Sur le noyau sauvage des corps de nombres

LXVII.4 (1994)

Sur le noyau sauvage des corps de nombres

par

Jean-Franc ¸ois Jaulent (Talence)

0. Introduction. Notre point de d´epart dans ce travail est une formule explicite particuli`erement simple pour le symbole de Hilbert sur un corps local K

qui s’exprime comme suit : Soit l un nombre premier tel que K

contienne les racines 2l-i`emes de l’unit´e pour un r ≥ 1. Alors pour chaque racine l

-i`eme de l’unit´e ζ contenue dans K

et tout x de K

, le symbole de Hilbert correspondant est donn´e par la formule

 ζ, x p



= ζ

,

o` u e v

est une application `a valeurs dans un Z

-r´eseau de Q

d´efinie `a partir des logarithmes des valeurs absolues l-adiques.

Or l’int´erˆet de ce r´esultat n’est pas tant de donner un nouveau moyen de calcul des symboles de Hilbert (nous avons choisi d’en donner ici une preuve directe particuli`erement simple, mais nous aurions pu aussi bien l’obtenir en transformant les formules explicites classiques qui font d´ej`a intervenir le logarithme), que de relier naturellement les symboles sauvages `a une ap- plication e v

qui n’est pas d´efinie seulement modulo une congruence, mais prend effectivement ses valeurs dans un Z

-module de rang 1, et peut ainsi ˆetre regard´ee comme l’analogue d’une valuation.

Plus pr´ecisement, si en chaque place non complexe p d’un corps de nom- bres K contenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e, on convient de remplacer la valuation p-adique usuelle v

par celle logarithmique e v

, on peut alors d´efinir un groupe logarithmique de classes de diviseurs f Cl

, analogue au l-groupe des classes au sens ordinaire Cl

(et donc d’une arithm´etique voi- sine) et li´e de surcroˆıt au noyau symboles sauvages dans le groupe universel K

(K). L’isomorphisme obtenu

l^r

µ

⊗

f Cl

'

H

(K),

d´ej`a annonc´e dans un article ant´erieur en termes id´eliques (cf. [J

], th. 2.12)

1991 Mathematics Subject Classification: 11R18, 11R70, 11S31.

[335]

et reproduit sous une forme voisine quoique non canonique par d’autres au- teurs (cf. [CK], prop. 2.1), prend toute son importance ici du fait que le groupe f Cl

n’est plus d´efini comme quotient du groupe des classes d’id`eles, mais explicitement comme groupe de classes de diviseurs, donc algorith- miquement accessible aux m´ethodes num´eriques, ce qui ouvre la voie `a une approche effective du groupe H

(K).

Nous commen¸cons pour cela par rappeler quelques propri´et´es des valeurs absolues l-adiques et notamment leur interpr´etation en termes de corps de classes.

1. Rappel sur les valeurs absolues l-adiques. Si K

est un corps local, i.e. le compl´et´e en une place ultram´etrique p d’un corps de nombres K, la factorisation de son groupe multiplicatif

K

= µ

U

π

fait intervenir le groupe µ

, d’ordre N p − 1, form´e des racines de l’unit´e d’ordre ´etranger `a la caract´eristique r´esiduelle p, le groupe U

= 1 + p des unit´es principales, et le groupe monog`ene multiplicatif engendr´e par une uniformisante arbitraire π

.

Si maintenant l est un nombre premier, la valeur absolue l-adique prin- cipale | · |

est d´efinie sur K

par la formule

|x|

=

 hN p

i pour p - l, hN

(x)N p

i pour p | l,

o` u h·i est la projection canonique du groupe multiplicatif Z

des unit´es de Z

sur son sous-groupe libre maximal 1 + 2lZ

. Par composition avec le logarithme l-adique (qui est bien d´efini sur 1 + 2lZ

par le d´eveloppement en s´erie log(1 + x) = P

n≥1

(−1)

x

/n), on obtient ainsi un morphisme continu log | |

sur le groupe topologique K

`a valeurs dans le groupe additif 2lZ

(

).

