Zastosowanie MES do analizy cieplnej procesu zamrażania górotworu przy różnej konfiguracji rur mrożeniowych

(1)

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: E N E R G E T Y K A z. 124

1995 N r kol. 1278

Jan S K Ł A D Z IE Ń , A dam F IC

ZASTOSOWANIE MES DO ANALIZY C IE PL N E J

PROCESU ZAMRAŻANIA GÓROTWORU PRZY RÓŻNEJ KONFIGURACJI R U R MROŻENIOWYCH

S tr e sz c z e n ie .

W pracy przedstaw iono w y n ik i obliczeń pól tem pera

tu r y w górotw orze zam rażanym za pomocą pojedynczego lu b podwójne

go k rę g u r u r m rożeniow ych. O bliczenia przeprowadzono w ykorzystując metodę elem entu skończonego oraz procedurę u średnień całkowych.

Przyjęto typow e założenia upraszczające, w ty m stacjonarne zachowa

nie się w ilgoci.

APPLICATION OF FEM FO R THERMAL ANALYSIS OF

UNDERGROUND ROCK FREEZING PR O C E SS WITH VARIOUS ARRANGEMENTS OF FREEZING P IP E S

Sum m ary.

In th e paper th e re are presented some re su lts of te m p e ra tu re fie ld calculation s in u n d e rg ro u n d rocks being frozen.

There w ere considered some v a ria n ts w ith single and double circles of freezing holes. The fin ite elem ent m ethod F E M was used and the procedure o f in te g ra l averaging was applied. T here were assumed the ty p ic a l s im p lify in g presum ption s, am ong th e m th e existence o f s ta tio n a ry w a te r. The exem plary re s u lts have m a in ly a fo rm o f d is trib u tio n s of isotherm lines. The dependence between frozen ja c k e t thickness and dim ensionless tim e fo r some cases o f fre e zin g processes w ith single circle o f holes as w e ll as an in flu e n ce o f d iv is io n o f to ta l num b e r o f holes in to tw o circles w ere also exam ined. A ll o f th e calculation s were per

form ed u sin g n ondim en sional param eters and variables.

ANWENDUNG D E R METHODE D E R FIN IT E N ELEM ENTEN BEI THERMISCHER ANALYSE D E N BODENSGEFRIERUNGSPROZEßEN BEI VERSCHIEDENER KONFIGURATION D E R

GEFRIERUNGSROHREN

Z u sa m m en fa ssu n g .

Das Bodensgefrieren m it H ilfe des einzelnen oder doppelten K reises der G e frie ru n g sro h re n w u rd e a n a lysie rt. Die B erechnungen der T e m p e ra tu re n fe ld e r w u rd e bei A nw endung der

(2)

22 Jan Składzień, Adam Fic

M ethode der F in ite n E lem enten u n d des In te g ra tio n sve rfa h re n s zu B e stim m u n g der M itte lw e rte d u rc h g e fü h rt. D ie typischen Vorausset

zungen, dabei auch die sta tio n ä re F e u c h tig k e ite rh a ltu n g , w urden an

genommen.

1. W STĘP

A n a liz a cieplna procesu zam rażania g ó rotw oru je s t problem em złożonym, gdyż:

- W górotworze w ystępuje tró jw y m ia ro w e pole te m p e ra tu ry z uje m n ym i ź ró d ła m i ciepła, k tó ry m i są r u r y m rożeniow e zawierające czynnik c hłodni

czy. T e m p e ra tu ra czyn n ika chłodzącego w ru rz e opadowej i w pierścienio

wej prze strze n i m iędzyrurow ej zależy od głębokości i od czasu.

- W łaściwości cieplne góro tw o ru zależą od położenia i od te m p e ra tu ry, a przewodność cieplna może rów nież zależeć od k ie ru n k u . Ponadto przewod

ność ta i pojemność cieplna w łaściw a z m ie n ia ją się skokowo w momencie zam arzania.

- Z am rażany obszar znajduje się w ośrodku nieskończenie rozległym . Do części zamrożonej oraz oziębionej dopływ a ciepło z boku, od dołu oraz od góry. T e m p e ra tu ra n a tu ra ln a g ó rotw oru je s t fu n k c ją głębokości.

