Zadania i problemy do wykładu Statystyka A (Zestaw nr 3)
Metoda momentów
Zadanie 1. Rozpatrzmy próbę losową (X1, X2, ..., Xn) z rozkładu normalnego N (µ, σ2) o nieznanej wartości oczekiwanej µ i nieznanej wariancji σ2. Wyznacz metodą mo- mentów estymator wektora parametrów modelu (µ, σ2).
Zadanie 2. Rozpatrzmy próbę losową (X1, X2, ..., Xn) z rozkładu bernoulliego b(k, p) o gęstości postaci
P (X1 = i | k, p) = k i
!
pi(1 − p)k−i, i = 0, 1, ..., k.
Zakładamy, że zarówno k jak i p są nieznane. Wyznacz metodą momentów estymator wektora parametrów modelu (k, p).
Zadanie 3. Niech X1, ..., Xn będzie próbą losową z populacji o rozkładzie wykład- niczym z parametrem θ.
1. Wykorzystując pierwszy moment, wyznacz metodą momentów estymator pa- rametru θ.
2. Wykorzystując drugi moment, wyznacz metodą momentów estymator para- metru θ.
3. Wykorzystując medianę rozkładu, wyznacz metodą momentów estymator pa- rametru θ.
4. Wyznacz metodą momentów estymator prawdopodobieństwa p = P (X > 3) = e−3θ.
Zadanie 4. Niech X1, ..., Xn będzie próbą losową z populacji z rozkładu jedno- stajnego na odcinku [−θ, θ] z nieznaną wartością parametru θ. Wyznacz metodą momentów estymator parametru θ.
Krzysztof Topolski
