Seria: AU TO M A TY K A z . 10S Nr k o l . 1 1 7 5 C zesław Sm utnicki
P o litech n ik a W rocław ska
OG OLNY GN IA ZD O W Y PRO BLEM SZER EG O W A N IA P R Z Y ŻĄDANYCH T ER M IN A C H ZA K O Ń C ZEN IA O PER A C JI G E N E R A L JO B -S H O P PRO BLEM W ITH DU E D A TES
OSUIAfl rHE3H0BAfl B A H A M A MEPEHOBAHHfl C TPEEyEMblMM M O M E H T A M H OKOHbMEKHfl O n E P A U H M
S treszczen ie: W pracy rozważany je s t ogólny gniazdow y problem szeregow ania z k ry te rium m inim alizacji m ak sy m aln ej k a ry za nieterm in o w ą (z b y t w czesną lub z b y t późną) re
alizację czynności. O m ów iono m eto d y w y zn aczan ia rozw iązań d o k ład n y ch i przybliżonych.
Sum m arv: T h e paper deals w ith th e general jo b -s h o p problem w ith criterio n o f m ini
m ization th e m axim um earliness and tard in e ss p e n alties. E x a c t and app ro x im atio n algo
rith m s are proposed.
PeaioMe: B CTaTbe n p e n c r a B r m e T C H o6man r H e 3 H 0 B a n a a n a u a u e p e u o B a H W H c h p a Te p n ę m MHHHMH3aunn Ma HCMManbH op o I m T p a e a 3 a H e c p o M H o e ( p a H H o e a n a on o3n aB u iee! BunonHeHae o n e p a u a a . r i p e n c T a B n e H b i MeTonw HaxowneHaK tomhux a npa6naweHHbtx pem sH aK .
1. Wst£p
W lite ratu rze przedstaw iono d o ty ch czas wiele algorytm ów zarów no apro k sy m acy jn y ch , jak i d o k ład n y ch dla problem ów szeregow ania, przy zało żen iu różnych p o staci fu n k c ji celu oraz ró ż n y ch ograniczeń dodatkow ych. 151, 1101, 1141. N ow y k ierunek badań o tw ierają pro
blemy z nieregularnym i fu n k cjam i celu [2|, ¡11), 1121, [171, k tó re u m ożliw iają m.in. mo
delow anie stra te g ii szeregow ania n a c za s ( ju s t in tim e) oraz m odelow anie dialogow ych sy stem ów poszukiw ania rozw iązania kom prom isow ego. Problem y te c h ara k te ry zu ją się brakiem sp e łn ie n ia zasady m aksym alnego w y k o rz y stan ia m aszyn ( tj. harm onogram je s t d o su n ięty m ak
sym alnie w lew o n a osi czasu), przez co rozw iązanie o p ty m aln e nie musi być a k ty w n e (se m i- ak ty w n e). W ko n sek w en cji k lasy czn e podejścia sto so w an e do rozw iązyw ania problem ów z re gularnym i fu n k cjam i celu są m ało p rz y d atn e oraz zachodzi p o trzeb a w ypracow ania now ych podejśó. W n in ie jsz ej pracy p rzedstaw iono próbę zaad ap to w an ia podejścia o p artego n a k o n cepcji ścieżki k ry ty c z n e j do rozw iązyw ania jednego z ta k ic h problem ów .
2. Sfo rm u ło w an ie problem u
D any je s t zbiór operacji N ={l,2,...,n) p rzez n aczo n y ch do w ykonyw ania n a m aszynach ze zbioru M =!L2....mi. O peracja j - t a odpow iada czynności realizow anej n a m aszynie Pj w czasie P jiC :: k o sztem rów nym hj(S j). gdzie h j( t) je s t fu n k c ją posiadającą jed n o (nieko
niecznie w łaściw e; m inim um , zaś je s t term in em rozpoczęcia w ykonyw ania t e j operacji, j€N . D any je s t tak ż e częściow y porządek R °sN * N w ykonyw ania operacji, im plikujący ograni
czenia p o staci S;+p;ZS;. 'i,j)c R c . Z a k ła d a się. że w ykonyw anie operacji na m aszynie nie m oże hyó przeryw ane oraz ze ro a sz jn a m oże w y k o n y w ać co n a jw y że j jed n ą o p e rację w dowolnym
9
m om encie czasu. P o szu k u je się term in ó w rozpoczęcia w ykonyw ania operacji S j, któ re m ini
2 4 4 C zesław Sm utnicki
m alizują m aksym alny k o sz t zw iązany z zakończeniem w ykonyw ania poszczególnych operacji, tz n . m ax -,.., h-(S-). Problem te n będzie w dalszym ciągu n azy w an y problem em (P).
