Zadania z algebry liniowej Materiał ćwiczeniowy dla studentów kierunku Automatyka i robotyka WEAIiIB AGH

Zadania z algebry liniowej

Materiał ćwiczeniowy dla studentów kierunku Automatyka i robotyka WEAIiIB AGH

Michał Góra

Wydział Matematyki Stosowanej AGH

Kraków 2020

Zestaw 1. Własności działań

Zadanie 1. Ile różnych działań wewnętrznych można określić w zbiorze zawierającym a) jeden element?

b) n elementów?

Ile jest takich działań, które dodatkowo są przemienne?

Zadanie 2. W zbiorze K = {, N} wprowadzamy działania h1 i h₂: h₁  N

  N

N N 

h₂  N

  

N  N

.

Sprawdź, czy a) działania są

i. przemienne?

ii. łączne?

iii. rozdzielne jedno względem drugiego?

b) istnieją elementy neutralne w K dla h₁ i h₂?

c) istnieją elementy odwrotne w K dla  i N względem h1 i h₂?

Zadanie 3. W zbiorze K = Q × Q określamy działania + i · w następujący sposób:

+ : K × K 3 ((a1, b1) , (a2, b2)) → (a1+ a2, b1+ b2) ∈ K

· : K × K 3 ((a₁, b₁) , (a₂, b₂)) → (a₁a₂+ pb₁b₂, a₁b₂+ b₁a₂) ∈ K, gdzie p ∈ R. Wyznacz wszystkie wartości p, dla których

a) powyższe działania są:

i. wewnętrzne, ii. przemienne, iii. łączne,

b) zachodzi rozdzielność · względem +,

c) każdy element zbioru K posiada element odwrotny (wzg. +) oraz element przeciwny (wzg.

·).

Zadanie 4. W zbiorze K wprowadzamy działanie. Wyznacz dla tego działania element neutralny (o ile istnieje) oraz dla elementów zbioru K elementy odwrotne (o ile istnieją):

a) K = Z z działaniem ⊕ : Z × Z 3 (a, b) → a + b + 2 ∈ Z,

b) K = {f : A→A : f − bijekcja} z działaniem składania odwzorowań

◦ : K × K 3 (f, g) → f ◦ g ∈ K, c) K = {4, , } z działaniem

∗ 4 

4 4 

  4

4 

,

d) K = Zm = {0, . . . , m − 1} z działaniem

+_{mod m} : Zm× Zm 3 (a, b) → (a + b)_{mod m} ∈ Zm, gdzie c_{mod m} to reszta z dzielenia c przez m, np.: 17_{mod 4}= 1,

e) K = P (X) (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) z działaniem ÷ (różnica symetryczna zbiorów),

f ) K = {R\{0}} × R z działaniem

 : K × K 3 ((a₁, a₂) , (b₁, b₂)) → (a₁b₁, a₁b₂+ a₂b₁) ∈ K.

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) 1; b) nⁿ², z czego nⁿ²⁺ⁿ² działań to działania przemienne;

Zadanie 2: a) i: są, ii: są, iii: działanie h₂ jest rozdzielne względem h₁, działanie h₁nie jest rozdzielne względem h₂ (np. h₁(N, h2(N, )) 6= h2(h₁(N, N) , h1(N, ))); b) eh1 = , eh2 = N; c) nie istnieje element odwrotny dla  względem działania h2.

Zadanie 3: a) i: p ∈ Q; ii: p ∈ Q; iii: p ∈ Q; b) p ∈ Q; c) dla działania • jest: p 6= q², ∀q ∈ Q.

Zadanie 4: a) e = −2, a⁻¹ = −a − 4; b) e = id_A, f⁻¹ - funkcja odwrotna; c) e = 4, 4⁻¹ = 4,

⁻¹ = , ⁻¹ = ; d) e = 0, 0⁻¹ = 0, k⁻¹ = m − k (k = 1, . . . , m − 1) ; e) E = {∅} , A⁻¹ = A;

f) e = (1, 0) , (a1, a2)⁻¹ = a⁻¹₁ , −a2a⁻²₁
.

Zestaw 2. Grupy, pierścienie, ciała

Zadanie 1. Sprawdź, czy struktury algebraiczne rozważane w zadaniu 4. (zestaw 1.) są grupami.

Czy są to grupy abelowe?

Zadanie 2. Niech f₁(x) = x, f^df ₂(x) = 1 − x, f^df ₃(x) =^df _x¹, f₄(x) = 1 −^{df 1}_x, f₅(x) ^df= _1−x¹ , f₆(x) =^df _x−1^x . Udowodnij, że struktura algebraiczna ({f1, . . . , f6} , ◦), gdzie ◦ – składanie odwzorowań; jest grupą. Czy jest to grupa abelowa?

Zadanie 3. Wykaż, że zbiór utworzony z symetrii kwadratu względem jego osi symetrii, z prze- kształcenia tożsamościowego (¹) oraz z obrotów kwadratu dookoła środka kwadratu o kąt ^π₂ z działaniem składania odwzorowań tworzą ośmioelementową grupę nieprzemienną.

Zadanie 4. Niech (G, ∗) będzie grupą z elementem neutralnym e taką, że: ∀a ∈ G : a ∗ a = e. Czy (G, ∗) jest grupą abelową?

Zadanie 5. Niech (G, ∗) będzie grupą. Pokaż, że a ∗ a = a wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem neutralnym dla ∗ w G.

Zadanie 6.* Niech (G_i, h_i), i = 1, . . . , n będą grupami (abelowymi) z elementami neutralnymi e₁, . . . , e_n. Czy zbiór G = G₁× . . . × G_n z działaniem

h : G × G3 ((a1, . . . , an) , (b1, . . . , bn)) → (h1(a1, b1) , . . . , hn(an, bn)) ∈ G jest grupą (abelową) ?

Zadanie 7. W zbiorze K = {a, b} wprowadzamy działania  i ◦:

 a b a a b b b a

,

◦ a b a a a b a b

.

Sprawdź, czy struktura (K, , ◦) jest ciałem, a następnie rozwiąż równanie a ◦ (x  (b ◦ a)) = (a ◦ b)  a.

