Mathematische theorie van de oppervlaktegolven, veroorzaakt door de beweging van een schip

ATitMTI

Hk J}flORfl VAN Di

_{OPPi}WLaK11GOLVENZ VBOOT}

DOOR i) i3EvGING VAN

_{EJiN SC1IP.}

Syllabus van bet col1oquiu o.l.v. Prof. cl.r R. Tirnrnan.

1. Algezaene Probleexastellin.

,1jj

_{beschouwen de beicgin v'an een schip door de}

horizon-tale renslaag van een

vloeistof, die incopressibel en

wrij-vinloos wordt verondersteld.

0m _{tot lineaire vergelijkinen te komen, moeten wij ekele}

vereenvoudigende onderstellingen invoeren,

nlsi)e bev;cging is rotatievrij en du.s bepLa1d door een snel-beidspotentiaal y ,zodat de sneiheidseomponenten t.ov,

cen rcchthoekig assenstelsel x, y, en z

worden

J

I

In dit

eval lcverb dc continuteitsvergelijking

* *&

dat (f cen oplossin

moet zijn vn de vergelijking

vn

Laplace

, ,

#ç,#

De voorwaarde aan bet vrije opperviak wordt geleverd door de ois te stellen, dat overal

_{an dat oppelak de druk de}

zelfde cotante wardc moet h&oben.

'JiJ voeren nu een assentelel in, dt

vast san

het schip

is verbonden, zodani, dat de

pos. z-as

nar úeneden wijst

_en

dat bet xy-vlak samezivalt met het

_{wateropperviak in ongestooi'._}

de toestand.

De verelijkinen van iuler t.o.v. dit

assenstelsel zijn nu

t

t

_{t "-*}

-* ¿- 4

_*

t

*

14.* ¿f

*i4

of, daar de stromin _{rotatievrij is}

t

i

₄₇

,*-.f

1 (J/-

t;

wasruit volet dat

p

P) t -

-

Z

de wet van Bernoulli voor de niet-etatlonnaire

beweging.

Wij veronderstellen n, dat de

'stoorsnelhcden", dic door

de bewe4ng van bet schip worden tcwcegjebracht, klein zijn t.o.v. de sneiheid van het scnìp, dat wij _{eenpari met sneiheid.} c in de

x-richting laten bewegen, d.w.z., dat in

e splitsing

-

C .i*

'2'' -Zr'

14 4.tP'

wuarin de beweging van het water t. o .v. het gesplitst, «', 'p-' en »-s.'-' _{:lein zijn t.o.v.}

Lidien ."ij verder invoerencen potentiaal

k '

-

'Z '

-

_i..i.' '.. _{, e ldt}

en, na veiwaarlozin van

termen van de

2e orde gast de

EcIlip

kan worden

C.

y.- , zodat

II-* L(c2+ac

)*

x-fct)

íe kiezen vercier iict

senstelsei zo, dat tiet

_xyvlak

zianien-valt met het onestoorde opperviak.

Dc voorvzarde dat op

hat

_{vrije opperviak}

_dc

_druk

constant is

wordt nu

-

'.j-c

*Çfct)-f

C2_

indiende

hoogte vaz hot vrije operv1ak boyen

de

onestoorde toestand roorstelt

Indien

in.

heU oneindie de storing

nui

wordt

noet gelden

fCt)-fc' ¡

zodat wij tensiotte als voorwaardo vinden voor

Len andcro voorwasrde op het vrije ojpervlsk

_wordt

_eleverd

door een kinerriatische beschouwin. De verticale _{sneiheid van}

eon d.eeltje

an

het vrije opperviak

moot n.i.

eiijk ziju can

de verticale :nelbeidscoiaponcnt

-

,

*

.

* -

-

/

e

of .el, met veiaarioen van 2

orci.. tcxen

limìuctie van _{uit (1) en (2) levert nu voor}

voor:aarde voor

a c.

--

c

-,

_:

W1 voeren nu. in hot kader

van onze

linearistie

de vordere

vcreenvoudiende onderstelling in, dat

dczc vooiaarde niet

geldt voox'

_{, maar voor zo ¡}

ZO

₊₁

ol' voor een stationnciro beviein

t=°

;

*/9j

o

Qiadat

?

voldoeU

aan

de verel1Jkin van Laplace, moot

hiraan voidoen, dus

hebben

wij te

zoeken ecu opios

de vergelijking

3Z

X O

waarbi

Oor

zro

ij

bescnouv;en

_flu

dc randvoo

arden., die tevieë;ebraeh

wodcn

door de beregin

van

hot

sCiupi

Als het schip syetrisch

is t.o.v. hot- yzvl.ak en zicû uit.sireki van tot

t.

