Algebra liniowa z geometrią
Maciej Czarnecki 21 stycznia 2013
Spis treści
1 Geometria płaszczyzny 2
1.1 Wektory i skalary . . . 2
1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych . . . 3
1.3 Kombinacja liniowa, baza . . . 4
1.4 Punkty i wektory . . . 5
1.5 Figury geometryczne . . . 7
1.6 Układy równań liniowych — interpretacja geometryczna . . . 7
1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze . . . 8
1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt . . . . 8
1.9 Izometrie . . . 8
1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe . . . 8
1.11 Płaszczyzna zespolona . . . 8
2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 8 2.1 Wektory i punkty . . . 8
2.2 Baza . . . 8
2.3 Macierze i wyznaczniki . . . 8
2.4 Przestrzenne figury geometryczne . . . 8
2.5 Działania na macierzach . . . 8
2.6 Układy równań liniowych . . . 8
2.7 Iloczyn skalarny . . . 9
2.8 Iloczyn wektorowy . . . 9
2.9 Izometrie . . . 9
3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 9 3.1 Przestrzenie liniowe . . . 9
3.2 Podprzestrzenie liniowe . . . 10
3.3 Liniowa niezależność i baza . . . 11
3.4 Przekształcenia liniowe . . . 11
3.5 Macierze przekształceń liniowych . . . 12
4 Iloczyn skalarny 12 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne . . . 12
1 Geometria płaszczyzny
1.1 Wektory i skalary
W zbiorze liczb rzeczywistych R rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia · o następujących własnościach:
(F1) ∀a,b∈R a + b ∈ R (F2) ∀a,b∈R a · b ∈ R
(F3) ∀a,b,c∈R (a + b) + c = a + (b + c) (F4) ∃0∈R∀a∈R a + 0 = 0 + a = a
(F5) ∀a∈R ∃−a∈R a + (−a) = (−a) + a = 0 (F6) ∀a,b∈R a + b = b + a
(F7) ∀a,b∈R\{0} a · b ∈ R \ {0}
(F8) ∀a,b,c∈R (a · b) · c = a · (b · c) (F9) ∃1∈R\{0} ∀a∈R a · 1 = 1 · a = a
(F10) ∀a∈R\{0} ∃a−1∈R\{0} a · a−1= a−1· a = 1 (F11) ∀a,b∈R a · b = b · a
(F12) ∀a,b,c∈R a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Definicja 1.1.1. Określmy zbiór wektorów R2jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) ele- mentu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np.
R23 v = (v1, v2).
Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar · wzorami:
v + w = (v1+ w1, v2+ w2) a · v = (av1, av2)
dla v, w ∈ R2i a ∈ R.
Stwierdzenie 1.1.2. W zbiorze V = R2dodawanie wektorów i mnożenie wek- tora przez skalar mają następujące własności:
(V1) ∀v,w∈V v + w ∈ V (V2) ∀v∈V ∀a∈R a · v ∈ V
(V3) ∀u,v,w∈V (u + v) + w = u + (v + w) (V4) ∃θ∈V ∀v∈V v + θ = θ + v = v
(V5) ∀v∈V ∃−v∈V v + (−v) = (−v) + v = θ (V6) ∀v,w∈V v + w = w + v
(V7) ∀v,w∈V ∀a∈R a · (v + w) = (a · v) + (a · w) (V8) ∀v∈V ∀a,b∈R (a + b) · v = (a · v) + (b · v) (V9) ∀v∈V ∀a,b∈R a · (b · v) = (ab) · v
(V10) ∀v∈V 1 · v = v
Dowód: Własności (V1)–(V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1)–(F12) do obu elementów pary.
Wystarczy zauważyć, że θ = (0, 0) i dla każdego v ∈ R2 wektorem przeciw-
nym jak w (V5) jest −v = (−v1, −v2).
Definicja 1.1.3. Mówimy, że wektory v, w ∈ R2są równoległe i piszemy v k w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar.
Jeżeli jeden z wektorów v, w ∈ R2 jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v w.
