Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Analiza matematyczna I

Tadeusz Rzeżuchowski

T. Rzeżuchowski Analiza, semestr 1 Liczby rzeczywiste

Własność gęstości zbioru liczb wymiernych

Twierdzenie

Pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami wymiernymi istnieje liczba wymierna różna od każdej z nich.

Reprezentacja liczb wymiernych na prostej

Jeśli na prostej ustalimy punkt odpowiadający liczbie 0 i odcinek o długości równej 1, to każdej liczbie wymiernej odpowiada dokładnie jeden punkt na prostej.

Niezupełność zbioru liczb wymiernych

Twierdzenie

Na prostej istnieją punkty, które nie odpowiadają żadnej liczbie wymiernej.

Przekątna kwadratu o długości 1

Jej długości nie można wyrazić liczbą wymierną.

Przykłady luk w zbiorze liczb wymiernych

Twierdzenie

Jeśli p jest liczbą pierwszą, to nie istnieje liczba wymierna u, dla której zachodziłaby równość u² = p.

Uzupełnianie zbioru liczb wymiernych

Przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych

Definicja

Przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa się każdą parę uporządkowaną [A, B]złożoną z dwóch niepustych podzbiorów zbioru Q, spełniającą następujące warunki:

1 A ∪ B = Q

2 ∀a ∈ A, ∀b ∈ B; a < b

Uzupełnianie zbioru liczb wymiernych

Rodzaje przekrojów Dedekinda

Możliwe są następujące przekroje Dedekinda:

Przekrój wymierny: dokładnie jedna z klas jest domknięta.

Dolna klasa domknięta, górna otwarta.

Górna klasa domknięta, dolna otwarta.

Przekrój niewymierny: obydwie klasy są otwarte.

Twierdzenie

Nie istnieją przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych z obydwoma klasami domkniętymi.

Rodzaje przekrojów Dedekinda

Przykłady przekrojów Dedekinda

Przykład

A = {q ∈ Q; q ¬ 1}, B = Q \ A – przekrój wymierny;

B = {q ∈ Q; q > 0, q² > 2}, A = Q \ B – przekrój niewymierny.

Określenie zbioru liczb rzeczywistych

Definicja

Zbiór wszystkich przekrojów Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych.

Oznaczamy go przez R.

Liczby rzeczywiste wymierne i niewymierne

Przekroje Dedekinda, w których jedna z klas jest domknięta,

identyfikujemy z liczbami wymiernymi. Przekroje, w których obydwie klasy są otwarte, nazywamy liczbami niewymiernymi.

Gęstość zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych

Twierdzenie

Pomiędzy dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się zawsze różna od nich liczba wymierna.

Własność ciągłości (zupełności) zbioru liczb rzeczywistych

Twierdzenie

Dla każdego przekroju Dedekinda [A, B] zbioru liczb

rzeczywistych jedna z klas jest domknięta. (Oczywiście tylko jedna z klas.)

Kresy zbiorów liczbowych

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbiór U ⊂ R nazywa się ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba b taka, że

∀u ∈ U; u ¬ b

Liczbę b nazywa sięograniczeniem górnym zbioru U.

Jeśli b jest ograniczeniem górnym zbioru U, to każda liczba większa od niej też jest jego ograniczeniem górnym.

Analogicznie określa się zbiory ograniczone z dołu i ograniczenia dolne.

Kresy zbiorów liczbowych

Najmniejsze ograniczenie górne i dolne zbioru

Twierdzenie

Jeśli niepusty zbiór U ⊂ R jest ograniczony z góry, to istnieje jego najmniejsze ograniczenie górne.

Definicja

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru nazywa się jegokresem górnymlub supremum i oznacza sup U.

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów ograniczonych z dołu, a największe ograniczenie dolne zbioru nazywa się jegokresem dolnym lubinfimumi oznacza inf U.

Kresy zbiorów liczbowych

Kresy zbiorów nieograniczonych i zbioru pustego

Definicja

Jeśli niepusty zbiór U ⊂ R nie jest ograniczony z góry, to przyjmujemy sup U = +∞

Jeśli niepusty zbiór U ⊂ R nie jest ograniczony z dołu, to przyjmujemy inf U = −∞

sup ∅ = −∞ , inf ∅ = +∞

Kresy zbiorów liczbowych

Maksimum i minimum zbioru

Definicja

Jeśli sup U ∈ U, to liczbę sup U nazywamy maksimum zbioru U i oznaczamy max U.

