ALGEBRA M2 - Lista 7
Przekształcenia na przestrzeniach z iloczynem skalarnym
Zakładamy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią z iloczynem skalarnym hx, yi oraz T ∈ L(V ).
Zad.1. Pokazać, że
(a) jeśli λ jest wartością własną przekształcenia T , to λ jest wartością własną przek- ształcenia T∗,
(b) wartości własne przekształcenia hermitowskiego na przestrzeni unitarnej są rzeczy- wiste, a wektory własne o różnych wartościach własnych są ortogonalne,
(c) wartości własne przekształcenia unitarnego na przestrzeni unitarnej są co do mod- ułu równe jeden,
(d) wartości własne przekształcenia ortogonalnego na rzeczywistej przestrzeni Euk- lidesowej należą do zbioru {1, −1}.
Zad.2. Pokazać, że złożenie przekształceń unitarnych (ortogonalnych) jest przekształce- niem unitarnym (ortogonalnym).
Zad.3. Pokazać, że macierz przejścia z bazy ortonormalnej do bazy ortonormalnej w przestrzeni unitarnej (Euklidesowej rzeczywistej) V jest unitarna (ortogonalna).
Zad.4. Pokazać, że jeżeli T jest hermitowskie, a Vλ jest podprzestrzenią odpowiadającą jego wartości własnej λ, to Vλ⊥ jest niezmiennicza względem T . Wywnioskować, że T jest diagonalizowalne.
Zad.5. Wywnioskować, że jeżeli T jest hermitowskie i MT jest macierzą tego przeksz- tałcenia w jakiejś bazie ortonormalnej, to istnieje macierz unitarna U taka, że
D = U−1MTU jest macierzą diagonalną.
Zad.6. Dla każdej z macierzy hermitowskich
A =
3 2 − i 2 + i 7
oraz A =
17 −8 4
−8 17 −4 4 −4 11
znaleźć macierz unitarną U i macierz diagonalną D, dla których D = U−1AU .
Zad.7. Pokazać, że jeżeli T jest unitarne, a Vλ jest podprzestrzenią odpowiadającą jego wartości własnej λ, to Vλ⊥ jest niezmiennicza względem T . Wywnioskować, że T jest diagonalizowalne.
Zad.8. Dla macierzy unitarnej
A = 1 9
4 + 3i 4i −6 − 2i
−4i 4 − 3i −2 − 6i 6 + 2i −2 − 6i 1
1
znaleźć macierz unitarną U i macierz diagonalną D, dla których D = U−1AU . Zad.9. Dla macierzy ortogonalnej
A =
1/2 1/2 −√
2/2
1/2 1/2 √
√ 2/2
2/2 −√
2/2 0
znaleźć macierz ortogonalną U i macierz diagonalną D, dla których D = U−1AU . Zad.10. Sprowadzić formę kwadratowej
F (x) = 2x21+ 5x22+ 2x23+ 4x1x2+ 2x1x3+ 4x2x3
do postaci kanonicznej za pomocą diagonalizacji macierzy tej formy opisanej w zadaniu 7, i uzasadnić, że D = U−1AU = UTAU jest (diagonalną) macierzą formy F w bazie wektorów własnych (jest to tzw. diagonalizacja form kwadratowych przy pomocy przek- ształcenia ortogonalnego).
2
