1. Wśród czterech monet dwie są symetryczne. Prawdopodobieństwa wyrzu- cenia orła i reszki monetą trzecią wynoszą odpowiednio 13 i 23, a czwartą odpowiednio 34 i 14. Wybieramy losowo monetę i rzucamy nią dwukrotnie.
Oblicz prawdopodobieństwo, że (a) wypadną dwa orły.
(b) wypadną dwie reszki.
(c) wybrano monetę trzecią, jeśli uzyskano dwa orły.
(d) wybrano monetę trzecią, jeśli uzyskano dwie reszki.
2. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora?
3. Łączny rozkład zmiennych X i Y dany jest w tabeli
X Y -1 0 1
1 0.3 0.2 0,1 2 0.1 0.1 0.2
Wyznacz rozkład zmiennej X|Y = −1, a także X|Y = 0. Ponadto policz E(X|Y = −1) oraz E(X|Y = 0).
4. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = (x2+ 2y2)I(0,1)(x)I(0,1)(y).
Wyznacz gęstość warunkową f (x|y) oraz E(X|Y ).
5. Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksimum otrzymanych liczb. Oblicz P (U ≤ 3|V = 4) oraz E(U |V = 4), a także E(U |V ).
6. Zmienne losowe X i Y mają gęstość łączną
f (x, y) = Cx(y − x)e−y, 0 ≤ x ≤ y < ∞.
Wyznacz C, gęstości warunkowe oraz warunkowe wartości oczekiwane.
7. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pois- sona z parametrem λ. Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X, mając dane X + Y.
8. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy, zgodnie z rozkładem jednostajnym, punkt z odcinka [-1,1], a gdy reszka - z od- cinka [0,1]. Z jakim prawdopodobieństwem wylosowany punkt należy do przedziału [-1/2;1/2]?
1
1. Wśród czterech monet dwie są symetryczne. Prawdopodobieństwa wyrzu- cenia orła i reszki monetą trzecią wynoszą odpowiednio 13 i 23, a czwartą odpowiednio 34 i 14. Wybieramy losowo monetę i rzucamy nią dwukrotnie.
Oblicz prawdopodobieństwo, że (a) wypadną dwa orły.
(b) wypadną dwie reszki.
(c) wybrano monetę trzecią, jeśli uzyskano dwa orły.
(d) wybrano monetę trzecią, jeśli uzyskano dwie reszki.
2. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora?
3. Łączny rozkład zmiennych X i Y dany jest w tabeli
X Y -1 0 1
1 0.3 0.2 0,1 2 0.1 0.1 0.2
Wyznacz rozkład zmiennej X|Y = −1, a także X|Y = 0. Ponadto policz E(X|Y = −1) oraz E(X|Y = 0).
4. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = (x2+ 2y2)I(0,1)(x)I(0,1)(y).
Wyznacz gęstość warunkową f (x|y) oraz E(X|Y ).
5. Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksimum otrzymanych liczb. Oblicz P (U ≤ 3|V = 4) oraz E(U |V = 4), a także E(U |V ).
6. Zmienne losowe X i Y mają gęstość łączną
f (x, y) = Cx(y − x)e−y, 0 ≤ x ≤ y < ∞.
Wyznacz C, gęstości warunkowe oraz warunkowe wartości oczekiwane.
7. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pois- sona z parametrem λ. Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X, mając dane X + Y.
8. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy, zgodnie z rozkładem jednostajnym, punkt z odcinka [-1,1], a gdy reszka - z od- cinka [0,1]. Z jakim prawdopodobieństwem wylosowany punkt należy do przedziału [-1/2;1/2]?
2
