Wykład 5

Wykład 5

Siła elektromotoryczna

Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego „końcami” pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej.

Energia zamieniana na energię elektryczną:

bateria - en. chemiczna

ogniwo słoneczne - energia promieniowania elektromagnetycznego

termopara - en. wewnętrzna komórka organiczna - en. chemiczna

Siła elektromotoryczna

Maksymalna różnica potencjałów między końcami źródła napięcia jest nazywana siłą elektromotoryczną.

I

 r

+ -

V _  V _    Ir

Różnica potencjałów wytwarzana przez rzeczywiste źródło siły elektromotorycznej:

Prąd stały i przemienny

Jeśli ładunek zmienia kierunek ruchu – mówimy o prądzie przemiennym (AC).

(AC) - alternating current

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

+ +

+

Jeśli ładunek porusza się w obwodzie elektrycznym w tym samym kierunku, niezależnie od czasu, to mówimy o prądzie stałym (DC).

(DC) – direct current

Obwód elektryczny

I prawo Kirchhoffa

Suma prądów wpływających i wypływających z węzła jest równa zero.

II prawo Kirchhoffa

W obwodzie zamkniętym suma spadków napięć i sił

elektromotorycznych jest równa zeru.

I₁ I₂

I_n

 

i

I

0

V₁ V₂

V_n

 

i

V

0

Pomiary elektryczne

Prąd mierzymy amperomierzem, który łączymy szeregowo z elementami w obwodzie elektrycznym.

Napięcie mierzymy woltomierzem, który łączymy równolegle do elementów obwodu.

Rezystancję mierzymy omomierzem.

V +

-

A V

?



Prąd elektryczny i człowiek

200 mA - śmiertelne natężenie – zaburza akcję serca

>100 mA – powoduje skurcz mięśni

Bezpieczny prąd przemienny < 1mA.

Nigdy nie dotykaj obwodu elektrycznego obydwiema rękami !!!

sinusoidalny prąd przemienny

Dla prądu przemiennego i napięcie v(t) i prąd i(t) są sinusoidalnymi funkcjami czasu.

) sin(

)

( t V

t

v    

) sin(

)

(t I_m t _I

i 





v_a(t) v_b(t)

i (t)

V_m, I_m - amplituda (t+) - faza

 = 2f - częstość

 - faza początkowa t v(t) i(t)

Moc

t v

i P

    ^{ }

 i t i t t

P ) (

Moc w obwodzie elektrycznym jest też sinusoidalną funkcją czasu:









 sin(

) sin(

)

m

m

V t t

I    

   





m

mV t

I 











 cos cos 2

2 1



sk

cos

śr

I

V P 

P_śr

gdzie   _V _I

𝑓_𝑠𝑘 = (𝑓 𝑡 )²_𝑠𝑟 Dla przebiegu sinusoidalnego 𝑓^𝑠𝑘 = 𝑓_𝑚 2

AC w Polsce

standardowa linia jednofazowa

120V

0V 0V 0V 0V

"hot"

"neutral"

"ground"

Napięcie w sieci ma częstotliwość 50 Hz.

250V

0V 0V

gorący

ziemia

neutralny

Prawo Ohma dla prądu przemiennego

Z_ - impedancja: współczynnik proporcjonalności między amplitudą prądu i napięcia.

V

= I

·Z

v i

V_m I_m

t

V_sk = I_sk·Z

_ - przesunięcie fazy między prądem i napięciem



 



i _V = _I + _

AC na rezystorze

 _R

a

b

i_R ^v_R

 

 





 ^

^



 0

  ^R  Z

 

Impedancja i przesunięcie fazowe:

Średnia moc:

t v_R

i_R

0

 cos





sr

I V

P

R I

 R

V





= 𝑉_𝑚sin⁡(𝜔𝑡 + 𝛿_𝐼)

Diagram fazowy

• Na diagramie fazowym długości strzałek reprezentują amplitudę napięcia i prądu

• Rzut strzałki na oś y reprezentuje wartość chwilową prądu, napięcia

• Kąt pomiędzy strzałką a osią x reprezentuje fazę drgania (tu - t)

• W obwodzie AC z rezystorem, nie ma przesunięcia fazowego między prądem a napięciem na rezystorze

Cewka

Element obwodu elektrycznego, z dwiema końcówkami, dla którego różnica potencjałów między tymi końcami jest równa szybkości zmian prądu przepływającego przez ten element:

i_L

V_a V_b

dt L di V

V





Współczynnik L nazywa się indukcyjnością cewki.