- W oda za w a rta w różnych w a rstw a ch może zam arzać p rz y różnej tem pera

turze. M o ż liw y je s t rów nież przypadek zam arzania w skończonym prze

dziale te m p e ra tu ry.

W ym ienione powyżej aspekty spraw iają, że a n a liza cieplna procesu m roże

n ia górotw oru je s t m o żliw a po p rzyję ciu pew nych założeń upraszczających oraz p rz y u życiu m etod num erycznych. Spośród ty c h m etod p rzy ro zp a tryw a n iu procesów ze zm ianą fazy najczęściej stosuje się metodę różnic skończo

nych MRS lu b metodę elem entów skończonych M ES. W pracach [1 - 13]

przedstaw iono w y n ik i a n a liz y cieplnej m rożenia górotw oru p rz y użyciu p ie r

wszej z w ym ie n io n ych m etod i po w y k o rz y s ta n iu ilo ra z u różnicowego prze

dniego. O p rzyję ciu takiego sposobu postępow ania zadecydowały następujące przesłanki:

- m etoda różnic skończonych je s t stosunkowo prosta i ła tw a do zaprogra

m ow ania, a poza ty m — w p rzyp a d ku stosowania elem entarnych bilansów energii - m a ona w y ra z is tą in te rp re ta c ję fizyczną,

- obliczenia można przeprowadzać d la g ó rotw oru złożonego z w ie lu w a rs tw o różnych w łaściw ościach fizycznych rów nież p rz y użyciu maszyn cyfrowych o re la ty w n ie m ałej pojemności i d łu g im czasie obliczeń,

- w p rzyp a d ku a n a lizy cieplnej procesu zam rażania górotw oru MRS u m o żli

w ia w p ro s ty sposób uw zględnienie u w a ru n k o w a ń zewnętrznych, np. cha

ra k te ry s ty k i m aksym alnych mocy agregatów m rożeniowych.

(3)

Zastosowanie MES do analizy cieplnej procesu. 23

MRS ma je d n a k rów nież is to tn e w ady. N ajw ażniejszą z n ic h je s t problem dokładnego określenia k s z ta łtu g ra n ic s tre fy zam rożonej. A b y u n ik n ą ć stoso

wania dużej liczb y elem entów różnicow ych, m ożna czasem uprościć zagadnie

nie przyjm ując sym etryczne u k ła d y cylin d ryczn e [10, 20 — 22]. W pewnych przypadkach powoduje to je d n a k pow stanie istotnego dodatkowego błędu obliczeniowego. E w e n tu a ln y p odział n a m niejsze elem enty różnicowe o n ie re gularnym kształcie bardzo k o m p lik u je program i w y d łu ż a czas obliczeń. Jest to szczególnie isto tn e w przyp a d ku m rożenia g ó rotw oru za pomocą pojedyn

czego kręgu r u r dość znacznie oddalonych od siebie lu b w przyp a d ku w yko rzy

stania kręgu podwójnego. Powyższe p rz e s ła n k i spowodowały opracowanie procedur obliczeniowych w yko rzystu ją cych M E S [14 - 19]. O ile uprzednio [1 - 13] zakładano iz o te rm iczn y proces zm ia n y fazy, o ty le zastosowanie MES wymagało, podobnie ja k w [23, 24], w p row adzen ia zastępczej, fik c y jn e j poje

mności cieplnej górotw oru. O dpow iednio duża pojemność ta w ystępuje w okolicy rzeczyw istej te m p e ra tu ry zm ia n y fazy [14, 17]. T a k i sposób postępo

wania u m o ż liw ił skorzystanie z klasycznych m etod obliczeniowych M ES s łu żących do w yznaczania rozkła d ó w te m p e ra tu ry w ciałach stałych dla proce

sów nieustalonych.

Opracowane i przetestow ane u przednio p ro g ra m y obliczeniowe w yko rzy

stujące M ES zaadoptowano do obliczeń zw iązanych z zam rażaniem górotw oru w przypadku w a rs tw o m alej zaw artości w ilg o c i i stosunkowo dużym współ

czynniku przew odzenia ciepła oraz d la w a rs tw , w k tó ry c h proces zam arzania przebiega w sposób powolny. W pierw szym p rzyp a d ku stosuje się pojedynczy krąg złożony z m ałej liczb y r u r dość znacznie oddalonych od siebie. W sytuacji drugiej uzasadnione byw a w y ko rzysta n ie podwójnego k rę g u r u r m rożenio- wych. P rzy p rzeprow ad zaniu obliczeń liczbow ych d la obu przypadków p rzyję

to statyczne zachowanie się w ilgoci.