' J J I ,
Z nane w lite ratu rze problem y szeregow ania sk lasyfikow ane w (9] ja k o c r |0 |y , gdzie o c li. F, J). fte(o. rf C f d j oraz y e f C ^ L m ax. T m ax, f m axJ mogą być trak to w a n e jako szczególne przypadki problem u (P), o trzy m an e poprzez odpow iednie zdefiniow anie fu n k c ji k osztu poszczególnych operacji. T ak np.:
(a) term in gotow ości operacji m (ready tim e) m oże być w yrażony przez w prow adzenie oo fu n k cji h j(t) sk ład n ik a M -m axfO .rj-t), gdzie M d o sta te cz n ie duża liczba dodatnia, (b) żądanie zakończenia operacji przed term in am i k ry ty czn y m i d j (dead line) m oże być
w yrażone przez w prow adzenie s k ła d n ik a M -m ax{0,t+P j-dj),
(c) fu n k c je k ry terialn e C _ _ „ ,L _ ,.„ , T _ _ „ , f _ ot, są szczególnym i przypadkam i fu n k c ji h ( t ) ,m a x m a x m a x m a x j tz n . h ( t) = t+ p ;, h . ( t ) = t + p - - d h .(t)= m a x { 0 ,t+ p .-d .), h .(t)= f.(t), odpowiednio.
•) J J J J J J J J J
Z auw ażm y, że ograniczenia tw ard e (hard) d y sk u to w a n e w p. (a )-(b ) z o s ta ły z as tą p io n e o - graniczeniam i m iękkim i (so ft) poprzez w prow adzenie odpow iedniej fu n k c ji kary. W p ra k ty c e harm onogram ow ania i szeregow ania zadań ograniczenia są zw ykle fo rm u ło w an e ja k o m iękkie, tzn . "w arunkow o przekraczalne" lub "z karanym przekroczeniem ". W sy tu a c ji istn ie n ia z b y t wielu ograniczeń nieprzekraczalnych (tw ard y c h ) w yznaczenie jakiegokolw iek rozw iązania dopuszczalnego je s t zw ykle problem em N P -tru d n y m ; w tak im przy p ad k u zm iana c h ara k te ru w y branych ograniczeń (z tw a rd y ch n a m iękkie) pozw ala w yznaczyć ro zw iązanie s a ty s fa k c jo n u jące użytkow nika.
Z kolei in te rp re ta c ja ogólnych fu n k c ji k o sz tu h j(t) je s t zw iązana z istn ien iem dla każdej operacji m o m en tu czasow ego (ogólnie p rzed ziału czasow ego), w któ ry m p ożądane je s t je j rozpoczęcie (lub sy m etry czn ie je j zakończenie). W przypadku idealnym , gdy operacje są rozpoczynane w żąd an y ch m om en tach czasow ych ( ju s t in tim e), ponoszone k o sz ty są zero we. N ieterm inow e, z b y t w czesne lub z b y t późne, ro z p o cz ę c ie o p eracji pociąga za sobą k o szty zalezne od w ielkości nieterm inow ości. O dpow iednio do p rzed sta w io n ej in te rp re ta cji fu n k c ję h ;(t) m ożna p rzed staw ić w in n ej postaci, w ygodniejszej ta k ż e do dalszych rozw ażań. N iech hj= m in _ a<t<c[ h j(t). O znaczm y przez a . oraz bj a rgum enty funkęji h j(t) t a kie. źe a.=m rntx: h -(x)=h(?}, b-=max(x: h .(x )= h °i. O czyw iście zachodzi a s b . . P rzy śp ie -
J J J J J J J
szeniem operacji j. 'ro zp o czy n an e j w chw ili t.--w zględem term in u 3 j nazyw am y w ielkość E j(t)= m ax{0.3j-t), zaś spóźnieniem operacji j względem term in u b j nazy w am y w ielkość T (t)= m ąx (0 .t-b -). F u n k c ję g .(t)=h .(a . - t ) - h ° ok reślo n ą dla taO nazyw am y fu n k c ją k o sz tu p rzyśpieszenia, zaś fu n k c ję F (t)= h f t + b y - h ^ określoną dla taO nazyw am y fu n k c ją k o sz tu spóźnienia. Z auw ażm y, że fu n k c je g j(t) oraz f j( t) są n iem alejące względem sw oich a rg u m entów oraz gj(0)=0, fj(0)=0. Dla popraw nego zdefiniow ania problem u w ym aga s ię ,a b y ta k otrzym ane fu n k c je b y ły ciągłe lub lew o stro n n ie ciągłe. O s ta te c z n ie fu n k c ję h j(t) m ożna zatusać jak o
h jit) = hj+maxigj(Ej(t)).fj(Tj(t))l. (1)
W szystkie ro zp atry w an e w lite ratu rze fu n k c je k o sz tu w yko n y w an ia operacji zalezne od je j term in u rozpoczęcia, zak o ń czen ia, przy śp ieszen ia lub spó źn ien ia są szczególnym i p rzy p ad kami fu n k cji (1).