Jeśli inf U ∈ U, to liczbę inf U nazywamy minimum zbioru U i oznaczamy min U.

Kresy zbiorów liczbowych

Charakteryzacja skończonych kresów zbioru

Twierdzenie

Jeśli U ⊂ R jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry, to następujące warunki są równoważne:

s = sup U

( ∀p ∈ U; p ¬ s

∀x < s, ∃p ∈ U; x < p

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla kresu dolnego zbioru U niepustego, ograniczonego z dołu.

Przykłady kresów

sup([0 , 1] ∪ (1, 5 , 3)), inf([0 , 1] ∪ (1, 5 , 3));

sup^S5_{i =1}^h−i , i −¹_iⁱ sup A, inf A, gdzie

A =

∞

[

i =1



−2 −1

i, 1 −1 i



sup A, inf A, gdzie A =

∞

\

i =2



−2 −1

i, 1 −1 i



Przykłady własności kresów

sup(−A) = − inf A, inf(−A) = − sup A;

Jeśli zbiory A, B są ograniczone, to

sup(A + B) = sup A + sup B , sup(A − B) = sup A − inf B inf(A + B) = inf A + inf B , inf(A − B) = inf A − sup B

gdzie A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}, A − B = {a − b; a ∈ A, b ∈ B}

Błąd bezwzględny i błąd względny

W praktyce na ogół operuje się wartościami przybliżonymi.

Przyjmijmy, że wartością dokładną jest x , a wartością przybliżoną ˜x .

Błąd bezwzględny:

∆ = ˜x − x Błąd względny

δ = ˜x − x

x = ∆

x

Oszacowania błędów przy dodawaniu

˜

x₁ = x₁+ ∆₁, ˜x₂ = x₂+ ∆₂ δ1 = ∆₁

x₁ , δ2 = ∆₂ x₂

∆ = (˜x₁+ ˜x₂) − (x₁+ x₂) , δ = ∆ x₁+ x₂

|∆| ¬ |∆₁| + |∆₂|

|δ| ¬ max{|δ₁|, |δ₂|} · |x₁| + |x₂|

|x₁+ x₂|

Jeśli dodajemy liczby dodatnie, to błąd względny sumy jest mniejszy lub równy niż większy z błędów względnych składników.

Oszacowania błędów przy odejmowaniu

˜

x₁ = x₁+ ∆₁, ˜x₂ = x₂+ ∆₂ δ₁ = ∆₁

x₁ , δ₂ = ∆₂ x₂

∆ = (˜x₁− ˜x₂) − (x₁− x₂) , δ = ∆ x1− x2

|∆| ¬ |∆1| + |∆2|

|δ| ¬ max{|δ₁|, |δ₂|} · |x₁| + |x₂|

|x₁− x₂|

Jeśli odejmujemy bliskie sobie liczby, to błąd względny różnicy może być bardzo duży w porównaniu do błędów względnych odejmowanych liczb.

Przykład błędów bezwzględnych i względnych

Oszacować błąd bezwzględny i względny przy dodawaniu i odejmowaniu wartości przybliżonych:

x₁ = 1000 , x˜₁ = 1001 x₂ = 1002 , x˜₂ = 1000

T. Rzeżuchowski Analiza, semestr 1

Ciągi liczbowe

Pojęcie ciągu

Definicja

Ciągiem nazywamy każde odwzorowanie zbioru liczb naturalnych N w pewien ustalony zbiór X .

Jeśli X = R, to mówimy o ciągach liczbowych.

Przykłady sposobów określania ciągów

wzór

x_n = n

n + 1 , a_n= (−1)ⁿ, b_n= 7 opis

x_n =

( n − gdy n nie jest liczbą parzystą n² − gdy n jest liczbą parzystą an – n-ty wynik rzutu kostką.

rekurencja

x₁ = 5 , x_n=√

x_n−1+ n y0 = 0, y1 = 1 , yn= yn−2+ yn−1

Granica ciągu liczbowego

Definicja

Liczba g jest granicą ciągu liczbowego a_n, jeśli spełniony jest warunek

∀ε > 0, ∃nε ∈ R, ∀n ­ n^ε; |an− g | < ε

Piszemy wtedy:

n→∞lim an= g Ciąg mający granicę nazywa się zbieżnym.