Zadanie 8. Sprawdź, czy określona poniżej struktura algebraiczna jest ciałem:

a) (Π_n, +, ·), gdzie Π_n – zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej n; + i · – natu- ralne działania dodawania i mnożenia wielomianów,

1f –przekształcenie tożsamościowe⇔ ∀x ∈ K : f (x) = x.^df

b) (Π, +, ·), gdzie Π – zbiór wielomianów rzeczywistych; + i · – naturalne działania dodawania i mnożenia wielomianów,

c) (W, +, ·) , gdzie W – zbiór funkcji wymiernych (iloraz dwóch wielomianów); + i · – naturalne działania dodawania i mnożenia funkcji,

d) (P (X) , ÷, ∩), gdzie P (X) – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X; ÷ i ∩ to działania określone w sposób następujący:

÷ : P (X) × P (X) 3 (A, B) → (A\B) ∪ (B\A) ∈ P (X)

∩ : P (X) × P (X) 3 (A, B) → A ∩ B ∈ P (X) ,

e) (A, ?, ◦), gdzie A= {x ∈ Q : 0 6 x < 1}; ? i ◦ – działania określone następująco:^df a ? b = min {a, b} , a ◦ b = max {a, b} .

Zadanie 9. Czy Q√

2 , +, ·
jest ciałem, jeżeli Q √ 2

= x +√

2y : x, y ∈ Q , a + oraz · to naturalne działania dodawania i mnożenia liczb?

Odpowiedzi:

Zadanie 1:

Zadanie nr: grupa grupa abelowa

a) tak tak

b) tak nie

c) tak tak

d) tak nie

e) tak tak

f) tak tak

g) tak tak

Zadanie 4: Tak. Wskazówka: ∀a, b ∈ G : abab = e;

Zadanie 6*: Tak;

Zadanie 7: Struktura ({a, b} , , ◦) jest ciałem oraz x = a ∨ x = b;

Zadanie 8: a) nie jest; b) nie jest; c) jest; d) nie jest; e) nie jest;

Zadanie 9: Tak.

Zestaw 3. Liczby zespolone

Zadanie 1. Niech z, z₁, z₂ ∈ C. Podaj interpretację geometryczną następujących liczb:

a) z, b)z, c) z₁+ z₂, d) z₁− z₂, e) |z| , f)* z₁z₂ . Zadanie 2. Dla liczb zespolonych uzasadnij poniższe zależności:

a) z₁z₂ = z₁· z₂ oraz 

z1

z2



= ^z_z¹

2, dla z₂ 6= 0;

b) zz = |z|²;

c) |z₁z₂| = |z₁| |z₂| oraz   

z1

z2

  = ^|z_|z^1|

2|, dla z₂ 6= 0, d) Rez 6 |z| oraz Imz 6 |z|;

e) |z₁+ z₂| 6 |z1| + |z₂|;

f) ||z₁| − |z₂|| 6 |z1− z₂|.

Zadanie 3. Sprowadź do postaci algebraicznej (dwumiennej) następujące wyrażenia:

a) _1+cosπ¹ 3+i sin^π₃; b) ¹⁻²ⁱ_3i+2;

c) ¹_i +²⁺ⁱ_2−i; d) ⁽¹⁺ⁱ⁾ⁿ

(1−i)ⁿ⁻², dla n ∈ N;

e*) (cos α + i sin α)ⁿ, dla n ∈ N;

f*) (sin α + i cos α)ⁿ, dla n ∈ N.

Zadanie 4. Rozwiąż równania z niewiadomymi z ∈ C; x, y ∈ R:

a) z²+ (3 − 2i) z + 1 − 3i = 0, b) |z| + z = 1 + i,

c)  (1 + 2i) x + (2 − 2i) y = 5 + 4i (3 − i) x + (4 + 2i) y = 2 + 6i , d)

 (1 − 2i) x − (1 − 4i) y = 2 − 2i (−2 − i) x + (2 + 2i) y = −4 − i ,

2

f) ¹⁺ⁱ_z = ²⁻³ⁱ_z , g) z⁴+ 4z²− 5 = 0, h) z⁴+ 4z²+ 8 = 0,

i) (3 − i) x²− (3 + 2i) x − (1 − i) y = 13 − 10i, j) (2 + 3i) x²− (2 + i) x + (4 − 4i) y = 8 − 17i.

Zadanie 5. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz liczby zespolone z, dla których a) liczba _z−2i^z+4 jest rzeczywista,

b) liczba _iz+4^z jest czysto urojona, c) liczba ^(z−a)_z−a^2z−a − 2 jest niedodatnia, d) liczba ^z+i_z−i nie jest ujemna.

Zadanie 6. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz wszystkie liczby zespolone z, których moduł jest liczbą całkowitą i dla których liczba z²+ (1 + i) z jest czysto urojona.

Odpowiedzi:

Zadanie 2: c) Wskazówka: wykorzystać własności a) i b); e) Dla z₁+ z₂ 6= 0 mamy:

1 = Re

 z₁

z₁+ z₂ + z₂ z₁+ z₂



= Re

 z₁ z₁+ z₂

 + Re

 z₂ z₁+ z₂

_d)+c) 6 6 |z1|

|z₁+ z₂| + |z1|

|z₁+ z₂|;

f) |z₁| = |z₁− z₂+ z₂|6 |z^e) 1− z₂| + |z₂|, następnie zamienić rolą z₁ i z₂. Zadanie 3: a) ¹₂ − i

√3

6 ; b) −₁₃⁴ − ₁₃⁷i; c) ³₅ − ₅ⁱ; d) 2iⁿ⁻¹; e) cos nα + i sin nα;

f) iⁿ(cos nα − i sin nα) =

= (

(−1)^n/2cos nα + i (−1)^1+n/2sin nα, n = 2k

(−1)^(n−1)/2sin nα + i (−1)^(n−1)/2cos nα, n = 2k + 1 , dla k ∈ N.

Zadanie 4: a) −2 + i, −1 + i;

b) i;

c) ∅;

d) x = 3, y = 1;

e) ³₂ + i 1 +

√7 2



,³₂ + i 1 −

√7 2



; f) ∅;

g) −1, 1, −i√ 5, i√

5;

h) −1 −√

2, −1 +√

2
, −1 +√

2, −1 −√

2
, −1 +√

2, 1 +√ 2
,

−1 −√

2, 1 −√ 2
;

i) (x, y) ∈ {(3, 5), −¹₂, −10³₄
};

j) ∅;

Zadanie 5: a) (x, y) : y = ¹₂x + 2, x 6= 0 ; b) {(x, y) : x = 0, y 6= 4} ;

c) z : 0 < |z − a| 6√ 2 ;

d) C\ {z ∈ C : Rez = 0, Imz ∈ (−1, 1]} .

Zestaw 4. Liczby zespolone

Zadanie 1. Poniższe liczby i wyrażenia przedstaw w postaci trygonometrycznej:

a) √

3 − i, b) −6 + 6i, c) ¹_i ·_1+i¹ , d) 1 + i tg ϕ, e) sin ϕ − i cos ϕ, f) 1 + cos^π₃ + i sin^π₃, g) ^{1+i tg ϕ}_{1−i tg ϕ}, h) ^{tg ϕ+i}_{tg ϕ−i}. Zadanie 2. Poniższe wyrażenia sprowadź do postaci kanonicznej (dwumiennej):

a) (1 + i)⁷, b) 

√1−i 3+i

6

, c) − cos^π₇ + i sin^π₇
14

, d) 1 + cos^π₃ + i sin^π₃
6

, e) ⁽¹⁻ⁱ⁾⁷

(^−√3−i)⁶, f) _(1+i)⁽¹⁻ⁱ⁾5⁵⁻¹+1, g) (1 + i)⁷− (2 − 2i)⁴, h) 1 + i + i²+ · · · + iⁿ, n ∈ N.

