Mg sin α − =Ma IaR Si ł y dzia ł aj ą ce na ka ż dy walec maj ą posta ć : Rozwi ą zanie: 21. )r+M(R=I

Zadanie 1

Dane są dwa walce, każdy o masie M, które staczają się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α. Pierwszy walec o promieniu R ma masę jednorodnie rozłożoną w całej swojej objętości. Masa drugiego walca rozłożona jest jednorodnie między powierzchniami walcowymi o promieniach wewnętrznym r i zewnętrznym R. Podaj wzór i obliczyć

przyspieszenie środków mas tych walców, gdy α= π/6, M = 1 kg, R = 20cm, r = 10 cm, g = 10 m/s². Moment bezwładności walca, którego masa M jest równomiernie rozłożona między powierzchniami walcowymi o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R:

) r + M(R

=

I ^{2 2}

2

1 .

Rozwiązanie:

Siły działające na każdy walec mają postać:

] T, [

= T

] α, [Mg

= F_s

0,0 0,0 sin r −

r

Ruch odbywa się bez poślizgu więc: ^a=εR

Podstawiając siły i przyspieszenia do równań otrzymujemy: Mg sin α− T=Ma RT=Iε

Z drugiego równania możemy wyznaczyć siłę tarcia (korzystając z faktu, że ruch odbywa się bez poślizgu): ^T=_R^Ia2

Wtedy: ^{Mg sin α−} _R^Ia2=Ma

Stąd dostajemy przyspieszenie środka masy walca o masie M, promieniu R i momencie bezwładności I:

MR2

+ I α

= g a

1

sin  

Moment bezwładności walca pełnego względem osi obrotu: ^{Ipe ln y= 1}₂^MR2 Moment bezwładności walca pustego względem osi obrotu: I_pusty= M(R²+r² )

2 1

Przyspieszenie środka masy walca pełnego: = g α MR

+ MR α

= g a

2 y 2

pe sin

3 2 2

/ 1 1

sin

ln

Przyspieszenie środka masy walca pustego:

2 2 2

1 2R sin 2M

/ 1 1

sin

2 2

pusty 2

r + +R

α

= g

MR ) r + + (R

α

= g

a  

Odp.

a_{pe ln y}= 2

3 g sin α= 2 3

m s²sinπ

6 = 10 3

m s²  

2 2

2

2 2 2

2

2

2 13

40 8

13 5

0,08 1 0,05

5

0,2 2

0,1 1 0,2

sin6 10

1 2R sin

s

= m s

m

= +

s m

= m)

(

m) ( + m) +(

π s

m r =

+ +R

α

= g

a_{pusty 2}

⋅

Zad. 2. Lądownik marsjański

Na orbitę stacjonarną Marsa (to odpowiednik orbity geostacjonarnej Ziemi) wprowadzono sondę o masie m=2000 kg na pokładzie którego znajdował się lądownik o masie 500kg. W pewnej chwili czasie lądownik został odłączony poprzez zwolnienie zaczepów, aby dotrzeć do powierzchni Marsa dzięki własnemu silnikowi.

a) W jakiej odległości od środka planety Mars powinna krążyć sonda przed odłączeniem lądownika? Jaka jest prędkość sondy? Wiadomo, że doba na Marsie trwa

T0=24godz.37min.23s, promień Marsa RM=3400 km, zaś przyspieszenie ciał przy powierzchni tej planety gM=3,7 m/s². Dla oszacowania wartości liczbowej proszę przyjąć T0=9x10⁴s, R_M=3000 km, g_M=4 m/s², π=3.

b) Wyznacz stałe ruchu sondy, tzn. jego całkowitą energię E oraz moment pędu L.

c) Podaj stałe ruchu sondy i promień jego orbity po odłączeniu lądownika.

Rozwiązanie:

Ad. a)

2 2

r GmM r

mω = ^{M 3} ₂

ω ^M r= GM

Iloczyn GMMznajdziemy z przyspieszenia marsjańskiego i promienia planety

2 M

M

M R

g =GM , stąd ^{3 2}₂ ⁰² 4π

T R

r= g^{M M} i prędkość sondy

T v= 2

π

Podstawienie przybliżonych wartości daje błyskawicznie wynik:

m m

s s m

m

r ³ ₂ ^{3 12 8 3 7}

2 8 2 2 12 2

10

2

81

10

3 10

4

10

9

10

9

4 = ⋅ ⋅ ≅ ⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

r=2x10⁷m, jest praktycznie identyczny z wynikiem, gdy wstawiamy dokładne wartości.

Ad. b) Prędkość na orbicie o promieniu r

r v² = GM^M

r GmM r

GmM r

GmM mv

r GmM

E ^{M M M M}

2 2

2

2 =− + =−

+

−

=

r J R mg r

GmM

E ^{M M M} ₇ ⁹

12 2 3

10

8

.