2. OPIS M E T O D Y O B L IC Z E N IO W E J

Jak ju ż zaznaczono we w stępie, w pracy w yko rzysta n o klasyczną MES dostosowaną do ro zw ią zyw a n ia parabolicznego ró w n a n ia nieustalonego prze

wodzenia ciepła p rz y zm ianie fazy. O bliczenia przeprow adzano dla p o w ta rza l

nego fra g m e n tu pojedynczej w a rs tw y górotw oru, tj. d la u k ła d u przestrzennie 2-w ym iarow ego. P rzykładow e w ersje po d zia łu rozpatryw anego obszaru na elementy skończone przedstaw iono na rys. 1 d la pojedynczego oraz na rys. 2 dla podwójnego k rę g u r u r m rożeniow ych, gdy oba k rę g i zaw ierają ta k ą samą liczbę r u r n = n z.

Zm ianę w łaściw ości cieplnych g ó ro tw o ru w y n ik a ją c ą ze zm ia n y fazy w ilgoci uwzględniono przez zastosowanie m etody uśre d n ie ń całkowych. Is to ta tej metody [14 - 18] polega na specjalnym sposobie obliczania zastępczego współ

czynnika przew odzenia ciepła i zastępczej objętościowej pojemności cieplnej

(4)

Rys. 1. Przykładowy podział na elementy skończone powtarzalnego fragmentu górotworu przy zamrażaniu za pomocą pojedynczego kręgu rur

Fig. 1. Exemplary subdivision of the characteristic fragment of underground rock into fini

te elements during freezing by a single circle of freezing holes

w łaściw ej c w okolicach m iejsca p rze m ia n y fazowej. W ykorzystuje się przy ty m następujące zależności:

(5)

gdzie:

T

w (T) = w (T i) + J dT (3)

przy czym T oraz T Ł oznaczają te m p e ra tu rę bieżącą oraz w yb ra n ą te m p e ra tu rę odniesienia, h zaś je s t objętościową e n ta lp ią w łaściw ą „w ygładzoną” w otoczeniu te m p e ra tu ry T m zm ia n y fazy, ta k aby s ta ła się ona ciągłą fu n kcją tem peratury (w p ra k ty c e w ystarcza je j lin io w e „w ygładzenie” w w ą skim prze

dziale te m p e ra tu ro w ym 2e). W zo ry określające zastępcze w a rto ści k ie ru n k o wego w spółczynnika przew odzenia ciepła i objętościowej pojemności cieplnej właściwej m ają postać:

gdzie i = 1 ,..., L W oraz

Zależności te służą do w yznaczania średnich w a rto ści Z, oraz c w elementach liniowych tj. ta k ic h , w k tó ry c h fu n kcje k s z ta łtu są lin io w e lu b do określania wartości A., oraz c w p u n k ta c h Gaussa elem entów n ie lin io w ych . D okładniejszy opis zastosowanej m e to d yki przeprow ad zania obliczeń z a w a rty je s tw [14,17].

Jak ju ż w spom niano, obliczenia cieplne procesu zam rażania górotw oru realizowano w u kła d zie d w u w y m ia ro w y m p o m ijając osiowy przepływ ciepła.

W celu zm niejszenia lic z b y niezależnych p a ra m e tró w m rożenia operowano wielkościam i b ezw ym iarow ym i zd e fin io w a n ym i następująco:

1

^{3 w /d x i}

(4)

^ 5T/3xi

( 6)

(7)

k ---^ --- cn(T m - T ch) ’

( 8 )

(6)

2 6 Jan Składzień, Adam Fic

(9)

( 10 )

( 11 )

( ₁₂ )

E (13)

W p rzyp a d ku ro z p a try w a n ia procesu zam rażania górotw oru dwoma kręga

m i r u r wprow adzono dodatkow y p a ra m e tr bezw ym iarow y:

Do niezależnych p a ra m e tró w należy ponadto liczba r u r m rożeniow ych n, a p rz y zam rażaniu dwom a k rę g a m i r u r także liczba r u r w k rę g u zew nętrz

nym n z.