_,

kunnen

wi

_{het scheepsopperviak voorgesteld}

denken

door eenver;;elijking

fx,zì

_{(_ek<e,y)o).}

De wotcrlijnen worden vcrkregon

door

te riemen

]egens de syimetrie is cok

cok

vcn

De voorwarde, d.i

het schip can

_{e functie s'- opie, wordt}

nu

evonden door op t

merken, dat overal de sneiheid

aan liet

schip tonßentieel moet zijn, d.w.z., dat dc snclheid.svector

'v w' in he

ruakvlo

aon iiet opperviak moet li;en, dus

£ --

#

_{' 4 - o}

VIij verondcrctelin nu, dat oveal dit raakvlok

cen kleine

he1lin maakt met het

ziak, zodat /</ en

jÇi is.

Verwaar1ozin

vun 2

orde teien eeft dan

ofve1

!ls iaatte vereenoudiin nemen

wij tenslotte aan, dat

deze voorw.arde nit wordt vooreschreven

_{op ht}

_SC:.ilp

_zelÍ,

maar op Lt vlak

Tenslotte noeton ook op

rote diepte de stromin;en uitc'exven

zodat voor

-, poet ;a3n.

ecapitulerend tiebben v;ij dus ap te lossen iiet volende

rcndwaardeprobleern voor de

atorinspotentiaal

t.)

1e

_c-

_{raoct :en opiossin}

ziju van de verge1ijking

_{van Laplace}

#.

Voor

Zao

:

36

c/ (z,Z)/(X1)

vïarbij

(ìcZ) sen

_{eeven uaictie is.}

\Terder voigt uit de syimnetrie

#

-zodt wij alicen de ruimte Z

>0

_{bc-sciìouwen.}

L:fl

voor

x<-e en

_¿'

eldt

_{. o}

4e

(-pJ

Wi

loosen dit probleezu op, dooe lunctie

_Je

trams-forractie van Fourier toe

_{e.passen, waardoor het probleen v;ordt}

2. De transformatie

van Fourier.

De transforriatie van Fourier is _{een bijzonder geval van de}

algemene furictie transfortnatie, die _{aan een functie}

f

cx

een

functie

_7-

_{toevoegt door de formule:}

Nemen wij

O:

£cPLc.JJ;

dan

krijgen wij de cosinus, _{respectievelijk de} sinutransfor-matie van Fourier.

WIj _{gaan nu eerst na, hoe de afgeleiden}

_van

_¡Cg)

worden getransformeerd. Door partiele integratie vinden

_wij

Indien F)voor

c-oo

_{nul wordt, levert dit dus:}

f)cJc

_-

_j'(o)

pf(p:)

i ¡u.f)

/Sox f(x}J

fc#o

fp).

Voor de tweede

afgeleide

vinclen wij, indien

_weer

_voor

en analoog

X -

00

J,ux.fx)dA

_o

-_f'(o)-P ¡,

(1°)

O;

Beide transformaties

_zLjn

dus

te gebruiken, indien

_{het gebied}

waar wij

f(x)

_{beachouwen, zieh uitstrekt}

over de positieve

z-as. In dit geval gaan

_{de afgelelden van}

_{over in}

eenvou-diger uitdrukkingen in

de Fourier-beelden.

Indien het definitiegebied zieh ultstrekt _{over de gehele x-as}

biedt het voordelende

_{complexe Fourier-transformatie}

_te

be-schouwen:

e0X/Cx)

_oCr,

¡(lo)

-f

.00

clan wordt, als, zowel

_voor

_c-#

_{als voor}

_{-- 13,ft)en hear}

ageleiden voldoende klein

worden

-Ç

.

c io

_{- ¿}

I

e

f3,f(/Ø)

je

_J J_00

en

+00

t

I, C')

