M. O
leszkiewicz(Warszawa)
Prawdopodobieństwo jednoczesnego trwania zjawisk powstających niezależnie od siebie w pew nym okresie czasu
Warunki zagadnienia są następujące. W pewnym okresie czasu t mogą w sposób przypadkowy i niezależny od siebie wystąpić trzy zjawiska, z których każde będzie trwało t0. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że te trzy niezależne od siebie zjawiska będą posiadały choć jeden wspólny moment trwania?
Przy rozwiązywaniu tego zagadnienia opierałem się na założeniach używanych w teorii prawdopodobieństwa i ogólnie przyjętych, a między innymi na tym, że zmienna przypadkowa oznacza taką zmienną, której wartości charakteryzują pewne zdarzenia o określonym prawdopodobień
stwie, jak również zakładałem, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma równomierne rozłożenie.
Zagadnienie to, jeżeli chodzi o występowanie dwu zjawisk, było znane już dawno i rozwiązane w wielu podręcznikach teorii prawdopo
dobieństwa. Nie spotykałem natomiast nigdzie tego zagadnienia, jeżeli chodzi o trzy zjawiska i więcej.
Naświetlimy to zagadnienie między innymi w sposób następujący:
Na linii prostej jako na osi (rys. 1) odmierzamy od początku O obszar czasu t jako odcinek O A i rzucimy na ten przedział O A w sposób przy-
L M К L ,M , K,
0|--- '---1— 1---L--- A
OL = X ; OM = ¥ ; O K = Z ; L L X = I I , = K K X = t0 Eys. 1
padkowy trzy wektory LLX, M M X i K K X równe i0; punkty L, M i К (jako początki odcinków) będą posiadały odległości od początku O równe odpowiednio X , Y i Z. Prawdopodobieństwo tego, że te trzy odcinki będą miały przynajmniej jeden punkt wspólny jest właśnie szukanym prawdopodobieństwem.
Roczniki PTM. Prace Matematyczne IV.
1
2 M. Oleszkiewicz
Innymi słowy, warunek zajścia powyższego zdarzenia będzie polegał na takiej konfiguracji położenia trzech punktów X, M i K , przy której bezwzględne wartości różnic współrzędnych X , Y i Z będą jednocześnie mniejsze od długości odcinka t01 tzn. będzie jednocześnie \Y—X\ < tQ,
\Z— Y\ < t0 i \ X - Z \ < t 0.
Traktując wartości X , Y i Z jako zmienne przypadkowe, przenie
siemy całe nasze zagadnienie do obszaru przestrzeni trójwymiarowej.
Można byłoby szukać rozwiązania nie przenosząc go na teren interpre
tacji geometrycznej. Odpowiedź oczywiście wypadnie taka sama. Ale znacznie prościej jest znaleźć zwyczajnie stosunek obszaru sprzyjającego wystąpieniu danego zdarzenia do obszaru ogólnego, w którym dane zdarzenie w ogóle może zaistnieć.
Przepiszemy powyższe trzy nierówności w sposób następujący:
mamy jednocześnie
(I) x - t 0 < у < x + t0) (II) y - t 0 < z < y-Moj (III) z — t0 < x < z + ł 0.
(I), niezależnie od pozostałych, stwierdza, że w płaszczyźnie X O Y wartości Y muszą zawierać się między prostymi równoległymi у = x-\- t0 i у = x — t0.
Z (II) wynika, że w płaszczyźnie ZOY wartości Z zawierają się mię
dzy prostymi у = z~\-t0 i у = z —10. To samo odnosi się oczywiście do (III). Ale w naszym zagadnieniu wszystkie trzy nierówności muszą speł
niać się jednocześnie, czyli że chodzi tu nie o poszczególne płaszczyzny, a o przestrzeń trójwymiarową i z tego powodu równania у = a?+J0, у — x — t0, у = zĄ-t0 itd. nie są równaniami linii prostych, a stają się równaniami płaszczyzn prostopadłych do płaszczyzn X O Y , YOZ i ZO X, czyli ich równania zapiszemy ostatecznie tak:
y — x — t0 = 0 {z dowolne), y — x Jr tQ = 0 (z dowolne), y — z — t0 — 0 (x dowolne) itd.
