Wykład 8

Wykład 8

Drzewo rozpinające

(minimum spanning tree)

Minimalne drzewo rozpinające - przegląd

Definicja problemu

Własności minimalnych drzew rozpinających

Algorytm Kruskala

Algorytm Prima

Literatura

– Cormen, Leiserson, Rivest, “Wprowadzenie do algorytmów”, rozdz.

24

Problem

Mamy dany zbiór wierzchołków i możliwych połączeń wraz z ich wagami, chcemy znaleźć taki podzbiór połączeń, żeby wszystkie wierzchołki były połączone oraz suma wag tych połączeń była minimalna.

Przykłady:

– Komutowanie łącza telefonicznego

– Tworzenie instalacji elektrycznej w budynku

Węzły wraz z wybranymi połączeniami tworzą drzewo!

Drzewo to nazywane jest MINIMALNYM DRZEWEM ROZPINAJĄCYM (Minimum Spanning Tree – MST)

Przykład drzewa rozpinającego (to nie jest minimalne)

b c d

h g f

i

a e

8 7

1 2

11 14

4

8

7 6

2

4

9

10

koszt: 51

Przykład drzewa rozpinającego (minimalne)

b c d

h g f

i

a e

8 7

1 2

11 14

4

8

7 6

2

4

9

10

koszt: 37

Drzewa rozpinające

Definicja: niech G=(V,E) będzie ważonym i spójnym grafem

nieskierowanym. Drzewem rozpinającym dla G nazywamy podzbiór krawędzi T ⊆⊆⊆⊆ E, taki że podgraf G’=(V,T) jest grafem spójnym, nie zawierającym cykli.

Minimalnym drzewem rozpinającym (MST) nazywamy drzewo rozpinające, dla którego suma wag wszystkich krawędzi jest minimalna :

( ) ( )

( ∑ )

∈

=

T v , u

v , u w T

w

Podstawowy algorytm MST

Strategia zachłanna: minimalne drzewo rozpinające rozrasta się poprzez dołączanie do niego w każdym kroku jednej krawędzi, przy

jednoczesnym sprawdzaniu zachowania warunków( zachowanie struktury drzewa i warunku minimalności dodawana krawędź jest

„bezpieczna” – po jej dodaniu dalej dostajemy podzbiór minimalnego drzewa).

Generic-MST(G=(V,E)) T = ∅∅∅∅;

while (T nie tworzy drzewa rozpinającego dla G) do znajdź krawędź e=(u,v) ∈∈∈∈ E bezpieczną dla T T = T ∪∪∪∪ {e}

return T

Własności MST

Pytanie: jak efektywnie odnaleźć tę bezpieczną krawędź?

Twierdzenie 1: niech U⊂⊂⊂⊂V i e=(u,v) będzie krawędzią o minimalnej wadze rozpoczynającą się w U i kończącą w V–U. Istnieje wtedy minimalne drzewo rozpinające T, takie że e∈∈∈∈^T.

U V–U V

T

Własności MST

b c d

h g f

i

a e

8 7

1 2

11 14

4

8

7 6

2

4

9

10 U

podział V–U

Własności MST

Twierdzenie 2: niech G=(V,E) będzie spójnym grafem nieskierowanym, A podzbiorem E zawartym w pewnym minimalnym drzewie rozpinającym T dla G. Niech (U, V–U) będzie przekrojem G względem A (nie ma krawędzi dla wierzchołków ze zbioru A krzyżujących się z podziałem), i niech e=(u,v) będzie krawędzią lekką (o minimalnej wadze) krzyżującą się z przekrojem (U, V–U). Wtedy e jest bezpieczna dla A.

U

V–U

V

T

Własności MST

Wniosek: niech G=(V,E) będzie spójnym grafem nieskierowanym, A podzbiorem E zawartym w pewnym minimalnym drzewie

rozpinającym T dla G, niech dalej C = (V_C, E_C) będzie składową

(drzewem) w lesie G_A = (V,A). Jeśli e jest lekką krawędzią łączącą C z pewną inną składową w G_A, wtedy e jest bezpieczne dla A.

