Elementy logiki matematycznej (notatki do wykładu)

. . . . . .

Elementy logiki matematycznej

(notatki do wykładu)

Jan Jełowicki

Katedra Matematyki Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu jan.jelowicki[at]up.wroc.pl

http://karnet.up.wroc.pl/~jasj http://mat.up.wroc.pl/dydaktyka/bioinfo1

Wrocław 2012

O czym będzie mowa?

Wartości logiczne Rachunek zdań

Wnioskowanie i dowodzenie Rachunek kwantyfikatorów

. . . . . .

Literatura

▶ Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów.

Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego.

Warszawa 2008. Rozdział 1.

▶ Jan Kraszewski: Wstęp do matematyki.

Wydawnictwa Naukowo–Techniczne.

Warszawa 2007. Rozdziały 1. i 3.

▶ Marek Zaionc, Jakub Kozik, Marcin Kozik:

Logika i teoria mnogości.

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci

2008. Rozdziały 1. i 2.

Rachunek logiczny dwuwartościowy

Wartości logiczne:

Prawda (Truth), czyli T, czyli 1 (w praktyce: spełnienie), Fałsz (False), czyli F, czyli 0 (w praktyce: niespełnienie).

Rachunek dwuwartościowy jest stosowany w logice klasycznej.

. . . . . .

Informacja o innych rachunkach logicznych

▶ Rachunek trójwartościowy bywa stosowany w niektórych systemach informatycznych (np. w bazach danych).

Prawda (Truth), czyli T, czyli 1, Fałsz (False), czyli F, czyli 0, Nieznany (Unknown), czyli U, czyli ? (w praktyce: brak informacji).

▶ Intuicjonizm odrzuca niektóre reguły rachunku zdań obowiązujące w logice klasycznej, mające związek

z dowodzeniem nie wprost (m.in. prawo wyłączonego środka).

Intuicjonizm ma bliski związek z logiką trójwartościową, przy czym dodatkową wartość „?” należy interpretować raczej jako „Możliwa” niż „Nieznana”.

▶ Logika rozmyta zezwala na przypisywanie zdaniom wartości liczbowych pośrednich między 0 a 1.

Bywa stosowana praktycznie w systemach inżynieryjnych.

Zdania logiczne

Zdanie logiczne jest to stwierdzenie, którego znaczeniu można przyporządkować wartość logiczną.

▶ Zdania prawdziwe mają przypisaną wartość logiczną 1.

2 jest najmniejszą liczbą pierwszą.

▶ Zdania fałszywe mają przypisaną wartość logiczną 0.

Powierzchnia Ziemi jest płaska.

▶ Istnieją teksty, które nie są zdaniami.

Czy pada śnieg? Dwa czternaście.

▶ Są też zdania bez sensu, którym nie da się przypisać znaczenia.

Liczba π jest twardsza niż gęś.

▶ Niektórym sensownym zdaniom nie da się jednoznacznie przypisać wartości logicznej (patrz: ostatnia strona).

. . . . . .

Problem

Które zdania uznawać za prawdziwe?

Formuły zdaniowe i zdania złożone

W rozważaniach dotyczących reguł logiki zamiast zdań często używamy formuł zdaniowych. W miejsce konkretnych zdań o konkretnym znaczeniu i wartości używa się w nich oznaczeń symbolicznych (np. p, q).

Formuła staje się zdaniem po zastąpieniu symboli zdaniami.

Ze zdań (i formuł) prostych budujemy zdania (i formuły) złożone.

Służą do tego spójniki (działania) logiczne.

. . . . . .

Działania logiczne

Zaprzeczenie (¬p) ma wartość przeciwną niż zaprzeczane zdanie.

Zdanie będące zaprzeczeniem jest prawdziwe (spełnione), kiedy zdanie zaprzeczane jest fałszywe (nie jest spełnione).

Pada deszcz. −→ Nieprawda, że pada deszcz.

p ¬p

0 1

1 0

Działania logiczne

Alternatywa (p∨q) jest prawdziwa (spełniona), kiedy prawdziwy (spełniony) jest przynajmniej jeden jej składnik.

Pada deszcz lub pada śnieg. (wystarczy jedno)

Koniunkcja (p∧q) jest prawdziwa (spełniona), kiedy prawdziwe (spełnione) są oba jej składniki.

Pada deszcz i jest ciemno. (muszą być oba) p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p∧q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

. . . . . .

Działania logiczne

Implikacja (p⇒ q) jest fałszywa (niespełniona) jedynie w sytuacji, kiedy zdanie prawdziwe występuje jako przesłanka fałszywej tezy.