3, R ozw iązanie problem u
Idea rozw iązania opiera się n a d w óch p rz esła n k ac h . N ajp ie rw w prow adza się pojęcie ko lejn o śc i w y k o n y w an ia o p eracji realizo w an y ch n a te j sa m e j m aszynie w celu uw zględnienia ograniczeń na sk o ń c z o n ą (jed n o s tk o w ą) p rzep u sto w o ść m aszyn. N a stę p n ie problem (P) jest dekom p o n o w an y na dw a podproblem y: p o sz u k iw an ie o p ty m a ln e j kolejn o ści w y konyw ania o pera
c ji (poziom górny) o raz p o szu k iw an ie term in ó w w y k o n y w an ia o p eracji dla d a n e j kolejności ich w y k o n y w an ia (poziom dolny). Do rozw iązania s to s u je się m eto d ę dw upoziom ow ą z alg o ry tm e m ty p u p o d z ia łu i o g ran iczeń n a poziom ie górnym oraz sp ecjalizo w an y m algorytm em w ie
lom ianow ym n a poziom ie dolnym . S zczegółow y opis algorytm ów p rzed staw io n o w rozd ziałach 3.1 i 3.2, odpow iednio.
W d a ls z e j an alizie będziem y p o słu g iw ać się m odelem grafow ym problem u (P ). Z każdą operacją sk o ja rz y m y w ierzch o łek grafu z danym i Pj, Pj, g j(t), f j( t) oraz zm ienną Sy zm ienne E j(S j), TjCSj) są z w iąz an e z Sj. Z każd ą p arą operacji (i.j), dla k tó ry ch określono k o lejn o ść w y k o n y w an ia i j , sk o jarzy m y łu k (i.j) grafu. O znaczm y przez Njl «(jeN dij»k) zbiór o p eracji w y k o n y w an y c h na m aszy n ie k - t e j o raz n^= | Mj. | , kcM . K olejność w y k o n y w an ia o p eracji n a m aszy n ie k je s t określona p e rm u tac ją nk ={nj.(l),..,nk( n kM ele
m entów ze zbioru N^. O zn aczm y przez zbiór w szy stk ic h p e rm u tac ji na \ ' k - K olejność w y konyw ania op eracji na w s zy s tk ic h m aszy n ach je s t określona p rzez n=(jij ,..,n ), gdzie n e n - n 1Kll2 x..xnm. Rozważm y graf G(n)=(N'.R(a)), gdzie
m m -1
R(k> - R ° u U k = 1U j 2 1 {(nk (i),*k (i+ l))). '-?)
Zauw ażm y, że aell re p re z e n tu je do p u szc zaln ą k o lejn o ść w y k o n y w an ia o p eracji na w szy stk ic h m as z y n a ch ' w te d y i ty lk o w tedy, gdy graf G(n) j e s t a cy k liczn y . Z d efin iu jm y zatem zbiór k o lejn ości d o p u sz c za ln y c h n=(nell: G (n )-acy k liczn y ). Z a te m zgodnie z przedstawianą ideą p ro -
•
blem (P ) m oże być zapisany jako: w y z n a c z n en ta k ie , że
H(x*) » m innen H(x) (3)
gdzie
H(«0 - minS€S()t) (hj+ m ax{gj(E j(Sj)),fj(Tj(Sj )))) W
przy czym
S<«0 - (S»(Sr . 3 n): Sj+PjSSj, (i,j)eR (*)j). (5)
Z auw ażm y, ż e posztikiw ane w problemie (P) optym alne terminy rozpoczęcia operacji S ., jtN ,
• J
są w y zn aczon e przez rozw iązanie problemu (4 )-(5 ) dla n .
3.1. W y zn a cz an ie term in ó w ro zpoczęcia o p eracji
Problem ( 4 M 5 ) je s t w ogólnym przypadku problemem optym alizacji z nieliniow ą funkcją celu i liniow ym i ograniczeniam i. W dalszym ciągu przedstawim y specjalizow any wielomiano
w y algorytm do rozw iązania tego problemu. Opis m etody podamy przy założen iu ,ż e h f t ) są ciągłe oraz hj«0, jcN (możliwe Jest ominięcie tych wymagań).
2 4 6 C zesław Sm utnicki
N iech n będzie pew ną k olejnością w yko n y w an ia o peracji. A nalizę zaw a rtą w ty m rozdzia
le będziemy prowadzić w oparciu o g raf G(n). Dla w ygody zapisu zbiór kraw ędzi R(nj grafu będziemy przedstaw iać a lte rn a ty w n ie za pomocą zbiorów bezpośrednich poprzedników i n astępników w ierzchołków , odpow iednio
A j » ) *= (i€N: (j.ijcROO), Bj(rr) = (ieN: (i.j)€R(JO), jeN . (6)
Ciąg w ierzchołków grafu v*(v^,V2,..,vr ) tak i, że Vj.€N, k - l „ . 4 v, Cvk ,vk+ 1)€R(n), k = l,..,rv- l , będziem y n azyw ać drogą, zaś
L(v) * C l pvk (7)
długością te j drogi. O znaczm y przez
D;;(rc) » (v: v .= i oraz v =j)
rv
zbiór dróg w G(*0 o p o c zą tk a c h i oraz końcach j ,z a ś przez
V 0 “ Uv eD lj(n)Uk I l < V (9>
zbiór w ierzchołków n ależący ch do w szy stk ic h dróg z Djj(n). N iech
Qtn) « i(i,j): D;jfir)*0) GO)
będzie zbiorem par w ierzchołków , m iędzy którym ; istn ie je droga. Drogę u^eD^Cn)*#, uij= tui j l u i j2 - - u ijr 5 «> “ »• 2e
ij
LCUy) = m ax veD .j(It) L(v) f U -
będziem y n azyw ać n a jd łu ż sz ą drogą z i do j. N iech
D(n) = U?' ,U n . D-.(n) (12)
1—4 1 —I 1J
będzie zbiorem w szy stk ich dróg grafu G(n). F orm alnie drogi u .j zależą od tt, jednakże dla uproszczenia n o ta c ji nie będziem y tego uw zględniać w zapisie.