Zadanie 3. Znajdź funkcię ω : R → R spełniającą poniższe równanie:

a) cos 3x = ω(cos x), b) sin 5x = ω(sin x),

c) ctg 4x = ω(ctg x).

Zadanie 4. Dla n ∈ N oraz x ∈ R oblicz:

a) 1 + cos x + . . . + cos nx,

b) sin 2x + cos 3x + sin 4x + cos 5x + . . . + sin 2nx + cos (2n + 1) x.

Zadanie 5. Naszkicuj na płaszczyźnie zespolonej poniższe zbiory:

a) {z ∈ C : |z − a| = b}, dla a ∈ C, b ∈ R, b) {z ∈ C : 2 < |z| 6 4},

c) {z ∈ C : |z − a| = |z − b|}, dla a, b ∈ C,

d) {z ∈ C : |z − a| + |z − b| = c}, dla a, b ∈ C, c ∈ R, e) {z ∈ C : Re (iz + 2) > 0},

f) {z ∈ C : |z + 1| > 2 ∧ Im (z + 1) 6 1}, g) z ∈ C : Arg (z + iz) = ^3π₂ ,

h) z ∈ C : ^π₄ 6 Arg_zⁱ < ^π₂ , i) {z ∈ C : Arg (z⁴) = π},

j) z ∈ C : ^π₆ < Arg (z³) < ^π₂ .

Zadanie 6. Wyznacz algebraicznie, a następnie zaznacz na płaszczyźnie zespolonej podane zbiory:

a) √³

−8i, b) √⁶

−27, c) ⁴ q

−¹₂ +

√3

2 i, d)√

−7 + 24i, e) √³

z, gdzie 1 + i√ 3
³ √

3 − i
⁶

z = (1 + i)¹².

Zadanie 7. Odgadując jeden z elementów poniższych zbiorów wyznacz pozostałe:

a) √³

−27i, b) ⁴

q

(2 − 2i)¹².

Zadanie 8. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie:

a) (z − 1)⁴ = ¹₂ + i

√ 3 2 , b) (2z − 2)⁴ = ³₅ − i⁴₅
8

, c) z⁴− 2z² + 5 = 0,

d) (z + 2)ⁿ− (z − 2)ⁿ = 0, n ∈ N, e) (z + 1 + i)⁴+ (1 + 2i)⁸ = 0.

Zadanie 9. Ile wynosi suma wszystkich pierwiastków algebraicznych stopnia n z 1?

Zadanie 10.* Wykaż, że w ciągu a_n = ²⁺ⁱ_2−i
n

, n ∈ N, nie występują dwa identyczne wyrazy.

Zadanie 11. Jednym z wierzchołków sześciokąta foremnego jest w₀ = √

3 + i. Wyznacz pozostałe wierzchołki tego wielokąta, wiedząc że jego środek leży w:

a) początku układu współrzędnych, b) punkcie s₀ = 2√

3 + i.

Zadanie 12.* Znajdź funkcię ϑ : C → C spełniającą poniższe równanie:

a) cos x = ϑ(e^ix), b) sin x = ϑ(e^ix), c) tg x = ϑ(e^ix).

Zadanie 13. Rozwiąż równanie:

a) (z)⁶ = 4 |z²|, b) _|z|^z64 = z,

c) zⁿ= n |z| , n ∈ N.

Zadanie 14.* Znajdź zależność, która łączy pięć najważniejszych stałych matematycznych: π, e – podstawa logarytmu naturalnego, i – jednostka urojona, 1 – element neutralny mnożenia, 0 – element neutralny dodawania (²).

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) 2 cos −^π₆
+ i sin −^π₆

; b) 6√

2 cos ^3π₄ + i sin^3π₄
; c)

√ 2

2 cos −^3π₄
+ i sin −^3π₄

;

d) _{cos α}¹ (cos α + i sin α) ;

e) cos −^π₂ + α
+ i sin −^π₂ + α
; f) √

3 cos ^π₆ + i sin^π₆
;

g) cos 2α + i sin 2α;

h) cos (π − 2ϕ) + i sin (π − 2ϕ) ;

Zadanie 2: a) 8 − 8i; b) −¹₈i; c) 1; d) −27; e) −¹₈ − ¹₈i; f) −₂₅¹ − ³²₂₅i; g) 72 − 8i;

h)







1 2



1 + (−1)^k+ i

1 − (−1)^k

, dla n = 2k

1

2(1 + i)



1 + (−1)^k



, dla n = 2k + 1

Zadanie 3: a) $ (t) = 4t³− 3t; b) $ (t) = 16t⁵− 20t³+ 5t; c) $ (t) = ^t_4t(t^4−6t2−1)²⁺¹; Zadanie 4: a) ^sin

(n+1)x 2

sin^x₂ cos^nx₂ , dla x 6= 2kπ; n + 1, dla x = 2kπ, k ∈ Z;

b) ^{sin nx}_{sin x} (sin x (n + 1) + cos x (n + 2)), dla x 6= kπ, −1, dla x = kπ, k ∈ Z;

Zadanie 6: a)√

3 − i, −√

3 − i, 2i; b) ±i√ 3,³₂± i

√ 3

2 , −³₂± i

√ 3 2 ;c)

√ 3

2 + i¹₂, −

√ 3

2 − i¹₂, −¹₂+ i

√ 3 2 ,¹₂− i

√ 3 2 ; d) 3 + 4i, −3 − 4i; e) −¹₂, ¹₄ ± i

√ 3 4 . Zadanie 7: a) 3i, ³

√3

2 − ³₂i, −³

√3

2 − ³₂i; b) −16 − 16i, 16 − 16i, 16 + 16i, −16 + 16i;

Zadanie 8: a) 1 + q√

3

4 + ¹₂ + i q

1 2 −

√ 3 4 , 1 −

q

1 2 −

√ 3 4 + i

q

1 2 +

√ 3 4 , 1 −

q√ 3

4 +¹₂ − i q

1 2 −

√ 3 4 , 1 +

q1 2 −

√3 4 − i

q1 2 +

√3 4 ;

b) ⁴³₅₀ − ²⁴₅₀i, ²⁶₅₀+ ₅₀⁷i, ⁵⁷₅₀+²⁴₅₀i, ⁷⁴₅₀ +₅₀⁷i;

c)

q1+√ 5 2 + i

q√ 5−1

2 , − q1+√

5 2 − i

q√ 5−1

2 ,

q1+√ 5 2 − i

q√ 5−1

2 , − q1+√

5 2 + i

q√ 5−1

2 ; d) −2^1+cos

2kπ

n +i sin^2kπ_n 1−cos^2kπ_n −i sin^2kπ

n

, k = 1, . . . , n − 1;