Plus pr´ecis´ement, l’application obtenue induit canoniquement un Z

- morphisme, que nous continuerons `a noter log | |

, du compactifi´e l-adique de K

, d´efini comme la limite projective

K

= lim ←−

K

/K

,

sur un sous-module d’indice fini de Z

qui sera pr´ecis´e plus loin. Il est com- mode d’´ecrire

K

= U

· π

(

) La d´efinition ci-dessus de la valeur absolue l-adique principale diff`ere pour l = 2

de celle utilis´ee dans [J

] o` u sont prises en compte les composantes sur le facteur {±1} de

Z

. Cela est sans cons´equence lorsqu’on compose par le logarithme 2-adique.

comme produit direct de l’image U

du groupe des unit´es de K

(qui s’identifie au l-sous-groupe de Sylow de µ

pour p - l, au groupe U

sinon) et du Z

-module libre de rang 1 engendr´e topologiquement par l’image de l’uniformisante π

. Cela ´etant, l’application d’Artin identifie

• le compactifi´e K

au groupe de Galois Gal(K

/K

) de la pro-l- extension ab´elienne maximale de K

,

• le sous-groupe des unit´es U

au sous-groupe d’inertie Gal(K

/K

) qui correspond `a la Z

-extension non ramifi´ee K

de K

,

• et le noyau

K

= Ker log | |

au sous-groupe Gal(K

/K

) attach´e `a la Z

-extension cyclotomique K

de K

(cf. [J

], §2). En d’autres termes, K

est le groupe des normes cyclo- tomiques dans K

.

En particulier, on a K

= U

pour p - l.

2. Expression du symbole de Hilbert en termes de valeurs ab- solues. Notons m

l’ordre du sous-groupe de torsion µ

de K

(i.e. le nom- bre de racines de l’unit´e contenues dans le corps local K

), et ω

l’application d’Artin attach´ee `a K

(`a valeurs dans le groupe de Galois de l’extension ab´elienne maximale de K

). Avec ces notations le symbole de Hilbert est l’application bilin´eaire de K

× K

sur µ

d´efinie par l’identit´e

 a, b K



m_p

=

√

a

.

Cela pos´e, le r´esultat de d´epart de ce travail peut s’´enoncer comme suit : Th´ eor` eme 1. Soient l un nombre premier , K

un corps local contenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e, et m

= 2l

m

(avec l - m

) l’ordre du groupe µ

. Alors, si ζ est une racine l

-i`eme de l’unit´e dans µ

et x un

´el´ement quelconque de K

, le symbole de Hilbert correspondant est donn´e par la formule

 ζ, x K



mp

= ζ

,

o`u | |

d´esigne la valeur absolue l-adique principale sur K

.

D ´e m o n s t r a t i o n. Ecrivons m

= (N p − 1)p

l’ordre de µ

, et distin- guons deux cas suivant que la caract´eristique r´esiduelle p de K

est ´egale `a l ou non.

(i) Dans le cas mod´er´e l 6= p, il est bien connu (cf. [Se], ch. XIV) que la puissance p

-i`eme des symbole de Hilbert

p

mp

est le symbole r´egulier

(a, b)

`a valeurs dans µ

, caract´eris´e par la congruence

 a, b K



m_p

= (a, b)

≡ (−1)

a

b

(mod p).

Il vient donc ici

 ζ, x K



mp

= ζ

= ζ

,

compte tenu de l’expression dans ce cas de la valeur absolue l-adique : |x|

= hN p

i. D’autre part, puisque K

est suppos´e contenir les racines 2l

- i`emes de l’unit´e, nous avons les congruences N p ≡ 1 (mod l

) si l est impair, et N p ≡ 1 (mod 2

) si l vaut 2, ce qui nous donne dans les deux cas

log N p

N p − 1 = log(1 + (N p − 1))

N p − 1 ≡ 1 (mod l

) dans Z

. Il vient donc finalement

 ζ, x K



mp

= ζ

,

i.e. 

ζ, x K



mp

= ζ

= ζ

, comme attendu.