Z d efin iu jm y dla (i,j)eQ (r) pom ocniczy (zrelaksow any) problem
H. .(ji) = minS€S(jr) max(gj(Ei(Si)),fj (Tj (Sj ))). (13)
Problem te n polega na w yznaczeniu term in ó w rozpoczęcia operacji przy z ało żen iu , ze tylko dwie fu n k c je k o sz tu gj(t). f j( t) są niezerow e. P okażem y d a le j, ja k w y z n aczy ć rozw iązanie problem u ;(13). Dla (i.jjc O fn ),k o rzy s ta ją c z definicji E ;(t), T j( t) oraz S(n), m am y
E.(S.)+Tj(S;) a max{0.a.-Sj)+max{O.Sj-bj) a max(0.aj-bj+Sj-Sj)
a m a x {0 ^ łj-b j+ L (U y )) = (14)
Poniew aż z definicji zachodzi T jiS yaO , zatem z (14) m am y
TjCSj) g m a x (0 Ą j(n ) - E i(Si)). (15) F u n k c ja f j( t) je s t n iem alejąca, z a te m z (13) oraz (15) otrzy m u jem y
HjjdO i ro^sesirt) ®ax(gj(E.(Sj)),fj(max{0IAij(Jt)-E.(Sj)))
= m ins m ax(gj(E j(S j)),fj(m ax(O Ą j(Jt)-E i(Sj)})). (16)
Z auw ażm y, że m inim alizację po n ieograniczonej zm iennej Sj m ożem y zastąp ić m inim alizacją po zm ie n n ej xeX , gdzie X j e s t zbiorem w arto ści przyśpieszeń dla w szy stk ich w artości S;, czyli X={x: xgO). W prow adźm y d alej fu n k c ję
F .j(u ) = m inXi o m ax (8jCx)),fj(max(0,u-x))) (17)
ok reślo n ą dla uaO. J a k ła tw o spraw dzić, F i;(u) je s t f u n k c ją niem alejącą. oraz F.j(0)=0. Z definicji gj(t) dla x>u zachodzi
m ax(gjlx )),fj(0)) g m azlgjiujl.fjlO )). (18)
W k o n sek w en cji z (17) i (18) o trzy m u jem y p ro stsz ą p o stać n a fu n k c ję F y (u ) F jj(u ) = m in(m in0£XSu m ax (g .(x )),fj(u -x )),m in x> u max{gj(x)),fj(0))}
= m ax{gj(x)),fj(u-x)). (19)
O s ta te c z n ie z (16), (17) oraz (19) m am y
H jj(n) g F j-iA j•(«)> (20)
Problem (19) je s t problem em m inim alizacji fu n k c ji je d n e j zm ien n ej x w przedziale 10,ul.
W przypadku gdy fu n k c je g j(t),fj(t) są ciągłe oraz gj(0)=0=fj(0), problem te n może być sprow adzony do rozw iązania rów nania g j(x )= fj(u -x ). Dla k o n k re tn y c h p ostaci fu n k cji g j(t),fj(t), ( n p . liniowe) m ożliw e je s t o trzy m an ie rozw iązania w p ostaci a n ality czn ej.
