Podłużny efekt brzegowy w rynnach elektromagnetycznych do transportu ciekłych metali

ZE SZ YT Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ_____________________ 1985

Seri a : HUTNICTWO z. 26 Nr kol. 800

Czes law SADDAK Jerzy BARGLIK Jan MU RAS

P O OL UZ NY efekt b r z e g o w y w r y n n a c h e l e k t r o m a g n e t y c z n y c h 0 0 TRANSPORTU CI EKŁYCH METALI

Straazczenla. W pracy poddano analizie pole elektromagnetyczne w m o d s l u r y n n y elektromagnetycznej do transportu ciekłych metali, zawiarajęcym wzbudnik skończonej długości oraz zewnętrzny rdzeń mag­

netyczny. Do r o z w i ą z a n i a zagadnienia zastosowano całkowe przekształ­

cenia Fouriera.

Wyznaczono rozkłady wielkości pola el ektromagnetycznego oraz sił elektrodynamicznych działających na ciekły metal dla kilku układów wzbudnlk-wsad.

1. Wstęp

W pracy [l] przedstawiono rozwięzanie zagadnienia elektromagnetycznego w modelu obliczeniowym, odpowiadajęcym swoję konstrukcję najczęściej sto­

sowanym typoa rynien el ektromagnetycznych do transportu i obróbki ciek­

łych metali, ZałoZono przy tym. Ze wzbudnik wytwarzajęcy biagnęce pola elektromagnetyczne Jest nisskończsnie cienki i nieskończenie rozległy w dwóch kierunkach. Oznacza to zaniedbanie poprzecznego i podłużnego efektu brzegowego [2] .

PodłuZny afekt brzegowy można uwzględnić przyjmujęc. Za wzbudnik aa długość skończonę w kierunku ruchu metalu. Wówczae uproazczony model ob­

liczeniowy dla rozwięzań konstrukcyjnych rynien 1, 2, 3, 5 1 6 z rya. 1 będzie miał postać Jak na rys. 2, gdzie i

1 - szczelina zastępcza (jj “ /*0 . *»■ O, przy czym» - przenikalność mag­

netyczna, 6 - k o n d u k t y w n o ś ć ) między nieskończenie cienkim ciągłym u- zwojenien a rdzsniem magnetycznym wzbudnika (/»-o® , 6 ■ o);

2 - szczelina (¿u ■ /«e , o) między uzwojeniem i wsadami

3 - wsad Jednorodny o stałych wartościach 1 ó, poruszajęcy się z pręd­

kością V|

x ^Przyjęcie nie Jest tu konieczne, ponieważ metale w stania ciek­

łym maję przenikalność magnetyczne równę ¿Większa to Jednak ogól­

ność rozwalań i pozwala, na wykorzystania wyznaczonych dalej zalotności do oóliozań wrzędzeń o podobnej strukturze, np. nagrzewnic indukcyjnych z polem blagnęoym [3, 4J .

50 Cz, Sajdak, 3. Barglik, 3. Mu ras

4 - szczelina (i> “ ! l0 > 6 = 0) między wsadem i zewnętrznym rdzeniem magn e­

tycznym (M » a»» . 0).

c: 3

w

— — ' \ \ \ \ *

c 3

/ / / / / / 4-

\ — — L\ \ \ N /

C 3

Rys. 2. Model obliczeniowy rynny elektromagnetycznej ze wzbu dn ik ie m s k o ń ­ czonej długości

Rys. 1. Rozwięzania konstrukcyjne rynien elektromagnetycznych

|y

wsad o grubości c oraz rdzenie magnetyczne (pó ł p r z e s t r ż e n i e ) s ą nle- skończenla rozległe w kierunkach osi x 1 z, natomiast uzwojenie foliowe Jest ograniczone w kierunku osi x.

Podłużny efekt brzegowy.. ₅₁

Podobna układy wzbudnik-wsed analizowane oą m.ln. w pracach [5-9J , dla jedno- i dwustronnych indukcyjnych silników liniowych oraz w [10) dla u- proszczonego modelu rynny elektromagnetycznej.

2. Zależności wyjściowe

Układ równań Maxwella, opisujący pole elektromagnetyczne w środowisku izotropowym, poruszającym się z prędkością v, po wprowadzeniu potencjału wektorowego A redukuje elę do Jednego równania w postaci:

V 2 A +^u 6 (>? x rot aT) « y ^ A (1)

Zakłada się, że gęstość liniowa prędu wzbudnika ma tylko Jednę składową w osi z i opisana Jest związkiem:

Jfot-o- )

V " ' * ) “ 3w o ° <2 >

przy czyni

3wo ■ ^ ku3 OS 1

gdzie:

2 - podziałka biegunowa wzbudnika,

k u - współczynnik uzwojenia dla podstawowej harmonicznej, 3 - wartość skuteczna gęstości liniowej prądu,

0) m 2®f.