Jeżeli się nauczę, to zdam. (a jeśli nie, to co?)

Równoważność (p⇔ q) jest prawdziwa (spełniona), kiedy oba zdania mają tę samą wartość.

Zdam wtedy i tylko wtedy, kiedy się nauczę.

p q p⇒ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p⇔ q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Właściwości działań logicznych (wybór)

Reguły rachunku logicznego są przykładem tzw. algebry Boole’a (George Boole 1815–1864).

▶ p∧1⇔ p, p∧0⇔ 0, p∨1⇔ 1, p∨0⇔ p.

▶ Idempotentność: p∧p⇔ p, p∨p⇔ p.

▶ Samoodwrotność zaprzeczenia:¬¬p ⇔ p.

▶ Przemienność: p∧q⇔ q∧p, p∨q⇔ q∨p.

▶ Łączność: (p∧q)∧r⇔ p∧(q∧r), (p∨q)∨r⇔ p∨(q∨r).

▶ Rozdzielność: (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r), (p∨q)∧r⇔ (p∧r)∨(q∧r).

. . . . . .

Tautologie, czyli prawa logiczne

Zdanie złożone jest spełnialne, kiedy przy pewnych wartościach tworzących go zdań prostych staje się ono prawdziwe.

Tautologią (prawem logicznym) jest zdanie, które pozostaje prawdziwe bez względu na prawdziwość tworzących go zdań prostych.

Jeżeli zdanie p jest tautologią, to zdanie¬p nie jest spełnialne.

Formuła zdaniowa

¬(p∨q)⇔ ¬p∧¬q (znana jako prawo de Morgana) jest tautologią.

Formuła

((p⇒ q)∧q)⇒ p

nie jest tautologią, mimo że jest spełnialna (tzn. przy niektórych wartościach zdań składowych p i q staje się ona zdaniem prawdziwym).

Metoda zerojedynkowa

Istnieje systematyczna metoda, pozwalająca sprawdzać spełnialność formuł zdaniowych.

Polega ona na zbadaniu wartości logicznej formuły przy wszystkich możliwych wartościach tworzących ją zmiennych zdaniowych.

Np. formuła zapisana przy użyciu dwóch symboli wymaga sprawdzenia czterech możliwych kombinacji: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

W wyniku tej procedury otrzymamy same jedynki wtedy i tylko wtedy, gdy badana formuła jest tautologią.

. . . . . .

Normalizacja zdań logicznych

Zdanie lub formuła w znormalizowanej postaci alternatywnej ma postać alternatywy zdań, z których każde jest koniunkcją zdań prostych (ew. ich zaprzeczeń).

Każdą formułę logiczną da się przekształcić w sposób równoważny do postaci alternatywnej.

(Dowód przez indukcję.)

Na przykład formuła p⇒ q jest równoważna formule znormalizowanej (p∧q)∨(¬p∧q)∨(¬p∧¬q), którą dalej można uprościć do postaci q∨¬p.

Zdanie (formuła) w znormalizowanej postaci koniunkcyjnej ma formę koniunkcji zdań, z których każde jest alternatywą zdań prostych (ew.

ich zaprzeczeń).

Każdą formułę logiczną da się przekształcić w sposób równoważny do postaci koniunkcyjnej.

(Dowód na podstawie praw de Morgana.)

Normalizacja zdań logicznych — aspekt praktyczny

Istnieje prosta praktyczna metoda sprowadzania dowolnych formuł zdaniowych do postaci normalnych. Dla przykładu przedstawimy ją dla formuły f : (p∧(q⇒ r))∨¬(p∨(q⇔ r)).

Na wstępie zbudujemy tabelę wartości formuły f zależnie od wartości tworzących ją zdań.

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 1 1 0 1 1 0 1

Dalszy tok postępowania jest przedstawiony na kolejnych stronach.

Istnieją warianty tej metody pozwalające uprościć postać formuły.

. . . . . .

Normalizacja zdań logicznych — aspekt praktyczny (c.d.)

Postać normalną alternatywną danej formuły f otrzymamy budując alternatywę wszystkich układów spełniających f.

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 1 1 0 1 1 0 1

dowolny spośród ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

Każdy taki układ jest koniunkcją zdań prostych (w tym przypadku: p, q, r) lub ich zaprzeczeń. W konsekwencji

f⇔ (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧¬q)∨(p∧q∧r).

Układy: czwarty i piąty różnią się tylko wartością zmiennej r.

Mogliśmy więc zastąpić formułę (p∧¬q∧¬r)∨ (p∧¬q∧r) równoważną, lecz prostszą formułą (p∧¬q).