W p rzyp a d ku uw zg lę d n ia n ia pełnego oporu p rz e n ik a n ia ciepła przez ru rę m rożeniową, od górotw oru do chłodziwa, zam iast (10) w ystępuje in n y para

m e tr bezw ym iarow y uw zględn iający te n e fe kt [10]. W niniejszej pracy za kła da się, że is to tn ą rolę może odgrywać ty lk o opór w n ik a n ia ciepła pom iędzy ru rą m rożeniow ą i chłodziwem .

3. W Y B R A N E W Y N IK I O B L IC Z E Ń , W N IO S K I, U W A G I KO ŃCO W E P rzy użyciu opisanej powyżej w w ie lk im skrócie m etody w ykonano w ie lo w a ria n to w e obliczenia dotyczące procesu zam rażania górotw oru p rz y zasto

sow aniu jednego oraz dwóch kręgów r u r m rożeniowych. W przypadku zam ra

żania dwom a k rę g a m i r u r przyjęto początkowo, że w obu kręgach występuje ta k a sama liczba r u r n z = n rozmieszczonych w u kła d zie prom ieniow ym lub przestaw nym (rys. 2). N astępnie w ykonano także obliczenia dla różnej liczby r u r w obu kręgach ro zp a tru ją c rów nież pew ien w ycin e k górotw oru [10] tra k to w a n y ja k o fra g m e n t p o w ta rza ln y. F ra g m e n t te n zw iązany je s t z n a jm niej

(7)

Rys. 2a. Przykładowy podział na elementy skończone powtarzalnego fragmentu górotworu przy zamrażaniu za pomocą podwójnego kręgu ru r w układzie promieniowym Fig. 2a. Exemplary subdivision of the characteristic fragment of underground rock into fi

nite elements during freezing by a double circle of freezing holes in radial arrangement

(8)

28______________________________________ Jan Składzień, Adam Fic

Rys. 2b. Przykładowy podział na elementy skończone powtarzalnego fragmentu górotworu przy zamrażaniu za pomocą podwójnego kręgu ru r w układzie przestawnym Fig. 2b. Exemplary subdivision of the characteristic fragment of underground rock into fi

nite elements during freezing by a double circle of freezing holes in shifted arrangement

(9)

Zastosowanie MES do analizy cieplnej procesu... 29

korzystnym p rzyp a d kie m , tzn. dotyczy s y tu a cji, gdy o tw o ry w obu kręgach znajdują się na ty m sam ym p ro m ie n iu . Podział rozpatryw anego obszaru na elementy skończone je s t podobny ja k na rys. 2, p rz y czym obszar te n zawiera l/(2n) prze strze n i w e w n ą trz k rę g u w ew nętrznego, l/( 2 n z) przestrzeni na ze

w nątrz k rę g u zewnętrznego oraz odpow iednią część pierście n ia m iędzy kręga

mi. Zastosowana we w szystkich ro z p a try w a n y c h przypadkach te ch n ika ob li

czeniowa w y k o rz y s tu je czterowęzłowe izoparam etryczne elem enty serendipo- wskie.

Jako w a ria n t podstaw ow y p rzyjęto, opierając się na [10], następujący ze

staw ch a rakterystycznych p a ra m e tró w bezw ym iarow ych:

- liczba r u r m rożeniow ych w pojedynczym lu b w w e w n ę trzn ym kręgu n = 20, - bezwym iarowa objętościowa e n ta lp ia za m a rza n ia k = 1,5,

- stosunek przewodności cieplnej 1 = 1,25, - stosunek pojem ności cieplnej p = 0,8,

- bezw ym iarow y p ro m ie ń ze w n ę trzn y r u r m rożeniow ych r = 0,0125, - bezw ym iarow y w sp ó łczyn n ik w n ik a n ia ciepła od g ó rotw oru a = 3000, - bezwym iarowa te m p e ra tu ra początkow a g ó ro tw o ru tp = 0,667.