Granica ciągu, interpretacja na wykresie

Granica ciągu, interpretacja na wykresie

Granica ciągu, interpretacja na wykresie

Granica ciągu, interpretacja na wykresie

Podstawowe własności związane z granicą ciągu

Lemat

Ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę.

Lemat

Dla każdego ciągu a_n mamy

lim an= g ⇔ lim(an− g ) = 0 ⇔ lim |an− g | = 0 Lemat

Ciąg zbieżny jest ograniczony, to znaczy

∃M ­ 0, ∀n ∈ N; |a_n| ¬ M.

Nierówności związane z granicami

Lemat

Jeśli ciągi an i bn są zbieżne oraz ∀n ∈ N; an¬ bn, to lim an ¬ lim bn.

Lemat

Jeśli lim_n→∞a_n= g oraz g > α, to

∃˜n, ∀n ­ ˜n; a_n > α

Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie

Jeśli lim a_n= lim b_n = g oraz dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzą nierówności

a_n ¬ u_n¬ b_n to ciąg u_n jest zbieżny oraz lim u_n= g .

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ciągów

Twierdzenie

Załóżmy, że ciągi a_n i b_n są zbieżne. Wtedy:

1 Ciągi a_n+ b_n, sa_n (s ∈ R), anb_n są zbieżne i lim(a_n+ b_n) = lim a_n+ lim b_n

lim sa_n= s lim a_n lim(a_nb_n) = lim a_n· lim b_n

2 Jeśli lim b_n 6= 0, to ciąg ^a_bⁿ

n jest zbieżny i lim an

b_n = lim an

lim b_n

Granice ciągów – przykłady 1

Korzystając z definicji granicy udowodnić, że

n→∞lim 1

n = 0 , lim

n→∞

1

2n − 1 = 0 , lim

n→∞

1

n² = 0 , lim

n→∞(0, 7)ⁿ= 0 Wykazać, że dla p ∈ N ∪ {0}

n→∞lim

p

X

k=0

n^−k= 1

Wykazać, że dla q ∈ (−1, 1)

n→∞lim qⁿ= 0 Wykazać, że jeśli an­ 0 i lim an= g , to lim√

an=√ g .

Granice ciągów – przykłady 2

Udowodnić

n→∞lim

√n

a = 1 (dla a > 0) , lim

n→∞

√n

n = 1 , lim

n→∞

1 nsin1

n = 0 Wykazać, że dla a > 1 jest lim_aⁿn = 0.

Wykazać, że dla a ∈ R jest lim^an!ⁿ = 0.

Znaleźć granice wyrażeń n²+ 3

2n²− 100n + π , 120n³− n + 1 n⁵+ 3 ,

r2πn⁵+ n + 5 4n⁵− n⁴− 13 0, 5ⁿ

√n , p

n²+ n + 1 − n , p³

n³− n²+ n + 7 −p³ n³+ 3 5ⁿ⁺³+ 3

5ⁿ− 2 , n²

aⁿ (a > 1) , √ⁿ

2ⁿ+ πⁿ, √ⁿ 5ⁿ− 3ⁿ

Ciągi monotoniczne

Definicja Ciąg an jest:

rosnący, jeśli ∀n ∈ N; an< a_n+1 niemalejący, jeśli ∀n ∈ N; an ¬ a_n+1 malejący, jeśli ∀n ∈ N; an > a_n+1 nierosnący, jeśli ∀n ∈ N; an­ a_n+1

Wszystkie takie ciągi określa się wspólnym mianem ciągów monotonicznych.

Ciągi monotoniczne – przykłady

Wykazać monotoniczność ciągów:

x_n= n²− n + 1 , x_n= aⁿ(a ­ 0) , x_n= n^α Określonego rekurencyjnie

x1=√

2 , xn+1=√ 2 + xn

Zbieżność ciągów monotonicznych

Twierdzenie

Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Przykłady zastosowań tw. o zbieżności ciągów monotonicznych

Wykazać zbieżność ciągów:

xn=

n

X

k=1

1

k² , xn=

n

X

k=1

pk

10^k , (pk ∈ Z ∩ [0, 9])

x_n=

n

Y

k=2

 1 − 1

k



, ( symbolY

oznacza iloczyn.)

określonego rekurencyjnie x1=√

2 , xn+1=√ 2 + xn

Liczba e

Określenie jako granica pewnego ciągu

Twierdzenie Ciąg



1 + 1 n

n

jest rosnący i ograniczony z góry, więc zbieżny.