Stwierdzenie 1.1.4. Dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzą warunki:
1. v k θ, v θ, 2. v k −v,
3. v −v wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ,
4. v k w wtedy i tylko wtedy, gdy v w lub v −w, 5. dla wektorów niezerowych jeżeli u k v i v k w, to u k w.
Dowód:
1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych
Definicja 1.2.1. Macierzą 2 × 2 nazywamy układ 4 = 2 · 2 liczb postaci
A =
a11 a12 a21 a22
przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba.
Zbiór wszystkich macierzy 2 × 2 oznaczamy przez M22. Definicja 1.2.2. Wyznacznikiem macierzy 2 × 2
A =
a11 a12
a21 a22
nazywamy liczbę
det A =
a11 a12
a21 a22
= a11a22− a12a21
Stwierdzenie 1.2.3. Wyznacznik macierzy 2 × 2 ma następujące własności:
1. Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny.
2. Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wy- znacznika przez a.
3. Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika.
4. Własności analogiczne do 1–3 są prawdziwe dla kolumn.
Dowód:
Definicja 1.2.4. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x1 i x2nazy- wamy równanie postaci
a1x1+ a2x2= b, gdzie a1, a2, b ∈ R.
Definicja 1.2.5. Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x1i x2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli
a11x1+ a12x2= b1 a21x1+ a22x2= b2 gdzie a11, a12, a21, a22, b1, b2∈ R.
Macierze
A =
a11 a12
a21 a22
B =
b1
b2
nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1.2.6. Jeżeli macierz A układu równań liniowych
a11x1+ a12x2= b1
a21x1+ a22x2= b2
ma wyznacznik różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie
x1= det Adet A1 x2= det Adet A2
gdzie Aj, j = 1, 2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j–tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Dowód:
1.3 Kombinacja liniowa, baza
Definicja 1.3.1. Wyznacznikiem wektorów v, w ∈ R2 nazywamy liczbę
det(v, w) =
v1 v2
w1 w2
= v1w2− v2w1.
Stwierdzenie 1.3.2. Dla dowolnych wektorów v, w ∈ R2 spełniony jest waru- nek
det(v, w) = 0 ⇐⇒ v k w (lub równoważnie det(v, w) 6= 0 ⇐⇒ v 6k w).
Dowód:
Wniosek 1.3.3. Jeżeli wektory v, w ∈ R2 nie są równoległe, to dla każdego wektora x ∈ R2istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a·v+b·w.
Dowód:
Definicja 1.3.4. Dla danych wektorów v, w wektor postaci a·v +b·w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b.
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w).
Analogicznie piszemy lin (v) = {a · v ; a ∈ R}, a nawet lin () = {θ}.
Definicja 1.3.5. Parę uporządkowaną (v, w) = B nierównoległych wektorów z przestrzeni R2nazywamy bazą przestrzeni R2.
Dla każdego wektora x ∈ R2jedyną parę liczb (a, b) takich, że x = a · v + b · w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B i oznaczamy przez CB(x).
Definicja 1.3.6. Mówimy, że baza (v, w) przestrzeni R2 jest dodatnio (odpo- wiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(v, w) > 0 (odpowiednio det(v, w) < 0).
Przykład 1.3.7. 1. Układ wektorów e1= (1, 0), e2= (0, 1) jest bazą prze- strzeni R2.
Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że (x1, x2) = x1· e1+ x2· e2,
czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne.
2. Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio.
3. Baza (e2, e1) jest zorientowana ujemnie.
1.4 Punkty i wektory
Definicja 1.4.1. Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor
−
→pq = q − p = (q1− p1, q2− p2)
W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E2, a jego elementy nazywamy punktami.
Stwierdzenie 1.4.2. Operacja −→ przypisania dwóm punktom z E2= E wek- tora z R2= V ma następujące własności:
(A1) ∀p∈E ∀v∈V ∃!q∈E −→pq = v (A2) ∀p,q,r∈E −→pq + −→qr = −→pr
Dowód: (A1): wystarczy dla p ∈ E2 i v ∈ R2 przyjąć q = (p1+ v1, p2+ v2).