Wówczas potencjał wektorowy będzie miał również tylko Jedną składową:

A - A z 12 - A ( x , y ) (3)

Zgodnie z z a ł o ż e n i a m i :

7 - v x t x - v 7 x

Po uwzględnieniu zależności (3) 1 (4) w równaniu (i) otrzymuj® się o- atatecznie:

? " / * * * j * ~ “ ° ( 5 )

2 2

52 Cz. Sajdak, O. Barglik, 3. Muraa

3. Rozwiązanie równania potencjału wektorowego

Ogólne równania potencjału wektorowego (5) dla obszarów 1, 2 1 4 ze względu na S m o 1 v * 0 , redukuje się do równania L a p l a c e ’a:

iZA, iZ A

k + k - Oj 1 - l,?,4 (6)

B x * 'cy

natomiast w obszarze wsadu (1 ■ 3) ma postać Jak (5), przy A ■ A,, x)

Stosując przekształcenie Fouriera 's

06

A(k,y) - J A( x,y)e“ Jkxdx (7)

do wyrażeń (5) 1 (6) otrzymuje się:

d2A.(k,y)

^ 5 k A ( k , y ) - Oj 1 - 1.2,4 (8)

dy2 1

d2A , ( k , y ) 2

---2---- (k + J k v + Jw ^S j A j i k . y ) • 0 (9) dy

Rozwiązaniami ogólnymi równań różniczkowych (8) i (9) są funkcje:

A ^ k . y ) - C1e ky + D ie- k y i 1 - 1,2,4 (10)

Ajćk.y) » C3e py ♦ D3a - py (ll)

przy czym

p ■ k2 + Jkv<u 6 + (12)

Stała C I O określa się z transformowanych wa runków brzegowych. Po ich wyznaczaniu i wykonaniu odwrotnej transformacji Fouriera funkcji A(k.y) otrzymuje się potencjały wektorowa w poszczególnych obezarach ob­

liczeniowych. We wsadzie (b < y < d):

x ^Transformatę Fouriera oznacza się za pomocą kreski umieszczonej nad od­

powiednią wielkością.

Podłużny efakt brzegowy... 53

q cosh p(y-d) -

- tanh kg . »Inh p ( y - d

)j

M(k) '■ [s(k) e pc + R(k) a“ p ^jelnh k(n+b) + + j s ( k ) » pc - R(k) e_ p ®]q cosh k(a*b) R(k) ■ q - tanh kg

S(k) » q + tanh kg

Znaczanla praktyczna w z or ów okrsślajęcych wielkości pola elektromagne- tycznago w pozostałych obazarach jaat niewielkie, dlatego taż nie podaje

•1« tutaj potencjałów Aj, A j i aą .

4, Indukcja magnetyczna. gęstość prądów i n d u k o w a n y c h . siła elektrodynamiczna

Oddziaływanie pola biegnącego z indukowanymi przez to pole prędami w ciekłya Betelu powoduje powstanie sił e l e k tr od yn am ic zn ych, których gęstość objętościowa w y n o s i :

Ola przebiegów sinusoidalnie zmiennych wartość średnia za okres tej siły u postaci

t O x B

f 1

śr “ 2 (14)

I gdzie i

—* ^

B - we kt or zespolony sprzężony z a,

W analizowanym przypadku z uwagi na A^ « A a 01

54 Cz. Sajdak, 3. Barglik, 3. Muras

^3 ‘ J z 3 7 z " * By 3 ) \ ’

S)A

> - ( j a M S A j + 6 v t j - § )

tz

g d z i e :

Aj - potencjał wektorowy we wsadzie (wzór (13)),

Po wprowadzeniu do zależności (14) wartości 3j i Bj otrzymuje eię:

V ■ fśrx r x + fśry S (17)

przy c z y m :

fśrx “ - I Ra(33 8 y3> (l8)

fśry ’ I R a <°3 Bx3> ( 1 9 >

Składowa wzdłużna ^¿rx powoduje ruch ciekłego metalu w kierunku osi x, natomiast składowa poprzeczna - odpychania metelu od powierzchni koryta ceramicznego (zjawisko lewitacji).

Model obliczeniowy Jest nieskończenie rozległy w kierunku osi z, dla­

tego też całkowita siła elektrodynamiczna wynosi:

b

F - sz \ ^{— oo Q}

n

8 - szerokość rzeczywistego koryta ceramicznego (wymiar wewnętrzny równy szerokości strumienia ciekłego metalu - wy mi ar w kierunku osi z).