Definicja

Granicę ciągu^1 + _n^1n nazywamy stałą Eulera i oznaczamy przez e.

Liczba e - charakteryzacja

Twierdzenie

Prawdziwa jest równość

e = lim

n→∞

n

X

k=0

1 k!

a ponadto dla każdego n ∈ N 0 < e −

n

X

k=0

1

k! < 1 n! · n Wniosek

Liczba e jest niewymierna.

Liczba e – przykłady

Znaleźć granice ciągów:

 1 + 1

3n

ⁿ

,  n + 3 n + 1

ⁿ

,  n − 1 n + 1

ⁿ

 1 + 1

n²

ⁿ

, n (ln(n + 3) − ln n)

Własność zstępującego ciągu przedziałów domkniętych

Twierdzenie Załóżmy, że

∀n ∈ N; a_n¬ a_n+1 ¬ b_n+1 ¬ b_n oraz

lim(b_n− a_n) = 0.

Wtedy część wspólna wszystkich przedziałów [a_n, b_n] jest zbiorem jednopunktowym {g } oraz lim a_n = lim b_n= g . Wniosek

Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Zupełność zbioru liczb rzeczywistych

Warunek Cauchy’ego

Definicja

Ciąg a_n spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli

∀ε > 0, ∃n_ε, ∀m, n ­ n_ε; |a_m− a_n| ¬ ε

Mówi się też, że taki ciąg jest ciągiem Cauchy’ego.

Zupełność zbioru liczb rzeczywistych

Ciągi zbieżne a ciągi Cauchy’ego.

Lemat

Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.

Lemat

Ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

Zupełność zbioru liczb rzeczywistych

Twierdzenie

Ciąg liczbowy a_n spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny.

Tę własność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy jegozupełnością.

Uwaga

Zbiór liczb wymiernych nie jest zupełny, to znaczy w obrębie zbioru liczb wymiernych nie każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

Ciągi Cauchy’ego – przykłady

Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność ciągów:

xn=

n

X

k=1

1

k , yn=

n

X

k=1

1

k² , zn=

n

X

k=1

sin k k²

Granice niewłaściwie

Definicja

Ciąg a_n jest zbieżny do +∞, jeśli spełnia następujący warunek:

∀L ∈ R, ∃nL, ∀n ­ n_L; a_n> L

Definicja

Ciąg a_n jest zbieżny do −∞, jeśli spełnia następujący warunek:

∀L ∈ R, ∃nL, ∀n ­ n_L; a_n< L

Granice niewłaściwe

Ciąg zbieżny do +∞

Granice niewłaściwe

Ciąg zbieżny do +∞

Granice niewłaściwe

Ciąg zbieżny do +∞

Granice niewłaściwe

Ciąg zbieżny do +∞

Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności – suma

Lemat

Jeśli ciąg a_n jest zbieżny do +∞, a ciąg b_n jest ograniczony z dołu, to ciąg a_n+ b_n jest zbieżny do +∞.

Lemat

Jeśli ciąg a_n jest zbieżny do −∞, a ciąg b_n jest ograniczony z góry, to ciąg a_n+ b_n jest zbieżny do −∞.

Własności ciągów zbieżnych do nieskończoności – iloczyn

Lemat

Jeśli ciąg a_n jest zbieżny do +∞, a ciąg b_n począwszy od pewnego wskaźnika ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią (z góry przez liczbę ujemną), to iloczyn anbn jest ciągiem zbieżnym do +∞ (do −∞).

Granice niewłaściwe – przykłady

Zbadać zbieżność ciągów

√p

n , (−1)ⁿn² , n³+ 2 n²+ 5 , x_n=

n

X

k=1

√1

k , x_n= aⁿ(a ∈ R)

Podciągi

Definicja

Dany jest ciąg a_n. Jeśli n_k jest dowolnym silnie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to ciąg b_k określony równością b_k = a_nk nazywamypodciągiem lub ciągiem częściowym ciągu a_n.