W przypadku zam ra ża n ia dwom a k rę g a m i r u r w w a ria n cie podstawowym uwzględnia się ponadto dw a dodatkow e p a ra m e try :

- bezwym iarowy p ro m ie ń k rę g u zewnętrznego r z = 1,33, - liczba r u r m rożeniow ych w k rę g u zew nętrznym n z = 20.

Dla w a ria n tu podstawowego zam rażania g ó ro tw o ru za pomocą pojedyncze

go kręgu r u r wyznaczono przebiegi izo te rm przedstaw ione na rys. 3 dla czterech w artości bezwym iarowego czasu Fo. Z ry s u n k u tego w y n ik a , że dość często [10] przyjm ow ane założenie o ko ło w ym przebiegu izoterm ze środkiem w osi ru ry lu b w osi k rę g u r u r może prow adzić do znaczącego błędu. B łąd ten jest szczególnie is to tn y w odniesie niu do c h w ili zam knięcia płaszcza mroże-

niowego oraz jego grubości w kró tce po ty m momencie.

W pracy [10] ro zp a tryw a n o p rz y p a d k i n > 30. Stw ierdzono, że można wówczas dla pewnego zakresu zm ienności liczb y Fo wyznaczać grubość płasz

cza mrożeniowego ja k o sumę składowej ew w ew nętrznej i ez zewnętrznej w stosunku do k rę g u r u r (rys. 4):

W zależnościach powyższych sym bole A i( Bj oraz Ci oznaczają pomocnicze stałe, lite ra „ i” zaś zastępuje in d e ksy „w ” lu b „z” . O bliczenia w ykonane w ramach niniejszej pra cy p rz y użyciu M ES dla n < 30 w ykazały, że również

e ew -ł- ez (15)

przy czym składowe te w y n ik a ją z zależności

e; = A i Fo + B; '¡Fo + Ci (16)

(10)

COo

T ab lica 1 W yn iki o b lic z e ń p o m o c n ic z y c h sta ły c h w k o r e la c ji (16)

Wariant _Ai _Bi _Ci _rxv Fo_min _Fomax Błąd, %

15 rur, podstawowy, cz. wewn. 0,2126 1,0442 -0,2400 0,079 0,219 0,256 0,256

15 rur, podstawowy, cz. zewn. -0.6489 1,4139 -0,2617 0,082 0,198 0,000 0,000

20 rur, podstawowy, cz. zewn. -1,3577 1,7285 -0,2272 0,042 0,151 0,004 0,004

15 rur, k = 0,75, cz. wewn. 1,9268 0,1378 -0,0560 0,076 0,224 0,508 0,508

15 rur, k = 0,75, cz. zewn. -1,2070 1,9251 -0,3140 0,062 0,199 0,164 0,164

15 rur, k = 3,0, cz. wewn. -1,3007 2,2160 -0,5673 0,135 0,269 0,331 0,331

15 rur, k = 3,0, cz. zewn. -1,1378 1,9061 -0,4639 0,140 0,220 0,001 0,001

15 rur, 1 = 1,0, cz. wewn. -0,0983 1,1554 -0,2893 0,102 0,222 0,091 0,091

15 rur, 1 = 1,0, cz. zewn. 1,8485 -0,4373 0,0221 0,118 0,188 0,000 0,000

15 rur, 1 = 1,5, cz. wewn. 0,2847 1,1415 -0,2415 0,067 0,223 0,472 0,472

15 rur, 1 = 1,5, cz. zewn. -1,4634 2,0846 -0,3590 0,070 0,231 0,032 0,032

15 rur, r = 0,0095, cz. wewn. -0,6084 1,6341 -0,3635 0,089 0,190 0,047 0,047

15 rur, r = 0,0095, cz. zewn. -1,0844 1,7899 -0,3587 0,095 0,216 0,001 0,001

15 rur, r = 0,0155, cz. wewn. -0,3353 1,4739 -0,3052 0,074 0,206 0,321 0,321

15 rur, r = 0,0155, cz. zewn. -1,3053 1,9275 -0,3465 0,076 0,183 0,001 0,001

15 rur, tp = 0,333, cz. wewn. -0,2253 1,5547 -0,3078 0,065 0,214 0,566 0,566

15 rur, tp = 0,333, cz. zewn. ^1,3132 4,0294 -0,6675 0,068 0,142 0,002 0,002

15 rur, tp = 1,0, cz. wewn. -0,9820 1,9646 -0,4638 0,105 0,213 0,091 0,091

15 rur, tp = 1,0, cz. zewn. -1,0712 1,7049 -0,3606 0,112 0,191 0,002 0,002

Jan Składzień, AdamFic

(11)

T ab lica 1 cd.

