POLITECHNIKA OPOLSKA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI,AUTOMATYKI I INFORMATYKI
M GR INŻ . M ARCIN K ULIK
U KŁAD PRZETWARZANIA ENERGII DRGAŃ
MECHANICZNYCH W ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ Z NIELINIOWYM REZONANSEM
ELEKTROMECHANICZNYM – BADANIA TEORETYCZNE I EKSPERYMENTALNE
A UTOREFERAT P RACY D OKTORSKIEJ
PROMOTOR:
PROF. DR HAB. INŻ.MARIUSZ JAGIEŁA
PROMOTOR POMOCNICZY: DR INŻ.KRZYSZTOF GÓRECKI
PrPraaccaa zzoossttaałłaa ssffininaannssoowwaannaa zz pprroojjeekkttuu PPRREELLUUDDIIUUMM 1122 nnrr 22001166//2233//NN//SSTT77//0033880088 pptt..
„B„Baaddaanniiaa nnoowweeggoo rrooddzzaajjuu mmiinniiggeenneerraattoorraa zz nniieelliinniioowwyymm rreezzoonnaannsseemm eelleekkttrroommeecchhaanniicczznnyymm z z ppuunnkkttuu wwiiddzzeenniiaa mmoożżlliiwwoośśccii ppozozyysskkiiwwaanniiaa eenneerrggiiii eelleekkttrryycczznenejj zz ddrrggaańń mmeecchhaanniicczznnyycchh””
Opole 2020
2
Spis treści
1. Wstęp . . . 3
1.1. Wprowadzenie . . . 3
1.2. Zasada działania elektromagnetycznego przetwornika energii drgań mechanicznych na energię elektryczną. . . 3
1.3. Cele i teza pracy . . . 5
1.4. Zakres pracy . . . 7
2. Opracowane modele matematyczne . . . . 7
2.1. Model mechaniczny . . . 7
2.2. Modele elektromagnetyczne . . . 8
2.2.1. Dwuwymiarowy model numeryczny . . . 8
2.2.2. Trójwymiarowy model numeryczny . . . 10
2.2.3. Dwuwymiarowy model analityczny . . . 11
2.2.4. Trójwymiarowy model analityczno-numeryczny . . . 14
2.3. Opis algorytmu obliczeń komputerowych . . . 15
3. Stanowisko do badań laboratoryjnych . . . 17
3.1. Stanowisko pomiarowe . . . 17
3.2. Pomiar charakterystyk częstotliwościowych . . . 18
4. Projekt i wykonanie układu podwójnego przetworników. . . 18
4.1. Opis zastosowanej metody projektowania . . . 18
4.2. Badanie charakterystyk częstotliwościowych . . . 22
4.3. Budowa prototypu . . . 27
4.4. Wykonanie pomiarów . . . 28
5. Przekształtnik dla układu podwójnego przetworników . . . 29
5.1. Analiza wymagań i dobór struktury . . . 29
5.2. Modyfikacja układu w celu zwiększenia indukowanego napięcia . . . 29
5.3. Układ podwójny przetworników wraz z przekształtnikiem . . . 33
6. Podsumowanie . . . . . . 34
Publikacje własne autora . . . . 35
3
1. Wstęp
1.1. Wprowadzenie
W ostatnim czasie obserwuje się wzmożone zainteresowanie przetwornikami pozyskującymi energię z otoczenia, znanymi w literaturze anglojęzycznej jako Energy Harvesters. Spowodowane jest to stale rosnącym zapotrzebowaniem na energię elektryczną oraz dążeniem do zwiększenia udziału źródeł odnawialnych w jej wytwarzaniu. Ponadto, znaczący spadek pobieranej mocy przez układy scalone, stworzył możliwość wykorzystania energii występującej w środowisku (mechanicznej, cieplnej, słonecznej lub fali elektromagnetycznej) do zasilania autonomicznych, bezprzewodowych sieci czujników WSN (ang. Wireless Sensor Networks), przeznaczonych, np. do monitorowania parametrów eksploatacyjnych maszyn, wibracji mostów i budynków, czy też funkcji życiowych ludzi i zwierząt. Zastosowanie w takich systemach małych generatorów elektrycznych umożliwia znaczne zwiększenie niezawodności oraz eliminuje konieczność wymiany baterii lub doprowadzenia przewodów zasilających. Dzięki temu w układach pomiarowych zyskuje się zwiększoną żywotność, brak przestojów serwisowych oraz możliwość umieszczenia czujników w uprzednio niedostępnych miejscach.
Najwięcej uwagi w literaturze poświęca się układom przetwarzającym energię drgań mechanicznych. Minigeneratory stosowane w tych układach, ze względu na wykorzystywane zjawisko fizyczne, można podzielić na przetworniki: piezoelektryczne, magnetostrykcyjne, magnetoelektryczne, elektrostatyczne oraz elektromagnetyczne. Na rysunku 1.1. przedstawiono budowę oraz zilustrowano zasadę działania układu elektromagnetycznego.
Rys. 1.1. Układ przetwarzający energię mechaniczną w energię elektryczną, wykorzystując minigenerator oparty na zjawisku indukcji elektromagnetycznej.
1.2. Zasada działania elektromagnetycznego przetwornika energii drgań mechanicznych na energię elektryczną
Nieliniowe minigeneratory elektromagnetyczne uzyskuje się wprowadzając dodatkowe nieliniowe siły wewnętrzne wpływające na całkowitą sztywność układu. Siły te są zazwyczaj wynikiem oddziaływania ruchomych magnesów trwałych z ferromagnetycznym rdzeniem cewki bądź z nieruchomymi magnesami trwałymi. Na rys. 1.2 przedstawiono schemat poglądowy układu
4
kinematycznego takich generatorów, w którym oprócz sztywności sprężyny występuje nieliniowa sztywność pochodząca od sił reluktancyjnych (lub oddziaływania magnesów) występujących w układzie. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje następującą postać
𝑚𝑑2𝜁(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑑𝑑𝜁(𝑡)
𝑑𝑡 + [𝑘 + 𝑘mag(𝜁)]𝜁(𝑡) = 𝐹ext(𝑡) − 𝐹e(𝑡) − 𝐹g , (1.1) gdzie nieliniowa sztywność magnetyczna jest siłą magnetyczną podzieloną przez przemieszczenie
𝑘mag(𝜁) =𝐹mag(𝜁)
𝜁 . (1.2)
Pomijając wpływ tłumienia i siły pochodzącej od oddziaływania głównego strumienia magnetycznego i prądu w obwodzie elektrycznym 𝐹e oraz zakładając sinusoidalność przemieszczenia w czasie o amplitudzie 𝜁max, uśredniona częstotliwość rezonansowa układu wynosi
𝑓̃res= 1
2𝜋√ 𝑘 + 𝑘mag(𝜁max)
𝑚 . (1.3)
Rys. 1.2. Schemat poglądowy układu kinematycznego elektromagnetycznego układu do pozyskiwania energii z drgań mechanicznych z dodatkową nieliniową sztywnością.
Z równania (1.3) wynika, że częstotliwość rezonansowa nie zależy tylko od właściwości materiałowych układu, tak jak ma to miejsce w generatorach liniowych, ale również od nieliniowej sztywności magnetycznej, która może przyjmować wartości dodatnie bądź ujemne. Układ z dodatnim współczynnikiem sztywności powoduje „usztywnianie” układu w kierunku ruchu, natomiast układ z ujemnym współczynnikiem sztywności jego „uelastycznianie” w kierunku ruchu. Na rys. 1.3a przedstawiono przykładowe charakterystyki częstotliwościowe dla dodatniego i ujemnego współczynnika sztywności.
W takich układach oprócz charakterystycznego - „kapeluszowatego” kształtu charakterystyki częstotliwościowej występują dodatkowe zjawiska, których nie obserwuje się w układach liniowych.
Pierwszym z nich jest zjawisko histerezy, które na rysunku 1.3a obrazują strzałki. Drugim zjawiskiem jest przesunięcie częstotliwości rezonansowej w zależności od wartości siły zewnętrznej.