- ¿/

f eI»x)

o

je

Jøo

3._Toepassing op het _{randwaardeprobeern.}

Daar in ons geval het beschouwde _{gebied zieh uitstrekt}

in de

X

_richting

_{van00 tot}

_co

_{en in de}

- richting van

o

tot

00

_{, terwiji}

_Y$i

voorgeschreven is lengs

_de

_X-

_as,

passen wij op de variabele x de complexe

_{transformatie toe}

en op

_{de cosirìustransformatie:}

(o)%*

_Xz

_f

met randvoorwarden

*

O

z

Als

zodat

Hieruit voigt

-2?

z' e

'c2)

¿« .:

(X, o z)e

x ¿ ;()

Xo

2

2 X

Dit is eeri niet homogene

_{vergelijking, die wij}

_{oplossen met}

behuip van de methode

_{van de variatie der parameters. Stel}

1'

dan zijn de oplossingen

_{van de homogene}

vergelij-king

en

_{, zodat wij steilen}

X

i'?(z)e

+J(2)e

0)t,o71Zf2,O

-,

--eerste vergelijking

voor

en

-

stellen wij nu:

-'(2)e1-

_?ze

o

-X'n'

(Qe_e )

-V,,

,

(Z)

9'e

'J1'Y'?/-,- 2e)=-

V

1'YX

en de tweede vergelijking

_voor

₄

_en

_wordt

3'e'- -'{C.Z)

dus

00

4 (Z)

_{L 1e}

; 3)

)oÇ

,

2 £

J

waarbij ¡

en

_{constanten zi.jn.}

De complete opiossing van de

niet homogene

_{vergelijking is}

clan

Xz

/#/e'

_*3e

Indien X(z)-,o

voor

Z-

_{moet R-o}

_{zi.jn, omdat}

¿

_{e_,f}

Ç)

o C _e

-

-Ç)

o

want het schip heeft

_{aindige diepgang}

_en

_voor

De constante & vinden

_{wij uit de randvoorwaarde}

_voor

_Z-'o

-, -SC-U

I.--1

_7('Qe

3e)

1'

i f

- YP/t

_/0

2?

o -

e

00

zodat tenslotte

2YZ( ' e

d*ZZJ

z ,-

'2*4)

J e

of, met

«

z) ¿JÇ ?'c

rç-' , r

-

*odFr-Deze utdrukkin

_{moet weer worden}

teiiggetransformeei. van,ß

aar X

5

De functie

Xìz)

_{moet dus voldoen aan de gewone}

.,

:frriüe'

orn' de Fou.

trar

'uîatie.

! b: :

'r

ii

.t

ri Fouri'r

f(2)

'L

m Liee fo -.

t

L

:;en ve met een

nc

:

rercd

t

¡

/(x)2f((

--

jrrfl

t d:

-ît

,1

¿

(X)Iot7

ove" in

ff7)

(?_x)?.

)ezt- li ir: ka -zen . no: e absolute

integreerbarheid van en xnoet van

bgrensde

fluctuatie zi.jn.

'Il.j geven dit bewljs niet en

ver'ijzen naar

Titchmarsh (Tntroducton to th theory of Fourier

Integrals,

_Oxford).

Tilt het integraaltheorexna voigt, dat als

omgkeerd

L

__

kunnen v;ij voor

- <o

schrijven

en dan ïs

Irnrners, indien

f'

alleen voor positieve ' is

gedefinleerd

L _Ç

27rj

_!cx

L.f

f2c0

\aaruiL de stelling

direct voigt. voor de sinustransformatie. Ais

Indien

f--J2M)volgt op de zelfde vijze

_{de omkeerformule}

LÍ241

i.s

j

o

Voor de complex

_{Fourier-transformatie}

_{vinden wij}

_de

volgen-de fonu1e

Indien CO

r

% I ''

is

_J

E

rners

1f/)

(7-

)

-want de eerste integraal Is een oneven functie v.n

c

dus wij

kunnen ook schri.jven

/

f J()e

5.Toepassirig or het probleem.

Jit de funcUe

X'y.-

2

j

e

Q

voigt voor de potentlaal

I

9(dLJ?2f /

¿'

'°'

J

i-of, als wij bedenken dat

_z)

_f,

GO

-r --r

_i

'4

0.0 *

- __

e

_)X'i

z)

!:

/[J

(e'

____ - 'z t 2 2

/3.e

L

0

die wLj afzonderlijk beschouwen.

Daar /

_{is du integrand een}

_{even functie}

_{van /3}

zodat wi.j voor de eerste integraal

_{kunne.n schrijven:}

i

_j

cc

_GO

/

/

of, als wij stellen

¡/

¡;.