10 1

2

2

10

9

4

10

2

2

2 = − ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

− ⋅

=

−

=

−

=

s kgm R

r g m GMr m

r r m GM mvr

L _{M M}

2

1013

4 , 5 ⋅

=

=

=

=

=

Dokładne rachunki dają dla satelity:

E = − 1 . 067 ⋅ 10

J

s

kg m

L

2

10

9

,

2 ⋅

=

Ad. c) Promień orbity nie ulegnie zmianie a energia i moment pędu zmienią się proporcjonalnie do masy sondy

Zwierciadło paraboliczne, doskonałe do teleskopów astronomicznych, można otrzymad

wprowadzając w ruch wirowy wokół pionowej osi płaskie naczynie wypełnione rtęcią. Wyznacz prędkośd kątową, z jaką należy obracad naczynie, aby otrzymad zwierciadło o ogniskowej 5 m.

Ogniskowa zwierciadła parabolicznego, którego przekrój zawierający oś symetrii obrotowej y opisany jest równaniem y = ax² wynosi 1/4a. Przyjmij przyspieszenie grawitacyjne g = 10 m/s².

Wskazówka: aby znaleźd kształt powierzchni wirującej cieczy rozważ równowagę sił działających na drobinę rtęci znajdującą się przy powierzchni.

Rozwiązanie:

Warunek równowagi sił: ciężkości (mg), odśrodkowej (m²r) i reakcji, działających na drobinę przy powierzchni cieczy daje:

mg sin  − m²r cos  = 0

co, po znalezieniu tan pozwala wyznaczyd kształt powierzchni cieczy opisany równaniem (było na wykładzie)

y = ²/2g r²

gdzie r jest odległością od osi zwierciadła, a oś y to oś obrotu.

Jeśli więc ogniskowa f = 1/4a = g/2² ma byd równa 5 m, to = sqrt(g/2f) = 1 [1/s].

Zadanie 3 (zadanie domowe, seria 5)

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2011/2012)

Kolokwium 09.01.2012

Pytania testowe (A)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. W jednorodnym poluelektry znym z¡stka mo»eporusza¢ sipo

A elipsie B hiperboli XC paraboli D okrgu

2. Okres obiegusatelity geosta jonarnego wynosi

A 24^h B 12^h C 24^h07^m XD 23^h56^m

3. Okres Tobiegu planetwokóªSªo« a zmieniasi zwielk¡ póªosi¡i horbityjak

A a^2/3 B a³ C a² XD a^3/2

4. Przy niezna znym wy hyleniu zpoªo»eniarównowagi hwiejnej energia poten jalnabryªysztywnej

A wzrasta B niemo»na powiedzie¢ XC maleje D niezmienia si

5. Je±li moment pdu b¡kapodpartegozmniejszysi dwukrotnieto zsto±¢ jego pre esji

A

X zwikszysidwukrotnie B niezmienisi C zmniejszy sidwukrotnie

D zwikszysi zterokrotnie 34040

Nr. albumu: ... Grupa ¢wi zeniowa:...

FizykaI (2011/2012)

Kolokwium 09.01.2012

Pytania testowe (B)

Na ka»de pytanie jest dokªadnie jedna prawidªowa odpowied¹. Nale»y j¡ zazna zy¢ stawiaj¡ zytelny

znakX w odpowiedniej krat e. Oto zenie zakre±lonej kratki kóªkiem anuluje odpowied¹. Ponownego wyboru

anulowanej w ze±niejodpowiedzimo»nadokona¢ zytelniewypisuj¡ odpowiedni¡ literprzynumerzepytania.

Zadobr¡odpowied¹uzyskuje si1 punkt, zazª¡ -0.5punktu.

1. W jednorodnym polumagnety znym z¡stkanaªadowana niemo»e porusza¢ si po

A

X elipsie B prostej C okrgu D linii±rubowej

2. Pierwsza prdko±¢ kosmi znadla Ziemiwynosi wprzybli»eniu

A 1.7km/s B 16.7 km/s C 11.2 km/s XD 7.9km/s

3. Planetykr¡»¡ dookoªaSªo« a po orbita h

A

X elipty zny hze Sªo« em w jednym z ognisk B koªowy h C hiperboli zny h

D elipty zny h zeSªo« em w±rodkuelipsy

4. Przy niezna znym wy hyleniu zpoªo»eniarównowagitrwaªej ±rodekmasybryªy sztywnej

A obni»y si B przesuniesi poziomo XC podniesie si D niezmienipoªo»enia

5. Czsto±¢ pre esjib¡kapodpartegoniezale»y od

A momentu pdu XB k¡taod hylenia odpionu C masy D poªo»enia±rodka i»ko± i

511670