Ze względu na dużą gęstość mocy oraz możliwość uzyskania szerokiego pasma częstotliwości, w którym pozyskiwana jest energia, w niniejszej pracy skupiono uwagę na elektromagnetycznym przetworniku energii drgań mechanicznych z nieliniowym rezonansem mechanicznym.
Na podstawie wstępnych obliczeń i badań eksperymentalnych, stwierdzono, że możliwym jest zbudowanie układu podwójnego przetworników, które posiadają takie zmienności wewnętrznych sił
5
magnetycznych, że dzięki nim można uzyskać sumujące się pasmo częstotliwości, jak zobrazowano na rysunku 1.4.
a) b)
Rys. 1.3. Charakterystyki częstotliwościowe nieliniowych generatorów: a) dla dodatniej i ujemnej sztywności magnetycznej, b) dla dwóch różnych sił wymuszających.
Rys. 1.4. Charakterystyki częstotliwościowe dla dwóch nieliniowych przetworników energii drgań mechanicznych o przeciwnych sztywnościach magnetycznych.
1.3. Cele i teza pracy
Do tej pory zaproponowano kilka różnych rozwiązań obwodów magnetycznych generatorów o ruchu liniowym, które cechują liczne ograniczenia pod względem parametrów funkcjonalnych.
W niniejszej pracy proponuje się zastosowanie nowego obwodu magnetycznego, który jest pozbawiony tych ograniczeń. Schemat poglądowy zaproponowanego układu przedstawiono na rys.
1.5.
Dzięki prostej budowie, bez elementów ferromagnetycznych, znacząco uproszczono projektowanie układu oraz uzyskano szeroką możliwość formowania przebiegu siły magnetycznej za pomocą dodatkowych magnesów trwałych umieszczonych we wsporniku. Obwody magnetyczne o przeciwnych zwrotach wektora magnetyzacji tych magnesów charakteryzują się takimi samymi wartościami strumienia skojarzonego z cewką oraz odwrotną zmiennością siły magnetycznej od przemieszczenia jarzm. Zakładając maksymalną amplitudę przemieszczeń równą 30 mm oraz uwzględniając energię potencjalną części mechanicznej układu, otrzymuje się odpowiednio układ bistabilny i trójstabilny. Na bazie zaproponowanego generatora, możliwe będzie zaprojektowanie, a następnie wykonanie modelu fizycznego układu przetwarzania energii drgań mechanicznych
6
w energię elektryczną, którego szerokość pasma częstotliwości będzie wynosiła kilkadziesiąt Hz, tj.
będzie znacznie przewyższała pod tym względem układy stosowane do tej pory (w przedziale niskich częstotliwości, nieprzekraczających 50 Hz).
a) b)
Rys. 1.5. Schemat poglądowy obwodu magnetycznego wraz ze zmiennością energii potencjalnej w zależności od przesunięcia jarzm zaproponowanego nieliniowego minigeneratora elektromagnetycznego a) o ujemnej sztywności magnetycznej, b) o dodatniej sztywności magnetycznej, 1 – jarzma, 2 – magnesy trwałe w jarzmach, 3 – wspornik, 4 – magnesy trwałe we wsporniku, 5 – cewka bez rdzenia.
Na podstawie dokonanego przeglądu literatury oraz przeprowadzonych badań wstępnych, postawiono tezy pracy:
Koncepcja elektromechanicznego układu przetwarzania energii drgań mechanicznych w energię elektryczną z nieliniowym parametrycznym rezonansem elektromechanicznym może stanowić podstawę do zaprojektowania i skonstruowania układu podwójnego przetworników – o dodatnim i ujemnym współczynniku sztywności magnetycznej.
Układ podwójny przetworników jest rozwiązaniem konstrukcyjnym umożliwiającym jego pracę w paśmie częstotliwości o szerokości kilkudziesięciu Hz.
Aby udowodnić przedstawione powyżej tezy, sformułowano następujące cele pracy:
Przebadanie i porównanie charakterystyk funkcjonalnych różnych rodzajów generatorów liniowych przy użyciu opracowanych narzędzi obliczeniowych (metoda elementów skończonych,
7
metody analizy i syntezy obwodów elektrycznych i elektronicznych). Dokonanie wyboru najlepszego układu.
Zaprojektowanie, wykonanie prototypu, badania eksperymentalne oraz ocena działania układu podwójnego przetworników. Opracowanie wytycznych do projektowania tego rodzaju układów.
1.4. Zakres pracy
Główne etapy badań niniejszej pracy przedstawiają się następująco:
Studia literaturowe obejmujące przegląd stosowanych metod i układów pozyskiwania energii z otoczenia, a w szczególności elektromagnetycznych przetworników energii drgań mechanicznych o poszerzonym paśmie częstotliwości,
Opracowanie i wdrożenie modeli obliczeniowych do analizy charakterystyk częstotliwościowych, uwzględniając sprzężenie zjawisk elektromagnetycznych oraz mechanicznych,
Budowa stanowiska laboratoryjnego do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych dla różnych przyspieszeń wymuszających, wraz z akwizycją danych pomiarowych,
Projekt i budowa prototypów o przeciwnych współczynnikach sztywności magnetycznej, a następnie weryfikacja pomiarowa opracowanych modeli obliczeniowych,
Dobór przekształtnika podwyższającego napięcie, przeprowadzenie symulacji pracy całego układu oraz wykonanie pomiarów.
2. Opracowane modele matematyczne
2.1. Model mechaniczny
Elementem odkształcanym pod wpływem zewnętrznych drgań w elektromagnetycznym układzie pozyskującym energię z drgań mechanicznych, zaprezentowanego w niniejszej pracy, jest płaska belka. W analizie zjawisk zachodzących w tej części układu posłużono się modelem matematycznym o parametrach rozłożonych utworzonym w oparciu o teorię belki Timoshenki. Oprócz uginania pod wpływem obciążenia, teoria ta uwzględnia również naprężenia ścinające oraz zginanie obrotowe.
Dzięki temu model ten dobrze opisuje naprężenia mechaniczne płaskich elementów jednorodnych jak też materiałów kompozytowych. Dyskretyzację modelu przeprowadzono metodą elementów skończonych, dzieląc długość belki na 𝑛 odcinków i 𝑛 + 1 węzłów (rysunek 2.1).
Warunek brzegowy Dirichleta wprowadza się dla pierwszego węzła, w miejscu zamocowania belki. Dla wszystkich zmiennych w tym węźle przypisuje się wartość zerową. W wyniku tego, wektor zmiennych globalnych ma postać
𝒛 = [𝑤(2), 𝛼(2), 𝑤(3), 𝛼(3), ⋯ , 𝑤(𝑛+1), 𝛼(𝑛+1)]𝑇 , (2.1)
natomiast równanie ruchu przedstawia się następująco
𝑴𝑑2𝒛
𝑑𝑡2+ (𝑎1𝑴 + 𝑎2𝑲)𝑑𝒛
𝑑𝑡+ 𝑲𝒛 =
= 𝒃1(𝐹ext− 𝐹mag− 𝐹e− 𝐹g) − 𝒃2(𝑀mag+ 𝑀e),
(2.2)
8
gdzie, 𝑎1 i 𝑎2 są współczynnikami tłumienia, natomiast wektory 𝒃1 oraz 𝒃2 przypisują siły i momenty do odpowiednich zmiennych w ostatnim węźle belki. Opisany powyżej model został zaimplementowany w języku Matlab.
a) b)
Rys. 2.1. Numeracja węzłów i elementów belki a) oraz stopnie swobody mechanicznej belki b).
2.2. Modele elektromagnetyczne
2.2.1. Dwuwymiarowy model numeryczny
Model ten został opracowany do celów szybkiego projektowania obwodu magnetycznego przetwornika. W dwuwymiarowych obliczeniach magnetostatycznych gęstości prądów 𝑱𝑠, 𝑱𝑀 oraz magnetyczny potencjał wektorowy 𝑨 posiadają tylko jedną składową w kierunku prostopadłym do analizowanej płaszczyzny (w tym przypadku w kierunku osi 𝑧). Dzięki temu, rozkład pola magnetycznego można zapisać w postaci następującego równania
1
𝜇∇2𝐴𝑧 = −𝐽𝑠,𝑧− 𝐽𝑀,𝑧 . (2.3)
Otrzymane równanie różniczkowe cząstkowe można rozwiązać metodą elementów skończonych, dyskretyzując obszar obliczeniowy na skończoną liczbę wieloboków. W niniejszej pracy obszar obwodu magnetycznego podzielono trójkątami, natomiast układ równań wyprowadzono metodą Galerkina do następującej postaci, w której pominięto człon odpowiadający warunkowi brzegowemu Neumanna
∫ {1
𝜇∇𝐴𝑧∙ ∇𝜗 + 𝐽𝑠,𝑧𝜗 + 𝐽𝑀,𝑧𝜗} 𝑑𝑆
𝑆
= 0 . (2.4)
9
Rys. 2.2. Potencjał magnetyczny w pojedynczym elemencie trójkątnym.