N iech x 'b ę d z ie rozw iązaniem problem u (19) dla u=Ajj(n). Pokażem y, ja k sko n stru o w ać rozw iązanie S 'e S (n ) problem u (13) tak ie , źe Hjj(«)»Fjj(Ay(«r)). W p ierw szej kolejności w yznaczam y term in y rozpoczęcia o p eracji n ależący ch do V y(n). P rzy jm u jem y
i - j - ■ Sk = m axjeB ,.(n)nV ..(n)(Sk +pk )’ k eV ijtir)V{l>* (21)' (22) S'. = a . - x \
K 1J
W zór (22) określa, że o p eracje kćV j *(n)\{i} rozpoczynają się n ajw cześn iej jak mogą, bio
rąc pod uw agę ty lk o o peracje ze zbioru Vy(>0. Z atem zachodzi S^,=Sj+L(u.^) keVy(iO\(i) oraz w' szczególności Sj=SI+L(U y). T erm iny rozpoczęcia p o z o sta ły c h operacji, tzn . k eN W . .(n), m ożna w ybrać dow olnie (dopuszczainie),bow iem nie m ają one w pływ u n a w artość fu n k c ji celu (13). Ja k ła tw o spraw dzić, m inim alna w arto ść fu n k c ji celu (13) j e s t równa H. .00 = m a x (g .(E .(S ;)),f.(T fS '; +L(u..))} = max{g;( x ') ,f .(ń ..(n )-x ')}
łj 1 • i J J > J J
= F y f ń ^ n ) ) (23)
2 4 8 C z esła w S m u tn ick i
P o k ażem y d a ie j, ja k w oparciu o ro z w iązan ia problem ów (1 3 ) dla (i,j)eQ (n) sk o n s tru o w a ć ro zw iązan ie S"eS(n) p roblem u (4 )-(5 ) ta k ie , że
H(n) = K*, gdzie H = m ax(j j)£ Q {n) H ^ W . (24), (25)
O znaczm y p rzez
x 'j= m axlt: g j(t)= H ). j€ N . (26)
R o zw iązanie S" j e s t o kreślone n a stę p u ją c y m w zorem re k u re n c y jn y m
S j = m ax { a j-X j,m ax ieB ^ ( S j+ P j ) ) , je N . (27)
i
gdzie m aN j^jj ( S j ’-Pj)=-® jeśli Bj=0. W dalszym ciągu p o k ażem y k ró tk ie u zasad n ien ie teg o fa k tu . P o n iew aż k ażd y problem p o sta c i (13) je s t re la k sa c ją problem u (P ), zatem oczyw iście H (n)aH . P o k ażem y dalej, że zachodzi
maXje!s, m ax{ g j(E j(S j)),fj(T j(S j))} 4 H . (28)
Z o k reślen ia (27) i (26) m am y
m axj£ N g j(E j(S 'j)) s maXje N g j ( x p = H *. (29)
D alszą część dow odu poprow adzim y p rzez z ap rz e c ze n ie. P rzy p u śćm y , że is tn ie je o p eracja K N ta k a , że fj(T ](S p )> H . W y zn aczm y w ó w cz as o p e ra c ję o n a jm n ie jsz y m in d ek sie ke.N\{l) tak ą , że s k =ak ~ x k > m ax jCg (n) ( S jTP j) o raz S'j=Sk + L (uk l); o p e rac ja ta k a zaw sze istn ie je . Z godnie z d efin icją xk zachodzi gk (x)>H dla x > x k> fj(T j(S 'j)) = f|(S k + L(uk j)) = f 1(ńk l(n )-x k ) > H oraz
H k!(") = m in (m in 0Sx s x " j m ax{gk ( x ) /j( ń k l^ ) - x ) ) , m ' n xj!j <xsAki(„) m ax(gk (x ).f,(ó k !W -x )} ) i m in lm in
O sxsx" f !(\ l (ri)" X)’n iin x" <xsók!(ir)e k (x))
= min(f1(Akl(rO -x"1).minx „ i<Xi£&ki(łt) 6k (x)}
> H* i H k!(K) (30)
« *
co prow adzi do sp rzeczn o ści, że H b y ło w a rto ścią n a jw ię k sz ą . Z a te m m am y f .(T j(S 'j))sH jeN , co w p o łą c ze n iu z (29) d a je (28).
O s ta te c z n ie p e łn y alg o ry tm w y z n a c z an ia te rm in ó w ro zp o częcia -w ykonyw ania o p eracji dla d a n ej k o lejn o ści ich w y k o n y w a n ia m a n a s tę p u ją c ą p o sta ć.
A lgorytm (dolny poziom )
(1) w y zn acz zbiór Q(rc) o raz d łu g o ści n a jd łu ż s z y c h dróg m iędzy k a żd ą parą w ę złó w L(Ujj), (i.j)€Q (n),
*
(2) w y z n ac z Fjj(A .j(n)) zgodnie z (1 9 ) dla (i,j)€Q(xi) o ra z w y z n ac z H zgodnie z (25), (3) w y zn acz w a rto ści m a k s y m a ln y ch p rz y śp iesze ń x'j w g (26),
(4) w yznacz term in y rozpoczęcia w ykonyw ania operacji S'j ze wzorów (27).
Krok (1) A lgorytm u m ożna zrealizow ać przez n - k r o tn e p ow tórzenie algorytm u Bellmana.
N iech o będzie uporządkow aniem w ierzchołków grafu sp ełn iający m w arunek B0^ ( n ) s
!<r(l)....cr(j-ł)}, jeN . U porządkow anie tak ie m ożna w yznaczyć w O ( n + |R ( r 0 |) krokach.
D ługości L(Uy) m o żn a w ted y w yznaczyć, realizu jąc dla w szy stk ich ls i< js n n a stę p u ją c y wzór re k u re n c y jn y
L (V i W j ) > = maXkeBa (j)(n)n{o(i) ,<r(j-l)] (L(uor(i)k)+Pk )l C31) oraz
L(Ua(i)o (j)) = ® Jeili S a{j)-<-Ci) a ( j - 1)1=0. (32)
R ealizacja w zorów (31). (32) dla u s ta lo n e j pary (i,j) w ym aga O ( n + |R ( r 0 |) kroków . Podob
nie wzór (27) p rzy jm u je p o sta ć
Sa(i) = m ax ,a0( i) - xa(i)-m ax j e Ba a ) (n)fS'j+P j)>- i=1’- n - <33>
O s ta tec zn ie A lgorytm dolnego poziom u m a złożoność CKn(n+1 R(n) | )s), gdzie s je s t licz
bą ite ra c ji p o trze b n y ch do w y zn aczen ia F y (u ) dla danego u (s j e s t s t a łą w przypadku a n ality czn eg o w yznaczenia rozw iązania dla (19)).