(A2): −→pq + −→qr = (q − p) + (r − q) = r − p = −→pr Definicja 1.4.3. Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że −→pq = v.
Stwierdzenie 1.4.4. Dla punktów p, q i wektorów v, w spełnione są warunki 1. p + v = p + w ⇐⇒ v = w,
2. p + v = q + v ⇐⇒ p = q,
3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. −−−−−−−−→
p + v, p + w = w − v.
Dowód:
Definicja 1.4.5. Układem współrzędnych w przestrzeni E2 nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p ∈ E2oraz wektorów v, w stanowią- cych pewną bazę przestrzeni R2.
W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q ∈ E2 nazywamy współrzędne wektora −→pq w bazie (v, w).
Definicja 1.4.6. Dla danych dwóch punktów p, q ∈ E2 i danych liczb α, β ∈ R takich, że α + β = 1 punkt
αp + βq = p + β−→pq
nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p, q o wagach odpowiednio α i β.
Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach α, β, γ, przy czym α + β + γ = 1, wzorem
αp + βq + γr = p + β−→pq + γ−→pr.
Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q) , trójki p, q, r — przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}.
Przykład 1.4.7. 1. Środek ciężkości pary punktów p, q o wagach 12,12 jest środkiem odcinkapq.
2. Środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach 13,13,13 jest środkiem cięż- kości trójkąta 4pqr.
3. Punkt 2p + (−1)q jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p.
Definicja 1.4.8. Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazy- wamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punk- tów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki.
Stwierdzenie 1.4.9. Dla dowolnych punktów p, q spełnione są warunki:
1. af (p, q) = {p + a · −→
pq ; a ∈ R}, 2. conv (p, q) = {p + a · −→pq ; a ∈ [0, 1]}.
Dowód:
1.5 Figury geometryczne
Definicja 1.5.1. Dla danego punktu p i danego niezerowego wektora v zbiór postaci
p + lin (v) = {p + a · v ; a ∈ R}
nazywamy prostą przechodzącą przez punkt p i o wektorze kierunkowym v.
Stwierdzenie 1.5.2. Dla dowolnych dwóch różnych punktów p, q istnieje do- kładnie jedna prosta zawierająca oba te punkty — jest nią pq = af (p, q).
Dowód:
Definicja 1.5.3. Dla dwóch różnych punktów p, q ich otoczkę wypukłą pq = conv (p, q) nazywamy odcinkiem o końcach p i q.
Dla trzech punktów p, q, r takich, że −→pq 6k −→pr, ich otoczkę wypukłą 4pqr = conv (p, q, r) nazywamy trójkątem o wierzchołkach p, q i r.
Definicja 1.5.4. Dla punktu p i nierównoległych wektorów v, w zbiór
P(p; v, w) = {p + a · v + b · w ; a, b ∈ [0, 1]}
nazywamy równoległobokiem rozpiętym na wektorach v i w (zaczepionym w punkcie p), a zbiór
∠vpw = {p + a · v + b · w ; a, b 0}
(wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku p i ramionach rozpiętych na v i w.
Definicja 1.5.5. Półprostą o początku w punkcie p i kierunku oraz zwrocie wektora v 6= θ nazywamy zbiór
pv−→= {p + a · v ; a 0}.
Analogicznie dla punktu q nie należącego do prostej p + lin (v) określamy półpłaszczyznę
pv q→− = {p + a · v + b · −→
pq ; a ∈ R, b 0}.
o krawędzi p + lin (v) skierowaną do punktu q.
1.6 Układy równań liniowych — interpretacja geometryczna
Stwierdzenie 1.6.1. Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewia- domymi
a1x1+ a2x2= b jest
1. cała płaszczyzna R2, gdy a1= a2= b = 0, 2. prosta, gdy a16= 0 lub a26= 0,
3. zbiór pusty, gdy a1= a2= 0 i b 6= 0.
Dowód: Gdy a16= 0, to
x1= −a2
a1
x2+ b a1
, co oznacza, że wszystkie rozwiązania są postaci
−a2 a1
x2+ b a1
, x2
= b a1
, 0
+ x2
−a2 a1
, 1
Zatem zbiorem wszystkich rozwiązań jest prosta przechodząca przez punkt p =
b a1, 0
i o wektorze kierunkowym v =
−aa2
1, 1 .