Przyjęto, że wartościami szukanymi są potencjały magnetyczne w węzłach elementów skończonych (rysunek 2.2). Potencjał w pojedynczym elemencie można przedstawić jako funkcję odpowiednich wartości węzłowych
𝐴𝑧(𝑒)(𝑥, 𝑦) = 𝑵𝑇𝑨𝑧(𝑒)= [𝑁1(𝑥, 𝑦) 𝑁2(𝑥, 𝑦) 𝑁3(𝑥, 𝑦)] [ 𝐴𝑧,1 𝐴𝑧,2 𝐴𝑧,3
] , (2.5)
gdzie 𝑵 jest wektorem wielomianowych funkcji kształtu pierwszego stopnia. W metodzie Galerkina za funkcje wagowe 𝜗 w równaniu (2.4) przyjmuje się te same funkcje jak przy aproksymacji potencjału w elemencie. Uwzględniając powyższe, ostateczny układ równań ma postać
𝓡𝑨𝑧= 𝚯𝑠+ 𝚯𝑀 , (2.6)
w którym elementy macierzy reluktancji w wierszu 𝑖 oraz kolumnie 𝑗 obliczane są ze wzoru
𝓡𝑖𝑗=1
𝜇 ∫ {𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑁𝑗
𝜕𝑥 +𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑗
𝜕𝑦} 𝑑𝑆
𝑆Δ
. (2.7)
Wektory przepływów 𝚯𝑠 i 𝚯𝑀 posiadają elementy niezerowe w węzłach należących odpowiednio do cewki bądź magnesów trwałych
𝚯𝑠,𝑖= ∫ 𝐽𝑠,𝑧(𝑒)𝑁𝑖𝑑𝑆
𝑆Δ
, (2.8)
𝚯𝑀,𝑖 = ∫ ∇ × 𝑴𝜇(𝑒)𝑁𝑖𝑑𝑆
𝑆Δ
. (2.9)
Liniowy ruch jarzm z magnesami trwałymi zamodelowano powierzchnią ślizgową, dzięki czemu uniknięto czasochłonnego tworzenia nowej siatki dla nowego położenia jarzm.
10
2.2.2. Trójwymiarowy model numeryczny
W trójwymiarowym modelu numerycznym do dyskretyzacji równania prawa Ampere’a posłużono się metodą elementów krawędziowych. Obszar obliczeniowy podzielono na elementy czworościenne (rysunek 2.3), w których to rozkład magnetycznego potencjału wektorowego można przybliżyć w następujący sposób
𝑨(𝑒)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑵𝑇𝒂(𝑒)=
= [𝑁1(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁2(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁3(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁4(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁5(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑁6(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
[ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6]
, (2.10)
gdzie wektor 𝒂(𝑒) zawiera całki liniowe wektorowego potencjału wzdłuż każdej krawędzi elementu, natomiast 𝑵 jest wektorem funkcji kształtu przyporządkowanych do krawędzi elementu. Za funkcje te obrano wielomiany pierwszego stopnia.
Rys. 2.3. Wektorowy potencjał magnetyczny w pojedynczym elemencie czworościennym.
Podobnie jak w modelu dwuwymiarowym, do wyprowadzenia równań metody elementów skończonych może posłużyć metoda Galerkina. Otrzymane równanie algebraiczne dla pojedynczego elementu czworościennego, podstawiając za funkcje wagowe funkcje kształtu 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧), przyjmuje postać
∑ 𝑎𝑘
6
𝑘=1
∫ (1
𝜇∇ × 𝑵𝑘) ∙ (∇ × 𝑵𝑖)𝑑𝑉
𝑉
= ∫ 𝒓𝑤𝑵𝑖𝑑𝑉
𝑉
, (2.11)
gdzie 𝒓𝑤 jest wektorem prawych stron równania prawa Ampere’a, natomiast 𝑖 = 1,2, … ,6.
Uwzględnienie trójwymiarowej przestrzeni w obliczeniach parametrów całkowych pola magnetycznego pozwala zasymulować nie tylko ruch liniowy jarzm z magnesami trwałymi, ale również ruch obrotowy, co dokładniej odzwierciedla rzeczywistą pracę układu, szczególnie gdy jarzma osiągają pozycje krańcowe. W modelach trójwymiarowych wektor siły magnetycznej działającej na obiekt jest wyznaczany poprzez całkowanie naprężeń magnetycznych działających w kierunku ruchu na powierzchni 𝑆 otaczającej ruchomy obiekt. Jest ona wyrażona za pomocą tensora Maxwella, który ma postać
11 𝑭mag= ∫ (1
𝜇0(𝒏 ∙ 𝐵)𝑩 − 𝐵2 2𝜇0𝒏) 𝑑𝑆
𝑆
. (2.12)
Z kolei moment obrotowy działający na obiekt względem początku lokalnego układu współrzędnych zlokalizowanych w środku obrotu tego obiektu wyznacza się za pomocą iloczynu wektorowego
𝑴mag= 𝑭mag× 𝒓0 . (2.13)
Strumień skojarzony z cewką wyznaczany za pomocą tego modelu jest wynikiem całkowania magnetycznego potencjału wektorowego po konturze położonym w środku przekroju poprzecznego cewki, z uwagi na to, że implementacja modelu z cewkami złożonymi z pojedynczych przewodów prowadziłaby do zbyt dużych kosztów obliczeniowych
𝜓 = 𝑛z∮ 𝑨𝑑𝑙
𝑙
. (2.14)
Powyższe wartości parametrów całkowych zebrano dla założonych przedziałów zmienności przemieszczenia i kąta obrotu jarzm z ustaloną rozdzielczością. Do celów dalszych badań i symulacji siła magnetyczna, moment obrotowy oraz pochodne strumienia są interpolowane dla aktualnych wartości przemieszczenia i kąta obrotu dzięki czemu mogą być one używane jak funkcje ciągłe.
2.2.3. Dwuwymiarowy model analityczny
Model ten został opracowany z zamiarem wykorzystania go w optymalizacji parametrów przetwornika. Dzięki tego rodzaju modelowi możliwe jest także pokazanie zależności funkcjonalnych pomiędzy wymiarami obwodu magnetycznego a parametrami całkowymi przetwornika, takimi jak sztywność magnetyczna oraz siła elektromotoryczna ruchu. Przewaga modelu analitycznego nad dwuwymiarowym modelem numerycznym uwidacznia się także w przypadku badań stabilności statycznej elementu ruchomego przetwornika połączonego z belką, w przypadku, których niezwykle trudno jest stwierdzić stabilność układu na podstawie numerycznych obliczeń sztywności magnetycznej wokół początku układu współrzędnych.
Wyznaczenie opisu matematycznego modelu analitycznego sprowadza się do uzyskania rozwiązania równania Poissona postaci
∂2𝐴𝑧
𝜕𝑥2 +∂2𝐴𝑧
𝜕𝑦2 = −𝜇0(𝐽𝑐,𝑧+ 𝐽𝜇,𝑧) . (2.15)
Rysunek 2.4 przedstawia obszar rozwiązania równania, zakładając symetrię względem osi y oraz założony rozkład gęstości prądu 𝐽𝜇,𝑧, zamodelowany jako powłoki prądowe na krawędziach magnesów. Zakładając, że wektor natężenia koercji ma tylko jedną składową 𝐻𝑐= 𝐻𝑐,𝑥, gęstość prądu wynosi
𝐽𝜇,𝑧= 𝜕𝐻𝑐,𝑥 𝜕𝑦 ≈ lim
𝛿→0𝐻𝑐,𝑥⁄2𝛿
⁄ . (2.16)
12
a)
b)
Rys. 2.4. Oznaczenia wymiarów w dwuwymiarowym modelu analitycznym. Magnesy trwałe zamodelowane jako ekwiwalentne powłoki prądowe.