(ii) Dans le cas sauvage l = p, consid´erons la quantit´e

 ζ, x K



mp

=

p

ζ

.

Introduisons le sous-corps C

de K

engendr´e sur Q

par les racines l

-i`emes de l’unit´e, et notons ω

l’application d’Artin associ´ee `a C

. Nous obtenons imm´ediatement

 ζ, x K



m_p

=

p

ζ

=

 ζ, N

(x) C



m_l

, et nous sommes ainsi ramen´es `a un calcul dans le corps C

, unique compl´et´e au-dessus de l du corps cyclotomique C engendr´e sur Q par les racines l

- i`emes de l’unit´e. Or, ici, la formule du produit pour les symboles de Hilbert dans le corps C nous permet d’´ecrire, pour tout y de C

,

 ζ, y C



m_l

= Y

q6=l

 ζ, y C



mq

= ζ

avec 

m = 2l

,

m

= l

(N l − 1),

compte tenu des formules explicites d´ej`a obtenues dans le cas mod´er´e, c’est-

`a-dire :

 ζ, y C



m_l

= ζ

,

en vertu de la formule du produit pour les valeurs absolues, et finalement,

 ζ, y C



ml

= ζ

,

pour tout y de C

donc, par densit´e, pour tout y de C

; et en particulier,

 ζ, x K



m_p

=

 ζ, N

(x) C



m_l

= ζ

, ce qui nous donne donc, comme annonc´e,

 ζ, x K



= ζ

.

Au passage, nous retrouverons la classique formule d’Artin–Hasse, g´en´era- lis´ee pour l impair par Iwasawa (cf. [Iw]), et qu’on peut aussi obtenir, ind´e- pendamment de toute consid´eration de parit´e, via la th´eorie de Lubin–Tate (cf., par exemple, [La], Ch. 9).

Scolie. Conservons les notations du th´eor`eme, et supposons l = 2.

Alors, si ξ est une racine 2

-i`eme primitive de l’unit´e dans µ

et x un

´el´ement quelconque de K

, il vient

 ξ, x K



m_p

= (−ξ)

. P r e u v e. Pour q ∈ 2

Z

, nous avons en effet

log(1 + q)

q ≡ 1 − q

2 (mod 2

),

ce qui introduit un signe moins dans les calculs pr´ec´edents en vertu de l’identit´e ξ

= −1.

3. Valuations logarithmiques sur un corps de nombres. La for-

mule explicite donn´ee au th´eor`eme 1 invite naturellement `a prendre pour

l-valuation logarithmique attach´ee `a une place p d’un corps de nombres

K contenant les racines 2l

-i`emiques de l’unit´e la quantit´e − log |x|

/m

.

Malheureusement, cette d´efinition donne lieu `a des formules de transition

inutilement compliqu´ees lorsqu’on compare les l-valuations logarithmiques

ainsi d´efinies dans K `a celles qui leur correspondent dans une extension donn´e L de K. C’est pourquoi il est pr´ef´erable de proc´eder comme suit en posant :

D´ efinition. Soient l un nombre premier, K

un corps local, et m

= p

(N p − 1) le cardinal du sous-groupe de torsion µ

de K

. Par l-symbole de Hilbert attach´e `a K, nous entendons le symbole sur K

`a valeurs dans µ

d´efini sur K

× K

par

 a, b p



=

 

 

 

 

 



 a, b K



mp

=

 a, b K



N p−1

pour p - l,

 a, b K



mp

=

 a, b K



p^rp

pour p | l,

obtenu en prenant la partie r´eguli`ere du symbole de Hilbert ordinaire pour les p ´etrangers `a l, et la partie sauvage pour les p qui divisent l.

Cela ´etant, nous avons, en vertu du th´eor`eme 1 :

D´ efinition & Th´ eor` eme 3. Soient l un nombre premier , et K un corps de nombres contenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e (pour un r ≥ 1). Pour chaque place ultram´etrique p de K, nous appelons l-valuation logarithmique attach´ee `a la place p l’application e v

d´efinie par (

) :

e

v

= − log | |

log N p = v

pour p - l et e v

= − log | |

l

pour p | l, o`u v

est la p-valuation au sens ordinaire, N p la norme absolue de la place consid´er´ee, log | |

le logarithme de la valeur absolue l-adique principale associ´ee, et l

le nombre des racines de l’unit´e d’ordre l-primaire dans le compl´et´e K

pour p | l.