Zadanie 9: 0;

Zadanie 11: a) ±2i, ±√

3 + i, ±√

3 − i; b)√

3 + 1, 3√

3 + 1, ³₂√

3 + 1 ± ³₂i, ⁵₂√

3 + 1 ± ³₂i;

Zadanie 12: a) ϑ (t) = ^t+t₂⁻¹; b) ϑ (t) = ^t−t_2i⁻¹; c) ϑ (t) = ^1−t_1+t²2i;

2Przez wielu matematyków rozwiązanie tego zadania jest uznawane za najładniejszy wzór matematyczny.

Zadanie 13: a) 0, √

2e^−ikπ3 , k = 0, . . . , 5;

b) e^i2kπ7 , k = 0, . . . , 13;

c) z₀ = 0, z_k = ⁿ⁻¹√

n cos^2kπ_n + i sin^2kπ_n
, k = 0, . . . , n − 1;

Zadanie 14: e^iπ+ 1 = 0.

Zestaw 5. Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe

Zadanie 1. Sprawdź, czy podana struktura algebraiczna (X, +, ·) jest przestrzenią wektorową nad R:

a) X = Rⁿ oraz

+ : X × X 3 ((x₁, . . . , x_n) , (y₁, . . . , y_n)) → (x₁+ y₁, . . . , x_n+ y_n) ∈ X

· : R × X 3 (α, x¹, . . . , xn) → (αx1, . . . , αxn) ∈ X;

b) X = Rⁿ oraz

+ : X × X 3 ((x1, . . . , xn) , (y1, . . . , yn)) → (x1+ y1, . . . , xn+ yn) ∈ X

· : R × X 3 (α, x¹, . . . , xn) → (αx1, 0, . . . , 0) ∈ X;

c) X = R^{A df}= {f : A → R} oraz

+ : X × X 3 (η, ϕ) → η + ϕ ∈ X

· : F × X 3 (α, ϕ) → αϕ ∈ X;

d) X = Πn

= {x → adf 0+ a1x + . . . + anxⁿ : ai ∈ R, i = 0, . . . , n}

z naturalnymi działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez liczbę;

e) X = {f : R → R : f (−x) = f (x)} z naturalnymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę;

f) X = {f : R → R : f (−1) = f (1) = 0} z naturalnymi działaniami dodawania funkcji i mno- żenia funkcji przez liczbę,

g)* X = {f : R → R : f – funkcja okresowa} z naturalnymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę,

h)* X = {f : R → R : f – funkcja okresowa o okresie wymiernym} z naturalnymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę.

Zadanie 2. Sprawdź, czy:

a) Y = {(x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ:Pn

i=1xi = a}, dla pewnego a ∈ R, jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni (Rⁿ, +, ·);

b) Y = {f : R → R : f (−x) = −f (x)} jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni funkcji pro- wadzących z R w R z naturalnymi działaniami + i ·.

Zadanie 3. Sprawdź, czy:

a) jeżeli Y1, . . . , Yn są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to

n

\

k=1

Yk jest podprze- strzenią wektorową przestrzeni X ;

b) jeżeli Y₁, . . . , Y_n są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to

n

[

k=1

Y_k jest podprze- strzenią wektorową przestrzeni X .

Zadanie 4. W oparciu o poprzednie zadanie uzasadnij, że

Y =(x, y, z) ∈ R³ : x + 2y − z = 0, x = 2z jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni (R³, +, ·).

Zadanie 5.* Niech U i V będą podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X . Uzasadnij, że

U ∪ V – podprzestrzeń wektorowa X ⇔ U ⊂ V lub V ⊂ U .

Zadanie 6. Sprawdź liniową zależność wektorów w podanych przestrzeniach wektorowych (z natu- ralnymi działaniami + i ·):

a) (1, 0), (1, 1), (0, 1) w (R², +, ·) nad R;

b) √

2 i 2 w (R, +, ·) nad R;

c) √

2 i 2 w (R, +, ·) nad Q;

d) 1, x, x², . . . , xⁿ w (Π_n, +, ·) nad R (³);

e) 1, x, x +√

2, x², . . . , xⁿ w (Πn, +, ·) nad Q;

f) 1, sin x, cos x w (C (R) , +, ·) nad R, gdzie C (R)= {f : R → R : f – ciągła};^df g) 1, sin x, cos x, sin²x, cos²x w (C (R) , +, ·) nad R.

Zadanie 7. Wyznacz bazy podanych przestrzeni wektorowych (z naturalnymi działaniami + i ·):

a) (Π_n, +, ·) nad R;

b) (P_2n, +, ·) nad R, gdzie P2n

df= {w ∈ Π_2n : w(x) = w(−x)};

c) (C, +, ·) nad R;

d) (Π_n(a) , +, ·) nad R, gdzie Πn(a)= {w ∈ Π^df _n: w(a) = 0} ; e) {(x, y, z) ∈ R³ : x + y + z = 0, 2x − z = 0} nad R,

f) {z ∈ C : 3Rez − 2Imz = 0}.

Zadanie 8.* Wyznacz wymiar przestrzeni wektorowej (R, +, ·) nad Q. Działania + oraz · to natu- ralne działania dodawania i mnożenia liczb.

df

Zadanie 9.* Pokaż, że ∀x0, . . . , xn ∈ R : xⁱ 6= xj (dla i 6= j) wielomiany ϕ0, . . . , ϕn: ϕi(x)=^df Y

j6=i

x − xj

x_i− x_j, dla i = 0, . . . , n stanowią bazę przestrzeni wielomianów Π_n.

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest; e) jest; f) jest; g)* nie jest; h)* jest;

Zadanie 2: a) jest dla a = 0; b) jest;

Zadanie 3: a) tak; b) wskazówka: Zadanie 5;

Zadanie 4: Wskazówka: uzasadnić, że

Y₁ =(x, y, z) ∈ R³ : x + 2y − z = 0

oraz Y₂ =(x, y, z) ∈ R³ : x = 2z to podprzestrzenie wektorowe przestrzeni (R³, +, ·), a następnie zastosować zadanie 3a);

Zadanie 5*: Uzasadnienie:

⇐ twierdzenie oczywiste;

⇒ Hp.: U 6⊂ V i V 6⊂ U . Wówczas: ∃ u, v : u ∈ U \V i v ∈ V \U . Pokażemy teraz, że u + v /∈ U ∪ V , mimo że u, v ∈ U ∪ V . Warunek u + v ∈ U ∪ V oznaczałby, że u + v ∈ U lub u + v ∈ V . Ponieważ

gdyby u + v ∈ U ^−u∈U=⇒ v = −u + (u + v) ∈ U – sprzeczność gdyby u + v ∈ V ^−v∈V=⇒ u = −v + (u + v) ∈ V – sprzeczność.

