3. Zbiory
Ćw. 3.1 Wymień elementy zbiorów:
1. {x ∈ N; x2 ¬ 7}, 2. {x ∈ Q; (x + 1)2¬ 0}, 3. {x ∈ R; x2+ 1 > 0}, 4. {x ∈ Q; x2= 2},
5. {2x + 1; x ∈ {0, 1, 2, 3}}, 6. {2n − 1; n ∈ N}.
Ćw. 3.2 Wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A0, B0, A \ B0, (A \ B)0 dla 1. A = {x ∈ N; x < 3}, B = {x ∈ N; x 3},
2. A = {x ∈ N; x ¬ 8}, B = {x ∈ N; x > 4}, 3. A = (−∞, 6], B = (2, +∞),
4. A = [2, 10], B = (5, +∞).
Ćw. 3.3 Dany jest zbiór wielokątów i trzy wyróżnione jego podzbiory:
A – zbiór wielokątów foremnych, B – zbiór trójkątów,
C – zbiór wielokątów posiadających co najmniej jeden kąt prosty.
Jakie figury należą do zbiorów: A ∩ B, A ∩ B ∩ C, B ∩ C, A ∪ C, A \ B, C \ A, B \ (A ∩ C), A \ (B ∪ C), (A ∪ B)0, (A0∩ B)0?
Ćw. 3.4 Które z poniższych równości są prawdziwe, a które fałszywe, jeśli A ⊂ B?
1. A ∩ B = A, 2. A ∪ B = A, 3. A \ B = ∅, 4. B \ A = B, 5. (A ∪ B) \ B = ∅, 6. (A ∩ B) ∪ B = B.
Ćw. 3.5 Dane są zbiory A = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, B = {4, 8, 12, 16} i C = {1, 5, 8, 9, 13, 17}.
Korzystając z tych oznaczeń oraz znanych Ci działań na zbiorach, zapisz 1. {1, 2, 4, 8, 12, 16, 32} =
2. {4, 8, 16} =
3. {1, 2, 4, 5, 8, 9, 13, 16, 17, 32} = 4. {1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17} = 5. {8} =
Ćw. 3.6 Dane są zbiory A = {n ∈ N; 6 | n}, B = {2k; k ∈ N} i C = {5, 10, 15, 20, . . .}.
Znajdź A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A \ C, A \ B, B \ A, A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C.
1
Ćw. 3.7 Dane są zbiory A = (−3, −2), B = (−1, +∞), C = (−2, 2). Wyznacz A \ (B ∩ C).
Ćw. 3.8 Dane są zbiory A = (−∞, −1] ∪ [2, +∞), B = [0, +∞) i C = [−2, −1) ∪ (1, 2].
Wyznacz A ∩ B ∩ C.
Ćw. 3.9 Dane są zbiory A = (−5, −3] ∪ [0, 2), B = [−1, +∞), C = (−∞, −2) ∪ (1, +∞).
Wyznacz A ∩ B ∩ C i (A ∪ B) ∩ C.
Ćw. 3.10 Dane są zbiory A = [−2, 3], B = [−2, +∞), C =0,12∪12, 1. Wyznacz zbiór (A ∩ B) \ C.
Ćw. 3.11 Uzasadnij poniższe równości, używając diagramów Venna.
1. A \ B = B0\ A0,
2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), 3. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), 4. (A ∪ C) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (C \ A), 5. (A \ B) ∪ (A ∩ C) = A \ (B \ C), 6. (A ∩ B) \ C = B ∩ (A \ C).
Ćw. 3.12 Dane są zbiory:
A ={(x, y); x ∈ R, y ∈ R, x2+ y2¬ 4}, B ={(x, y); x ∈ R, y ∈ R, |x − 1| < 2}.
zilustruj na oddzielnych rysunkach w prostokątnym układzie XOY zbiory: A, B, A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
Ćw. 3.13 Wyznacz iloczyn kartezjański A × B i B × A dla następujących zbiorów:
1. A = {0, 1}, B = {1, 2},
2. A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
3. A = {x ∈ R; 1 < x < 2}, B = {x ∈ R; 0 < x < 1}, 4. A = {x ∈ R; |x| < 3}, B = {x ∈ R; x2 > 4},
5. A = {x ∈ R; 0 < x < 1 ∨ 2 < x ¬ 3}, B = {x ∈ R; 1 < x ¬ 2 ∨ 3 < x ¬ 4}.
Ćw. 3.14 Wykaż, że zachodzą równości 1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), 2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Ćw. 3.15 Znajdź sumę i iloczyn zbiorów An, n ∈ N . 1. An= {x ∈ R; −n ¬ x ¬ n},
2. An= {x ∈ R; n ¬ x ¬ n + 1}, 3. An=nx ∈ R; −n1 ¬ x ¬ 1no.
2
