2. Zbiory
Ćw. 2.1 Dany jest zbiór wielokątów i trzy wyróżnione jego podzbiory:
A – zbiór wielokątów foremnych, B – zbiór trójkątów,
C – zbiór wielokątów posiadających co najmniej jeden kąt prosty.
Jakie figury należą do zbiorów: A ∩ B, A ∩ B ∩ C, B ∩ C, A ∪ C, A \ B, C \ A, B \ (A ∩ C), A \ (B ∪ C), (A ∪ B)0, (A0∩ B)0?
Ćw. 2.2 Które z poniższych równości są prawdziwe, a które fałszywe, jeśli A ⊂ B?
1. A ∩ B = A, 2. A ∪ B = A, 3. A \ B = ∅, 4. B \ A = B, 5. (A ∪ B) \ B = ∅, 6. (A ∩ B) ∪ B = B.
Ćw. 2.3 Uzasadnij poniższe równości, używając diagramów Venna i rachunkowo.
1. A \ B = B0\ A0,
2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), 3. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), 4. (A ∪ C) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (C \ A), 5. (A \ B) ∪ (A ∩ C) = A \ (B \ C), 6. (A ∩ B) \ C = B ∩ (A \ C).
Ćw. 2.4 Na diagramie Venna (zbiorem uniwersalnym jest zbiór liczb naturalnych) litery P , T , Z oznaczają zbiory: P – liczb parzystych, T – liczb podzielnych przez 3, Z – liczb złożonych (patrz rys. 1.).
a) Opisz słowami zbiory b, g, e ∪ d, b ∪ c, a ∪ b ∪ c.
b) Jak oznaczony jest zbiór liczb podzielnych przez 6?
c) Jak oznaczony jest zbiór liczb pierwszych?
Ćw. 2.5 Na diagramie Venna (zbiorem uniwersalnym jest zbiór funkcji rzeczywistych) litery C, M , N oznaczają następujące zbiory: C – zbiór funkcji ciągłych, M – zbiór funkcji monotonicznych, N – zbiór funkcji o wartościach nieujemnych (patrz rys. 2.).
a) Opisz słowami zbiory d, c, d ∪ f , e ∪ d, g ∪ f ∪ c.
b) Jak oznaczony jest zbiór funkcji ciągłych, niemonotonicznych?
Ćw. 2.6 Dane są zbiory:
A ={x ∈ N; |3x − 5| < 4, 5},
B ={x ∈ R; x3− 2x2− 9x + 18 = 0}, C ={x ∈ N \ {2}; x2− 6x + 5 ¬ 0}, D ={x ∈ R; |x − 2| = 1}.
Wykaż, że
(A ∪ B) ∩ C = D.
Ćw. 2.7 Dane są zbiory:
A ={(x, y); x ∈ R, y ∈ R, x2+ y2¬ 4}, B ={(x, y); x ∈ R, y ∈ R, |x − 1| < 2}.
zilustruj na oddzielnych rysunkach w prostokątnym układzie XOY zbiory: A, B, A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
Ćw. 2.8 Wyznacz iloczyn kartezjański A × B i B × A dla następujących zbiorów:
1. A = {0, 1}, B = {1, 2},
2. A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
3. A = {x ∈ R; 1 < x < 2}, B = {x ∈ R; 0 < x < 1}, 4. A = {x ∈ R; |x| < 3}, B = {x ∈ R; x2 > 4},
5. A = {x ∈ R; 0 < x < 1 ∨ 2 < x ¬ 3}, B = {x ∈ R; 1 < x ¬ 2 ∨ 3 < x ¬ 4}.
Ćw. 2.9 Wykaż, że zachodzą równości 1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), 2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Ćw. 2.10 Wiadomo, że dla każdego n ∈ N zbiór Bnzawiera się w zbiorze An. Sprawdź jakie inkluzje zachodzą między zbiorami
∞
[
n=1
(An\ Bn),
∞
[
n=1
An\
∞
[
n=1
Bn,
∞
\
n=1
(An\ Bn),
∞
\
n=1
An\
∞
\
n=1
Bn.
Ćw. 2.11 Znajdź sumę i iloczyn zbiorów An, n ∈ N . 1. An= {x ∈ R; n ¬ x ¬ n + 1},
2. An=nx ∈ R; −n1 ¬ x ¬ 1no, 3. An=nx ∈ R; 2 −n1 ¬ x ¬ 3 +n1o.