3.2. W yznaczanie opt ym aln ej k olejności w ykonyw ania operacji
Z an alizy p rzed staw io n ej w rozdziale 3.1 w ynika, że w arto ść H(n) możemy zapisać jak o
H(n) = m axveD(n) F y v (m ax{0,av - b y +L(v))). (34)
' rv 1 rv
Drogę ueD(n), k tó ra m aksym alizuje praw ą s tro n ę w zoru (3 4 ),b ęd ziem y nazy w ać drogą k ry ty c z ną. Dla ta k określonej drogi m ają z asto so w an ie w szy stk ie re z u lta ty z a w a rte w pracy [8], w szczególności pojęcie bloku operacji oraz elim in acy jn e w łasn o ści bloku. W zw iązku z ty m do w y znaczania o p ty m a ln ej k olejności w y k o n y w an ia operacji pro p o n u je się zasto so w ać algorytm podziału i ograniczeń w y k o rz y stu ją c y sp ecy fik ę podejścia blokow ego [81. P o n ie
waż szczegóły d o ty czące sposobu g eneracji drzew a rozw iązań, m etody podziału, stra teg ii przeglądania oraz dowodów zbieżności m etody z o s ta ły ju ż opisane szczeg ó ło w o w w:w. pracy, zatem w dalszym ciągu ograniczam y się ty lk o do elem entów is to tn ie now ych, tj. do sposobu w y znaczania w arto ści fu n k c ji celu (dla d a n ej kolejności w ykonyw ania operacji) oraz spo
sobu w y zn aczan ia dolnych i górnych ograniczeń dla m etody podziału i ograniczeń.
3.3. P rzypadki szczególne
Szereg przypadków szczególnych by ło a nalizow anych w pracach |11, [61, [13], [181. O - ąraniczały się one głów nie do problem ów jednom aszvnow vch lub p rzepływ ow ych z jednakow y tri
fu n k cjam i k o sztu .
Problem (P D . R ozpatrzm y problem (P) przy zało żen iu , ze w szy stk ie fu n n k c je k o sz tu są jednakow e, tz n . g ft)= g (t), fj (t)= f(t), jcN . Z atem z (34) otrzym ujem y
2 5 0 C zesław Sm utnicki
Hen) *= m axve |3(ji) F ím ax (0 .av ^ - b y +L(v)})
« F (m axv e0^nj m ax(0^ v _ - b v +L(v)¡
= F(m ax{0.m axveD^nj ( a y - b y +L(v)))), (35)
gdzie
F(u) = m ino s x iu m ax l8(x )),f(u -x )). (36)
W artość m axv e0(K) (a v _bv +U(v)) je s t m aksym alnym spóźnieniem w problem ie, w k tó ry m o - kreślono niep rzek raczaln e term in y gotow ości a j f zaś spóźnienie je s t m ierzone względem te r minów b ., jeN . Problem teg o ty p u je s t klasyfikow any jak o “ |r . . P |L _ 19!. Problem y z
J J IDoa
fu n k c ją celu L . są sto su n k o w o dobrze zbadane w lite ratu rze , 110], 114), zaś do ich ro -
J ’ m ax
zw iązyw ania m ożna sto so w ać tech n ik i podobne jak do rozw iązyw ania problem ów z m inim aliza
cją term in u zakończenia w szy stk ic h operacji.
Problem (P2). R ozpatrzm y problem (P ) przy zało żen iu , że fu n k c je k o sz tu przyśpieszeń są jednakow e, tz n . g ;(t)= g(t), je N . Z atem z (34) otrzy m u jem y
H(ji) = m axyeD(n; F y (max{0,ay - b y +L(v)))
rv rv
- m axj€ N m ax i:(i,j)eQ( 7 0 P j ^ a x i O . a p b j + L (v»)
” m axjeN F j Crnaxi:(i,j)eQ W m a3¿veD.j W maxfO.a^-bj +L(v)J
‘ m axjeN F j (m axl0'raaxi:(i,j)€Q(Tt)raaxv£Dij(It) •< V L (v ))- bj ,)*
gdzie
F ;(u ) = min Qix S u m ax(g(x)).fj(u-x)J.
