (p, q), y ∈ Rn}.
Twierdzenie 1. Przez każdy punkt zbioruG przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne ukła- du (1) i jest ono określone w całym przedziale (p, q).
Dowód. W myśl twierdzenia 3 z poprzedniego rozdziału, wystarczy sprawdzić, że dla każdego prze- działu domkniętego I ⊂ (p, q) prawa strona układu (1) spełnia warunek Lipschitza na I × Rn ze względu na y. Zauważmy, że dla dowolnych (x, y), (x, y∗) ∈ I × Rn mamy
A(x)y + B(x) − A(x)y∗+ B(x) =
A(x)(y − y∗)
=maxn
i=1
n
X
j=1
aij(x)(yj− y∗j) 6 6maxn
i=1 nmaxn
j=1 |aij(x)||y − y∗| = nmaxn
i,j=1|aij(x)||y − y∗|.
Z ciągłości aij na przedziale domkniętym I wynika, że istnieje stała M > 0 taka, że maxn
i,j=1|aij(x)| 6 M dla x∈ I.
Stąd, dla dowolnych (x, y), (x, y∗) ∈ I × Rn mamy
A(x)y + B(x) − A(x)y∗+ B(x)
6nM|y − y∗|.
To kończy dowód.
Wobec powyższego twierdzenia, zainteresowani będziemy tylko rozwiązaniami integralnymi ukła- du równań różniczkowych liniowych (1).
W przypadku układów równań różniczkowych liniowych rozwiązanie integralne Φ= (ϕ1, . . . , ϕn) : (p, q) → Rn
układu (1) zapisujemy w postaci kolumny
Φ(x) =
ϕ1(x)
... ϕn(x)
, x∈ (p, q),
wygodnej w rachunkach na postaci macierzowej układu.
Gdy B jest zerowym polem wektorowym na przedziale (p, q), to układ (1) ma postać
y′1= a11(x)y1+ . . . + a1n(x)yn, . . . . yn′ = an1(x)y1+ . . . + ann(x)yn lub krócej, w postaci macierzowej
(2) y′ = A(x)y.
Układ (2) nazywamy jednorodnym układem równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu.
Niech V będzie zbiorem złożonym ze wszystkich rozwiązań integralnych układu (2).
Własność 1. Zbiór V wraz z działaniami dodawania odwzorowań i mnożeniem odwzorowań przez liczbę jest przestrzenią liniową nad ciałem R.
Dowód. Niech Φ1, Φ2 ∈ V i c1, c2 ∈ R. Wówczas odwzorowanie c1Φ1+ c2Φ2 jest różniczkowalne i (c1Φ1+ c2Φ2)′= c1Φ′1+ c2Φ′2 = c1(AΦ1) + c2(AΦ2) = A(c1Φ1) + A(c2Φ2) = A(c1Φ1+ c2Φ2), czyli c1Φ1+ c2Φ2 ∈ V.
Własność 2. Jeśli odwzorowania Φ1, . . . , Φm są liniowo niezależne w V, to dla każdego punktu ξ∈ (p, q) wektory Φ1(ξ), . . . , Φm(ξ) są liniowo niezależne w Rn.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że wektory Φ1(ξ), . . . , Φm(ξ) są liniowo zależne dla pewnego punktu ξ∈ (p, q). Wówczas istnieją stałe c1, . . . , cm∈ R nieznikające jednocześnie takie, że
c1Φ1(ξ) + . . . + cmΦm(ξ) = 0.
Na mocy własności 1 odwzorowanie Φ = c1Φ1 + . . . + cmΦm jest rozwiązaniem integralnym ukła- du jednorodnego (2). Ponadto Φ przechodzi przez punkt (ξ, 0). Z drugiej strony odwzorowanie Φ0 określone wzorem
Φ0(x) = 0 dla x∈ (p, q)
jest również rozwiązaniem integralnym układu (2) i Φ0 przechodzi przez punkt (ξ, 0). Zatem na podstawie twierdzenia 1 mamy Φ = Φ0, czyli
c1Φ1+ . . . + cmΦm= 0,
co jest sprzeczne z liniową niezależnością odwzorowań Φ1, . . . , Φm∈ V.