Normalizacja zdań logicznych — aspekt praktyczny (c.d.)

Postać normalną koniunkcyjną danej formuły f otrzymamy budując zaprzeczenie alternatywy wszystkich układów nie spełniających f.

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

r 0 1 0 1 0 1 0 1

f 0 1 1 0 1 1 0 1

żaden spośród ↑ ↑ ↑

Każdy taki układ jest koniunkcją zdań prostych (w tym przypadku: p, q, r) lub ich zaprzeczeń. W konsekwencji

f⇔ ¬((¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r)).

Teraz korzystając z praw de Morgana przedstawiamy wynik w postaci koniunkcji zdań, z których każde jest alternatywą zdań prostych lub ich zaprzeczeń. Ostatecznie

. . . . . .

Reguły wnioskowania (wybór)

Poniższe tautologie są szczególnie przydatne podczas wyciągania wniosków.

▶ Reguła podwójnego przeczenia: p⇔ ¬¬p

▶ Reguła wyłączonego środka: p∨¬p

▶ Reguła odrywania: (p⇒ q)∧p⇒ q

▶ Reguła eliminacji implikacji: (p⇒ q) ⇔ q∨¬p

▶ Reguła kontrapozycji: (p⇒ q)∧¬q ⇒ ¬p

▶ Reguła sylogizmu: (p⇒ q)∧(q⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)

Dowodzenie twierdzeń: metoda wprost

Twierdzenie:

Przez dwa różne punkty płaszczyzny da się przeprowadzić linię prostą.

Dowód:

Niech A(x_A, y_A), B(x_B, y_B).

Zbiór punktów (x, y) spełniających równanie

a· x + b · y + c = 0, gdzie a = yB− yA, b = xA− xB, c =−a · xA− b · y_A, jest poszukiwaną prostą.

. . . . . .

Dowodzenie twierdzeń: metoda nie wprost

Twierdzenie:

Liczba√

2 jest niewymierna.

Dowód:

Założenie, że√

2 = ^a_b, gdzie a, b∈ N, prowadzi do sprzeczności.

Twierdzenie (zasada szufladkowa Dirichleta):

Jeżeli rozmieścimy m przedmiotów w n pudełkach, przy czym m > n, to przynajmniej jedno pudełko będzie zawierać więcej niż 1 przedmiot.

Dowód:

Przypuśćmy, że każde pudełko zawierałoby co najwyżej jeden przedmiot. Wówczas łączna liczba przedmiotów we wszystkich pudełkach byłaby mniejsza od n, co przeczy założeniom.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne powstaje poprzez zamianę ról założenia i tezy:

p⇒ q −→ q⇒ p

Na ogół twierdzenia wzajemnie odwrotne nie są równoważne.

Twierdzenie (prawdziwe) i twierdzenie odwrotne (fałszywe):

Każdy romb

jest czworokątem −→ Każdy czworokąt jest rombem

W niektórych przypadkach taka równoważność zachodzi.

Twierdzenie i twierdzenie odwrotne (oba prawdziwe):

Koło jest figurą o największym polu przy danym obwodzie.

−→

Każda figura mająca przy danym obwodzie możliwie największe pole jest ko- łem.

. . . . . .

Wnioskowanie na podstawie twierdzeń

Twierdzenie: p⇒ q Każdy pies ma 4 nogi.

Wnioskowanie dedukcyjne (poprawne): (p⇒ q)∧p⇒ q Mruczek jest psem ⇒ Mruczek ma 4 nogi.

Wnioskowanie poszlakowe (niepoprawne): (p⇒ q)∧q⇒ ???

Mruczek ma 4 nogi ⇒ Mruczek jest psem. (???)

Wnioskowanie na podstawie twierdzeń

Reguła kontrapozycji: (p⇒ q)∧¬q ⇒ ¬p Każdy pies ma 4 nogi.

Mruczek ma 6 nóg.

Czy Mruczek jest psem? (Nie)

Wnioskowanie niepoprawne: (p⇒ q)∧¬p ⇒ ???

Każdy pies ma 4 nogi.

Mruczek nie jest psem.

Czy Mruczek ma 4 nogi? (???) Ile nóg ma Mruczek? (???)

. . . . . .

Wnioskowanie: podsumowanie

▶ Wnioskowanie dedukcyjne posługuje się regułami logiki.

Może służyć do uzasadniania tez.

▶ Wnioskowanie indukcyjne wykorzystuje zdolności obserwacyjne i analityczne. Przydaje się do formułowania hipotez, ale nie ma mocy uzasadniania.