Avec ces conventions, pour toute racine l

-i`eme de l’unit´e ζ dans K, les l-symboles de Hilbert attach´es aux diverses places ultram´etriques de K satisfont l’identit´e

 ζ, x p



= ζ

, ∀x ∈ K

.

Scolie. Pour chaque place ultram´etrique p, la l-valuation logarithmique e

v

induit un Z

-´epimorphisme (que nous continuerons `a noter e v

) du com- pactifi´e l-adique K

de K

sur Z

, qui a pour noyau le groupe K

des normes cyclotomiques.

(

) Pour quelques places de K divisant [K : Q], la normalisation retenue ici pour la l-valuations logarithmique peut diff´erer de celle donn´ee en toute g´en´eralit´e dans [J

].

Comme on passe d’une normalisation `a l’autre en multipliant par un ´el´ement de Z

, c’est

sans cons´equence pour ce qui suit.

P r e u v e. Nous savons d´ej`a que le noyau K

= Ker log | |

dans K

est le groupe des normes cyclotomiques. Seule reste donc `a v´erifier la surjectivit´e de e v

, laquelle r´esulte imm´ediatement du th´eor`eme 1 (et de son scolie pour l = 2), puisque les symboles de Hilbert

p

m_p

pour ζ dans µ

et x dans K

prennent toutes les valeurs dans µ

.

Introduisons maintenant le l-adifi´e J

du groupe des id`eles de K, d´efini comme le produit

J

= Y

p

K

des compactifi´es l-adiques K

restreint aux familles (x

)

qui v´erifient x

∈ U

pour presque tout p. Puisque K

co¨ıncide avec U

pour p - l, la famille e

v = (v

)

des l-valuations logarithmiques envoie J

sur la somme directe L

p

Z

p d’autant d’exemplaires de Z

que de places ultram´etriques de K.

Plus pr´ecisement :

D´ efinition & Proposition 4. Convenons d’appeler l-diviseur logarith- mique toute somme formelle finie

d = X

p

a

p

de places ultram´etriques de K `a coefficients dans Z

. Cela pos´e, la famille e

v = (e v

)

des l-valuations logarithmiques d´efinit un Z

-´epimorphisme con- tinu du l-adifi´e J

= Q

p

K

du groupe des id`eles de K sur le groupe Dl

= L

p

Z

p des l-diviseurs logarithmiques qui a pour noyau le groupe J

= Q

p

K

des normes cyclotomiques locales.

P r e u v e. C’est clair (

).

D´esignons enfin par R

= Z

⊗

K

le sous-groupe principal de J

, de sorte que le quotient Cl

= J

/R

s’identifie, par la th´eorie l-adique du corps de classes, au groupe de Galois Gal(K

/K) de la pro-l-extension ab´elienne maximale de K (cf. [J

], §1).

La formule du produit pour les valeurs absolues montre que R

est contenu dans le noyau

J e

= n

(x

)

∈ J

   Y

p

|x

|

= 1 o

qui s’interpr`ete comme le sous-groupe des normes cyclotomiques globales dans J

(cf. [J

], §3).

(

) La d´efinition ci-dessus pr´ecise celle donn´ee dans [J

] : c’est ´evidemment la formule

explicite du th´eor`eme 1 qui justifie la normalisation adopt´ee ici.

En particulier, transportant cette inclusion par la valuation e v, nous obtenons :

D´ efinition & Proposition 5. Convenons de d´efinir le degr´e d’un l- diviseur logarithmique d par la formule

deg  X

p

a

p



= X

p

a

deg p, avec deg p =

 log N p pour p - l, l

pour p | l, en affectant `a chaque place ultram´etrique p un poids ´egal au logarithme de la norme absolue de p pour p - l et au nombre l

de racines sauvages de l’unit´e dans K

pour p | l. Cela ´etant, l’application f div induite par les l-valuations logarithmiques e v = (e v

)

envoie le sous-groupe principal R

= Z

⊗

K

de J

dans le groupe f Dl

des l-diviseurs logarithmiques de degr´e nul.