Stelnu

;i

dan wordt dit

_z,,

(2fr

O.1GI

(_

Jo ('.-ZF

?cc(w_9J

J0

14-tel

t-e'

A

À-'.t.

danwordt dit

-f,Ie'..

ki- o: _J - ?7 ' 4) X

L-(, 'i

Z)

cod _'J,

I

,, i

í-./?Xtt)

)

.ife

. -.1cl

t)4J,

o

_(o

¿(ffrJ -r(zt4)

27

-

J

2ij±2'

¿t J(tt,J(Z')

waarbij de integratie over' de eenheidscirkel is uitgestrekt,

_{één worte? bevat, zodst}

die

de integraa]. wort

n. / / -

"

-2. 2

-

_-

_{jÎa.,. lç-zI}

(Í,-tJ

Evenzo 'ordt Tì

tweed

_integrasi

Zij stellen dus de

_{potentialen voor van brorinen in het punt}

o,

_{en het spiegelpunt t. o.v. het vrij}

e opperviak

,

Rest ona te bestuderen de deie

_integraal

too

cO

fcoé J/3

die echter singulier is,

_{daar de intgrand oneindig}

_{van de eerste}

orde wòrdt langa de li.jn

_k

W1J beschouwen nu eerst de integratie

_naar

_en

_Dit

levert de interlen

J L

c.o . d/7 . e

I-. Naciere beschouwing van de Fourier-transforrnati, indien ¡(X)

niet integrabel

is van - ° tot *

Indien /c) niet integrabel is,maar er en constante C bestaat, zodat voor

X-*co

If(.c)l<C , zal de integreal

L Ç

j")-

_j

f)e

bestaan,

indien

c--

is, dus

c

en evenzo, indien voor

j f()/ <

zal de integreal

Q

f(o)

fe

'Ic)6l

bestaan,

indien

°

'.ìK-4 is, dus ,a--'*

_d.w.z.

J

(c)

is het beeld van de functie

eC

₁₍₎

_>

o

en

J ()

is het beeld van

-e

Ç)

zodat

# G0

f

__x

ZR I e

_27re

_Çcx

X>0

en

_-

_o

Íe

fÌo)

-'t

£2? e -

Çc)

c-o

d.w.z.

-

o

-of t:el _¡t

fc)f

*

e

f

.w.z.

e eerste integraal

_{wordt genornen}

_{over een lijn 1/}

_re1e

p afetand «

, de tweede in het negatieve halfvlak op afstand

-. , de bovenst integratieweg loopt boyen alle polen

van f

_-j

en de onderste beneden all? polen van

f

7.

Toepassir op een eenvoudigerprobleem.

0m bu het gestelde probleern d nu gegeneraliseerde methode met succes te kunnen toepassen, beschouwern re eerst. een iets

eenvou-diger

probleem

(Lamb, § 243),

n.l.het effect van een bepaalde

drukverdeling

op het opperviak in twee

dirnensies

x

en z.

In

dit.

geval is de randvoorwaarde op het oDpervlak

z-r-o

voor de potentlaal

Ç--Ç-cy

fr_(Z,t)

terwiji evenals vroeger geldt

._cÇx

liminatie van 4 levert nu:

-2

*cpJ.

i3esehOuwen

vij verdor een stationnaire toestand in het systeem van de stoorsne1heden, dan zïjn alle tijdsafgeleiden nul. Wij krijgen dus

z.o

_{'__J'}

;r--en voor oneindig

diep water

Hierbij kornt de addi.tionele conditie, dat voor

x--t

de

storingspotentiaal naar nul gaat,

terwiji

dit voor

x

niet het geval behoeft te zijn.

Voer dus in een functie

-oc

I

'

A-

()j e

en een

functie

,o

X'

zj

Le

- (.

ti

waarbij

in de eerste integraal

')°

is,

terwi.jl

in de tweede

1<

o

IS.

In dit geval verwachten v1ij dat beide integralen convergeren.

T)e afgeleiden worden getransforrneerd volgens de formule

00 » ft00

I

dX _,

/ e

«- e

ocf

e .10 'à.X O

- k

_{(° ) -}

X- Z)

ça ,

en

j

(,

Z) x ( Z)

¡

Z)

X1 L)

-CO

De differentiaalvergelijl-ring

voor

wordt nu:

V(o»»z)-.