Własność 3. Przestrzeń liniowa V ma wymiar n, czyli zachodzi równość dimRV= n.
Dowód. Z własności 2 wynika, że dimRV 6 n. Wystarczy pokazać zatem, że dimRV > n. Niech ξ będzie ustalonym punktem przedziału (p, q) oraz e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni Rn. Niech Φi : (p, q) → R będzie rozwiązaniem integralnym układu jednorodnego (2), przechodzącym przez punkt (ξ, ei). Z twierdzenia 2 wynika, że takie rozwiązania istnieją. Oczywiście dla dowolnych c1, . . . , cn∈ R takich, że
c1Φ1+ . . . + cnΦn= 0 mamy
0 = c1Φ1(ξ) + . . . + cnΦn(ξ) = c1e1+ . . . + cnen.
Stąd c1= . . . = cn= 0, gdyż e1, . . . , en jest bazą przestrzeni Rn. Tym samym Φ1, . . . , Φn są liniowo niezależne w V i w konsekwencji dimRV >n.
To kończy dowód.
Każdą bazę przestrzeni V nazywać będziemy fundamentalnym układem rozwiązań jednorodnego układu równań różniczkowych (2).
Z własności 3 otrzymujemy natychmiast
Twierdzenie 2. Jeżeli Φ1, . . . , Φn jest fundamentalnym układem rozwiązań układu (2), to ogół roz- wiązań integralnych układu (2) wyraża się wzorem
(3) Φ(x) = c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x), x∈ (p, q), c1, . . . , cn ∈ R.
Przejdźmy teraz do układu równań (1).
Twierdzenie 3. JeżeliΦ0 jest rozwiązaniem integralnym układu (1) oraz Φ1, . . . , Φn jest fundamen- talnym układem rozwiązań układu (2), to ogół rozwiązań integralnych układu (1) wyraża się wzorem (4) Φ(x) = Φ0(x) + c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x), x∈ (p, q), c1, . . . , cn∈ R.
Dowód. Niech Φ będzie postaci (4). Wówczas Φ jest odwzorowaniem różniczkowalnym i mamy Φ′= Φ′0+ (c1Φ1+ . . . + cnΦn)′ = AΦ0+ B + A(c1Φ1+ . . . + cnΦn) = A(Φ0+ c1Φ1+ . . . + cnΦn) + B Zatem Φ jest integralnym rozwiązaniem układu (1).
Odwrotnie, załóżmy, że Φ jest integralnym rozwiązaniem układu (1). Wówczas Φ − Φ0 jest od- wzorowaniem różniczkowalnym i mamy
(Φ − Φ0)′= Φ′− Φ′0= AΦ + B − AΦ0− B = A(Φ − Φ0).
Zatem Φ − Φ0 jest integralnym rozwiązaniem układu (2) i na mocy twierdzenia 2 istnieją stałe c1, . . . , cn∈ R takie, że
Φ− Φ0= c1Φ1+ . . . + cnΦn. Stąd Φ jest postaci (4).
To kończy dowód.
Z powyższego twierdzenia widać, że gdy znamy układ fundamentalny rozwiązań układu jedno- rodnego (2), to znalezienie ogółu rozwiązań układu niejednorodnego (1) sprowadza się do znalezienia choćby jednego integralnego rozwiązania Φ0 układu niejednoronego (1). Sposób znalezienia takiego rozwiązania podamy w dalszym ciągu wykładu.
2. Definicja i własności wrońskianu
Niech Φ1, . . . , Φnbędą rozwiązaniami integralnymi układu jednorodnego (2) i niech
Φj =
ϕ1j
... ϕnj
, j= 1, . . . , n.
Wyznacznik
W(x) = deth
Φ1(x), . . . , Φn(x) i
=
ϕ11(x) . . . ϕ1n(x) . . . . ϕn1(x) . . . ϕnn(x) ,
gdzie x ∈ (p, q), nazywamy wrońskianem1 układu Φ1, . . . , Φn.
Własność 4. JeżeliW(ξ) 6= 0 dla pewnego punktu ξ ∈ (p, q), to Φ1, . . . , Φn jest układem fundamen- talnym rozwiązań układu (2).
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że Φ1, . . . , Φn są liniowo zależne w V. Wówczas istnieją stałe c1, . . . , cn nieznikające jednocześnie takie, że
c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x) = 0 dla x∈ (p, q).