Dowód: przekrój (V_C, V–V_C) uwzględnia A, i e jest krawędzią lekką dla tego przekroju. Stad e jest bezpieczne.

Algorytmy wyznaczania MST

Wykorzystuje się dwa sposoby odnajdowania bezpiecznych krawędzi:

1. Algorytm Kruskala: zbiór A jest lasem i dodawana bezpieczna krawędź jest zawsze „najlżejszą” krawędzią w grafie łączącą dwa rozdzielone poddrzewa z tego lasu (Tw. 2).

2. Algorytm Prima: zbiór A jest drzewem, a dodawana bezpieczna krawędź jest „najlżejszą” krawędzią łączącą A z wierzchołkiem spoza A (Tw. 1).

Algorytm Kruskala

MST-Kruskal(G) A  ∅∅∅∅

for każdy wierzchołek v∈∈∈∈V do Make-Set(v)

posortuj krawędzie z E niemalejąco względem wag for każda krawędź e = (u,v)∈∈∈∈E do

if Find-Set(u) ≠ Find-Set(v) then

A  A ∪ ∪∪∪ {e}

Union(u,v)

return A Łączymy drzewa

Drzewa są rozdzielone

Każdy wierzchołek staje się osobnym

drzewem

Przykład – alg. Kruskala

b c d

h g f

i

a e

8 7

1 2

11 14

4

8

7 6

2

4

9

10 X X

koszt: 37

X

Analiza – alg. Kruskala

Poprawność: wynika wprost z Tw. 2.

Złożoność: zależy od implementacji operacji dla zbiorów rozłącznych! Dla asymptotycznie najlepszej znanej dostajemy:

– Sortowanie krawędzi zajmuje O(|E| lg |E|).

– Pętla for przebiegająca zbiór krawędzi wykonuje dwie operacje Find-Set i jedną Union. Może być to implementowane w czasie O(1).

Ostatecznie dostajemy: O(|E| lg |E|) = O(|E| lg |V|).

Dla implementacji naiwnej: O(|V| |E|

Algorytm Prima

MST-Prim(G, root)

for każdego v∈∈∈∈V do

key(v)  ∞; π[v]  null key(root)  0; Enqueue(Q,V) while Q nie jest pusty do

u  Get-Min(Q)

for każdego v sąsiada u do if v∈∈∈∈Q i w(u,v) < key(v)

then π[v]  u key(v)  w(u,v)

Zmniejszamy wartość klucza

Zmniejszamy wartość klucza

Korzystamy z kolejki priorytetowej

Przykład - algorytm Prima

b c d

h g f

i

a e

8 7

1 2

11 14

4

8

7 6

2

4

9

10 0 ∞

∞ ∞ ∞

∞

∞

∞ ∞

Analiza algorytmu Prima

Poprawność: wynika bezpośrednio z Twierdzenia 1.

Złożoność: zależy od implementacji kolejko priorytetowej, dla kopca binarnego mamy:

– Budowa początkowego kopca – O(|V|).

– Extract-Min zajmuje O(lg |V|) dla każdego wierzchołka  razem O(|V| lg |V|) – Pętla for jest wykonywana w czasie O(|E|).

– Test „czy jest sąsiadem” zajmuje O(1). Zmniejszanie klucza – O(lg |V|).

Ostatecznie dostajemy: O(|V| lg |V| + |E| lg |V|) = O(|E| lg |V|).

Podsumowanie: MST

MST jest drzewem zawierającym wszystkie wierzchołki o minimalnym koszcie

Stosuje się dwa zachłanne algorytmy dla znalezienia MST:

– Kruskala: oparty o krawędzie. Czas wykonania: O(|V| |E|).

– Prima: oparty o wierzchołki. Czas wykonania: O(|E| lg |V|).

Złożoność dla algorytmu Kruskala można poprawić przez zastosowanie struktur Union-Find do O(|E| lg |V|),

Złożoność dla algorytmu Prima można poprawić przez zastosowanie kopców Fibonacciego do O(|V| lg |V| + |E|).