Zadanie 6: Liniowo zależne są wektory z przykładów: a), b), g);

Zadanie 7: Przykładowe bazy: a) 1, x, x², . . . , xⁿ; b) 1, x², x⁴, . . . , x²ⁿ; c) 1 + i, 1 − i;

d) x − a, (x − a)², . . . , (x − a)ⁿ; e) (1, −3, 2); f) 2 + 3i;

Zadanie 8*: dim_Q(R, +, ·) = #R = c. Wskazówka: uzasadnić, że każda przestrzeń liniowa o prze- liczalnej bazie rozważana nad przeliczalnym ciałem jest przestrzenią zawierającą przeliczalną liczbę elementów.

Zadanie 9*: Wskazówka: pokazać, że ϕi(xk) = 1, i = k 0, i 6= k .

Zestaw 6. Działania na macierzach

Zadanie 1. Niech F^n×m oznacza zbiór macierzy o n wierszach, m kolumnach oraz o elementach należących do zbioru F. Sprawdź, czy:

a) struktura (R^n×m, +) jest grupą abelową, gdzie + – dodawanie macierzy;

b) struktura (R^n×n, •) jest grupą abelową, gdzie • – mnożenie macierzy;

c) struktura (A, +, •) jest ciałem, gdzie A =

 a b

−b a



: a, b ∈ R



, + – dodawanie macierzy,

• – mnożenie macierzy,

d) struktura (R^n×m, +, •) jest przestrzenią wektorową nad ciałem R, gdzie + – dodawanie macierzy, • – mnożenie macierzy przez liczbę. W przypadku pozytywnej odpowiedzi, podaj bazę tej przestrzeni.

Zadanie 2. Niech

A = 1 2 0 0 3 −1



oraz B = −1 2 −1

1 1 0

 . Znajdź macierz X, spełniającą równanie

a) 4 (A − X) + 5 (3X + B) = A − B + 8X;

b) B^TX = [1 1 0]^T.

Zadanie 3. Znajdź macierz trójkątną dolną L z dodatnimi elementami na przekątnej spełniającą równanie:

LL^T = 1 1 1 4

 .

Zadanie 4. Sprawdź, czy dla A, B ∈ R^n×n prawdziwe są poniższe zależności:

a) AB = BA;

b) AB = 0 ⇒ (A = 0 ∨ B = 0) , 0 ∈ R^n×n; c) (A + B)² = A²+ 2AB + B²;

d) AB = BA ⇒ (A + B)³ = A³+ 3A²B + 3AB² + B³. Zadanie 5. Wyznacz f (A), jeżeli f (x) = x²− 5x + 3 oraz A =

 2 −1

−3 3

 .

Zadanie 6.* Uzasadnij, że dla dowolnej macierzy A ∈ C^n×n istnieje wielomian f : R → R taki, że

Zadanie 7. Rozwiąż macierzowy układ równań











X + Y =  0 1 0 1



2X + 3Y = 1 0 0 1

 .

Zadanie 8.* Dla macierzy a) A =

 i 0 0 −i



, dla i =√

−1, b) A =

 cos θ sin θ

− sin θ cos θ



, dla θ ∈ R

wyznacz A^{n df}= A · . . . · A

| {z }

× n

.

Zadanie 9.* Dla macierzy A ∈ R^n×n określamy odwzorowanie Ψ : Rⁿ 3 x → Ax ∈ Rⁿ. Podaj interpretację geometryczną odwzorowania Ψ w przypadku, gdy

a) A = cos θ − sin θ sin θ cos θ



, dla θ ∈ R, b) A =





1 0 0 0 0 1 0 1 0



.

W oparciu o interpretację geometryczną odwzorowania Ψ, uzasadnij jego bijektywność oraz wyznacz odwzorowanie odwrotne Ψ⁻¹.

Zadanie 10. Udowodnij, że iloczyn macierzy trójkątnych górnych (dolnych) jest macierzą trójkątną górną (dolną).

Zadanie 11. Wykaż, że jeżeli A = [aij]ⁿ_i,j=1 jest macierzą ortogonalną (tj. A^TA = AA^T = I), to:

a) Pn

k=1a²_kj = 1, ∀j = 1, . . . , n;

b) Pn

k=1a²_ik = 1, ∀i = 1, . . . , n;

c) Pn

k=1a_kia_kj = 0, dla i 6= j.

Zadanie 12. Zadana jest macierz ortogonalna A ∈ R^n×n. Rozwiąż równanie AX A^T
2

= −I³, z niewiadomą macierzą X, I−macierz jednostkowa.

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) jest; b) nie jest; c) jest; d) jest;

Zadanie 2: a) X =

 1 −6 2

−2 −5 1



; b) X = 0 1



;

Zadanie 3: L = 1 0 1 √ 3



;

Zadanie 4: a) nie; b) nie; c) nie; d) tak;

Zadanie 5: f (A) =  0 0 0 0



;

Zadanie 6*: Wskazówka: wykorzystując zadanie 1d) uzasadnić, że istnieje taka liczba N ∈ N, że macierze I, A, . . . , A^N są liniowo zależne;

Zadanie 7: X = −1 3 0 2



, Y = 1 −2 0 −1



;

Zadanie 8*: a)  iⁿ 0 0 (−i)ⁿ



, n ∈ N; b)

 cos nθ sin nθ

− sin nθ cos nθ



, n ∈ N;

Zadanie 9*: a) Obrót o kąt θ, A⁻¹ =

 cos θ sin θ

− sin θ cos θ



; b) Symetria względem płaszczyzny {(x, y, z) ∈ R³ : y − z = 0}, A⁻¹ = A;

Zadanie 10: A = [a_ij] , B = [b_ij] : a_ij = 0, b_ij = 0 dla i < j. AB = C = [c_ij]. Wówczas:

c_ij =Pn

k=1a_ikb_kj ^{dla k>i}=

aik=0

Pi

k=1a_ikb_kj ^{dla k<j}=

bkj=0

Pi

k=ja_ikb_kj, czyli dla i < j : c_ij = 0.

Zadanie 11: Wskazówka: rozpisać warunki ortogonalności jak w zadaniu poprzednim.

Zadanie 12: −A.