Podciąg – ilustracja

Podciąg – ilustracja

Punkty skupienia ciągu

Definicja

Granicę podciągu zbieżnego danego ciągu nazywa siępunktem skupieniatego ciągu.

Podciągi – przykłady

Wskazać kilka podciągów danego ciągu. Podać punkty skupienia.

(−1)ⁿ, (1 + (−1)ⁿ)n

Określić ciąg, którego zbiór punktów skupienia składa się z liczb 3, 5, 7

wszystkich liczb naturalnych (i tylko tych).

Znaleźć zbiór punktów skupienia ciągów sinnπ

6

 , 

sinnπ 6

n

, 1

n+ (−1)ⁿ

Podciągi – ciąg zbieżny, a jego podciągi

Lemat

Jeśli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.

Lemat

Jeśli każdy podciąg danego ciągu ma podciąg zbieżny do tej samej liczby g , to wyjściowy ciąg jest zbieżny do tej liczby.

Podciągi – zbiór podciągów ciągu liczb wymiernych

Przykład

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, to znaczy, że

„można go ustawić w ciąg”.

Niech q_n będzie takim ciągiem.

Każda liczba rzeczywista jest granicą jakiegoś podciągu tego ciągu.

Ciąg q_n ma „więcej” punktów skupienia niż wyrazów.

Podciągi – Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Twierdzenie

Każdy ograniczony ciąg liczbowy ma podciąg zbieżny.

Jeśli przedział zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu, to przynajmniej jedna z dwóch części przedziału też zawiera ich nieskończenie wiele.

Uwaga: Wyrazy ciągu nie muszą być wszystkie różne – to dotyczy również np. ciągu stałego.

Granica górna ciągu liczbowego

Definicja

Granicą górnąciągu a_n nazywa się kres dolny zbioru liczb g spełniających warunek

∀ε > 0, ∃n_ε, ∀n ­ n_ε; a_n < g + ε Granicę górną oznacza się symbolem

lim sup

n→∞

a_n

Uwaga

Jeśli nie ma takiej liczby g , to lim sup a_n= +∞.

Jeśli każda liczba g spełnia warunek z definicji, to lim sup an= −∞.

Granica dolna ciągu liczbowego

Definicja

Granicą dolnąciągu a_n nazywa się kres górny zbioru liczb g spełniających warunek

∀ε > 0, ∃n_ε, ∀n ­ n_ε; a_n > g − ε Granicę dolną oznacza się symbolem

lim inf

n→∞ a_n Uwaga

Jeśli nie ma takiej liczby g , to lim inf a_n= −∞.

Jeśli każda liczba g spełnia warunek z definicji, to lim sup a_n= +∞.

Związek granicy ciągu z granicą górną i dolną

Twierdzenie

Ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica górna i dolna są sobie równe.

W przypadku istnienia granicy ciągu jest ona równa granicy górnej i dolnej.

Granica górna i dolna – przykłady

Znaleźć granicę górną i dolną ciągów:

n³+ 1

2n³− n²+ 5sin2nπ

3 , (1 + (−1)ⁿ)

 1 − 1

n

 , pⁿ

2ⁿ+ 5^n·(−1)n

x_n=

n

X

k=1

(−1)^k , x_n= (n²+ 1)⁽⁻¹⁾ⁿ

Porównywanie ciągów – ”O duże”

Definicja

Ciąg u_n jest ”O duże” ciągu v_n, jeśli

∃L ­ 0, ∃n₀ ∈ N, ∀n ­ n₀; |u_n| ¬ L|v_n| Zapisuje się to symbolicznie u_n= O(v_n).

Lemat

Jeśli wyrazy ciągu {v_n} są różne od zera, to u_n = O(v_n) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ^u_vⁿ

n jest ograniczony.

Porównywanie ciągów – ”o małe”

Definicja

Ciąg u_n jest ”o małe” ciągu v_n, jeśli

∀ε > 0, ∃n_ε, ∀n ­ n_ε; |u_n| ¬ ε|v_n| Zapisuje się to symbolicznie u_n= o(v_n).

Lemat

Jeśli wyrazy ciągu {v_n} są różne od zera, to u_n = o(v_n) wtedy i tylko wtedy, gdy lim^u_vⁿ

n = 0.