Z uwagi na liniową zależność przenikalności magnetycznej we wszystkich materiałach obwodu magnetycznego, rozkład pola magnetycznego jest superpozycją od następujących pól: 𝐴𝑣,𝑧 pochodzące od ruchomych magnesów M1a i M1d, 𝐴𝑠,𝑧 pochodzące od magnesów stacjonarnych M2a i M2b oraz od prądu płynącego w cewce 𝐴𝑐,𝑧
𝐴𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑣,𝑧(𝑥, 𝑦) + 𝐴𝑠,𝑧(𝑥, 𝑦) + 𝐴𝑐,𝑧(𝑥, 𝑦) . (2.17)
Rozważając warunki brzegowe jak na rysunku 2.4, można przyjąć, że każda składowa pola magnetycznego może być opisana nieskończonym szeregiem. Strumień skojarzony z cewką dla prostokątnego obszaru cewki o długości ℓ𝑧 jest otrzymywany poprzez całkowanie pola 𝐴𝑣,𝑧 na przekroju poprzecznym umieszczonym pomiędzy magnesami M2a oraz M2b na rysunku 2.5
𝜓 =ℓ𝑧
𝑆𝑐( ∫ ∫ 𝐴𝑣,𝑧𝑑𝑠
𝑐9
0 𝑐10
𝑐8
− ∫ ∫ 𝐴𝑣,𝑧𝑑𝑠
𝑐9
0
−𝑐8
−𝑐10
) . (2.18)
Wynik całkowania przedstawia poniższe wyrażenie
13 𝜓 =ℓ𝑧
𝑆𝑐∑ ∑ 𝐶𝑣𝑚𝑛𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑚𝑐9)𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛𝜁)(𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐10) − 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐8))
∞
𝑚=1
∞
𝑛=1
. (2.19)
Pierwsza i druga pochodna cząstkowa strumienia 𝜓 może zostać obliczona natychmiast ze wzorów
𝜕𝜓
𝜕𝜁 =ℓ𝑧
𝑆𝑐∑ ∑ 𝐶𝑣𝑚𝑛𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑚𝑐9)𝛽𝑛𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝜁)(𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐10) − 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐8))
∞
𝑚=1
∞
𝑛=1
, (2.20)
𝜕2𝜓
𝜕𝜁2 = −ℓ𝑧
𝑆𝑐∑ ∑ 𝐶𝑣𝑚𝑛𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑚𝑐9)𝛽𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛𝜁)(𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐10) − 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝑐8))
∞
𝑚=1
∞
𝑛=1
. (2.21)
Sztywność magnetyczna jest to współczynnik siły magnetycznej do względnego przemieszczenia i jest obliczany poprzez podzielenie siły magnetycznej wywołanej oddziaływaniem pól 𝐴𝑣,𝑧 i 𝐴𝑠,𝑧 przez względne przemieszczenie 𝜁. Siła może być otrzymana całkując tensor naprężeń Maxwella w szczelinie powietrznej, co można zapisać
𝑘mag= ℓ𝑧
2𝜇0𝜁 ∫ (𝐵𝑠,𝑥+ 𝐵𝑣,𝑥)(𝐵𝑠,𝑦+ 𝐵𝑣,𝑦)𝑑𝑦
yb
−yb
, (2.22)
gdzie 𝐵𝑠,𝑥, 𝐵𝑠,𝑦 and 𝐵𝑣,𝑥, 𝐵𝑣,𝑦 są składowymi indukcji magnetycznej pochodzącymi odpowiednio od pól 𝐴𝑠,𝑧 i 𝐴𝑣,𝑧. Całkę tego wyrażenia można przedstawić w następującej formie
𝑘mag(𝜁) =ℓ𝑧𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛𝜁)
4𝜇0𝛽𝑛𝜁 ∑ (𝑈𝑛𝑉𝑛− 𝑋𝑛𝑌𝑛)
∞
𝑛=1 , (2.23)
gdzie
𝑈𝑛= ∑ 𝐶𝑠𝑚𝑛𝛽𝑛𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑚𝑥𝑔)
∞
𝑚=1
, (2.24)
𝑉𝑛 = ∑ 𝐶𝑣𝑚𝑛𝛼𝑚𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑚𝑥𝑔)
∞
𝑚=1
, (2.25)
𝑋𝑛= ∑ 𝐶𝑠𝑚𝑛𝛼𝑚𝑠𝑖𝑛(𝛼𝑚𝑥𝑔)
∞
𝑚=1
, (2.26)
𝑌𝑛= ∑ 𝐶𝑣𝑚𝑛𝛽𝑛𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑚𝑥𝑔)
∞
𝑚=1
, (2.27)
w których to 𝑥𝑔 jest współrzędną x, dla której równanie jest obliczane. Pochodna cząstkowa sztywności magnetycznej 𝑘mag ma postać
14
𝜕𝑘mag
𝜕𝜁 = ℓ𝑧(𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛𝜁)
4𝜇0𝜁 −𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛𝜁)
4𝜇0𝜁2 ) ∑ (𝑈𝑛𝑉𝑛− 𝑋𝑛𝑌𝑛)
∞
𝑛=1 . (2.28)
Zaletą powyższych formuł w stosunku do tych otrzymanych metodą elementów skończonych jest szybkość obliczeń oraz brak oscylacji dla przebiegów poszczególnych wielkości fizycznych.
2.2.4. Trójwymiarowy model analityczno-numeryczny
Model tego rodzaju został wykorzystany w rozwiązaniu zagadnienia poszukiwania optymalnego rozkładu zwojów w cewce przetwornika. W związku z dużą niejednorodnością pola magnetycznego wokół czynnych elementów cewki, realizowane w przedstawionych wyżej modelach obliczenia strumienia skojarzonego z cewką przy założeniu równomiernego rozkładu strumienia w przekroju cewki, są obarczone znacznym błędem. Podobnie, duży błąd występuje także przy obliczeniach indukcyjności cewki. Z tego powodu, w zagadnieniu, którego istotą rozwiązania jest odpowiednio dokładne wyznaczenie tych parametrów, zastosowano modele matematyczne przedstawione poniżej.
Przy założeniu symetrii układu przedstawionego na rys. 2.5, jedynie składowa indukcji magnetycznej prostopadła do powierzchni ograniczonej pojedynczym zwojem (powierzchnia równoległa do płaszczyzny yz) wnosi przyczynek do strumienia skojarzonego z cewką. Składowa ta w dowolnej odległości od prostopadłościennego magnesu trwałego, o kierunku magnesowania zgodnego z osią 𝑥, może być wyznaczona ze wzoru
𝐵𝑥= 𝜇0
4𝜋 ∫3(𝑥 − 𝑥′)𝑄𝑚
|𝒓 − 𝒓′|3
𝑆+
𝑑𝑠 −𝜇0
4𝜋 ∫3(𝑥 − 𝑥′)𝑄𝑚
|𝒓 − 𝒓′|3
𝑆−
𝑑𝑠 , (2.29)
gdzie 𝑄𝑚 = 𝑴𝜇∙ 𝒏 jest gęstością dipoli magnetycznych, 𝑴𝜇 i n są odpowiednio magnetyzacją i wektorem normalnym do powierzchni, podczas gdy r, r’ to punkt źródłowy i obserwacyjny, natomiast S+, S- są powierzchniami magnesu równoległymi do płaszczyzny yz. Wartości ze wzoru (2.29) są wyznaczane tylko w węzłach siatki dyskretyzującej powierzchnię ograniczoną pojedynczym zwojem (jak na rysunku 2.5).
Rys. 2.5. Obliczanie rozkładu pola magnetycznego na powierzchni ograniczonej przez pojedynczy zwój cewki.
15
Strumień skojarzony z cewką dla pojedynczego zwoju wynosi
𝜓𝑡 = ∫ 𝐵𝑥𝑑𝑠
𝑆𝑡
, (2.30)
i jest obliczany używając podziału powierzchni St na rysunku na trójkątne elementy skończone.
