Praca domowa #1 z SAD

Praca domowa #1 z SAD

Zadanie 1:

Obserwujemy dwie niezależne próby losowe (X1, . . . , Xn), (Y1, . . . , Ym). Wiadomo, że Xi∼ N (2µ, 1) oraz Y_i∼ N (µ, 1).

• Wyznaczyć Metodą Największej Wiarogodności estymator parametru µ (korzystając z obydwu prób).

Czy otrzymany estymator jest nieobciążony?

• Wyznaczyć ryzyko (średni błąd kwadratowy – MSE) uzyskanego estymatora.

Zadanie 2:

Niech (X1, . . . , Xn) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie o gęstości postaci:

f_λ(x) = 1

2λ³x²e^−xλ, x > 0, λ > 0 .

• Wyznacz estymator Metodą Największej Wiarogodności nieznanego parametru λ.

• Wiedząc, że wartość oczekiwana wynosi EXi = 3λ, sprawdź, czy otrzymany estymator jest estyma- torem nieobciążonym.

• Wyznacz ryzyko (średni błąd kwadratowy, MSE) dla otrzymanego estymatora. Czy otrzymany esty- mator jest zgodny? (Obserwacja: dla estymatorów zgodnych limn→∞M SE(θ) → 0)

Zadanie 3:

Mamy sześciościenną kostkę do gry, przy czym nie znamy prawdopodobieństwa wypadnięcia 6, oznaczo- nego przez p. W celu oszacowania p rzucamy kostką dopóki nie wypadnie 6 i przez Y oznaczamy liczbę wykonanych rzutów. Jednak jeśli w pierwszych k rzutach nie wypadła 6 to przerywamy eksperyment i Y = k + 1.

• Na podstawie n niezależych powtórzeń powyższego eksperymenty wyznacz estymator Metodą Naj- większej Wiarogodności parametru p.

• Sprawdź, czy podany estymator jest estymatorem nieobciążonym

• Wyznacz ryzyko (średni błąd kwadratowy, MSE) dla otrzymanego estymatora. Czy otrzymany esty- mator jest zgodny? (Obserwacja: dla estymatorów zgodnych limn→∞M SE(θ) → 0)

Zadanie 4:

Niech X1, ..., X_n będzie próbą prostą z rozkładu Poissona o intensywności θ P (X_i= x) = θ^x

x!e^−θ

1

• Znajdź ˆθ estymator Metodą Największej Wiarogodności parametru θ.

• Oblicz obciążenie oraz wariancję estymatora ˆθ, uzyskanego w poprzednim podpunkcie.

• Jak duże powinno być n, żeby błąd średniokwadratowy dla θ = 1 był mniejszy niż 0, 01, gdzie M SE(θ) = Eθ[(θ − ˆθ)²].

Zadanie 5:

Niech X1, ..., X_n będzie próbą prostą z rozkładu Pareto o parametrach a > 0, θ > 0 o gęstości fθ,a =

θa^θ

x^θ+11(x > a)

• Znajdź ˆθ oraz ˆa estymatory Metodą Największej Wiarogodności parametrów θ oraz a.

• Sprawdź, czy znalezione estymatory są nieobciążone.

• Wyznacz ryzyko (średni błąd kwadratowy, MSE) dla jednego z estymatorów.

Zadanie 6:

Niech X1, ..., X_n będzie próba prostą z rozkładu Log-normalnego o parametrach µ, σ² > 0, o gęstości f_µ,σ2 = 1

x√

2πσexp(−(ln(x) − µ)² 2σ² )

• Znajdź ˆµ, ˆσ² Estymatory Największej Wiarogodności parametrów µ, σ²,

• Oblicz obciążenie oraz wariancje estymatora ˆµ uzyskanego w poprzednim podpunkcie,

• Jak duże powinno być n, żeby błąd średniokwadratowy dla µ = 0, MSE(0), był mniejszy niż 0.01, gdzie MSE(µ) = Eθ(µ − ˆµ)².

Zadanie 7:

Niech X1, ..., Xn będzie próba prostą z rozkładu normalnego o parametrach µ, σ²> 0.

• Znajdź ˆµ, ˆσ² Estymatory Największej Wiarogodności parametrów µ, σ²,

• Oblicz obciążenie oraz wariancję estymatora ˆµ uzyskanego w poprzednim podpunkcie,

• Jak duże powinno być n, żeby błąd średniokwadratowy dla µ = 0, MSE(0), był mniejszy niż 0.01, gdzie MSE(µ) = Eθ(µ − ˆµ)².

Zadanie 8:

Liczba wypadków samochodowych zgłoszonych do towarzystwa ubezpieczeniowego w k-tym miesiącu jest zmienną losową Wk o rozkładzie Poissona z parametrem λzk, gdzie zk jest liczbą samochodów zgłoszonych do ubezpieczenia w tym miesiącu, zaś λ jest nieznanym parametrem. Zmienne losowe Wk są niezależne.

• Wyznaczyć estymator Metodą Największej Wiarogodności parametru λ na podstawie próby W1, . . . , W₁₂.

• Sprawdzić, czy ten estymator jest nieobciążony.

• Wyznaczyć ryzyko (średni błąd kwadratowy, MSE) dla uzyskanego estymatora.

2