Stąd punkt c = (c1, . . . , cn) jest niezerowym rozwiązaniem układu równań liniowych jednorodnych danego w postaci wektorowej jako
Φ1(x)y1+ . . . + Φn(x)yn= 0.
To oznacza, że powyższy układ nie jest układem Cramera, tzn. wyznacznik jego macierzy jest równy zero. Stąd dla każdego x ∈ (p, q) mamy
W(x) = deth
Φ1(x), . . . , Φn(x)i
= 0, co jest sprzeczne z założeniem.
Własność 5. Jeśli Φ1, . . . , Φn są liniowo niezależne w V, to W(x) 6= 0 dla każdego x ∈ (p, q).
Dowód. Z założenia na podstawie własności 2 dla każdego x ∈ (p, q) wektory Φ1(x), . . . , Φn(x) są liniowo niezależne w Rn. Zatem wyznacznik W (x) 6= 0.
3. Metoda uzmienniania stałych
Udowodnimy teraz zapowiedziane w paragrafie 1. twierdzenie o rozwiązaniu szczególnym. Sposób jego wyznaczania nazywamy metodą uzmienniania stałych. Polega bowiem na poszukiwaniu rozwią- zań układu (1) w postaci (3), gdzie występujące tam stałe c1, . . . , cn zastępujemy odpowiednio przez funkcje c1, . . . , cn: (p, q) → R. Dokładniej metodę tą opisuje poniższe twierdzenie.
Niech Wk oznacza wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy h
ϕij i
16i,j6n
1 Józef Hoene Wroński (1776-1853) – polski matematyk i filozof.
przez zastąpienie jej k-tej kolumny kolumną B, tzn.
Wk(x) = deth
Φ1(x), . . . , Φk−1(x), B(x), Φk+1(x), . . . , Φn(x) i Wprost z definicji wyznaczników Wk i wzorów Cramera wynika
Własność 6. Jeśli W(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q), to zachodzi następująca tożsamość Φ1W1
W + . . . + Φn
Wn W = B.
Twierdzenie 4. Niech Φ1, . . . , Φn będzie układem fundamentalnym rozwiązań układu (2). Wówczas jedno z rozwiązań integralnych Φ0 układu (1) jest określone wzorem
Φ0 = c1Φ1+ . . . + cnΦn,
gdzieck : (p, q) → R jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji WWk, k= 1, . . . , n.
Dowód. Z określenia układu Φ1, . . . , Φn i własności 5 wynika, że W (x) 6= 0 dla x ∈ (p, q). Ponadto Φ0 jest odwzorowaniem różniczkowalnym i z własności 6. dostajemy, że
Φ′0 = c1Φ′1+ . . . + cnΦ′n+ c′1Φ1+ . . . + c′nΦn= A(c1Φ1+ . . . + cnΦn) +W1
W Φ1+ . . . +Wn W Φn=
= AΦ0+ B.
To kończy dowód.
4. Metoda redukcji z n do n− 1
W paragrafie tym pokażemy jak poszukiwanie rozwiązań układu jednorodnego złożonego z n równań można sprowadzić do poszukiwania ogółu rozwiązań układu jednorodnego złożonego z n − 1 równań.
Niech, podobnie jak poprzednio A(x) =h
akl(x) i
16k,l6n, x∈ (p, q)
będzie ciagłym polem macierzowym. Niech dany będzie jednorodny układ równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu postaci
y′1= a11(x)y1+ . . . + a1n(x)yn, . . . . yn′ = an1(x)y1+ . . . + ann(x)yn
lub krócej
(1) y′ = A(x)y
Niech Φ1 = (ϕ1, . . . , ϕn) : (p, q) → Rn będzie odwzorowaniem, którego pierwsza współrzędna ϕ1 nie ma miejsc zerowych w przedziale (p, q). Układem zredukowanym n − 1 równań odpowiadającym odwzorowaniu Φ1 nazywamy układ postaci
z2′ = a22(x) − ϕϕ2(x)
1(x)a12(x)z2+ . . . + a2n(x) − ϕϕ2(x)
1(x)a1n(x)zn, . . . . z′n= an2(x) − ϕϕn(x)
1(x)a12(x)z2+ . . . + ann(x) − ϕϕn(x)
1(x)a1n(x)zn
lub krócej
(2) zi′ =
n
X
j=2
aij(x) − ϕi(x)
ϕ1(x)a1j(x)
zj, i= 2, . . . , n.
