УДК 53.082.4 В. Ловейкін, докт. техн. наук; Ю. Човнюк, канд. техн. наук; Ю. Сердюченко Національний університет біоресурсів і природокористування України ОБГРУНТУВАННЯ МЕХАНІЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ МАТЕРІАЛІВ У ПРОЦЕСІ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗГИННИХ КОЛИВАНЬ ЇХ ЗРАЗКІВ Ре

4. — С.15-22. — (механіка та матеріалознавство).

УДК 53.082.4

В. Ловейкін, докт. техн. наук; Ю. Човнюк, канд. техн. наук;

Ю. Сердюченко

Національний університет біоресурсів і природокористування України

ОБГРУНТУВАННЯ МЕХАНІЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ МАТЕРІАЛІВ

У ПРОЦЕСІ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗГИННИХ КОЛИВАНЬ ЇХ ЗРАЗКІВ

Резюме. Обґрунтовано методику аналізу механічних властивостей матеріалів у процесі дослідження вільних згинних коливань їх зразків скінчених розмірів. Встановлено залежності для визначення приєднаної маси стрижня у разі переходу від моделі стрижня з розподіленими параметрами до моделі стрижня із зосередженими параметрами та для встановлення фізико-механічних характеристик матеріалу стрижня за амплітудно-частотними параметрами. Ключові слова: механічні властивості матеріалів; пружно-в’язка модель; згинні коливання.

V. Loveikin, Yu. Covnyuk, Yu. Serdyuchenko

GROUNDING OF MECHANICAL PROPERTIES OF MATERIALS

DURING THE PROCESS OF RESEARCH OF FLEXURAL

FLUCTUATIONS OF THEIR SAMPLES

The summary. The method of analysis of mechanical properties of materials during the process of

research of flexural fluctuations of their finite sizes’ samples is grounded. Dependencies for determining the attached mass of the rod during the transition from the core model with distributed parameters to core model with concentrated parameters are established. Dependencies for determining physical and mechanical properties of the material of the rod according to the amplitude-frequency parameters are determined.

Key words: mechanical properties of materials; elastic-viscous model; flexural fluctuations.

16 моди згинних (вільних) коливань, що властиві даному стрижню. Для товстих стрижнів необхідно це й враховувати ефекти зсуву та інерції обертання [3, 7]. У даній роботі виконано необхідні дослідження у цій царині й запропоновано точніший підхід до визначення механічних властивостей матеріалів шляхом аналізу згинних коливань їх зразків скінчених розмірів. Мета роботи полягає у встановленні основних параметрів (геометричних, фізико-механічних) та їх зв’язку з пружно-в’язкими властивостями матеріалу зразка, який здійснює вільні згинні коливання з урахуванням маси вимірювального приладу (зосереджена маса m), який визначає вказані параметри. При цьому застосовані методи та підходи робіт [5-7]. Виклад основного змісту дослідження. 1. Визначення власних поперечних (згинних) коливань стрижня ( довжини l ). Рисунок 1. Геометрія задачі На рис. 1 введені позначення: ρ− густина, E − модуль пружності (Юнга), y J − момент інерції поперечного перерізу стрижня, площею S і довжиною l , 4 4 4 64 y R D J

π

π

 = =   , де R− радіус, а D − діаметр поперечного перерізу) відносно осі, яка проходить через його площину. Рівняння згинних коливань стрижня (у тонких стрижнях їх вважаємо малими) мають вигляд [5, 6] 4 4 y X S X E J z

ρ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∂ ∂ && _{, (1)} де X z( )− прогин X як функції z , точка над X означає диференціювання за часом t . Рівняння (1) при підстановці у нього X =X z₀( ) cos(⋅

ω α

t+ ), де ω− колова частота згинних коливань; α− їх початкова фаза, набуває вигляду 4 4 0 0 4 d X X dz =

χ

⋅ , 4 2 . y S E J

ρ

χ

=

ω

⋅ ⋅ (2) Загальний інтеграл цього рівняння є 0 cos sin . X = ⋅A

χ

z+ ⋅B

χ

z C ch z+ ⋅

χ

+ ⋅D sh z

χ

(3) Постійні A B C D, , , визначаються з граничних умов 0 dX X dz = = , при z= ; 0 3 2 3 2 0 d X d X dz = dz = , при z= l. (4) У результаті знаходимо

(

) (

) (

) (

)

{

}

0 sin sin cos cos ,

18 Функція θ( )l може бути виражена через еліптичні функції. Для координат sinθ dl Ζ =

_∫

⋅ і y=

∫

cosθ⋅dl отримаємо 1 1 1 2 cos . cos . 2 cos J F C F const F J F d y const C F θ θ θ θ Ζ = ± ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +    _⋅  = ± ⋅ + ′  − ⋅ 

∫

(12) Момент M r , який дорівнює 2 2 , dr d r M E J dl dl   = ⋅ ⋅_ ⋅ _   r r (13) у даному випадку спрямований по осі Ζ і визначається зі співвідношення . d M E J dl

θ

= ⋅ ⋅ (14) Тепер визначимо форму суттєво зігнутого стрижня, один кінець котрого закріплений, а до вільного кінця прикладена сила f r (рис. 2). Розв’язок цієї задачі зводиться до наступного. По всій довжині стрижня F=const = f r r . На закріпленому кінці (l=0) 2 π θ = , а на вільному ( l = , де L L− довжина стрижня (рис. 2)) M = , тобто 0 θ′ = . Введемо позначення 0

θ

₀ =

θ

( )l , маємо тоді з (11) C₁= ⋅f cos

θ

₀ 2 0 2 cos E J d l f cos π θ

θ

θ

θ

⋅ = ⋅ −

∫

. (15) Звідси отримаємо рівняння, яке визначає

θ

₀, 0 2 0 2 cos E J d L f cos π θ

θ

θ

θ

⋅ = ⋅ −

∫

. (16) Тоді форма стрижня визначається формулами

(

)

0 0 0 2 0 2