W yn iki o b lic z e ń p o m o c n ic z y c h sta ły c h w k o rela cji (16)

Wariant _A, _B, c, rxv F°mm Fo_max Błąd, %

25 rur, k = 0,75, cz. wewn. 1,1938 0,8044 -0,0637 0,997 0,023 0,170 0,331

25 rur, k = 0,75, cz. zewn. -0,8501 1,4436 -0,1136 0,990 0,027 0,116 0,071

25 rur, k = 3,0, cz. wewn. -0,0079 0,9746 -0,1383 0,995 0,052 0,232 0,091

25 rur, k = 3,0, cz. zewn. -0,4634 1,0634 -0,1298 0,990 0,059 0,239 0,055

25 rur, 1 = 1,0, cz. wewn. 0,1031 0,9971 -0,1246 0,996 0,041 0,145 0,024

25 rur, 1 = 1,0, cz. zewn. -0,7468 1,2419 -0,1381 0,995 0,049 0,130 0,000

25 rur, 1 = 1,5, cz. wewn. 0,6164 0,9603 -0,0891 0,996 0,026 0,162 0,150

25 rur, 1 = 1,5, cz. zewn. -0,7916 1,4043 -0,1217 0,990 0,031 0,128 0,118

25 rur, r = 0,0095, cz. wewn. 0,4893 0,8880 -0,1048 0,997 0,036 0,161 0,096

25 rur, r = 0,0095, cz. zewn. -0,5454 1,2073 -0,1257 0,991 0,043 0,170 0,085

25 rur, r = 0,0155, cz. wewn. 0,4125 0,9637 -0,0919 0,995 0,029 0,184 0,125

25 rur, r = 0,0155, cz. zewn. -0,7144 1,2962 -0,1131 0,989 0,034 0,147 0,071

25 rur, tp = 0,333, cz. wewn. 0,0469 1,2712 -0,1192 0,993 0,025 0,160 0,157

25 rur, tp = 0,333, cz. zewn. -0,5666 1,3360 -0,1075 0,992 0,028 0,114 0,003

25 rur, tp = 1,0, cz. wewn. 0,6173 0,7296 -0,0888 0,998 0,041 0,179 0,244

25 rur, tp = 1,0, cz. zewn. -1.0193 1,3605 -0,1512 0,992 0,050 0,136 0,000

u>

ZastosowanieMESdo analizy cieplnej procesu...

(12)

Rys. 3. Przykładowy przebieg izoterm przy zamrażaniu jednym kręgiem rur - wariant podstawowy

Fig. 3. Exemplary course o f isothermal lines during freezing by a single circle o f freezing holes - basic variant

(13)

Rys. 4. Powtarzalny fragment górotworu zamrażanego pojedynczym kręgiem rur Fig. 4. Characteristic fragment of underground rock during freezing by a single circle

of freezing holes

(14)

Rys. 5. Przykładowy przebieg izoterm przy zamrażaniu dwoma kręgami ru r w układzie promieniowym - w ariant podstawowy Fig. 5. E x e m p la ry course of is o th e rm a l lin es d u rin g fre e z in g by a double circle o f freezin g h o les in ra d ia l a rr a n g e m e n t - b asic

variant

Jan Składzień, AdamFic

(15)

Rys. 5 cd. Przykładowy przebieg izoterm przy zamrażaniu dwoma kręgami rur w układzie promieniowym - w ariant podstawowy

CP

Fig. 5. E x e m p la ry course of is o th e rm a l lin e s d u rin g freezin g by a double circle of freezin g holes in ra d ia l a r r a n g e m e n t - b asic v a r ia n t

ZastosowanieMESdo analizy cieplnej procesu...