Przypadek a26= 0 rozważamy analogicznie.
Uwaga 1.6.2. Równanie prostej w E2
a1x1+ a2x2= b,
gdzie a1 6= 0 lub a2 6= 0 nazywamy równaniem ogólnym w odróżnieniu od równania parametrycznego
x1= p1+ tv1 x2= p2+ tv2 które idzie w ślad za definicją prostej.
Definicja 1.6.3. Dwie proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe.
1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze
1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt
1.9 Izometrie
1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe 1.11 Płaszczyzna zespolona
2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej
2.1 Wektory i punkty 2.2 Baza
2.3 Macierze i wyznaczniki
2.4 Przestrzenne figury geometryczne 2.5 Działania na macierzach
2.6 Układy równań liniowych
Definicja 2.6.1. Równaniem liniowym z trzema niewiadomymi x1, x2, x3 na- zywamy równanie postaci
a1x1+ a2x2+ a3x3= b,
gdzie a1, a2, a3, b ∈ R.
Stwierdzenie 2.6.2. Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewia- domymi
a1x1+ a2x2+ a3x3= b jest
1. zbiór pusty, gdy a1= a2= a3= 0, b 6= 0, 2. cała przestrzeń R3, gdy a1= a2= a3= b = 0, 3. płaszczyzna, gdy a16= 0 lub a26= 0 lub a36= 0.
Definicja 2.6.3. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, . . . , xn nazywamy równanie macierzowe postaci
AX = B,
gdzie A ∈ Mmn, B ∈ M m1, zaś X =
x1
... xn
.
Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz B — macierzą wy- razów wolnych, a macierz [A|B] ∈ Mm,n+1— macierzą uzupełnioną tego układu.
Twierdzenie 2.6.4. (Kroneckera–Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A ∈ Mmn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A|B] = r A.
Wniosek 2.6.5. Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy.
Twierdzenie 2.6.6. (Cramera) Układ równań liniowych AX = B o n równa- niach i n niewiadomych taki, że det A 6= 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem
xk= det Ak
det A , k = 1, . . . , n,
gdzie Ak, k = 1, . . . , n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k–tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B.
Wniosek 2.6.7. Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A ∈ Mmn, spełnia warunek r [A|B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n − r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych.
2.7 Iloczyn skalarny 2.8 Iloczyn wektorowy 2.9 Izometrie
3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe
3.1 Przestrzenie liniowe
Definicja 3.1.1. Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór
V wraz z funkcją + określoną na zbiorze V × V par elementów z V oraz funkcją
· określoną na zbiorze R × V spełniającymi warunki (V1)–(V10).
Przykład 3.1.2. przykł. 5.2 +
Mmn jest przestrzenią liniową.
Definicja 3.1.3. Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N ∪ {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n ∈ N ∪ {0}, że an6= 0 i am= 0 dla m > n.
Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej okre- śloną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego θ = (0, 0, . . .), któremu nie przypisujemy stopnia.
Dla wielomianu a ∈ R[x] stopnia n stosujemy zapis
a = a0+ a1x + a2x2+ . . . + anxn lub a(x) = a0+ a1x + a2x2+ . . . + anxn. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem θ) oznaczamy przez R[x]n.
Wniosek 3.1.4. Zbiór R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mno- żenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową.
Dla dowolnego n ∈ N ∪ {0} zbiór R[x]n wraz z działaniami dodawania wie- lomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową.
Definicja 3.1.5. def. 5.5
Przykład 3.1.6. Element z Rn jest układem n liczb R.
Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N.
Definicja 3.1.7. def. 5.6 Stwierdzenie 3.1.8. stw. 5.4
3.2 Podprzestrzenie liniowe
Niech V będzie przestrzenią liniową.
Definicja 3.2.1. def. 6.1 Stwierdzenie 3.2.2. stw. 6.2 Stwierdzenie 3.2.3. stw. 6.3 Wniosek 3.2.4. stw. 6.4 Przykład 3.2.5. def. 6.5
+
Zbiór macierzy symetrycznych n × n, tzn. takich A ∈ Mnn, że AT = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Mnn.