Nous disons que l’image f Pl

= f div(R

) est le sous-groupe principal de Dl f

, et que le quotient f Cl

= f Dl

/f Pl

est le l-groupe des classes logarith- miques de K.

4. Application au noyau sauvage de K

(K). Conservons les nota- tions pr´ec´edentes, et int´eressons nous au l-sous-groupe de Sylow du noyau H

(K) dans K

(K) des symboles sauvages ou de Hilbert. Le th´eor`eme de Moore sur le K

des corps de nombres nous donne une suite exacte courte

1 → H

(K) → K

(K) e

→ f L

p

µ

→ 1,

o` u l’application e λ, induite par les symboles de Hilbert, prend ses valeurs dans le sous-groupe f L

p

µ

de la somme directe des groupes locaux de racines de l’unit´e attach´es aux places non complexes de K, form´e des familles (ζ

)

qui satisfont la formule du produit

Y

p

ζ

= 1,

o` u m

d´esigne l’ordre de µ

et m celui du sous-groupe de torsion µ

de K

. Supposons donc que K contienne les racines 2l

-i`emes de l’unit´e, ´ecrivons m = 2l

m

(avec r ≥ 1 et l - m

) l’ordre de µ

, et formons la suite exacte du serpent associ´ee au diagramme commutatif

1 → H

(K) → K

(K) e

→ L f

p

µ

→ 1

↓

↓

↓

1 → H

(K) → K

(K) e

→ L f

p

µ

→ 1 Dans la suite exacte longue obtenue

1 →

H

(K) →

K

(K) e

→ f L

l^r

µ

→

H

(K) →

K

(K) e

→ f L

µ

→ 1,

les deux groupes `a droite sont isomorphes d’apr`es un r´esultat de Tate K

(K)/K

(K)

' f L

µ

/µ

(cf. [Ta]); et les ´el´ements d’ordre divisant l

dans K

(K) sont de la forme {ζ, x} pour ζ ∈

µ

et x dans K

, c’est-`a-dire qu’il proviennent via le symbole universel {·, ·}|K

× K

→ K

(K) du pro- duit tensoriel

µ

⊗

K

'

µ

⊗

R

. Or :

Lemme 6. L’application ζ ⊗ ( P

p

ν

p) 7→ (ζ

)

est un isomorphisme du tensoris´e

µ

⊗ f Dl

sur la somme directe restreinte f L

l^r

µ

.

P r e u v e. Fixons une racine primitive l

-i`eme de l’unit´e ζ dans K, et consid´erons un ´el´ement (ζ

)

de la somme directe L

p l^r

µ

satisfaisant la formule du produit, i.e. v´erifiant la congruence

X

p

ν

m

m ≡ 0 (mod l

).

Les p pour lesquels ν

est non nul ´etant en nombre fini, le th´eor`eme de Chebotarev nous garantit l’existence d’une place q en dehors du support de la famille (ν

)

qui ne se d´ecompose pas dans l’extension ab´elienne K[ζ

]/K, c’est-`a-dire pour laquelle m

/m est inversible dans Z

. La quan- tit´e

ν

= − m m

X

p

ν

m

m

est donc dans l

Z

, et si d est le diviseur logarithmique de degr´e nul d´efini par d = P

p

ν

p + ν

q, il est clair que ζ ⊗ d est un ant´ec´edent de la famille (ζ

)

; ce qui ´etablit la surjectivit´e. L’injectivit´e est, elle, imm´ediate.