▶ Wnioskowanie statystyczne pozwala oszacować

prawdopodobieństwo danej sytuacji w warunkach niepełnej wiedzy. Twierdzenia statystyki dowodzone są dedukcyjnie, jednak wnioskowanie statystyczne nie daje uzasadnienia logicznego typu przyczyna – skutek.

Funkcje zdaniowe

Funkcja zdaniowa jest wyrażeniem logicznym zawierającym zmienne. Po podstawieniu konkretnych wartości pod zmienne staje się zdaniem.

W przeciwieństwie do formuł zdaniowych, zmienne w funkcjach zdaniowych dotyczą obiektów będących przedmiotem stwierdzeń, a nie samych zdań.

▶ p(x) : p jest funkcją zdaniową, x jest zmienną

p(x) : x jest psem. (to zależy od tego, czym jest x.) Mówimy, że dany obiekt spełnia funkcję zdaniową p(x), jeśli po podstawieniu go w miejsce zmiennej otrzymujemy zdanie prawdziwe.

▶ Po podstawieniu

p(Mruczek) : Mruczek jest psem. (Tak)

. . . . . .

Kwantyfikatory

Niech p(x) będzie funkcją zdaniową. Kwantyfikatory „wiążą”

zmienne, dzięki czemu z funkcji zdaniowej poprzedzonej kwantyfikatorem otrzymujemy pewnego rodzaju zdanie.

Używane są dwa rodzaje kwantyfikatorów.

Kwantyfikator ogólny stwierdza:

Każdy obiekt z danego zbioru spełnia funkcję zdaniową p(x).

Oznaczenia: ^∧

x∈Ap(x) albo ∀x ∈ A : p(x) Kwantyfikator szczegółowy stwierdza:

Pewien obiekt (nie wiemy jaki) z danego zbioru spełnia funkcję zdaniową p(x).

Oznaczenia: ^∨

x∈Ap(x) albo ∃x ∈ A : p(x)

Twierdzenia ogólne i egzystencjalne

Twierdzenia ogólne stwierdzają, jakimi właściwościami odznaczają się wszystkie obiekty danego rodzaju.

Każdy słoń ma trąbę.

∧

x∈Rx²­ 0.

Przy formułowaniu twierdzeń ogólnych stosuje się kwantyfikatory ogólne.

Udowodnienie twierdzenia ogólnego wymaga przeprowadzenia ogólnego rozumowania.

Dla wykazania fałszywości twierdzenia ogólnego wystarczy wskazać konkretny obiekt.

. . . . . .

Twierdzenia ogólne i egzystencjalne

Twierdzenia egzystencjalne orzekają o istnieniu obiektu bądź obiektów danego rodzaju.

Istnieją różowe słonie.

Niech f :R → R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f(0) = −1 i f(1) = 1, to istnieje punkt c∈ (0, 1) taki że f(c) = 0.

Przy formułowaniu twierdzeń egzystencjalnych stosuje się kwantyfikatory szczegółowe.

Dla udowodnienia twierdzenia egzystencjalnego wystarczy wskazać konkretny obiekt (nie zawsze jest to możliwe).

Wykazanie fałszywości twierdzenia egzystencjalnego wymaga przeprowadzenia ogólnego rozumowania.

Dowodzenie twierdzeń: przykłady

Twierdzenie (egzystencjalne):

Istnieje różowy słoń.

Dowód (konstruktywny):

(wystarczy wskazać lub zbudować różowego słonia).

. . . . . .

Dowodzenie twierdzeń: przykłady

Czasami „wskazanie słonia” bywa niemożliwe.

Twierdzenie (egzystencjalne):

Istnieją dwie liczby niewymierne a i b, takie że liczba a^bjest wymierna.

Dowód (niekonstruktywny):

Niech a = b =√

2. Jeżeli liczba c = a^bjest wymierna, to twierdzenie jest udowodnione. W przeciwnym razie c jest liczbą niewymierną. Jednak c^b=

(√ 2

√2)^√2

= 2, więc wtedy para liczb c i b posiada wymagane właściwości.

(Subtelność polega na tym, że mimo poprawnego dowodu nie wiemy, która z dwóch wskazanych par liczb ma pożądaną właściwość.)

Dowodzenie twierdzeń: przykłady

Twierdzenie (ogólne):

Nie istnieje zielony słoń.

Następująca obserwacja nie ma wartości dowodowej (choć ma pewną wartość poznawczą):

Dowód:

Dwie metody: albo przejrzeć zbiór wszystkich możliwych słoni, albo wykazać niezdolność zielonych słoni do życia…

. . . . . .