O małe i duże – przykłady

Uzasadnić:

2n + 1 = O(n) 5 + n

n²− 0, 5 = O 1 n



, (−1)ⁿ= O(1)

n = o(n²) , 1

n² = o 1 n



, 2⁻ⁿ= o(1)

Porównywanie ciągów – ciągi równoważne

Definicja

Ciągi {u_n} i {v_n} są równoważne, jeśli u_n− v_n = o(v_n) Zapisuje się to tak: u_n ∼ v_n.

Uwaga

Jeśli dwa ciągi są równoważne, to począwszy od pewnego miejsca, jeśli wyraz jednego z nich jest równy 0, to drugiego też.

Porównywanie ciągów – relacja równoważności

Lemat

Ciągi un i vn są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg αn taki, że lim αn= 0 oraz począwszy od pewnego n zachodzi równość u_n= (1 + α_n)v_n.

Wniosek

Relacja ∼ jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich ciągów liczbowych.

Równoważność ciągów – przykłady

Sprawdzić czy ciągi są równoważne:

n² i n²+ 100n + π , 1

n i 1 + (−1)ⁿ n 1

n² i 1 nsin1

n , 1

n i n + 3 n²+ 5

T. Rzeżuchowski Analiza, semestr 1

Szeregi liczbowe

Szereg liczbowy – określenie

Definicja

Szeregiem liczbowymnazywamy parę ciągów u_n, S_n, gdzie u_n jest dowolnym ciągiem liczbowym, a ciąg S_n jest zdefiniowany wzorem

Sn=

n

X

k=1

uk

Ciąg u_n nazywa się ciągiem wyrazówtego szeregu, a ciąg S_n ciągiem sum częściowych. Na ogół szereg oznacza się skrótowo jednym z następujących symboli:

∞

X

n=1

u_n , ^Xu_n

Szeregi liczbowe zbieżne

Definicja

I Szereg ^Pu_n nazywamy zbieżnym, jeśli zbieżny jest jego ciąg sum częściowych.

I Granicę ciągu sum częściowych, o ile istnieje, nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem

∞

X

n=1

u_n

I Jeśli szereg nie jest zbieżny, to mówimy, że jest rozbieżny.

I Jeśli ciąg sum częściowych szeregu jest zbieżny do granicy niewłaściwej +∞ lub −∞, to mówimy, że suma tego szeregu jest odpowiednio równa +∞ bądź −∞.

Szeregi liczbowe zbieżne – przykłady

Sprawdzić zbieżność szeregów na podstawie definicji – znaleźć sumy szeregów zbieżnych:

∞

X

n=1

qⁿ,

∞

X

n=1

1 n(n + 1) ,

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Twierdzenie

Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny, to ciąg jego wyrazów jest zbieżny do zera.

Uwaga

Ze zbieżności do zera ciągu wyrazów nie wynika zbieżność szeregu.

Przykład

Ciąg harmoniczny^P_n¹ jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności szeregów – przykłady

∞

X

n=1

n²+ 1 100n²+ 23n + 13 ,

∞

X

n=1

sinnπ 3

∞

X

n=1

sin1 n ,

∞

X

n=1

tg 2⁻ⁿ

Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę

Twierdzenie

I Jeśli zbieżne są szeregi ^Pun i ^Pvn, to zbieżny jest szereg

P(un+ vn) i

∞

X

n=1

(u_n+ v_n) =

∞

X

n=1

u_n+

∞

X

n=1

v_n

I Jeśli zbieżny jest szereg ^Pu_n, a α jest dowolną liczbą, to zbieżny jest też szereg ^Pαun i

∞

X

n=1

αu_n= α

∞

X

n=1

u_n

Dodawanie szeregów i mnożenie przez liczbę – przykłady

Znaleźć sumy szeregów:

∞

X

n=1



2⁻ⁿ+ 3 n(n + 1)

 ,

∞

X

n=1

2ⁿ+ 5ⁿ⁺¹ 7ⁿ

Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów

Twierdzenie

Szereg^Pun jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek

∀ε > 0, ∃nε, ∀m ­ nε, ∀k ∈ N;

m+k

X

n=m

un

< ε

Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów – przykłady

Korzystając z warunku Cauchy’ego wykazać zbieżność lub rozbieżność szeregów:

∞

X

n=1

an

10ⁿ (an∈ R, |an| ¬ A),

∞

X

n=1

arc tg ((−2)ⁿ) n²

∞

X

n=1

1

n^α (α > 1) ,

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n

Kryterium porównawcze zbieżności szeregów

Twierdzenie

I Jeśli szereg ^Pu_n o wyrazach nieujemnych jest zbieżny i dla n ∈ N zachodzą nierówności |x_n| ¬ u_n , to szereg

Px_n jest zbieżny.