R´ecapitulant ce qui pr´ec`ede, nous obtenons le diagramme exact :

l^r

K

(K) e

→ L f

pl^r

µ

→

H

(K) → 1

↑ ↑

l^r

µ

⊗ R

e

→

µ

⊗ f Dl

→

µ

⊗ f Cl

→ 1

et le carr´e `a gauche est commutatif en vertu du th´eor`eme 1. Il vient donc finalement, comme annonc´e dans [J

] (th. 2.12) :

Th´ eor` eme 7. Soient l un nombre premier et K un corps de nombres contenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e pour un r ≥ 1. Ecrivons H

(K) le noyau dans K

(K) des symboles de Hilbert,

µ

le sous-groupe de l

-torsion de K

, et f Cl

le l-groupe des classes logarithmiques de K. Les l-valuations logarithmiques induisent alors un isomorphisme canonique

H

(K)/H

(K)

'

µ

⊗ f Cl

.

En particulier , le l-sous-groupe de Sylow du noyau hilbertien et le l-groupe

des classes logarithmiques sont simultan´ement triviaux.

Scolie. Le mˆeme r´esultat H

(K)/H

(K)

'

µ

⊗ f Cl

vaut encore

`a l’ordre r + 1 pour l = 2, mais dans ce cas l’isomorphisme

µ

⊗ f Dl

' L f

p2^r+1

µ

est donn´e, pour ξ racine primitive 2

-i`eme de l’unit´e, par ξ ⊗  X

ν

p



7→ ((−ξ

)

, (ξ

)

).

L’isomorphisme obtenu est `a rapprocher de celui donn´e par Keune (cf.

[Ke], th. 6.6) qui fait intervenir les l-groupes de l-classes au sens habituel Cl

, mais impose en revanche de monter dans la tour cyclotomique, alors que le th´eor`eme 7 ci-dessus se lit directement dans le corps K. Une version voisine a ´egalement ´et´e ´etablie par Kramer et Candiotti (cf. [CK], prop. 2.1), mais l’isomorphisme qu’ils donnent n’est pas canonique et en particulier il ne respecte pas l’action galoisienne. Bien entendu, le point essentiel ici est la commutativit´e du diagramme c’est-`a-dire le fait que l’application e λ provient de la valuation logarithmique e v.

Il est d’autre part tentant, compte tenu de l’isomorphisme entre quotients d’exposant l

donn´e par le th´eor`eme, d’essayer de construire directement un morphisme canonique non plus entre quotients mais entre sous-groupes d’exposant l

. Il se trouve que c’est en effet possible, du moins sous la conjecture de Gross, mais ici encore en acceptant de monter dans la tour cyclotomique K

/K.

5. Extension aux corps surcirculaires. Supposons donc toujours que K soit un corps de nombres contenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e, et introduisons sa Z

-extension cyclotomique K

= S

n∈N

K

, avec, disons (

), K

= K[ζ

],

pour un syst`eme coh´erent (ζ

)

de racines primitives l

-i`emes de l’unit´e (i.e. v´erifiant ζ

= ζ

).

Si maintenant p est une place ultram´etrique de K, p

une place de K

au-dessus de p et K

le compl´et´e de K

correspondant, la d´efinition de la valeur absolue l-adique montre que l’on a |x|

= |x|

et donc

e

v

(x) = e v

(x) pour tout x de K

,

c’est-`a-dire que la valuation logarithmique d’un ´el´ement x de K

en une place p peut se calculer en n’importe quelle place au-dessus de p `a chaque

´etage fini de la tour d’extensions K

/K. Il est ainsi naturel de regarder Dl

comme un sous-module de Dl

en ´ecrivant formellement chaque place

(

) K

est ce qu’il est convenu d’appeler un corps surcirculaire (ou un Z

-corps dans

la terminologie d’Iwasawa).

ultram´etrique p de K comme somme des places de K

qui sont au-dessus : p = X

p_n|p

p

. L’identit´e imm´ediate deg

( P

pn|p

p

) = [K

: K] deg

(p) montre alors que l’on a

deg

(d) = [K

: K] deg

(d)

pour tout diviseur logarithmique d de K, et qu’en particulier f Dl

est con- tenu dans f Dl

.