Dowodzenie twierdzeń: przykłady

Twierdzenie (ogólne):

Ciąg o wyrazie ogólnym an= ⁿ⁻¹_n jest rosnący.

Rozumowanie bez wartości dowodowej:

0

1 < ¹₂ < ²₃ < ³₄… (i co z tego?) Dowód:

a_n+1 > a_n ⇔ _n+1ⁿ > ⁿ⁻¹_n ⇔ 1 −_n+1¹ > 1−¹_n ⇔

⇔ _n+1¹ < ¹_n ⇔ T.

Dowodzenie twierdzeń: kontrprzykłady

Kontrprzykład to pojedynczy obiekt zaprzeczający prawdziwości twierdzenia ogólnego.

Twierdzenie:

Każdy słoń jest różowy.

Kontrprzykład:

(wystarczy choćby jeden słoń innego koloru).

Uwaga: mimo fałszywości twierdzenia nie jest wykluczone istnienie pewnego różowego słonia.

Twierdzenie:

Ciąg o wyrazie ogólnym a_n=√ⁿ

n jest rosnący.

Kontrprzykład:

√ √

. . . . . .

Prawa rachunku kwantyfikatorów (wybór)

▶ ∧

x p(x)⇒^∨

x p(x) (w przeciwną stronę: niekoniecznie).

▶ ∧

x p(x)∧∧

x q(x)⇔^∧

x(p(x)∧q(x)).

▶ ∧

x p(x)∨∧

x q(x)⇒^∧

x(p(x)∨q(x)) (w przeciwną stronę:

niekoniecznie).

▶ ∨

x

(p(x)∧q(x))⇒^∨

x

p(x)∧∨

x

q(x) (w przeciwną stronę:

niekoniecznie).

▶ ∨

x(p(x)∨q(x))⇔^∨

x p(x)∨∨

x q(x).

▶ ¬^∧

x p(x)⇔^∨

x ¬p(x) (prawo de Morgana).

▶ ¬^∨

x p(x)⇔^∧

x ¬p(x) (prawo de Morgana).

Kolejność kwantyfikatorów

Niech p(x, y) będzie funkcją zdaniową z dwiema zmiennymi.

Jeżeli przy pewnej ustalonej wartości a funkcja p(a, y) jest zawsze spełniona, to dla dowolnej ustalonej wartości b funkcja p(x, b) jest

spełnialna: _∨

x

∧

y

p(x, y)⇒^∧

y

∨

x

p(x, y).

Istnieje liczba mniejsza od wszystkich liczb dodatnich, więc dla każdej liczby dodatniej istnieje liczba mniejsza od niej.

W przeciwną stronę — niekoniecznie:

Każdy dudek ma swój czubek, ale nie istnieje wspólny czubek wszystkich dudków.

Albo (nieco poważniej):

Każda liczba naturalna posiada liczbę większą od siebie, ale nie istnieje liczba większa od wszystkich liczb

. . . . . .

„Działania” na nieskończonej liczbie zdań

Kwantyfikatory odznaczają się pewnym podobieństwem do spójników logicznych.

▶ Kwantyfikator ogólny a koniunkcja:

prawdziwość zdania ^∧

x∈Ap(x) oznacza, że wszystkie zdania postaci p(x) są prawdziwe — podobnie jak w koniunkcji dwóch zdań.

▶ Kwantyfikator szczegółowy a alternatywa:

prawdziwość zdania ^∨

x∈Ap(x) oznacza, że pewne zdanie postaci p(x) jest prawdziwe — podobnie jak w alternatywie dwóch zdań.

W przeciwieństwie do działań logicznych, „zdań” objętych kwantyfikatorem może być dowolnie wiele; także nieskończenie wiele.

W przypadku zbiorów skończonych użycie spójnika logicznego i użycie odpowiedniego kwantyfikatora są równoważne.

Czy każde zdanie ma ustaloną wartość logiczną?

Twierdzenie o niezupełności (Kurt Gödel, 1931)

Każdy system logiczny zbudowany w oparciu o przyjęty zestaw aksjomatów, w którym da się wyrazić właściwości arytmetyki liczb naturalnych, albo jest sprzeczny, albo nie jest zupełny.

Na przykład o zdaniu

Każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest z nim równoliczny, jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych lub pewnym jego podzbiorem

wyrażającym tzw. hipotezę continuum (Georg Cantor) wiadomo, że nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe na gruncie aksjomatycznej teorii zbiorów (Jean Paul Cohen, 1963).