Całkowity strumień skojarzony z cewką 𝜓𝑐 jest sumą przyczynków dla wszystkich zwojów, uwzględniając superpozycję pola magnetycznego wytwarzanego przez oba drgające magnesy trwałe.
Pochodną strumienia skojarzonego z pojedynczym zwojem w punkcie zerowego przemieszczenia jarzm można wyznaczyć używając twierdzenia Greena
𝜕𝜓𝑡
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦 ∫ 𝐵𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑆𝑡
= − ∮ 𝐵𝑥𝑑𝑧
𝐿𝑡
. (2.31)
Całka liniowa liczona jest po konturze zwoju, natomiast całkowitą wartość pochodnej strumienia otrzymuje się sumując wyniki otrzymane powyższym wzorem dla każdego magnesu ruchomego.
Formuła ta jest dogodniejsza do wykorzystania w optymalizacji rozłożenia zwojów, gdzie potrzebna jest tylko maksymalna wartość pochodnej strumienia.
W opisywanym modelu uwzględniono grubość izolacji przewodu, którym nawinięta jest cewka (rys. 2.6). Optymalizując rozłożenie i liczbę zwojów cewki z wykorzystaniem niniejszego modelu można znacząco zwiększyć generowane napięcie przy jednoczesnym zmniejszeniu rezystancji.
Rys. 2.6. Zaproponowany kształt cewki wraz z przekrojem poprzecznym zwojów, 𝑟𝑐 - promień zaokrąglenia cewki, ℓ𝑧 – długość części aktywnej, 𝑟𝑑 – promień drutu, 𝛿𝑖𝑛𝑠 – grubość izolacji.
2.3. Opis algorytmu obliczeń komputerowych
Głównymi parametrami funkcjonalnymi elektromagnetycznych układów pozyskujących energię z drgań są moc wyjściowa, napięcie na obciążeniu oraz pasmo częstotliwości, w którym generowana jest względnie duża moc. Aby wyznaczyć te parametry, należało stworzyć model do obliczania charakterystyk częstotliwościowych. W niniejszej pracy posłużono się środowiskiem Matlab/Simulink oraz zaimplementowaną metodą ode15s do rozwiązywania sztywnych układów równań różniczkowych. Schemat algorytmu obliczeń przedstawiony na rysunku 2.7 składa się z modelu mechanicznego, modelu obwodu elektrycznego oraz wyników uzyskanych z trójwymiarowego numerycznego modelu elektromagnetycznego. Symulacje zostały przeprowadzone w dziedzinie czasu, z uśrednianiem częstotliwości przebiegów w post-processingu. Na początku symulacji pobierane są parametry do funkcji chirp, która ma za zadanie wygenerować sinusoidalny przebieg
16
o rosnącej bądź malejącej częstotliwości. Następnie sygnał ten, pomnożony przez amplitudę siły wymuszającej drgania (obliczonej z zadanego przyspieszenia drgań oraz masy jarzm), trafia na wejście modelu mechanicznego wraz z wartością siły ciążenia. Model mechaniczny sprzęgnięty jest z wynikami zestawionymi w tablicach, uzyskanymi trójwymiarową metodą elementów skończonych dla obwodu magnetycznego oraz z modelem obwodu elektrycznego. Do bloku modelu mechanicznego, dla aktualnych wartości przemieszczeń oraz kąta obrotu jarzm, trafiają takie wielkości jak siła magnetyczna oraz moment obrotowy (oddziaływanie magnesów trwałych na jarzmach z magnesami stacjonarnymi). Dodatkowo, na podstawie wartości pochodnych strumienia skojarzonego z cewką względem przemieszczenia oraz kąta obrotu, obliczane są siły i momenty pochodzące od oddziaływania prądu przepływającego przez cewkę z magnesami trwałymi umieszczonymi na jarzmach. Pomnożone wartości prędkości kątowej oraz prędkości liniowej przez odpowiednio pochodną strumienia po kącie oraz po przemieszczeniu, dają siły elektromotoryczne, które trafiają do bloku związanego z modelem obwodu elektrycznego. Na wejście tego modelu trafia wartość rezystancji obciążenia, natomiast wartościami wyjściowymi są prąd, napięcie na obciążeniu oraz moc wyjściowa.
Algorytm ten służy do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych napięcia oraz mocy wyjściowej elektromagnetycznych układów pozyskujących energię z drgań mechanicznych.
Rys. 2.7. Schemat blokowy algorytmu do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych.
17
3. Stanowisko do badań laboratoryjnych
3.1. Stanowisko pomiarowe
W celu wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych elektromagnetycznych układów przetwarzających energię drgań mechanicznych z nieliniowym rezonansem elektromechanicznym należało zbudować stanowisko laboratoryjne, zawierające źródło drgań oraz przyrządy pomiarowe takich wielkości jak napięcie elektryczne i przyspieszenie drgań. Rysunek 3.1 przedstawia schemat blokowy zaproponowanego układu pomiarowego.
Rys. 3.1. Schemat blokowy stanowiska do badania charakterystyk częstotliwościowych układów pozyskujących energię z drgań mechanicznych.
Do budowy stanowiska laboratoryjnego posłużył następujący sprzęt:
lekki akcelerometr Bruel & Kjaer 4513B-002,
wzmacniacz i kondycjoner sygnału Bruel & Kjaer Nexus,
akumulator 12 V do zasilania wzmacniacza,
programowalne źródło napięcia Chroma 61705,
stół wibracyjny wykonany z głośnika basowego o mocy 500 W,
komputer PC z kartą pomiarową Acquitek.
Rys. 3.2. Stół wibracyjny z elektromagnetycznymi układami pozyskiwania energii z drgań.
18
3.2. Pomiar charakterystyk częstotliwościowych
Do wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych badanych generatorów, należało wykonać serię pomiarów dla wzrastającej bądź malejącej wartości częstotliwości drgań w określonym przedziale. Zadane pasmo częstotliwości dzielone jest na dyskretne wartości, dla których pobierane są przebiegi czasowe przyspieszenia oraz napięcia na obciążeniu układów przetwarzających energię drgań. Z otrzymanych sygnałów, dla każdej częstotliwości, obliczane są wartości skuteczne napięcia i przyspieszenia oraz wartość maksymalna napięcia. Wartości skuteczne przebiegów obliczono wykorzystując całkowanie metodą trapezów. Znając wartości maksymalne oraz skuteczne napięcia w każdym punkcie pomiarowym, można wykreślić charakterystykę częstotliwościową. Rysunek 3.3 przedstawia zmienność napięcia w zależności od częstotliwości drgań przy jej zwiększaniu od wartości 15 Hz do 40 Hz.
Rys. 3.3. Wyznaczanie zmienności wartości skutecznej przebiegu napięcia w zależności od częstotliwości drgań stołu wibracyjnego.
4. Projekt i wykonanie układu podwójnego przetworników
4.1. Opis zastosowanej metody projektowania
W niniejszym rozdziale przedstawiono proces projektowania elektromagnetycznych układów pozyskujących energię z drgań mechanicznych z nieliniowym rezonansem elektromechanicznym.
Rysunek 4.1 przedstawia model CAD zaproponowanego generatora, który składa się z podstawy, płaskiej sprężyny (belki), na której końcu zamocowano dwa jarzma z magnesami trwałymi oraz elementu mocującego sprężynę.
We wsporniku podstawy znajduje się bezrdzeniowa cewka oraz dodatkowe magnesy trwałe.