Plus g´en´eralement, puisque chaque place ultram´etrique p de K est fini- ment d´ecompos´ee dans la tour cyclotomique K

/K, nous pouvons encore

´ecrire `a la limite

p = X

p_∞|p

p

comme somme des places K

qui sont au-dessus, avec pour tout x de K

, e

v

(x) = e v

(x), de sorte que l’ensemble de cette discussion peut se r´esumer comme suit :

Proposition 8. Pour chaque place ultram´etrique p

du corps surcir- culaire K

= S

n∈N

K

, d´efinissons la l-valuation logarithmique e v

sur le groupe

R

= Z

⊗

K

= [

n∈N

(Z

⊗

K

)

en posant pour tout x de R

et tout n assez grand pour que x soit dans R

,

e

v

(x) = e v

(x).

Regardons enfin f Dl

comme un sous-module de f Dl

= S

n∈N

Dl f

en d´efinissant les morphismes d’inclusion par les identit´es valables pour chaque place finie p

de K

:

p

= X

p_∞|p_n

p

. Nous obtenons alors le diagramme commutatif :

Dl f

= f L

p

Z

p → Dl f

= f L

pn

Z

p

→ Dl f

= f L

p∞

Z

p

↑ f

↑ f

↑ f

R

= Z

⊗

K

→ R

= Z

⊗

K

→ R

= Z

⊗

K

o`u les fl`eches horizontales sont les inclusions canoniques et celles verticales sont induites par les l-valuations logarithmiques.

D´ efinition 9. Nous disons que le quotient f Cl

= f Dl

/f Pl

=

−→ lim f Cl

du groupe des diviseurs de degr´e nul f Dl

par son sous-groupe

principal f Pl

= f div(R

) est le l-groupe des classes logarithmiques du corps K

.

Cela pos´e, faisons choix d’une Z

-base ζ = (ζ

)

du module de Tate T

= lim ←− µ

(c’est-`a-dire, d’un syst`eme projectif de racines primitives l

- i`emes de l’unit´e, disons (ζ

) avec ζ

= ζ

, pour tout n ∈ N). Avec les conventions ci-dessus, le th´eor`eme 7 s’´enonce `a la limite comme suit :

Th´ eor` eme 10. Soient l un nombre premier , K un corps de nombres con- tenant les racines 2l

-i`emes de l’unit´e, et K

la Z

-extension cyclotomique de K. L’application

{ζ

, x} 7→ ζ ⊗ e cl

(l

div(x)), f

o`u e cl

d´esigne la surjection canonique de f Dl

sur f Cl

, est un ´epimor- phisme du l-groupe de Sylow

H

(K

) du noyau sauvage H

(K

) dans K

(K

), sur le tensoris´e T

⊗

f Cl

∞

du sous-groupe de torsion du l- groupe des classes logarithmiques de K

, qui a pour noyau le sous-groupe de

H

(K

) form´e des symboles {ζ, x} construits sur les normes cyclo- tomiques.

En particulier , sous la conjecture de Gross dans K

on obtient ainsi l’isomorphisme

l^∞

H

(K

) ' T

⊗

Cl e

.

R e m a r q u e s. (i) Ce dernier r´esultat est sans rapport imm´ediat avec celui ´enonc´e `a la fin de la section pr´ec´edente : On peut aussi, bien entendu, passer `a la limite dans l’isomorphisme entre quotients donn´e par le th´eor`eme 7. Il convient cependant pour cela de remplacer le syst`eme inductif associ´e aux applications d’extension par le syst`eme projectif associ´e aux applications normes ou `a leurs ´equivalents (i.e. au transfert en termes de K-th´eorie).

L’isomorphisme final entre modules d’Iwasawa (qui est, lui, ind´ependant de la conjecture de Gross) :

←− lim

H

(K

) ' T

⊗

←− lim f Cl

est essentiellement bien connu (cf. [J

]). Par la th´eorie du corps de classes, la limite projective lim ←− f Cl

s’interpr`ete en effet comme le groupe de Galois Gal(C

/K

) attach´e `a la pro-l-extension ab´elienne maximale de K

qui est compl`etement d´ecompos´ee en chacune de ses places. On notera dans ce cas que la condition normique sur le syst`eme projectif de racines de l’unit´e s’´ecrit pour l = 2 : N

(ζ

) = ζ

, i.e. ζ

= −ζ

, ce qui introduit bien le signe moins attendu ici, conform´ement au scolie du th´eor`eme 7.