SI – jednostką jest henr ^{H Vs}

 A

 _L

a

b i_L

AC na cewce

 

i _

^I

^sin  ^{ t  }



 

v_L  

2

 

 

Impedancja i przesunięcie fazowe

Średnia moc:

t v_L

i_L

2 0 cos 





 

sk sk

sr

I V

P

dt L d

 ⁼









 L I_m cos t _I

 



 



    





L I_m sin t _I 2

Diagram fazowy

 _L

a

b i_L

W obwodzie AC z cewką, napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90°

Kondensator w obwodzie AC

 





v  sin





2

 



 

C Z_C 1

 

 ,

Impedancja i przesunięcie fazowe

Średnia moc:

0 t cos 2  



 











sk

śr Isk V

P









 C V_m cos t _V

 



 



  



 CV_m sin t _V 2

v_C i_C

 _C

a

b i_C

Q -Q

  ^{t  C }

Q  

dt t d

i_C 

Diagram fazowy

 _C

a

b i_C

Q -Q

W obwodzie AC z kondensatorem, napięcie na kondensatorze opóźnia się względem prądu o 90°

Drgania w obwodzie RLC

∆𝑣_𝐿 + ∆𝑣_𝑅 + ∆𝑣_𝐶 = 0 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 + 𝑄

𝐶 = 0 𝑖 = 𝑑𝑄

𝑑𝑡

Q 0 Q

Q

2

2

  

C dt

R d dt

L d

Q -Q

I

R L C II prawo Kirchhoffa:

Drgania w obwodzie RLC

Q 0 Q

Q

2

2

  

C dt

R d dt

L d

To równanie jest analogiczne do równania dla sprężyny:

Q -Q

I

R L C

x 0 x

2

2

  kx 

dt b d dt

m d

• x odpowiada Q,

• m odpowiada L,

• b odpowiada R,

• k odpowiada 1/C gdzie:

Rozwiązanie równania ruchu dla sprężyny

𝒙 𝒕 = 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕)cos(𝛚^′𝒕 + 𝝋)

𝛚′ = 𝜔₀² − 𝛃^𝟐 𝒕

𝒙 𝑨𝒆𝒙𝒑(−𝜷𝒕) ²

2

2 0

d x dx k

dt   dt  m x 

𝜷 = _𝟐𝒎^𝒃 = 𝝎_𝟎 - ruch aperiodyczny 𝝎^′ = 𝟎

Drgania w obwodzie RLC

Q

t

2

2

' 1 



 



 

 L

R

 LC gdzie

  t  Q e

   t   

Q

R

'

2

cos

0

Q 0 Q

Q

2

2

  

C dt

R d dt

L d

LC 1

0 



Drgania nietłumione

gdy R = 0

  ^{t Q}

 ^t



Q  cos 

 

Q

t

LC 1

0 



Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą

x(t) = A cos(

t + )

2

2

2

2

cos(

)

d x dx

x F F t

dt   dt     

𝑨 = 𝑭_𝒎/𝒎

[(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐 − 𝝎_𝟎^𝟐]^𝟐 + 𝟒𝜷^𝟐(𝝎_𝒘𝒚𝒎)^𝟐

𝑡𝑎𝑛 = 2𝛽𝜔

𝝎

− 𝝎

𝑸_𝒎 = 𝜺_𝒎/𝑳

(𝜔₀² − 𝝎^𝟐)^𝟐 + 𝟒𝜷^𝟐𝝎^𝟐

𝑡𝑔𝛉 = 2𝛽𝜔 𝜔

− 𝝎

) Q cos(

Q Q

2 2

C t dt

R d dt

L d    



𝑸_𝒎 = 𝜺_𝒎

𝝎 𝑹^𝟐 + (𝝎𝑳 − 𝟏𝑳𝑪)^𝟐

𝑄(𝑡) = 𝑄_𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)

Szeregowy obwód RLC – drgania wymuszone

Podstawiając ⁡𝜔₀²= _𝐿𝐶¹ i 𝛽 = _2𝐿^𝑅

𝑡𝑔𝛉 = 𝑅

𝜔𝐶 − 𝜔𝐿 1

𝑸_𝒎 = 𝜺_𝒎

𝝎 𝑹^𝟐 + (𝝎𝑳 − 𝟏𝑳𝑪)^𝟐

𝑡𝑔 = 𝜔𝐿 − 1 𝑅 𝜔𝐶

𝑖 = 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = −𝑄_𝑚𝜔 sin 𝜔𝑡 − 𝜃 = 𝐼_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜃 + ^𝜋

2) = 𝐼_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑰_𝒎 = 𝜺_𝒎

𝑹^𝟐 + (𝝎𝑳 − 𝟏𝑳𝑪)^𝟐 𝑄(𝑡) = 𝑄_𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)

Szeregowy obwód RLC – drgania wymuszone

𝜑 = 𝜃 − 𝜋 gdzie 2

𝑡𝑔𝜑 = 𝑡𝑔 𝜃 − 𝜋

2 = −𝑐𝑡𝑔𝜃

Szeregowy obwód RLC – drgania

wymuszone

Rezonans w szeregowym obwodzie RLC i diagram fazowy

R

Z  Z 

  0

∆𝑉_𝐿 = ∆𝑉_𝐶

Podczas rezonansu obwód RLC zachowuje się tak jak obwód, w którym jest tylko rezystor.

Rezonans w obwodzie szeregowym RLC

Prąd w obwodzie RLC:

 

2

2

1 )

( L C

R

I

 

 







 I_rms

₀

R R/2

Przesunięcie fazowe: R/4

 

  

arctan

L C

R

1