Zadaniem tych ostatnich jest odpowiednie kształtowanie przebiegu siły magnetycznej, a co za tym idzie sztywności magnetycznej, tak, aby uzyskać zakładaną szerokość pasma częstotliwości, w której generowane jest napięcie. Z uwagi na fakt, że w generatorze nie znajdują się materiały
19
ferromagnetyczne, znacznie uproszczone jest projektowanie takich układów. Dodatkowo magnesy trwałe umieszczone we wsporniku nie oddziałują na strumień skojarzony z cewką. Zmiana zwrotu magnetyzacji tych magnesów powoduje tylko zmianę znaku współczynnika sztywności magnetycznej, natomiast wartość bezwzględna pozostaje taka sama. Dzięki temu możliwym jest zbudowanie dwóch układów o takich samych wymiarach obwodu magnetycznego, ale posiadających przeciwne przebiegi współczynnika sztywności magnetycznej, co umożliwi otrzymanie nakładających się charakterystyk częstotliwościowych napięcia.
a) b)
c)
Rys. 4.1. Model CAD a) elektromagnetycznego przetwornika energii drgań mechanicznych z nieliniowym rezonansem elektromechanicznym, b) przekrój poprzeczny obwodu magnetycznego oraz c) koncepcja układu podwójnego przetworników, 1 – jarzma, 2 – magnesy trwałe w jarzmach, 3 – podstawa ze wspornikiem, 4 – magnesy trwałe we wsporniku, 5 – cewka bez rdzenia, 6 – płaska belka, 7 – element mocujący.
Pierwszym etapem projektowania układu podwójnego elektromagnetycznych przetworników energii drgań mechanicznych było ustalenie zakładanego pasma częstotliwości pracy. Częstotliwość naturalną pierwszego układu określono na 15 Hz, natomiast drugiego na 35 Hz. Dolna częstotliwość tego pasma jest ograniczona minimalną częstotliwością drgań na stanowisku laboratoryjnym.
Następnie należało wyznaczyć wzorcowe przebiegi zmienności współczynnika sztywności magnetycznej w zależności od amplitudy przemieszczenia jarzm, tak aby częstotliwość rezonansowa pierwszego układu przy małych przemieszczeniach pokryła się z częstotliwością naturalną drugiego układu i odwrotnie. Wraz ze wzrostem przyspieszenia drgań źródła, rezonans przemieszcza się
20
w kierunku częstotliwości naturalnych poszczególnych układów. Tym samym w całym zakresie częstotliwości (tzn. od 15 do 35 Hz) generatory wytwarzają względnie duże napięcie. W kolejnym kroku należało tak dobrać wymiary obwodu magnetycznego, aby dopasować przebieg sztywności magnetycznej do zadanej zmienności. Do tego celu posłużył algorytm genetyczny. Wymiary układu, które stanowią zmienne decyzyjne w procesie optymalizacji, zaznaczono na rysunku 4.2.
Rys. 4.2. Połowa przekroju poprzecznego obwodu magnetycznego wraz z zaznaczonymi wymiarami stanowiącymi zmienne decyzyjne w procesie optymalizacji.
W obliczeniach wymiarów płaskich sprężyn na podstawie zadanych częstotliwości naturalnych wykorzystano mechaniczny model numeryczny zaprezentowany w podrozdziale 2.1, natomiast obliczenia parametrów całkowych pola magnetycznego przeprowadzono przy użyciu autorskiego programu bazującego na dwuwymiarowej metodzie elementów skończonych (podrozdział 2.2.1) oraz metodzie powierzchni ślizgowej w celu odwzorowania ruchu liniowego. Współczynniki sztywności magnetycznej dla optymalizowanych wymiarów liczono w zakresie amplitud przemieszczeń od 0 do 10 mm z liczbą próbek 𝔫 = 100. Wartości te można zestawić w następującym wektorze
𝒌opt(𝐱) = [𝑘opt1 (𝐱) 𝑘opt2 (𝐱) ⋯ 𝑘opt𝔫 (𝐱)] , (4.1) natomiast wektor wartości odniesienia (zadany przebieg sztywności) ma postać
𝒌cel(𝐱) = [𝑘cel1 (𝐱) 𝑘cel2 (𝐱) ⋯ 𝑘cel𝔫 (𝐱)] . (4.2) W zastosowanym algorytmie obliczenia polowe wykonywane są wielokrotnie (nawet kilka tysięcy razy), dlatego nie skorzystano tutaj z dokładniejszego, ale bardziej czasochłonnego modelu trójwymiarowego. Minimalizowaną funkcją celu był pierwiastek wariancji z wektora kwadratu błędów obliczanych dla przebiegu zmienności sztywności magnetycznej
𝑓(𝐱) = 𝑠 {[
(|𝑘opt1 (𝐱)| − |𝑘cel1 (𝐱)|)2 (|𝑘opt2 (𝐱)| − |𝑘cel2 (𝐱)|)2
⋮
(|𝑘opt𝔫 (𝐱)| − |𝑘cel𝔫 (𝐱)|)2]}
. (4.3)
Wyniki optymalizacji dla obydwu układów przedstawiono na rysunku 4.3. Wykresy ukazują otrzymane przebiegi zmienności współczynnika sztywności magnetycznej oraz oznaczone linią
21
przerywaną przebiegi idealne. Jak można zauważyć, wartość bezwzględna sztywności magnetycznej w pozycji początkowej jarzm jest nieco mniejsza od wartości zadanej, co skutkuje nieznacznym zawężeniem pasma częstotliwości układu podwójnego. Dodatkowo zilustrowano przykładowe rozkłady linii strumienia magnetycznego w pozycji zerowego przesunięcia jarzm z magnesami trwałymi.
a) b)
Rys. 4.3. Zależność sztywności magnetycznej od amplitudy przemieszczenia jarzm z magnesami trwałymi wraz z przykładowymi rozkładami strumienia magnetycznego dla układu: a) o dodatnim współczynniku sztywności magnetycznej, b) o ujemnym współczynniku sztywności magnetycznej w pozycji zerowego przemieszczenia jarzm.
W tabeli 4.1 zestawiono otrzymane wymiary przekroju poprzecznego obwodów magnetycznych z przeprowadzonej optymalizacji. Układy różnią się tylko wymiarami belki oraz zwrotami magnetyzacji stacjonarnych magnesów trwałych znajdujących się we wsporniku podstawy. Biorąc pod uwagę tylko obwody magnetyczne (bez części mechanicznej) można stwierdzić na podstawie rozkładów strumienia magnetycznego, a także zmienności energii potencjalnej względem przemieszczenia, że układ o dodatnim współczynniku sztywności magnetycznej jest stabilny statycznie przy zerowym przemieszczeniu jarzm, ponieważ nieruchome magnesy trwałe „wpychają”
jarzma z magnesami trwałymi do atraktora. Z kolei układ o ujemnym współczynniku sztywności magnetycznej jest w tym punkcie niestabilny statycznie, gdyż oba magnesy stacjonarne przyciągają jarzma, tworząc układ bistabilny. Po uwzględnieniu sztywności płaskich belek, do których zamocowane są jarzma, w zakresie przemieszczeń od -30 mm do 30 mm, pierwszy układ posiada trzy
22
punkty stabilne w pozycjach -22 mm, 0 mm oraz 22 mm, natomiast układ drugi staje się stabilny w punkcie zerowym, z uwagi na dużą sztywność części mechanicznej.
Tab. 4.1. Wymiary przekroju obwodu magnetycznego oraz płaskich belek elektromagnetycznych układów pozyskujących energię z drgań mechanicznych
Wymiar Układ o dodatniej sztywności
magnetycznej
Układ o ujemnej sztywności magnetycznej
𝑥1 14,1 mm
𝑥2 5,4 mm
𝑥3 9 mm
𝑥4 3 mm
𝑥5 17,1 mm
długość belki 73 mm 76 mm
szerokość belki 13 mm 15 mm
grubość belki 1 mm 2 mm
4.2. Badanie charakterystyk częstotliwościowych
Kolejnym krokiem było wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych zaprojektowanego układu na podstawie opracowanych modeli komputerowych. Przeprowadzone obliczenia wykonano wykorzystując algorytm przedstawiony w podrozdziale 2.3, oparty na sprzężeniu słabym modeli:
mechanicznego, magnetycznego i obwodu elektrycznego. Do wyznaczenia parametrów całkowych obwodu magnetycznego tj. siły i momentu magnetycznego oraz pochodnej strumienia skojarzonego z cewką w zależności od przemieszczenia i kąta obrotu jarzm, posłużono się dokładniejszym (w stosunku do modeli 2D) modelem bazującym na trójwymiarowej metodzie elementów skończonych. Porównanie tych modeli wykazało znaczące różnice przy przemieszczeniach większych od 10 mm w stosunku do modelu uwzględniającego złożony ruch oznaczonego ciągłą niebieską linią (rys. 4.4).
a) b)
Rys. 4.4. Porównanie wyników otrzymanych z modelu numerycznego 3D (podrozdział 2.3.2), modelu numerycznego 2D (2.3.1) oraz modelu analitycznego 2D (2.3.3) na przykładzie zmienności a) siły magnetycznej, b) strumienia skojarzonego z cewką.