(ii) L’isomorphisme obtenu est `a rapprocher, en revanche, du th´eor`eme

principal de l’article de Kolster (cf. [Ko], th. 2.7). On notera cependant que

la d´efinition des groupes f Cl

est strictement de type corps de classes, tandis

que celle des groupes H

/N

(dans les notations de [J

]) intervenant dans [Ko] rel`eve de la th´eorie de Kummer. L’isomorphisme canonique r´esultant (sous Gross) f Cl

' H

/N

peut ˆetre regard´e comme l’une des formes les plus ´elabor´ees du Spiegelungssatz de Leopoldt.

P r e u v e d u t h ´e o r `e m e 10. Les r´esultats cohomologiques de Tate (cf. [Ta]) montrent que les ´el´ements de K

(K

) d’ordre d’une puissance de l sont ceux de la forme {ζ

, x}, avec r ≥ 1 et x ∈ K

(que nous pouvons tout aussi bien regarder dans R

= Z

⊗

K

, puisqu’il n’est d´efini qu’`a une puissance l

-i`eme pr`es). Or, ici, pour {ζ

, x} ∈ H

(K

), l’expression explicite des l-symboles de Hilbert donn´ee par le th´eor`eme 3 implique que le diviseur logarithmique f div(x) tombe dans le sous-module l

Dl f

de f Dl

, ce qui invite `a consid´erer la classe e cl

(l

div(x)) dans le groupe f f Cl

.

Cela ´etant, l’application ψ|ζ

⊗ x 7→ ζ ⊗ e cl

(l

div(x)) est clairement f un Z

-morphisme du groupe {ζ

⊗ x ∈ µ

⊗

R

| {ζ

, x} ∈ H

(K

)}

sur le produit T

⊗

f Cl

. Son noyau est form´e des ´el´ements ζ

⊗ x pour lesquels f div(x) est de la forme l

div(y) pour un y de R f

, autrement dit pour lesquels x s’´ecrit x = εy

avec f div(ε) = 0. Il vient donc

Ker ψ = {ζ

⊗ ε ∈ µ

⊗

R

| f div(ε) = 0}.

Et le noyau de ψ est le sous-module de µ

⊗ R

construit sur les normes cyclotomiques.

En particulier (cf. [Ko] ou [J

], th. 8(ii)), Ker ψ contient le noyau uni- versel :

{ζ

⊗ x ∈ µ

⊗ R

| {ζ

, x} = 1 dans H

(K

)},

ce qui conduit bien `a l’´epimorphisme annonc´e :

H

(K

) ³ T

⊗

f Cl

. Plus pr´ecis´ement mˆeme, la conjecture de Gross affirmant l’´egalit´e de Ker ψ et du noyau universel ainsi que celle de f Cl

et de son sous-groupe de torsion, nous obtenons dans ce cas un isomorphisme canonique

l^∞

H

(K

) ' T

⊗ f Cl

,

ce qui ram`ene l’´etude arithm´etique des noyaux hilbertiens attach´es aux corps surcirculaires `a celle des l-groupes de classes logarithmiques de ces corps.

Comme expliqu´e dans [J

], cet isomorphisme ne se redescend pas, en g´en´eral,

`a un niveau fini de la tour cyclotomique.

R´ ef´ erences

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[J

] —, La th´eorie de Kummer et le K

des corps de nombres, S´em. Th´eorie des Nom- bres Bordeaux 2 (1990), 377–411.

[J

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[J

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CENTRE DE RECHERCHE EN MATH´EMATIQUES DE BORDEAUX UNIVERSIT´E BORDEAUX I

351, COURS DE LA LIB´ERATION 33405 TALENCE CEDEX, FRANCE

Re¸cu le 26.6.1993

et r´evis´e le 24.1.1994 (2453)