Stwierdzenie 3.2.6. def. 6.6 Stwierdzenie 3.2.7. def. 6.8 Wniosek 3.2.8. def. 6.9
3.3 Liniowa niezależność i baza
Definicja 3.3.1. def. 7.1 Stwierdzenie 3.3.2. stw. 7.2 Przykład 3.3.3. przykł. 7.3, 7.4
+
Układ macierzy Eij ∈ Mmn, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, przy czy macierz Eij ma na miejscu (i, j) jedynkę, a na pozostałych miejscach zera, jest liniowo niezależny.
Stwierdzenie 3.3.4. def. 7.5 Definicja 3.3.5. def. 8.1 Stwierdzenie 3.3.6. stw. 8.7 Stwierdzenie 3.3.7. stw. 8.3 Definicja 3.3.8. def. 8.5 Twierdzenie 3.3.9. tw. 8.8 Przykład 3.3.10. przykł. 8.2, 8.9
+
Układ macierzy Eij ∈ Mmn, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, stanowi bazę prze- strzeni Mmn.
Twierdzenie 3.3.11. def. 8.11 Stwierdzenie 3.3.12. def. 8.14
Definicja 3.3.13. Mówimy, że przestrzeń liniowa ma wymiar skończony, jeżeli każdy nieskończony układ jej wektorów jej liniowo zależny.
Wymiarem przestrzeni liniowej wymiaru skończonego nazywamy liczbę ele- mentów jej dowolnej bazy. Jeżeli układ (v1, . . . , vn) jest bazą przestrzeni liniowej V , to piszemy dim V = n.
Gdy przestrzeń V nie jest skończonego wymiaru, piszemy dim V = ∞.
Przykład 3.3.14. przykł. 8.13 +
dim Mmn= mn
3.4 Przekształcenia liniowe
Definicja 3.4.1. def. 9.1 Stwierdzenie 3.4.2. stw. 9.2 Stwierdzenie 3.4.3. stw. 9.3 Przykład 3.4.4. przykł. 9.4 Stwierdzenie 3.4.5. stw. 9.5
Definicja 3.4.6. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z prze- strzenią liniową W , co zapisujemy V ∼= W , gdy istnieje izomorfizm ϕ : V → W .
Stwierdzenie 3.4.7. Izomorficzność przestrzeni liniowych jest relacją równo- ważności.
stw. 9.6
Twierdzenie 3.4.8. tw. 9.9 Definicja 3.4.9. def. 9.10 Stwierdzenie 3.4.10. stw. 9.11 Przykład 3.4.11. przykł. 9.12 Stwierdzenie 3.4.12. stw. 9.13 Twierdzenie 3.4.13. tw. 9.14 Twierdzenie 3.4.14. tw. 9.15
3.5 Macierze przekształceń liniowych
Definicja 3.5.1. def. 10.1
Funkcję przypisującą liczbom naturalnym i, j liczbę δij równą 1, gdy i = j, a 0, gdy i 6= j, nazywamy deltą Kroneckera.
Przykład 3.5.2. przykł. 10.3 Stwierdzenie 3.5.3. stw. 10.4 Definicja 3.5.4. def. 10.5
Stwierdzenie 3.5.5. wn. 11.8 + przykł. 11.7 Stwierdzenie 3.5.6. wn. 11.16
4 Iloczyn skalarny
4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne
Definicja 4.1.1. def. 18.1 +
(V, h., .i) przestrzeń ortogonalna Uwaga 4.1.2. uw. 1
Przykład 4.1.3. przykł. 18.2 Definicja 4.1.4. def. 18.3, 18.4 Definicja 4.1.5. def. 18.5 Przykład 4.1.6. przykł. 18.7 Stwierdzenie 4.1.7. stw. 18.6 Stwierdzenie 4.1.8. def. 18.8
Wniosek 4.1.9. Każda przestrzeń ortogonalna skończonego wymiaru posiada bazę ortonormalną.