Zaletą modelu 3D w stosunku do 2D jest uwzględnienie obrotu jarzm wokół własnego środka geometrycznego, który jest tym większy, im większa jest amplituda drgań i znacznie wpływa na
23
zachowanie się układu, co stwierdzono na podstawie badań laboratoryjnych układów projektowanych przez autora wcześniej. Przykładowe rozkłady indukcji magnetycznej zobrazowano na rysunku 4.5.
a) b)
Rys. 4.5. Rozkłady indukcji magnetycznej dla modelu trójwymiarowego, a) pozycja zerowa jarzm, b) przemieszczenie w dół o 10 mm i obrót jarzm o 20 stopni.
Rysunek 4.6 przedstawia obliczone charakterystyki częstotliwościowe napięcia jałowego dla obydwu układów (z dodatnim i ujemnym współczynnikiem sztywności magnetycznej) otrzymane z uwzględnieniem ruchu złożonego jarzm oraz wpływu prądu płynącego w cewce na siłę magnetyczną, skonfrontowane z wynikami uzyskanymi pomijając te zjawiska. W obliczeniach przyjęto, że rezystancja obciążenia jest równa rezystancji własnej układów. Założono, że cylindryczna cewka układu o ujemnym współczynniku sztywności magnetycznej zostanie nawinięta drutem o średnicy 0,2 mm, przy liczbie zwojów równej 1000. Rezystancja takiej cewki wynosi 23 Ω.
W układzie o dodatnim współczynniku sztywności magnetycznej podwojono liczbę zwojów, ponieważ przy niższych częstotliwościach pracy (niższych prędkościach jarzm), w stosunku do drugiego układu, uzyskuje się mniejszą wartość siły elektromotorycznej. Rezystancja cewki w tym układzie wynosi 84 Ω. Jak można zauważyć, pominięcie ruchu złożonego jarzm skutkuje istotnymi zmianami charakterystyk częstotliwościowych. Z uwagi na znaczące różnice w wynikach otrzymanych z różnych modeli, w szczególności w przedziale częstotliwości od 15 do 20 Hz dla układu o dodatnim współczynniku sztywności magnetycznej, zdecydowano, że w dalszych obliczeniach używany będzie tylko model uwzględniający ruch złożony i oddziaływanie prądu na ruch jarzm.
Następnym etapem badań było wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układów pozyskujących energię z drgań mechanicznych dla różnych wartości przyspieszeń źródła drgań.
W kolejnym etapie prac sprawdzono wpływ rezystancji obciążenia układów na charakterystyki częstotliwościowe napięcia przy przyspieszeniu drgań równym 10 m/s2. Nie zaobserwowano większego oddziaływania prądu płynącego przez cewkę na zakres częstotliwości pracy.
Wyniki obliczeń wykazały obecność zjawiska chaosu w układzie z dodatnią sztywnością magnetyczną. Zjawisko to jest stanem pracy niestabilnej układu nieliniowego i objawia się brakiem cyklu granicznego, do którego dążą trajektorie na płaszczyźnie fazowej układu. Występuje ono na skutek podwyższonej wrażliwości układu na warunki początkowe w niektórych punktach jego pracy.
W rozważanym przypadku dzieje się tak, ponieważ przy dużych siłach wymuszających drgania,
24
jarzma przemieszczają się pomiędzy punktami stabilnymi (atraktorami). Gdy ruchy wykonywane są pomiędzy sąsiadującymi atraktorami, wtedy siła elektromotoryczna maleje w stosunku do „normalnej”
pracy, natomiast przy przeskokach pomiędzy zewnętrznymi punktami stabilnymi, następuje wzrost napięcia wyjściowego. Niestety, ten drugi stan występuje przy dużych przyspieszeniach drgań źródła, ponadto istnieje ryzyko, że układ „zawiesi się” w punkcie stabilnym i przestanie generować napięcie.
Pracę chaotyczną układu dla przyspieszeń równych 10 m/s2 i 15 m/s2 przedstawiono na rysunku 4.7, na którym widoczne są trajektorie oraz obwiednie napięcia generowanego przez układ, a także mapy Poincare’go prędkości i napięcia wykonywane dla różnych częstotliwości pracy. Dla porównania na rysunku 4.8 pokazano charakterystyki dla układu o ujemnej sztywności magnetycznej, gdzie zjawisko chaosu nie występuje.
Rys. 4.6. Charakterystyki częstotliwościowe napięcia dla modelu uwzględniającego złożony ruch i oddziaływanie prądu na ruch jarzm, modelu pomijającego moment obrotowy oraz modelu pomijającego moment obrotowy i oddziaływanie prądu na ruch jarzm, kolorem czerwonym oznaczono układ o dodatnim współczynniku sztywności (częstotliwość naturalna – 15 Hz), kolorem niebieskim oznaczono układ o ujemnym współczynniku sztywności (częstotliwość naturalna – 35 Hz).
Przyspieszenie źródła drgań - 10 m/s2 Przyspieszenie źródła drgań - 15 m/s2
a) e)
25
b) f)
c) g)
d) h)
Rys. 4.7. Porównanie a), e) trajektorii napięcia, b), f) charakterystyk częstotliwościowych obwiedni przemieszczenia jarzm z magnesami trwałymi wraz z odpowiadającymi im mapami Poincare’go c), g) prędkości oraz d), h) indukowanego napięcia dla różnych przyspieszeń źródła drgań (układ o dodatniej sztywności magnetycznej).
26
Przyspieszenie źródła drgań – 10 m/s2 Przyspieszenie źródła drgań – 15 m/s2
a) e)
b) f)
c) g)
27
d) h)
Rys. 4.8. Porównanie a), e) trajektorii napięcia, b), f) charakterystyk częstotliwościowych obwiedni przemieszczenia jarzm z magnesami trwałymi wraz z odpowiadającymi im mapami Poincare’go c), g) prędkości oraz d), h) indukowanego napięcia dla różnych przyspieszeń źródła drgań (układ o ujemnej sztywności magnetycznej).
4.3. Budowa prototypu
Na podstawie otrzymanych wymiarów z optymalizacji przedstawionej podrozdziale 4.1, przystąpiono do wykonania fizycznych prototypów układów. Zgodnie z założeniem wykonano dwa układy o takich samych wymiarach obwodu magnetycznego, różniące się tylko długością sprężyny i podstawy, co znacząco uprościło budowę generatorów. Rysunek 4.9 przedstawia wykonany prototyp układu.
a)
b)
Rys. 4.9. Układ do pozyskiwania energii z drgań mechanicznych z dodatnim współczynnikiem sztywności, a) zamocowany na stanowisku laboratoryjnym, b) trzy punkty stabilne układu.
28
4.4. Wykonanie pomiarów
Następnym etapem pracy było zamontowanie na stanowisku laboratoryjnym dwóch układów do pozyskiwania energii z otoczenia i przeprowadzenie pomiarów charakterystyk częstotliwościowych.
Poniżej przedstawiono wyniki (rysunek 4.10) porównujące uzyskane pasma częstotliwości przy zmniejszaniu i zwiększaniu częstotliwości drgań stołu wibracyjnego z charakterystyką naturalną układu (układ bez dodatkowych magnesów trwałych wpływających na siłę magnetyczną).
a) b)
Rys. 4.10. Wykres zależności wartości skutecznej napięcia od częstotliwości drgań stołu wibracyjnego dla układu o dodatniej a) i ujemnej b) sztywności magnetycznej, przy zwiększaniu oraz zmniejszaniu częstotliwości drgań źródła.
Po przeprowadzeniu pomiarów, zweryfikowano zaproponowaną metodę wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych. Według autora niniejszej rozprawy, stworzone modele komputerowe dobrze odwzorowują zjawiska fizyczne zachodzące w badanych generatorach.