'Z)

It. J' en de randvoorwaarde voor _{z o}

-2X°-

77c)

)o(")

en

voor

00 _,

waarbij

¿ç waa

rbij

---i

/

e

?

X)

Ieze

homogene vergelij

king met

niet homogene randvoorwaarden lossen wij evenals boyen op.

De functie van Green voor de homogene vergelijking met de

homogene randvoorwaarden Is, zoals wij vroeger zagen

L z I

1f

)y

jzj.4

f

e'

rrj1

-x

Nu is

-k

LIe

_L

- f'

J-0

en het

resultaat wordt de formule

- _k

le

e

'fF)

f

Ç

(t'Z)-

.----

,

d(1-1) -..-,---

-Hierin verwisselen wij nog de integratievolgorde, hetgeen

geocrloofd is, als

()

voor

ii

voldoende snel naar nul

gaat en vinden

)

--'

i 2- cf'

ftj

herleiden nu de integraal naar o.

f _{/ e}

j I_/-,i )

eri onderscheiden twee

gevallen

o

(-> o

en

(sr-°

e

Voor

(-)>ocornpleteren wLj de

mt egratieweg van _oO

naar

o

in de eerste integraal -Z door

een kwartcirkel in het derde

kwa-drant en door de integraal langa de verticale as van .00 tot O

Hieruit

vincien viLi

voor de oplossing:

(,Z)

-aarbij de waarde van A' wordt bepaald door de substitutie in

de randvoorwaarde

(,421I¼?)_

_77t Çi9(D,O) Wtj vinclen dus:

X-,

° ,-zl en op de zelfde manier X (d Z)

±! ffe

r -e' waarbij in Z) , k-F is en in X 6 2), ,, .. o

is.

Toepassin,g vari de omkeerformule levert

nu:

X)

_L

_'X2ij

X (

Z

Daar de eerste integraal

langs

de rele as uitgestrekt, rnoet

be-staan, vinden wij de voorwaarde, dat het residu van de integrand

in de punten o.=-/c nul moet zijn, zodat de integrand daar regulier is

Verìer verleggen

vitj

de integratteweg in de tweede integraal nog zo, dat zij over -

-U<.k-

, 'c-

z-met d rele as

sarnenvalt

(Dit kan alleen, als voor I-I- de integrand naar nul toegaat, hetgeen achteraf geverificerd zou

rrioeten

worden). Daar de integrand in de eerste integraal in de

OEngeving van r Ic regulier is, kunnen wij de wegen voiledig

laten samenvallen en de openingen in de reale as opvullen door

halve cirkeis orn in het beneden halfvlak met straal

:ij vinden dan:

Mj opteiling blijken de termen met

en weg te

vallen,

zodt

of en

I

2k

f;/

+

o

_{e S}

_{(x_'_c)}

j' "-t- C'e' o

Voor C o

_{dus ook} k °

komt hier de statische

door-bulging tevoorschtjn,

Is 7

_een

_{8 functie,}

_{dan kornt hier de}

formule van Lamb

_{te voorschLjn.}

11

Volgens

ceri bekend

_{"lemma van Jordan't gaat de intgraal langs}

de kwartcirkel miar nul, orndat

¿e

is en wij kunnen schri,jven, met

_, a-'.

Vender zetten wij met een Ik,artcirkel inì

_het

4e

'adrant

J2

1

f°

e

_sr.')-.

f e

, -/-)._

JX

(C

k

e J

,00k orn In een integraa]. langs de negatieve

_{verticale as,}

_{met t=-y.e}

J: e

-J(J'-j*-ij vinden dus voor

_-

>o

sz

Z- J

( _e

_g(''-) j e'

_{o' ,,}

C

Voor

(

-

o verleggen w

de integratleweg naar de posit

le-ve le-verticale as.

WIj moeten nu de residuen in

sc

en

_-Lc

toe-voegen.

_{() 1.}

«u

-'J-.

r

2 27 e

- J '

-(

),-

st

f _s

/

J

e-_

-'J--zodat - s J.

t

k(-) f

¡(-_)

_i

a _«

k(-)-2

f

"(-2 "O

Wij vinden dus als eindresuIaat ) >0; I - s p-j-c -( -. ' f e ,,-'c J_,

IJ»1'

rçz

z) _{Fc -}

-Qn de golfvorntte vinden, _{berekenen wij hieruit met}

_behuip

van

-

g-

7

Lc

_{J_Z-o}

dus voor (?c-»o

) -- * 7,fDc

envoOr

of" :( -Q f

JkPe-)"

r-4.fr

J

S4

- krc

j'e J_0 a ¿ç -' /iì-j.if: f;s(.!)

r,

'VL0'""I

8, Je voortplantirw van de golven

door een schip opgewekt.