W tym sensie możemy powiedzieć, że np. występująca w sposób przypadkowy zmienna Y zawiera się między płaszczyznami y — x —t0 — 0, y — x + to = 0, x = 0, x = t, у = 0, у = t, z = 0 i z — ł.
To samo da się powiedzieć o współrzędnych X i Z. A więc obszar sprzyjający zajściu omawianego zdarzenia będzie częścią przestrzeni trójwymiarowej, wykrojoną trzema parami płaszczyzn do siebie odpowie
dnio równoległych (jak powyżej) i ponadto płaszczyznami x = 0, у = 0,
z — 0, x = t, у = t i z — t. Otrzymaliśmy 12-śeian specjalny (jak na
Rys. 5
4 M. Oleszkiewicz
rys. 3). Na rys. 2 marny dla prostoty wyznaczone tylko dwie pary płasz
czyzn; trzecia para płaszczyzn przeszłaby równolegle do przekroju prze
kątnego OAOxB.
Znajdźmy (rys. 4) linię przecięcia płaszczyzny SPLM o równaniu y — x — t0 = 0 (z dowolne) z płaszczyzną TM DH o równaniu y — z — t0 = 0 (x dowolne). Jeden punkt wspólny — M (0 ,tOJ 0), drugi punkt wspólny — K (ł — t0, t , t — t0). Równanie prostej M K :
x y — t0 z
--- = ---= --- , czyli x — у —10 = z.
ł — t0 t — t0 t — t0
Linia przecięcia M K jest równoległa do prostej OOx (z racji rów
ności współczynników kierunkowych), której równaniem jest x = у =
= z. To samo da się powiedzieć o innych pozostałych płaszczyznach.
To znaczy, że proste przecięcia się tych trzech par płaszczyzn są rów
noległe do przekątnej 0 0 x i tym samym są do siebie równoległe. To okre
ślałoby formę 12-ścianu (rys. 3 i 4) jako obszaru sprzyjającego zajściu omawianego zdarzenia.
U w aga. Równoległość linii przecięć płaszczyzn można udowodnić również elementarnie.
Oznaczając przez f ( x , y , z ) gęstość prawdopodobieństwa, możemy napisać, że
P — JJ j f (x, у , z) dzdydx, v
gdzie V jest obszarem sprzyjającym zajściu omawianego zdarzenia.
Zakładając, że gęstość prawdopodobieństwa f ( x , y , z ) jest stała (czyli że rozłożenie gęstości prawdopodobieństwa jest równomierne, co zakładamy w naszym zagadnieniu), mamy
t t t
f ( x , y , z ) j J J dzdydx = 1 , o o o
czyli że na całym możliwym obszarze musi zajść to zdarzenie i stąd gę
stość prawdopodobieństwa f ( x , y , z ) = l j t 3.
Zmieniając dla wygody całkowania układ osi (jak na rys. 4), otrzy
mamy szukane prawdopodobieństwo w postaci funkcji całkowej rozło
żenia :
P — Jf J f ( x , у , z)dzdydx.
w
Dla rozwiązania całki potrójnej rozciągniętej na obszar W, rozbi
jamy ten obszar na części. Z początku na dole przecinamy go płaszczyzną
H XE XE równoległą do płaszczyzny X O Y . Płaszczyzna ta przetnie nasz
obszar podług 6-kąta EHGClH l E 1 (którego kształt podaje rys. 5). Od
cięta na dole bryła składa się z sześcianu o krawędzi tQ, A B B l OE1E B H 11 i dwu pochyłych graniastosłupów AEHGBD (o podstawach trójkątów prostokątnych i wysokości równej t01^2 /2).
Taki sam przekrój przeprowadzamy w części górnej obszaru W.