Wyrażenia (14) i (l7)-(20) określaję siłę elektrodynamiczny działajęcę na wsad (ciekły metal) niemagnetyczny. Przy f/J0 zachodzi w przybliże­

niu [ll] :

Podłużny e fekt b r z e g o w y . . . 55 Wartość średnia gęstości siły (21) wynosi:

Uą, “ l R 8 ? ^ + 4 ^ 9rad e2

W analizowanym przypadku:

,2 . „2 B Bh + e; 3

f - (b t B * 3 + e c B v 3 i órxra 2 ^ ( x3 tx y3 '¿x '

fi śrym - 4 " 2 ^ (B , 1 x3 T y + B y3 t y '-ij£)

5. Przykłady obliczeniowa

Na rys. 3-10 pokazano obliczona na EMC przykładowe rozkłady Wz d ł u ż osi z) składowych indukcji magnetycznej, gęstości prądów indukowanych oraz gęstości sił działających na ciekły metal. Przyjęte parametry modeli ze­

stawiono w tabl. 1. Przypadki I i II (rys. 3-6) odpowiadają rynnie elek­

tromagnetycznej do transportu i obróbki ciepłego cynku, zbudowanej na W y ­ dziale Metalurgicznym Politechniki Śląskiej Ql2] . Wyraźny Jest wpływ ze­

wnętrznego rdzenia magnetycznego na wzrost siły elektrodynamicznej (por.

rye. 4 i rys. 6).

Dane dla przypadku III dotyczą Indukcyjnego silnika liniowego o znacz­

nej długości (2h = 2,52 m) i prędkości, natomiast dla przypadku IV - krót­

kiej rynny elektromagnetycznej bez zewnętrznego rdzenia magnetycznego przy poślizgu s ■ 1 (v * 0).

Tablica l Parametry modeli obliczeniowych wzbudnik-wsad

Nr wariantu

e m

b m

c m

d m

9 cn

h m

to l/s

V

m/a ec 1/b

<3 MS/a

y m I 0,02 0,04 0,04 0,08 OO 0,9 314 0,5 20,94 2.7 0,04

II 0,02 ^{0 , 0 4} 0,03 0 , 0 7 0,02 0,9 314 1 20,94 2,7 0,04

III 0 0,013 0.005 0,018 ^OO 1,26 753,6 10 15 3 0,013

IV 0.1 0,02 0,05 0,07 ^OO 0,4 300 0 15,7 0,7 0 , 0 2

56 Cz. Sajdak. 3. Bargllk, 3. Muras

xicr

1

16

il2

CD

Rys. 3. Rozkłady wielkości pola elektromagnetycznego na powierzchni w e ­ wnętrznej weadu ( y « 0 , 0 4 m) dla przypadku X (B Xiy/3wo “ LT B/AJ • 3/ 3wo “ W '

x , m

Rya. 4. Rozkłady składowych gęstości objętościowej sił el ek tr od yn am ic z­

nych dla przypadku I (fśrXły/3* 0 - Ln/ a 2 «J )

Podłużny ofskt brzegowy... 57

0

1.2

przypadku II

-1.2 -0.8 -0.4 0,0 0,4 0,8

x , m

Rys. 5. Rozkłady wielkoóci pola aloktronagnetycznsgo dla (rynna z zewnętrzny» rdzeniem magnetycznym)

Rys. 6. Rozkłady składowych gęstoici eił elektrodynamicznych dla przypad­

ku II

wo

J

Cz. Sajdak, 3. Barglik, J. Moras

Rys. 7. Rozkłady wielkbści pola elektromagnetycznego dla przypadku 111

x , m

Rys. 8. Rozkłady składowych gęstości objętościowej sił elektrodynamicznych dla przypadku 111

Podłużny efekt b r ze go wy ..■ 59

x , m

Ry». 9. Rozkłady wielkości pola elektromagnetycznego dla przypadku IV

Rya. 10. Rozkłady składowych gęstości objętościowej sił elektrodynamicz­

nych dla przypadku IV

VA/O»

60 Cz. Sajdak, 0. Barglik, 0. Muras

6, Podsumowanie

Przedstawiona w pracy rozwiązanie zagadnienia elektromagnetycznego w rynnach elektromagnetycznych dla ciekłych metali, oparte na metodzie za­

prezentowanej w [5] , umożliwia wyznaczenie podstawowych parametrów tych urządzeń przy uwzględnieniu podłużnego efektu brzegowego. Konstrukcja mo­

delu obliczeniowego pozwala na analizę rynien z zewnętrznym rdzeniem mag­

netycznym oraz bez rdzenia (g— >oo).