Twierdzenie 5. Załóżmy, że Φ1= (ϕ1, . . . , ϕn) jest integralnym rozwiązaniem układu (1) takim, że ϕ1(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q).
1) Jeśli odwzorowanie κ : (p, q) → Rn−1 postaci
κ=
κ2
... κn
jest rozwiązaniem integralnym układu zredukowanego (2) i ωκ jest funkcją pierwotną funkcji 1
ϕ1(a12κ2+ . . . + a1nκn), to odwzorowanie Φκ określone wzorem
Φκ = ωκΦ1+
0 κ2
... κn
jest rozwiązaniem integralnym układu (1).
2) Jeśli Ψ2, . . . , Ψn jest układem fundamentalnym rozwiązań układu zredukowanego (2), to Φ1, Φ2 = ΦΨ2, . . . , Φn= ΦΨn
tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu (1).
Dowód. Pokażemy najpierw, że odwzorowanie Φκ jest rozwiązaniem integralnym układu (1). Ponie- waż
Φ′κ= ω′κΦ1+ ωκΦ′1+
0 κ′2
... κ′n
= ω′κΦ1+ ωκAΦ1+
0 κ′2
... κ′n
= ωκAΦ1+ ω′κΦ1+
0 κ′2
... κ′n
i
ωκ′Φ1+
0 κ′2
... κ′n
=
ϕ1 ϕ1
n
P
j=2
a1jκj ϕ2
ϕ1 n
P
j=2
a1jκj +
n
P
j=2
a2j− ϕϕ2
1a1jκj ...
ϕn
ϕ1 n
P
j=2
a1jκj+
n
P
j=2
anj−ϕϕn
1a1jκj
=
n
P
j=2
a1jκj n
P
j=2
a2jκj ...
n
P
j=2
anjκj
= A
0 κ2
... κn
,
to
Φ′κ= ωκAΦ1+ A
0 κ2
... κn
= AΦκ.
Pokażemy teraz, że Φ1, Φ2, . . . , Φn tworzą układ fundamentalny. Oznaczmy przez WΦ wrońskian tego układu. Na mocy własności 4 wystarczy pokazać, że WΦ(ξ) 6= 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q). Oznacz- my przez WΨ wrońskian układu
Ψ2 =
ψ22
... ψn2
, . . . , Ψn=
ψ2n
... ψnn
i niech ωk = ωΨk, k = 2, . . . , n. Wówczas odejmując kolejno od k-tej kolumny iloczyn pierwszej kolumny pomnożonej przez ωk otrzymujemy
WΦ=
ϕ1 ω2ϕ1 . . . ωnϕ1 ϕ2 ω2ϕ2+ ψ22 . . . ωnϕ2+ ψ2n . . . . ϕn ω2ϕn+ ψn2 . . . ωnϕn+ ψnn
= ϕ1WΨ.
Z własności 5 mamy, że WΨ(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈ (p, q). Stąd dostajemy, że WΦ(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈ (p, q). Zatem na podstawie własności wrońskianu Φ1, Φ2, . . . , Φn tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu (1).
To kończy dowód.
Ponieważ każde niezerowe rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jest jego układem fun- damentalnym, to z powyższego twierdzenia otrzymujemy
Wniosek 1. Jeśli odwzorowanie Φ1 = (ϕ1, ϕ2) : (p, q) → R2 jest takim rozwiązaniem integralnym układu
y′1= a11(x)y1+ a12(x)y2, y′2= a21(x)y1+ a22(x)y2,
że ϕ1(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q), to układ fundamentalny rozwiązań powyższego układu tworzą odwzoro- wania
Φ1, Φ2 = ωΦ1+
"
0 ψ
# ,
gdzieψ: (p, q) → R jest niezerowym, integralnym rozwiązaniem równania liniowego z′ =
a22(x) − ϕ2(x)
ϕ1(x)a12(x) z, natomiastω: (p, q) → R jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji ϕ1
1a12ψ.
