LISTA 26 Zadanie 1.
Suma 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem 𝑆𝑛 = 2𝑛2+ 𝑛 dla 𝑛 ≥ 1 . Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
𝑎2+ 𝑎4+ 𝑎6+ ⋯ 𝑎100 oraz lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 3𝑛2−2 . Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność: |𝑥 − 2| + |3𝑥 − 6| < |𝑥|
Zadanie 3.
Liczby 𝑥1= 5 + √23 i 𝑥2= 5 − √23 są rozwiązaniami równania 𝑥2− (𝑝2+ 𝑞2)𝑥 + (𝑝 + 𝑞) = 0 z niewiadomą 𝑥. Oblicz wartości 𝑝 i 𝑞.
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 w przedziale 〈0, 2𝜋〉.
Zadanie 5.
Dane jest równanie |2𝑥+ 3| = 𝑝 z niewiadomą 𝑥. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru 𝑝.
Zadanie 6.
Udowodnij, że jeżeli ciąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
Zadanie 7.
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu 𝑦 =1
4𝑥2+ 1 jest równoodległy od osi 𝑂𝑥 i od punktu 𝐹 = (0, 2).
Zadanie 8.
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu (𝑥 − 16)2+ 𝑦2= 4 jest okrąg o równaniu (𝑥 − 6)2+ (𝑦 − 4)2= 16, a skala tej jedno- kładności jest liczbą ujemną
Zadanie 9.
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji 𝑓(𝑥) = log√2 2
(8𝑥 − 𝑥2) . Zadanie 10.
Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.