Zestaw 7. Układy równań liniowych

Zadanie 1. Oblicz wyznaczniki następujących macierzy:

a)





2 −1 0

1 4 2

−3 2 5



, b)





1 x x² 1 y y² 1 z z²



, c)









1 −1 2 0

0 1 0 −3

3 2 −2 4

2 3 1 1







 ,

d)





1 0 0

0 sin θ cos θ 0 − cos θ sin θ



 e)









1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1







 f)













1 −2 1 2 2

−1 2 −1 2 2

1 −1 1 −1 2

1 −2 −1 −1 2

1 −1 1 −1 1











 .

Zadanie 2. Uzasadnij, że wyznaczynik macierzy A ∈ R^n×n (n > 1) o wyrazach nieparzystych jest liczbą parzystą.

Zadanie 3. Nie obliczając wyznaczników znajdź rozwiązania podanych równań (x ∈ R):

a)        

1 + x 1 1 1

2 2 2 2

4 6 − x 4 4

6 6 6 x

       

= 0, b)        

x² 4 9 3

−1 1 − x² −9 −3

1 4 9 3

1 4 x² 3

       

= 0,

c)         

1 x₀ x²₀ . . . xⁿ₀ ... ... ... . .. ... 1 x_n−1 x²_n−1 . . . xⁿ_n−1 1 x x² . . . xⁿ

        

= 0, gdzie x_i 6= x_j dla i, j = 0, . . . , n − 1.

Zadanie 4. Oblicz wyznacznik macierzy A ∈ R^n×n spełniających równanie:

a) A² = A^T, b) A^T − A⁻¹ = 0,

c) A²+ A⁻¹ = 0, d) A³− 4A⁻¹ = 0.

Zadanie 5. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy:

a)  a c b d



b)  2 1 4 1



c)





1 0 1 2 1 1 1 0 2





d)  1 + i −1

0 2

 e)





a 0 0 0 b 0 0 0 c



 f)





1 0 0

0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ



.

Zadanie 6.* Pokaż, że macierzą odwrotną do macierzy trójkątnej górnej (dolnej) jest macierz trój- kątna górna (dolna).

Zadanie 7. Niech A ∈ R^n×n. Sprawdź, czy: A^TA = I ⇒ AA^T = I.

Zadanie 8. Liczby 1798, 2139, 3255, 4867 dzielą się przez 31. Uzasadnij, że wyznacznik 

      

1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7

        również dzieli się przez 31.

Zadanie 9. Wyznacz rząd macierzy:

a)





2 1 1

2 1 −1

2 −2 1



; b)





0 2 −2 4 2 3 −4 6

−4 0 2 0



; c) 3 2 1 2 1 1



;

d) 2 −4 3 1 −2 ³₂



; e)









2 1 1 1

−3 2 0 1 1 4 2 3 2 1 1 4







 .

Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru a ∈ R rząd macierzy

a)





−2 −1 − a 1

a 0 −a

−1 a + a² 1



, b)









a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a









jest

a) najmniejszy?

b) największy?

Zadanie 11. Rozwiąż równania:

a)







3x + 2y + z = −1 7x + 6y + 5z = 0 3z + 5x + 6y = 2

; b)







2x + y − z = 1 x − y + 2z = −1 4x + 5y − 7z = 5

;

c)







3x − 5y + 2z + 4t = 2 7x − 4y + z + 3t = 5 5x + 7y − 4z − 6t = 3

; d)

 x + iy − i = 1

2 (1 + i) x + (−1 + i) y = 3 ;

e)  1 2 2 −1

  x y



=

 0

−3



; f)

 3 ¹₂ 12 2

  a b



= 1 2

 .

Zadanie 12. Zbadaj liczbę rozwiązań poniższych układów równań w zależności od wartości parame- tru a ∈ R:

a)







(5 − a) x − 2y − z = 1

−2x + (2 − a) y − 2z = 2

−x − 2y + (5 − a) z = 1

, b)







ax + y = 2 2x − y = a 2x − y = 1

.

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) 43; b) (y − x) (z − x) (z − y) ; c) −71; d) 1; e) −1; f) 8;

Zadanie 3: a) 0, 2, 6; b) ±1, ±√

5, ±3; c) x₀, . . . , x_n−1; Zadanie 4: a) 0, 1; b) ±1; c) (−1)ⁿ; d) ±2^n/2;

Zadanie 5:

a)

 _d

ad−bc

−c ad−bc

−b ad−bc

a ad−bc



; b)  −1/2 1/2 2 −1



; c)





2 0 −1

−3 1 1

−1 0 1



;

d)

 ₁

2 − ¹₂i ¹₄ −¹₄i

0 ¹₂



; e)





1

a 0 0

0 ¹_b 0 0 0 ¹_c



; f)





1 0 0

0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ



;

Zadanie 7: Tak: A^TA = I ^|A|6=0⇒ A^T = A^TAA⁻¹ = A⁻¹ ⇒ AA^T = I.

Zadanie 9: a) 3; b) 2; c) 2; d) 1; e) 3;

Zadanie 10: a) dla a 6= 0 ∧ a 6= −1 rząd wynosi 3, dla a = 0 ∨ a = −1 rząd wynosi 2; b) dla a 6= 1 ∧ a 6= −3 rząd wynosi 5, dla a = 1 rząd wynosi 1;

Zadanie 11: a) x = −⁵₄, y = ⁵₄, z = ¹₄; b) x = −¹₃z, y = ₃⁵z + 1, z ∈ R; c) ∅; d) x = ¹₂−⁵₂i, y = ⁷₂−¹₂i;

e) −⁶₅,³₅T

; f) ∅;

Zadanie 12:

Liczba rozwiązań zadania 0 1 ∞

a) a = 0 a 6= 0 ∧ a 6= 6 a = 6

b) a 6= 1 a = 1 ∅

Zestaw 8. Wartości i wektory własne

Zadanie 1. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy:

a)  1 5 0 3



; b)





a 0 0 0 b 0 0 0 c



; c)





1 2 0

0 2 0

−2 −2 −1



;

d)





1 −1 −1

1 1 0

3 0 1



; e)





2 −2 0

−2 1 −2

0 −2 0



; f)





2 −1 −1 3 −2 −3

−1 1 2



.

Zadanie 2. Niech λ będzie wartością własną macierzy A. Wyznacz wartości własne macierzy:

a) A⁻¹ (jeżeli istnieje), b) A + αI, dla α ∈ R,

c) (A + I)ⁿ, dla n ∈ N,

d) (A + I)⁻ⁿ, dla n ∈ N, gdzie B^{−n df}= (B⁻¹)ⁿ (jeżeli B⁻¹ istnieje).