Część środkowa wycięta tymi płaszczyznami jest graniastosłupem pochyłym o podstawie EHGG1H 1E 1 i wysokości równej t — 2t0. (Równa
niem płaszczyzny ABCH jest x — z — t0 — 0. Płaszczyzna ta jest równo
legła do osi OY i nachylona do płaszczyzny X O Y pod kątem тс/4.) Opuszczając szczegółowe obliczenia, ostatecznie otrzymujemy
^ 2ł0 X t0 t- to
P 3 = f [x, у t z) JJJ dzdydx — -3 |24 + 4 f f f dzdydx-\-3tl J dz].
w ^ <0 x ~ ło x - h to
Ponieważ zaś
^0 *8 2/o
j dz = 2t0 — x , (2t0 — x) j dy = {2t0—x )t01 J (2t0 — x)t0dx = — tj,
więc ostatecznie otrzymujemy:
Zagadnienie powyższe dla czterech zjawisk o wspólnym momencie trwania odpowiadałoby czterem zmiennym przypadkowym i przestrzeni czterowymiarowej. Można przypuszczać, że wzór ogólny ma następującą postać:
„ — {n —l)<y
n ~ tn
Wzór ten podaję na razie hipotetycznie, choć widać, że jest on praw
dziwy nie tylko dla n — 1 , 2 , 3 przy wszelkich stosunkach t i tQ, ale jest prawdziwy dla wszystkich n przy t = t0, jak również mianownik równa się tn dla każdego n, bo gęstość prawdopodobieństwa przy rozłożeniu równomiernym jest, jak wiemy, odwrotnością obszaru, czyli odwrot
nością tn.
Do czego taki w;zór mógłby służyć? Sądzę, że w pierwszym rzędzie wo badania pewnych procesów stochastycznych, w statystyce, jak również d nowoczesnej fizyce i astronomii, a nawet w archeologii i sądownictwie, słowem, przy badaniu wszystkich zjawisk, gdzie chodziłoby o prawdo
podobieństwo jednoczesnego trwania kilku zjawisk niezależnych mogą
cych powstać w pewnym okresie czasu.
6 M. Oleszkiewioz
М. Олешкевич (Варшава)
В ЕР О Я ТН О С ТЬ О Д Н О В Р Е М Е Н Н О Г О СО СУЩ ЕСТВО ВАНИ Я Я В Л Е Н И Й , В О ЗН И К А Ю Щ И Х С Л У Ч А Й Н О И НЕЗАВИСИ М О ОТ СЕБЯ
РЕЗЮМЕ
Содержание задали следующее: В некотором большом промежутке вре
мени t могут возникнуть случайно и независимо от себя 3 какие-то явления, каждое из которых протекает в промежутке времени t0 (t0 < t). Требуется найти вероятность нового явления, которое состоит в том, что 3 предыдущие явления будут иметь хоть один совместный момент сосуществования. Метод решения опирается на геометрических соображениях. На отрезок длиною t бросаем по закону независимой случайности три меньшие отрезки длиною t0 каждый. Общая точка этих отрезков будет представлять совместный момент сосуществования этих трёх явлений (равномерное распределение функции плотности вероятностей).
Опираясь на аналитическую геометрию переносим действие в пространство двух- и трехмерное и определяем объём благоприятствующий возникновению искомого нового явления. Определяемая величина вероятности, как известно, будет гео
метрическим отношением объёма, благоприятствующего возникновению ожи
даемого явления, ко всему объёму, в котором данное явление наверно должно возникнуть (интегральная функция распределения). При п = 3 на Рз получаем:
Зйд — 2/^
Рз = — 0 —
В конце подана общая формула для всякого п (пока гипотетически):
( n - l ) f l
М. Oleszkiewioz (Warszawa)
P R O B A B IL IT Y OF TH E S IM U L T A N E O U S L Y L A S T IN G P H E N O M E N A A R IS IN G IN D E P E N D E N T L Y
SUMMARY
W e have the following problem: In a longer time interval t accidentally may arise independently three phenomena, each of which lasts by the time t0 (t0 < t).
W e will find the probability of such a phenomenon in such a way that those three above-mentioned phenomena had at least one common lasting moment. The method of solution is based on geometrical considerations. On the interval of length t we throw in a quite accidental manner three intervals each of which has the length t0. The common point of these intervals would represent the common moment of lasting of the mentioned three phenomena (assuming the uniform distribution of the density of probability function). Now, we pass to the 2- and 3-dimensional domain
and \ve define the domain in which the phenomenon may occur. Having calculated the volume of the domain in which the phenomenon may occur, we shall find its probability as the geometrical ratio of the volume of this domain and the whole domain in which this phenomenon will surely occur (the integral function of distri
bution).
For n = 3 we have
p Щ - К
e * ~ fi '
Finally we give the general formula (for the present hypothetic) for every n :