W artość m ax .,^ (n) (aj+L(v>) je s t term in em rozpoczęcia operacji
biernie, w którym określono niep rzek raczaln e term in y gotow ości a ;. j£N . W yrażenie i d /) mozi- by- in te rp reto w a n e jak o m aksym alny k o szt zależn y od term in u zak o ń czen ia (rozpoczęcia) operacii. Problem tego ty p u je s t k lasvfikow anv js k o q j max i?:. P r o t - len ■■ : fu n k c ją celu i b y łv również przedm iotem rozw ażań 171
m ax 3.4. Dolne ograniczenia
Dome ograniczenie dla problem u (P) o trzy m an o sto su ją c re lak sacje prow adzące do o ~ trzy m an ia przypadków szczególnych ( P I ) i (P ź) op isan y ch w rozdziale 3.3. i ta k relak sacja
funkcj: k o sztu ma postać: w szy stk ie fu n k c je k o sz tu operacji sa jed n ak o w e : rów ne odpo
wiednio g ( t ’=m;:¡jeV g f i D - m i n . ^ f ;ft). tzC. W re zu lta c ie w s z y s tk ie m etody pucow a
nia dolnych o g raniczeń, opisane dia w w. przypadków sz c ze g ó ln y c h ; s ta ją się p rz y d a tn e do w yznaczania dojnych ograniczeń dia problem u (P), W szczególności o o ln t ograniczenia 1- rmiszynowe ¡15Í, ¡1 6! mogą być z pow odzeniem u ż y te do w y zn acz an ia dolnego ograniczenia dla problem u “ Irj-p ¡ L m ax-
(37)
(38) j w pro-
P ew ną popraw ę w arto ści dolnego ograniczenia o trzym anego pow yżej m ożna otrzym ać po - przez zasto so w an ie relak sacji liczby zadań przed re la k sacją fu n k cji ko sztu . Ogólnie, idea ta zak ład a w y znaczenie w artości dolnego ograniczenia dla pew nego podzbioru zadań RcN Club pew nego ciągu podzbiorów K .cK jC —cKgSN). P rzy jm u je się. Ze ciąg podzbiorów jes t k o n stru o w an y n a stęp u jąc o : s=n, Kn =N. K ._j»K j\lk), gdzie keR. je s t zadaniem takim , Ze Bk (x " )‘=g(x")=minje ^ gj(x"), g C tj'm in jg ^ gjCt). f ( t ) = m i n ^ f ¡(t), je s t dolnym organiczeniem w artości T _ , „ ze zbiorem zadań K., zaś x" je s t rozw iązaniem problem u (19)
m ax i
dla u=ó]^g. i=n 1. T ech n ik a ta polega n a "u su w an iu ” k olejno zadań d eterm in u jący ch m i
nim alną fu n k c ję k o sz tu przyśpieszenia. P rzez sy m etrię m ożna zbudować analogiczny ciąg u su w ając ko lejn o zadania d e te rm in u jąc e m inim alną fu n k c ję k o sztu spóźnienia.
3.5. G órne ograniczenie
isto tn y m elem entem m etody p o działu i ograniczeń, b a zu jąc e j n a podejściu blokowym ( je s t sposób generow ania ro zw iązania przybliżonego w każdym w ęźle drzew a rozw iązań. R ozw iąza
nie to sta n o w i p o d staw ę przeprow adzenia p o działu drzew a (w oparciu o bioki na ścieżce k ry ty c z n e j) oraz pozw ala na m odyfikację bieżącej w artości górnego ograniczenia w ykorzys
ty w a n e j do zam ykania w ęzłó w drzew a. N iezależnie od tego rozw iązanie przybliżone może sta n o w ić a lte rn a ty w n a m eto d ę rozw iązyw ania problem u (P).
R ozw iązanie przybliżone o trzy m an o s to s u ją c typow ą tec h n ik ę: w yznacz przybliżoną k o - iejn o ść w ykonyw ania o p eracji pew nym algorytm em ap ro k sy m acy jn y m A. a n a stęp n ie w yznacz Hcrr^). Do w yznaczania «A p ro p o n u je się z asto so w ać dow oiny algorytm ap roksym acyjny sto so w any do problem u z fu n c ją celu ty p u L _ , v iub f _ _ „ , patrz tak ż e rozdz. 3.3.m a x m a x
4. Uwagi końcow e
W ydaje, się. Ze m ożliwe j e s t sk o n stru o w an ie p ew nych dodatkow ych w łasn o ści elim in acy j
nych. analogicznych do przed staw io n y ch w pracach 13!. |4j dla problem u z fu n k c ją celu '"m ax' k tó re m ożna z p ełn y m pow odzeniem zastosow ać w proponow anym algorytm ie. Z atem po
dejście blokowe pozw ala n a rozw iązyw anie sto su n k o w o szerokiej klasy problem ów szeregow a
nia. jed n ak że ty lk o przy z ało że n iu m inim aksow ego c h a ra k te ru kryterium .
L ITE R A T U R A
i 1! A c h u th a n N.R.. G rabow ski J., Sidney J.B.: Optim a! fio w -sh o p scheduling w ith earlm ess ta rd in e s s p en altie s. O psearch 1981, t. 18, s. 1 1 7-138.