Zadanie 3. Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać:

ϕ_A(λ) = −λ⁹+ 2

9λ⁸ + λ⁵ +2

9λ⁴− λ +2 9. Wyznacz:

a) wymiar macierzy A, b) det(A),

c) rank(A), d) tr(A).

Zadanie 4. Dla macierz A =





2 3 0

−1 2 1

2 3 −2



 oblicz:

a) λ₁λ₂λ₃, b) λ²₁+ λ²₂+ λ²₃, gdzie λ₁, λ₂, λ₃ to wartości własne macierzy A.

Zadanie 5. Niech A, B ∈ R^n×n : det (AB) 6= 0. Udowodnij, że jeżeli λ jest wartością własną macierzy AB, to λ jest również wartością własną macierzy BA. Czy założenie det (AB) 6= 0 można osłabić?

Zadanie 6. Niech w (x) = akx^k+ . . . + a1x + a0, ai ∈ C (i = 0, . . . , k) oraz niech λ¹, . . . , λn ∈ C będą wartościami własnymi macierzy A ∈ C^n×n. Wyznacz wartości własne macierzy w (A) = a_kA^k+ . . . + a₁A + a₀I.

Zadanie 7. Dla podanych macierzy wyznacz ich macierze Jordana:

a)  1 2 2 1

 , b)

 2 1

−1 0

 , c)





2 0 0

0 −1 2 1 −2 −1



, d)





1 2 1 0 2 0 1 0 1



.

Zadanie 8. Niech A będzie macierzą z poprzedniego zadania (trzy przypadki: a), b), d)). Wyznacz:

a) A²⁰¹⁰;

b) I + A + A²+ . . . + A⁹⁹.

Odpowiedzi:

Zadanie 1:

 1, 1

0



,

 3, 5

2



;

b)





 a,



 1 0 0









 ,





 b,



 0 1 0









 ,





 c,



 0 0 1











;

c)







−1,



 0 0 1









 ,





 1,





−1 0 1









 ,





 2,





−2

−1 2











;

d)





 1,



 0

−1 1









 ,





 1 ± 2i,





±2i 1 3











;

e)





 1,





−2

−1 2









 ,







−2,



 1 2 2









 ,





 4,



 2

−2 1











;

f)





 0,





−1

−3 1









 ,





 1,



 1 0 1



,



 1 1 0











;

Zadanie 2: a) ¹_λ; b) λ + α; c) (λ + 1)ⁿ; d) _(λ+1)¹ n; Zadanie 3: a) 9; b) ²₉; c) 9; d)−²₉;

Zadanie 4: a) −14; b) 12;

Zadanie 5: Wskazówka: uzasadnij, że macierze AB i BA są podobne;

Zadanie 6: w (λ₁) , . . . , w (λ_n);

Zadanie 7: a) J = −1 0 0 3



; b) J = 1 1 0 1



; c) J =





2 0 0

0 −1 − 2i 0

0 0 −1 + 2i



;

d) J =





2 1 0 0 2 0 0 0 0



.

Zadanie 8: Wskazówka: a) A = P J P⁻¹ ⇒ A²⁰¹⁰ = P J²⁰¹⁰P⁻¹;

b) A = P J P⁻¹ ⇒ I + A + A²+ . . . + A⁹⁹= P (I + J + J²+ . . . + J⁹⁹) P⁻¹.

Zestaw 9. Odwzorowania liniowe

Zadanie 1. Odwzorowanie liniowe injektywne (odp. surjektywne, bijektywne) nazywamy monomor- fizmem (odp. epimorfizmem, izomorfizmem). Niech F : X → Y, gdzie dim X = dim Y = n (n ∈ N), będzie odwzorowaniem liniowym. Uzasadnij, że następujące warunki są równoważne.

a) odwzorowanie F jest monomorfizmem;

b) ker F = {0};

c) dim Im (F ) = dim Y ;

d) odwzorowanie F jest epimorfizmem;

e) odwzorowanie F jest izomorfizmem.

Zadanie 2. Rozważmy funkcję F : R^2×2 → R^2×2 określoną wzorem F : a b

c d



→ 2a − b + 2c − d b + 2c − d 2c b − 2c + 3d

 . a) Uzasadnij, że F jest endomorfizmem.

b) Wyznacz jądro oraz obraz endomorfizmu F ; wyznacz bazy tych przestrzeni. Czy F jest injekcją (surjekcją)?

c) W wybranej bazie przestrzeni R^2×2 wyznacz macierz A_F endomorfizmu F . d) Wyznacz wartości oraz wektory własne macierzy A_F.

e) Wyznacz wartości oraz wektory własne endomorfizmu F .

f) Wyznacz macierz przejścia z wybranej w punkcie c) bazy przestrzeni R^2×2 do bazy e:

e₁ = 1 0 0 1



, e₁ = 1 0 0 −1



, e₃ = 0 1 1 0

 , e₄ =

 0 1

−1 0

 .

g) Wyznacz macierz Jordana macierzy A_F.

h) Wyznacz bazę Jordana przestrzeni R^2×2 względem endomorfizmu F . Zadanie 3. Niech Φ_n: Π_n3 f → f⁰ ∈ Π_n.

a) Wyznacz ker Φn, Im Φn oraz bazy tych przestrzeni.

b) Wyznacz macierz AΦn odwzorowania Φn w bazie e:

e₀ = 1, e₁ = 1 + x, e₂ = 1 + x + x², . . . , e_n = 1 + x + . . . + xⁿ.

c) Rozważmy bazę ˜e = (˜e0, . . . , ˜en) przestrzeni Πn, gdzie ˜ei = xⁱ (i = 0, . . . , n). Wyznacz macierz przejścia P z bazy e do bazy ˜e oraz macierz P⁻¹.

d) Wyznacz wartości i wektory własne macierzy AΦn oraz endomorfizmu Φn. e) Czy endomorfizm Φn jest diagonalizowalny?

f) Wykorzystując macierzową reprezentację endomorfizmu Φ₃ oblicz (1 + x²+ 6x³)⁰. Zadanie 4. Niech X = span {e^x, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x}. Rozważmy odwzorowanie

F (f ) = f⁰⁰+ f.

a) Czy F jest endomorfizmem na X?

b) Jeżeli odpowiedź w punkcie a) jest pozytywna, wyznacz wartości własne endomorfizmu F . Czy jest on diagonalizowalny?

Zestaw 10. Przestrzenie unitarne

Zadanie 1. Niech s₁i s₂będą iloczynami skalarnymi w rzeczywistej przestrzeni wektorowej X. Pokaż, że odwzorowanie α1s1+ α2s2, gdzie α1, α2 ∈ R⁺, również określa iloczyn skalarny w X.

Zadanie 2. Pokaż, że jeżeli s jest iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej X, a Y jest jej podprzestrzenią liniową, to s|Y ×Y jest iloczynem skalarnym w Y .