I Jeśli szereg ^Pun jest rozbieżny i dla n ∈ N zachodzą nierówności 0 ¬ un ¬ xn, to szereg ^Pxn jest rozbieżny.

Kryterium porównawcze – przykłady

Załóżmy, że bn6= 0 , limbn> lim an> 0. Czy szereg

∞

X

n=1

 a_n bn

n

jest zbieżny?

Zbadać zbieżność szeregów

∞

X

n=1

1 n +√

n ,

∞

X

n=1

1 2ⁿ+ n ,

∞

X

n=2

1 n²−√

n

∞

X

n=1

sin1 n ,

∞

X

n=1

sin 1 n²

Wnioski z kryterium porównawczego

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Uwaga

Jeśli dla wszystkich n ∈ N jest u_n­ 0, to ciąg sum

częściowych szeregu ^Pu_n jest niemalejący, a więc albo zbieżny do liczby skończonej, albo zbieżny do granicy niewłaściwej +∞.

Twierdzenie

Niech ∀n ∈ N : u_n ­ 0 , v_n > 0 . Wtedy

I Jeśli ciąg ^u_vⁿ

n jest ograniczony z góry, to ze zbieżności szeregu ^Pv_n wynika zbieżność szeregu ^Pu_n.

I Jeśli ciąg ^u_vⁿ

n jest ograniczony z dołu przez liczbę dodatnią, to z rozbieżności szeregu ^Pv_n wynika rozbieżność szeregu

Pu_n.

Dalsze wnioski z kryterium porównawczego

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie

Jeśli ∀n ∈ N; u_n > 0, v_n > 0 oraz u_n+1

u_n ¬ v_n+1 v_n to

I Ze zbieżności szeregu ^Pv_n wynika zbieżność szeregu

Pu_n.

I Z rozbieżności szeregu ^Pu_n wynika rozbieżność szeregu

Pv_n.

Kryterium d’Alemberta

Dla szeregów o wyrazach dodatnich

Twierdzenie

Załóżmy, że un> 0 oraz istnieje granica lim^u_uⁿ⁺¹

n = g . Wtedy

I Jeśli g < 1, to szereg ^Pu_n jest zbieżny.

I Jeśli g > 1, to szereg ^Pu_n jest rozbieżny.

Jeśli g = 1, to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.

Kryterium d’Alemberta – przykłady

Zbadać zbieżność szeregów:

∞

X

n=1

5ⁿ n! ,

∞

X

n=1

√n 3ⁿ+ 5ⁿ

Kryterium Cauchy’ego

Dla szeregów o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie

Załóżmy, że un­ 0 oraz istnieje granica lim√ⁿ

un= g . Wtedy

I Jeśli g < 1, to szereg ^Pu_n jest zbieżny.

I Jeśli g > 1, to szereg ^Pu_n jest rozbieżny.

Jeśli g = 1, to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.

Kryterium Cauchy’ego – przykłady

Zbadać zbieżność szeregów:

∞

X

n=1

n⁵2ⁿ⁺³ 3ⁿ ,

∞

X

n=1

 n

3n − 1

n

,

∞

X

n=1

 n

n + 1

n²

Zmiana kolejności sumowania w szeregu liczbowym

Definicja

Niech γ : N → N będzie bijekcją zbioru liczb naturalnych na siebie i przyjmijmy u_n⁰ = u_γ(n). Mówimy, że szereg ^Pu_n⁰

powstaje z szeregu^Pu_n poprzez zmianę kolejności sumowania.

Wykonując zmianę kolejności sumowania w szeregu^Pu_n⁰ przy pomocy bijekcji γ⁻¹ odwrotnej do γ dostaje się z powrotem szereg^Pu_n.