Zaobserwowano tylko niewielkie różnice w szerokości pasma częstotliwości i wartości napięć, co zobrazowano na rysunku 4.11. Błąd ten może wynikać z niedokładnego odwzorowania ruchu jarzm i zjawiska chaosu w modelu komputerowym oraz przede wszystkim z oddziaływaniem generatora na stół wibracyjny, co miało wpływ na pomiar przyspieszenia. W przedziale od 15 do 20 Hz nie występowało generowanie względnie dużej siły elektromotorycznej dla przetwornika o dodatniej sztywności magnetycznej, ponieważ układ (szczególnie przy dużych przyspieszeniach) utykał w zewnętrznych punktach stabilnych.
a) b)
Rys. 4.11. Porównanie charakterystyk częstotliwościowych wartości skutecznej napięcia dla układu podwójnego, otrzymanych z symulacji a) i pomiarów b), przy przyspieszeniu równym 10 m/s2.
29
5. Przekształtnik dla układu podwójnego przetworników
5.1. Analiza wymagań i dobór struktury
W zastosowaniach praktycznych, w których istotne jest wykorzystanie mikrokontrolera (np.
bezprzewodowe systemy pomiarowe) wymagane jest napięcie od 2 V do nawet 4 V. W takich przypadkach stosuje się akumulatory np. 2,4 V, 3,6 V lub bezpośrednie zasilanie. Konieczne jest wtedy użycie przetwornicy podwyższającej napięcie minigeneratorów. Dodatkowo na wyjściu badanych układów występuje napięcie przemienne, które należy wyprostować przed zasileniem układów elektronicznych. Kolejną przeszkodą okazały się spadki napięć na diodach w konwencjonalnych prostownikach. Dlatego zdecydowano się na przetwornicę typu boost/buck- boost, która zamiast diod posiada dwa tranzystory MOSFET typu N. Każdy tranzystor odpowiada za prostowanie jednej połówki napięcia oraz kluczowanie drugiej w celu podwyższenia napięcia.
Schemat przetwornicy przedstawiono na rysunku 5.1.
Rys. 5.1. Schemat przetwornicy podwyższającej napięcie elektromagnetycznego przetwornika energii drgań mechanicznych.
5.2. Modyfikacja układu w celu zwiększenia indukowanego napięcia
Podczas badań symulacyjnych i eksperymentalnych stwierdzono, że istnieje potencjał układu do wykorzystania strumienia rozproszenia po zewnętrznych stronach jarzm z magnesami trwałymi, co ukazano na rysunku 5.2. Z uwagi na niskie napięcie generowane w głównej cewce, a jednocześnie dużą jej rezystancję, zastosowanie przetwornicy podwyższającej napięcie zakończyłoby się niepowodzeniem z powodu niskiej wydajności prądowej generatorów. Łącząc równolegle ze sobą cewki 4a oraz 4b można znacząco zmniejszyć rezystancję uzwojenia, co stwarza możliwość praktycznego zastosowania badanych układów.
W niniejszej pracy opracowano dwa algorytmy do optymalizacji rozłożenia zwojów cewki w przestrzeni w celu pozyskania jak największej energii z drgań. Pierwsza metoda bazuje na dwuwymiarowych obliczeniach analitycznych (podrozdział 2.2.3). Za pomocą metody interior point optymalizowano wymiary prostokątów 4a i 4b (rys. 5.2) pod kątem maksymalnej wartości pochodnej strumienia skojarzonego z cewką. Niestety, mimo krótkiego czasu obliczeń wynoszącego 3 sekundy, otrzymane wymiary również nie spełniły wymagań niskiej rezystancji uzwojenia oraz wystarczającego
30
napięcia wyjściowego. W wyniku tego opracowano nowatorski algorytm bazujący na modelu do obliczeń parametrów obwodu magnetycznego w przestrzeni trójwymiarowej (opisany w podrozdziale 2.2.4) oraz metodzie krigingu z adaptacyjnym zagęszczaniem siatki rozwiązań w pobliżu punktu optymalnego. Zastosowano po dwie cewki o kształcie toru wyścigowego (z ang. racetrack coil) na układ, co przy połączeniu równoległym znacząco zmniejszyło rezystancję własną generatorów. Jest to istotne przy pracy z przekształtnikiem podwyższającym napięcie w celu ładowania baterii, ponieważ im większa wartość prądu źródła, tym wyższe wartości napięcia można uzyskać na wyjściu układu mocy.
Rys. 5.2. Rozkład pola magnetycznego wraz z zaznaczonymi potencjalnymi miejscami na cewki (4a, 4b).
Optymalizowanymi zmiennymi były liczba zwojów, długość części aktywnej cewki, średnica przekroju drutu oraz rezystancja obciążenia przetwornicy. Problem maksymalizacji mocy wyjściowej można opisać następująco
max(𝑃(𝐗)) , (5.1)
przy następujących zmiennych decyzyjnych
200 ≤ 𝑋1≤ 1200 , (5.2)
𝐸(𝐷) = (0.25, 0.30, 0.35, ⋯ , 0.50) 𝑚𝑚 ⇒ 𝑋2 = (1, 2, 3, ⋯ , 6) ∈ ℤ , (5.3)
0 ≤ 𝑋3 ≤ 18 𝑚𝑚 , (5.4)
100 Ω ≤ 𝑋4≤ 8000 Ω , (5.5)
gdzie 𝐸(𝐷) jest zbiorem wartości średnic przewodów cewki odwzorowanym w zbiór liczb całkowitych stanowiących numery kolejnych dostępnych średnic drutu nawojowego. Takie założenie wynika z braku lub ograniczonej dostępności drutów o średnicach pośrednich pomiędzy tymi, które uwzględniono w optymalizacji. Wartości mocy wyjściowej dla rozważanych zmiennych obliczane są według algorytmu przedstawionego na rysunku 5.3. Na początku tworzone są zwoje o zadanej średnicy drutu w obszarze 4a jak na rys.5.2. Następnie odbywa się sortowanie zwojów ze względu na
31
pochodną strumienia skojarzonego ze zwojem w punkcie zerowego przemieszczenia jarzm, a więc dla pozycji przy której otrzymywane jest maksymalne napięcie. Z posortowanych zwojów wybieranych jest 𝑛z najlepszych osobników, dla których sumowana jest wartość pochodnej strumienia, a następnie obliczana jest jej zmienność względem przemieszczenia jarzm. Dodatkowo obliczana jest rezystancja oraz indukcyjność cewki. Następnie przeprowadzana jest symulacja obwodu elektronicznego przetwornicy w stanie ustalonym. W wyniku tego otrzymywana jest moc wyjściowa na rezystancji 𝑅L. Z uwagi na znaczący koszt obliczeniowy wyżej wymienionego algorytmu, zmienność mocy P(X) wyznaczono tylko w niektórych punktach przestrzeni projektowej stosując metodę projektowanego eksperymentu komputerowego. Wyniki te interpolowano następnie metodą krigingu tworząc tzw. metamodel (surogatę).
Rys. 5.3. Schemat eksperymentu komputerowego dla punktu wejściowego X.
Problem (5.1) jest rozwiązywany za pomocą sekwencyjnie zagęszczanego modelu surogaty (modelu zastępczego). W takim podejściu, na początku obliczenia wykonywane są dla metamodelu stworzonego z małej liczby punktów w przestrzeni rozwiązań, natomiast w następnych krokach model surogaty jest aktualizowany poprzez zagęszczenie siatki punktów w pobliżu otrzymanego ekstremum.
Adaptacja modelu wykonywana jest w każdej iteracji pętli optymalizacyjnej, do momentu otrzymania wartości błędu poniżej wartości zadanej. Zarówno w tworzeniu początkowej siatki punktów, jak również w dodawaniu kolejnych, posłużono się próbkowaniem LHS (ang. Latin Hypercube Sampling) polegającym na losowym doborze punktów z przestrzeni projektowej bez powtórzeń. Poszukiwanie punktu optymalnego dla kolejnych aktualizacji metamodelu odbywa się w kolejności, za pomocą algorytmu genetycznego i metody interior point. Poniższy pseudokod przedstawia cały proces optymalizacji:
ustaw i=0
wygeneruj rzadką siatkę punktów LHS Xi zaokrąglij zmienne całkowite
ustaw |ΔX|max = 0.01 ustaw |ΔX| = 1