Zadanie 3. Wyznacz ogólną postać iloczynu skalarnego w przestrzeni Rⁿ.

Zadanie 4. Niech układ wektorów e₁, . . . , e_n (e_i 6= 0, i = 1, . . . , n) będzie układem ortogonalnym w przestrzeni wektorowej wyposażonej w iloczyn skalarny. Pokaż, że wektory e₁, . . . , e_n są liniowo niezależne.

Zadanie 5. Rozważmy podprzestrzeń liniową Y = {(x, y, z) : 2x + y − z = 0} przestrzeni R³. Wy- znacz ortonormalną, w sensie naturalnego iloczynu skalarnego, bazę przestrzeni Y .

Zadanie 6. Sprawdź, że w przestrzeni R⁴ wektory

e₁ = ¹₂, −¹₂,¹₂, −¹₂
, e2 = −¹₂,¹₂,¹₂, −¹₂

są ortonormalne, a następnie znajdź wektory e3 i e4 takie, aby układ e1, e2, e3, e4 był jej bazą ortonormalną. W R⁴ przyjmij naturalny iloczyn skalarny.

Zadanie 7. Niech ◦ oznacza naturalny iloczyn skalarny w przestrzeni Rⁿ oraz niech kxk = √ x ◦ x.

Niech v, w ∈ Rⁿ. Pokaż, że

a) v ⊥ w ⇔ kv + wk² = kvk²+ kwk² (tw. Pitagorasa);

b) ||v|| = ||w|| ⇔ v + w ⊥ v − w;

c) kv − wk² = kvk²+ kwk²− 2 ||v|| · ||w|| cos ] (v, w);

d) kv + wk² + kv − wk² = 2 kvk²+ kwk²
;

Zadanie 9. W przestrzeni R³ (z naturalnym iloczynem skalarnym) znajdź rzut ortogonalny wektora (1, 2, 3) na płaszczyznę l : x + y−z = 0.

Zadanie 10. Niech Π będzie przestrzenią wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. W Π okre- ślamy odwzorowanie s : Π × Π → R wzorem

s (p, q) = a₀b₀ + a₁b₁+ . . . + a_min{n,m}b_min{n,m} ,

gdzie p (x) = a₀ + a₁x + . . . + a_nxⁿ i q (x) = b₀ + b₁x + . . . + b_mx^m. Udowodnij, że jest to iloczyn skalarny; następnie wyznacz rzut ortogonalny wektora u (x) = xⁿ+ xⁿ⁻¹+ . . . + x + 1 na podprzestrzeń V = Πm (m < n).

Zadanie 11. W przestrzeni Π wielomianów o współczynnikach rzeczywistych wprowadzamy iloczyn skalarny

hf, gi = Z 1

−1

f (x) g (x) dx.

Wyznacz rzut wektora u (x) = 2x²+ 1 na podprzestrzeń V = Π1.

Zadanie 12. Niech X = span1, sin πx, cos πx, sin²πx . W X wprowadzamy iloczyn skalarny z poprzedniego zadania. Wynacz bazę ortonormalną przestrzeni X; następnie wyznacz rzut orto- gonalny wektora u (x) = cos 2πx na podprzestrzeń V = span {1, sin πx}.

Odpowiedzi:

Zadanie 4: Pn

k=1αkek = 0 ⇒ 0 = hPn

k=1αkek, eii =Pn

k=1αkhek, eii^ort.= αikeik²; Zadanie 5: Np.:

√3

3 (1, −1, 1) ,

√2

2 (0, 1, 1) ;

Zadanie 6: Np.: e₃ = ¹₂,¹₂,¹₂,¹₂
, e₄ = −¹₂, −¹₂,¹₂,¹₂
; Zadanie 9: (1, 2, 3) ;

Zadanie 10: u^∗(x) = x^m+ . . . + 1;

Zadanie 11: u^∗(x) = ⁵₃;

Zadanie 12: Baza: ¹₂, sin πx, cos πx,√

2 sin²πx −

√2

4 ; u^∗(x) = 0.

Zestaw 11. Formy kwadratowe

Zadanie 1. Poniższe formy kwadratowe zapisz w postaci macierzowej, tj. h (x) = x^TAx:

a) h (x1, x2) = 3x²₁+ 4x1x2 + 3x²₂,

b) h (x1, x2, x3) = 10x²₁+ 4x1x2+ x1x3+ 2x2x3+ 5x²₂+ 2x²₃,

c) h (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆) = 5x²₁+ 8x₁x₂+ 2x₃²+ 5x²₂+ 6x₃x₄+ 2x²₄+ x²₅+ 12x₅x₆+ x²₆. Zadanie 2. Zbadaj określoność form kwadratowych:

a) ϕ(x₁, x₂) = x²₁+ 3x₁x₂− x²₂,

b) ϕ(x₁, x₂, x₃) = x²₁ + x²₂+ 2x₁x₂+ 4x₁x₃+ 2x₂x₃, c) ϕ(x₁, x₂, x₃, x₄) = −x²₁− x²₂− 5x²₃+ 4x₁x₃.

Zadanie 3. Wyznacz wszystkie wartości parametru α ∈ R, dla których odwzorowanie a) ϕ₁(x₁, x₂) = x²₁+ αx₁x₂+ x²₂+ α² − 4

b) ϕ₂(x₁, x₂, x₃) = x²₁+ 2x₁x₂+ αx₁x₃+ x²₃

c) ϕ₃(x₁, x₂, x₃) = 4x²₁+ 4x₁x₂+ 2x²₂+ 2αx₁x₃+ x²₃ jest formą kwadratową, która

– jest dodatnio określona, – nie jest ujemnie określona, – jest dodatnio półokreślona.

Zadanie 4. Rozważmy dwie formy kwadratowe

F (x₁, x₂, x₃) = 5x²₁+ x²₂+ 2αx₁x₃+ 2x₁x₂, G(x₁, x₂, x₃) = x²₁− x²₂− 2x₁x₂− x²₃.

Dla jakich wartości parametru α ∈ R nierówność F (x1, x₂, x₃) > G(x₁, x₂, x₃) jest prawdziwa dla każdego (x1, x₂, x₃) ∈ R³\ {(0, 0, 0)}?

Zadanie 5.* Niech X będzie przestrzenią wektorową wyposażoną w iloczyn skalarny h·, ·i. Niech f₁, . . . , f_n∈ X. Uzasadnij równoważność

f1, . . . , fn− liniowo niezależne ⇔ det G 6= 0, gdzie G = [g_ij]ⁿ_i,j=1= [hf^df _i, f_ji]ⁿ_i,j=1. (⁴)

4Macierz [hfi, fji]ⁿ_i,j=1 to macierz Grama.