Wij keren nu terug naar het meer gecompliceerde probleem. Hier

zi.jn 00k de additionele voorwaarclen in het oneindige; Voor

iy

constant wordt voor x-

de potentiaal nul en voor

x-

J-oo

blijft z.j eventu eel eindig.

Wij voeren weer in een 'beeld

-t 00

X

(/32)f

.e

en

e - (

.

waarbij in de eerste integraal

-o en in de tweede

'-°<"

Voor de functies

en

vinden wij nu de

differentiaalvergeli.j king in

_X#*X

resp.

-(/)X

'c.z)-waarbtj

en

.0

'

J /(X2Ja

terwi.jl

-

-(o,2)

//1f.

en

(°zj

fya;

(o;z).

BIj de vergelijkingen behoren de randvoorwaarden

z -,

Z e

resp.

z-,

_x*o

-

x:

-

Ç

(oj, o)

¿

O,/? o)

wa arbij we er k

2

Met behulp van de vroeger gevonden functie van Green voor dit

randwaardenprobleem kunnenwij 00k hier de oplossing direct

op-schrtjven.

X'.'

z )

_/1

ii

I-

,

z)

*

(0,J, z)

-- 'z

e

(fs

_{¿' k'.#,h?2 )}

waarbij de waarde van

l

_{bepaald wordt door substitutie in de}

randvoorwaarde

-

_',(O/'

_{e)_} -_

fr _{G o)}

-, o

kX

(°)

-rRst

,4i

r1gi.

fj)

Ç *

(°/.

-en, op de zelfde manier

"i

°J-4'-i'A°)

e

Toepassing van de ornkeerformule van de Fouriertransformatie

f3

e ft

-I

f

[feXz

f

)]

fij bechouen eerst de integratie naar

oC

en verleggen de

integratieweg in de tweede term weer zo, dat zij onder de polen

van de functie lanas loopt, en verder langs de re1e as loopt.

\!oor A = constant heeft de noemer

--

twee polen op de

rele as. Daar de wortel steeds zodariig is gekozen, dat zij

posi-tief inoet ihn voor rele

oc

en

,,

in verband met de

randvoor-waarden voor

,

vinden wLj

#7' '#

en

* .c fr

(Het viak is opengesneden gedacht

volgens de coupure van

'i,

naar ¿

en

naar-orn de wortel eenwaardig te maken).

In de eerste integraal is de

integrstieweg de rele

o

as,

omdat weer de randwaarderi van

'k

_{io moeten zijn,dat de residuen}

in de punten

,

en

nul zi.jn. Wij kunnen nu dus weer de

twee teinen samen nnen en verkrijgen dan de integraal

Jzf:oi; )+ ₎

ofwel

0 00

J ;((

F.

o

'---'-'-

_.

t,

00 I I -

-

___

00

dr

_I

o _- o

Ter ijl wij verder alleen de laatste integrìal

bechouwen,

schrtjven vdj

f

f.;(ç)

en herleiden deze laatste integraal

0O

if

f

'

L-L;-

f

Hier voeren wij eerst pooicoördinaten in het

/3

_{viak in}

7c. -i'

, ' ) -

? --o''

/3

_,

_en

en krijgen dan

-i

_¿-'t4x)

je

).2

_-k

-7'

'-..r---waarbij de integratieweg

is en boyen de pool als

'.?ij kunnen dit verder

stukken

"7 °

P

-('--)

-f('*Z\

'e

J

-41

naar I

ondei de pool loopt als

>' O

c9<'°

is.

herleiden door te splitsen in twee

en in elk van deze integralen de integratieweg

_naar

2'

te

ver-leggen naar de imaginaire as.

1'7'/1

ç° 'i*J1

/

e

'- ''

6#O k

'ij onderseheiden hier twee

_gevallen.

Voor

_{c'ai1>° ver'varigen wi.j de weg}

door eeri verticale ihn

nar beneden,

wij passerengeen pool en krijgen dus,

met

° _{*- ' (4.}

_')

f

fe'

-

* -

_{- 4 1}