Przeprowadzone przykładowe obliczenia wykazały duZę nierównomiernego rozkładu wielkości pola, szczególnie na krańcach wzbudnika. Podłużny efekt brzegowy odgrywa tym większę rolę, im krótszy jest wzbudnik.

LITERATURA

[1] Sajdak C z . « Obliczanie sił elektrodynamicznych w rynnach elektroma­

gnetycznych do transportu ciekłych metali. ZN Politechniki Śląskiej

"Hutnictwo" z. 18 (1979) ss. 259-270.

[2] Voldek A.I. s Indukcjonny je magnitogidrodinamiczeakiJe maaziny a ild- komietailiczeskim raboczim tiełom. Energija, Leningrad 1970.

[3] Liwiński W. 1 Nagrzewnice indukcyjne ekrośne. WNT, Warszawa 1968.

[4] Słuchockij A.E., Ryskin S . E . : Induktory dla indukcjonnogo nagriewa.

Energija, Leningrad 1974.

[5] Yamamura S. i inni: Theories of the linear induction motor and com­

pensated linear induction motor. IEEE Transactions on Power Appara- tura and Systems, vol. PAS-91, No. 4, 1972, pp. 1700-1710.

¡6] Masanati I. i inni: End-effect of high speed linear induction motor.

IEEE Trane. Ind. A p p l . , No. 6, 1973, pp. 632-639.

[7 ] Oukowicz 0 . : Analysis of linear Induction machines with discrete win­

dings and finite iron lenght. IEEE Conf. Roc. 8th Annu. Meet. IEEE Ind. Appl. Soc. Milwaukee, Wise. 1973, New York, pp. 311-319.

[8] Dukowicz 0.: Theory of optimum linear induction motors.0.A p p l . P h y s . , 1976, No. 8. pp. 3690-3696.

[9] Yoehida K . , Nonaka S.: Levitation forces in single - sided linear in­

duction motors for high - speed ground transport. IEEE Transactions on Magnetics, No. 6, 1975, pp. 1717-1719.

[lp| Valdmanis Ja.Oa. i inni: Raspriedielenije płotnosti siły w pribll- Zennoj modiell elekt romagnitnogo łotka. Magnitnaja gidredinamlka.1971.

NO. 4, ss. 87-93.

|ll] Krumin Ou.K. : Wzaimodla jstwi je bieguszczego magnitnogo pola s prowod- Jaszczaj ariedoj. Zinatne, Riga 1969.

[l2j Gudra P., Sajdak Cz., Barglik 0., Szczepański Z. : Rynna el ek tr om ag ne­

tyczna do transportu ciekłych metali nieżelaznych. ZN Politechniki śląskiej "Hutnictwo" z. 18 (1979) se. 249-258.

R e c e n e z n t : Prof, dr inZ, Maciej Krekowskl

Podłużny »fakt brzegowy.. 61

nPiOJTbHUa KPAEBOtf 3 $ $ E K I B 3JIEKTPOMArHHTHtiX JIOTKAX RJW. TPAHCnOPTA 3i£HHKHX METAJUIOB

P e 3 10 m e

B paS oie n p o a H a j i H 3 H p o a a H O aJieKipoMarHHiHoe nojie b Mo^ejin 3JieKTpoMarHHT — H oro aoTKa fljia ip a H o n o p ia x h , h k h x MeiaJijiOB,- oooToaneii H3 HHflyKiopa K O H ei- HOfl fljiHHu h BHefflHero M arHHTonposo^a. Ana peaeHHa aa ^a ™ npHMeHeHO u n ie — rpaabHoe npeo6pa30BaHHe $ y p B e . Onpe^ejieHu pacnpeaejieHHfl b g jih ^h h u a n e m p o - MarHHiHoro n o jia a TaKate sjieKTpoMarHHTUbrx c m , fleftcTByranxx n a XHflKxfi MeTaxx ASH H6CKOOIBKHX nap h h a j'k t o p -3 a rp y 3 K a .

LONGITUDINAL END-EFFECT IN EL ECTROMAGNETIC CHANNELS FO R LIQUID METALS TRANSPORT

S u ■ ■ a r y

An alactronagnotic field in the electromagnetic channel model is ana­

lyzed. The channel is used to transport liquid metals and contents a fi­

nite lenght inductor and an ex terior magnetic core. Integral Fourier transform is applied to solve the pr oblem.Electromagnetic field and elec­

trodynamic forces decompositions are found for several s y s t e m s < inductor - work-piece.