1 2j B aker K.R., Scudder G.D.: Sequencing w ith eariiness an d tard in ess p enalties: A re
view , O p eratio n s R esearch 18(1), 1990, 2 2 -3 6
! 3j B rucker P., Ju rish B.. Sieviers B-: A F a s t B ranch & Bound .Algorithm for th e Job- Shop Scheduling Problem . 1990, praca niepublikow ana.
i 4) e a rlie r J-. P inson E.; A n algorithm for solving th e jo b -s h o p problem. M anagem ent Science 35. 1989. 1 64-176.
I 51 F ren ch S.: S equencing and Scheduling. A n In tro d u ctio n to th e M a th em atics of Jo b -s h o p . C h ich e ste r 1982.
2 5 2 Czesław' S m utnicki
1 o! G rabowski J., Sm utnicki C.: Z agadnienia szeregow ania z m inim aksow ą fu n k c ją kary.
A rchiwum A u to m aty k i i T elem echaniki 1986 t . X X X I, s. 2 1 -3 7 .
I 7] G rabowski J., N ow icki E., Sm utnicki C.: M inim alizacja m aksym alnego k o sz tu w gniaz
dowych zagadnieniach k olejnościow ych taśm ow ych. A rchiw um A u to m aty k i i T elem echaniki 1988, t. XXXI11, s.3 8 9 -4 0 2 .
I 81 G rabow ski J., N ow icki E., S m utnicki C.: A lgorytm blokow y szeregow ania operacji w sy stem ie gniazdowym . P rzegląd S ta ty s ty c z n y r. X X X V , z .l. 1988. 6 7 -8 0 .
1 9] G raham RX... L aw ler E.L., L e n s tra J.K., R innooy Kan A.H.G.: O ptim izatio n and a p p ro xim ation in d eterm in istic seq u en cin g an d scheduling: a survey, A n n als of D iscrete M ath em atics 1979, t. 5, s. 2 8 7 -3 2 6 .
1101 G u p ta S.K., K yparysis J.: Single M achine Scheduling R esearch. O M EG A In tern atio n a ! Journal of M am agem ent S cience 1987, t. 15, s. 2 0 7 -2 2 7 .
H U Hall N.G., P o sn er M.E.: E a rlin e ss -ta rd in e s s scheduling problem s. 1: W eighted de - viation of com pletion tim es a b o u t a com m on due d ate, O p eratio n s R esearch 39(5).
1991. 8 3 6 -8 4 6 .
112) Hall N.G., K ubiak W., S thi S.P.: E a rlin e ss -ta rd in e s s scheduling problem s, II: Dev
iatio n of com pletion tim es a b o u t a re stric tiv e due d ate. O p eratio n s R esearch 39(5), 1991. 8 4 7 -8 5 6 .
113) L akshim inarayan I., L ak sh an a n R., P a p in eau R., R o ch ete R.: O ptim al sin g le-m ach in e scheduling w ith earlin ess and tard in es s p en alties. O p eratio n s R esearch 1978, t. 26.
s. 1079-1082.
114) L aw ler E.L., L en s tra J.K., R innooy Kan A.H.G.. Shm oys D.B.: Sequencing and S chedu
ling: A lgorithm s and C om plexity, R ep o rt B S-R 8 9 0 9 . 1989, C en tre for M a th em atics an d C om puter Science. A m sterdam , T h e N eth erlan d s.
115) N ow icki E., S m utnicki C.: O n lower bounds on th e m axim um la te n ess on one m achine s u b je c t to release d ates, O PSEA RCH 1987, t. 24. s. 1 0 6 -1 1 0 .
1161 N ow icki E., S m utnicki C.: A n app ro x im atio n algorithm for single m achine scheduling problem w ith release tim es and delivery tim es, D iscrete A pplied M a th em etics 1992 (w druku).
117] M osheiov G.: V -s h ap e d policies for scheduling d eterio ratin g jobs, O p erato n s R ese
arch 40(6). 1991. 9 7 9 -9 9 1 .
¡18) Sidney J.B.: O ptim al sin g le -m a ch in e scheduling w ith earlin ess and tard in ess p en al
ties, O peratio n s R esearch 1977, t . 25, s. 6 2 -6 9 .
R e c e n z e n t : P r o f . dr h.i nz . J a n W ę g l a r z W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.
A b s t r a c t :
T he paper deals w ith th e general jo b -s h o p problem w ith p e n alty fu n c tio n defined for each tas k . T h e p e n alty depends on ta s k s ta rtin g tim e and can also be considered as e a r
liness and tard in ess p en alties. T h e criterion is fo rm u la ted as m axim um am ong p en alties and h av e to be m inim ized. T h e model is m ore general th a n classical flo w - and jo b - shop problem s w ith m in -m a x criterio n considered so fa r in lite ra tu re. Since th e o p tim ization criteria is n o t regular th e n th e ta s k schedule need n o t be a ctiv e. T h e proposed solu tio n m ethod decom poses th e problem in to tw o subproblem s: finding s ta rtin g tim es for a given task procesing order and finding th e optim al ta s k processing order. A speciaii sed poly
nomial algorithm and th e b ra n c h -a n d -b o u n d algorithm based on block ap p ro ach are proposed for th e first an d second subproblem , resp ectiv ely . Some special cases, lower bounds and approxim ation algorithm s are also discussed.
