Praca domowa #2 z SAD

Praca domowa #2 z SAD

Zadanie 1:

Na podstawie próby liczącej 49 obserwacji oszacowano parametry modelu regresji:

y = β0+ β1x1+ β2x2+ β3x3+ ε

i uzyskano R² = 0.2. Następnie dodano do modelu jedną obserwację, leżącą na oszacowanej prostej regresji.

W efekcie dodania obserwacji całkowita suma kwadratów modelu zwiększyła się o 4 procent.

• Jak dodanie obserwacji wpłynęło na R² i R²_adj (R² skorygowane)? Odpowiedź uzasadnić.

• Oblicz R² oraz R²_adj dla modelu z dodatkową obserwacją. (Wskazówka: R²_adj = 1 −_{N −K}^{N −1}(1 − R²), gdzie N – liczba obserwacji, K – liczba parametrów do oszacowania w modelu.)

Zadanie 2:

Na podstawie n = 10 elementowej próby, szacowany jest model yi = β0+ β1xi+ εi.

• Wyznacz wartości estymatora ˆβ uzyskane Metodą Najmniejszych Kwadratów, wiedząc, że Pⁿ_i=1x_iy_i= 350, Pⁿ_i=1xi = 40, Pⁿ_i=1yi= 98a Pⁿ_i=1x²_i = 250.

• Mamy dane wektory y^T = [5, 3, 1, 1] oraz x^T = [2, 1, x₃, x₄]. Oszacowano MNK model yi = β₀+ β1xi + εi i uzyskano wektor reszt e^T = [0.5, −0.5, e3, e4]. Znaleźć x3, x4, e3, e4. (Wskazówka:

skorzystaj z właściwości hiperpłaszczyzny regresji: X^Te = 0 – wektor reszt jest ortogonalny do macierzy X; w modelu ze stałą PN

i=1= 0.)

Zadanie 3:

Oszacowano model y = Xβ + ε. Następnie stworzono macierz X^∗ = AX, gdzie A jest pewną macierzą nieosobliwą.

• Udowodnić, że jeśli oszacujemy regresję y = X^∗β^∗+ ε^∗, to ˆβ^∗ = A⁻¹βˆ, gdzie ˆβ jest oszacowaniem współczynników z regresji y na X.

• Policzyć Var( ˆβ^∗).

Zadanie 4:

Mając obserwacje x^T = [1, 2, −1, 4, −1]oraz y^T = [7, 2, 1, 10, −3] policzyć:

• estymator ˆβ metodą najmniejszych kwadratów w modelu yi = β₀+ β₁x_i+ ε_i;

• ˆy, e, R², nieobciążony estymator wariancji dla składnika losowego.

1

Zadanie 5:

Dany jest model regresji liniowej:

y = β₀+ β₁x₁+ β₂x₂+ β₃x₃+ ε ,

gdzie ε ∼ N(0, σ²In), dla którego na próbie n = 120 obserwacji otrzymano następujące oszacowania współczynników:

βˆ^T = [2, −1.1, 5, −1.5]

oraz oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji dla estymatora MNK Var( ˆβ):

Var ˆβ =        

0.04

−1.12 1.21

−0.45 2.8 6.25 3.25 −7.68 0.71 0.09

• Które z oszacowań są statystycznie istotne na poziomie istotności 1%?

• Zinterpretuj istotne statystycznie na poziomie istotności 5% oszacowania parametrów.

Zadanie 6:

Rozkład miesięcznych wydatków na książki studentów I roku ma rozkład normalny. W wylosowanej próbie 16 studentów średnia wynosiła 150 zł, zaś wariancja wyznaczona na podstawie tej próby wynosiła 1600 zł. Przypuszczamy, że studenci I roku wydają przeciętnie 200 zł. Czy dysponując opisaną próbą możemy odrzucić to założenie? Przyjąć poziom istotności α = 0.1.

Zadanie 7:

W pewnym browarze zainstalowane są dwa automaty do napełniania butelek. Ilość piwa dozowana przez pierwszy jest zmienną losową o rozkładzie N(m1, 11²), a ilość piwa dozowana przez drugi jest zmienną losową o rozkładzie N(m2, 13²). Pobrano niezależnie 10-elementowe próbki losowe butelek napełnianych przez każdy z automatów. Średnia z próby dla pierwszego automatu wyniosła 501 ml, a dla drugiego 498 ml. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że automaty dozują przeciętnie po tyle samo piwa.

2