(16)

w ty m p rzyp a d ku relacje (15) i (16) są z dużą dokładnością spełnione. W y n ik i ty c h obliczeń zaw arte są w ta b lic y 1, w k tó re j oprócz w artości pomocniczych sta łych podano w artości granicznych liczb F o u rie ra Fomin i Fomax, w zakresie k tó ry c h obowiązuje (16), w artość w spółczynnika ko re la cji r xy oraz m aksym al

nego błędu względnego aproksym acji (16) w w ęzłach grubości ew i ez. U w zglę

dniono 20 w a ria n tó w , p rz y czym p a ra m e try nie w ym ienione w tabl. 1 m ają ta k ie w a rto ści ja k w w a ria n cie podstawowym .

Przebiegi izo te rm d la p rzyp a d ku zam ra ża n ia górotw oru za pomocą pod

wójnego k rę g u otw orów , gdy ch a ra kte rystyczn e p a ra m e try p rz yb ie ra ją w a r

tości ja k w w a ria n c ie podstaw ow ym , przedstaw ion o na rys. 5 i 6. Rys 5.

dotyczy u k ła d u prom ieniow ego, rys. 6 zaś przestawnego u k ła d u ru r. J a k w y n ik a z rys. 5 i 6, dotyczących w yb ra n ych w a rto ści bezwym iarowego czasu m rożenia Fo, k s z ta łt iz o te rm w sąsiedztw ie r u r m rożeniow ych może być dość złożony.

W p rzyp a d ku zam rażania górotw oru za pomocą podwójnego k rę g u r u r is to tn y je s t m om ent zakończenia procesu m rożenia w ody w przestrzeni m ię

dzy krę g a m i. Jest rzeczą in tu ic y jn ie oczywistą, iż p rz y stałej sumarycznej liczbie r u r w obu kręgach n + n z czas trw a n ia procesu do tej c h w ili zależy od stosunku n /n z. A b y zbadać w p ły w tego ilo ra z u , w ykonano obliczenia, k tó ry c h re z u lta ty przedstaw iono na rys. 7. P u n k ty a dotyczą danych ja k w w ariancie podstaw ow ym , je d y n ie łączna liczba r u r m rożeniow ych n + nz = 40 została w ró żn y sposób rozdzielona na krę g i. W p rzyp a d ku b przyjęto in n ą w artość bezw ym iarow ej te m p e ra tu ry początkowej tp, w w e rs ji c zaś uległa zm ianie bezw ym iarow a e n ta lp ia zam arzania wody. Jest całkow icie oczywiste, iż w zrost każdego z tych para m e tró w w yd łu ża czas m rożenia. P u n k ty d odnoszą się do w a ru n k ó w ja k w p rzyp a d ku a, sum aryczna liczba r u r w ynosi je d n a k n + n z = 48, co powoduje w yraźne skrócenie czasu zam rażania przestrzeni m iędzy kręgam i. J a k w y n ik a z rys. 7, najkorzystniejszy, z p u n k tu w idzenia czasu zam rażania prze strze n i m iędzy krę g a m i, stosunek liczby r u r w kręgu w e w n ę trzn ym i zew nętrznym je s t m nie jszy od 1 i w ynosi ok. 0,9. Ponieważ przyjęto, że ilo ra z p ro m ie n i obu ty c h kręgów m a w artość l / r z = 0,75, zatem dla ro zp a tryw a n ych w a ria n tó w obliczeniowych proces zam arzania w ody w obsza

rze m iędzykręgow ym zachodzi najszybciej p rz y nieco w iększym zagęszczeniu r u r w krę g u w e w n ę trzn ym n iż w zew nętrznym .

J a k w y n ik a z zaprezentowanych re z u lta tó w p rzykładow ych obliczeń, zasto

sowanie m etody elem entów skończonych do a n a lizy cieplnej procesu zam raża

n ia górotw oru u m o ż liw ia w stosunkowo p ro sty sposób otrzym anie re zu lta tó w bardzo tru d n y c h do uzyskania p rzy użyciu m etod różnicowych. R e zu lta ty te mogą mieć c h a ra k te r głów nie poznawczy, ja k w p rzyp a d ku k s z ta łtu izoterm , ale rów nież p ra ktyczn y. D otyczy to np. w zorów służących do określania grubo

ści płaszcza mrożeniowego p rz y zam rażaniu pojedynczym kręgiem r u r lub problem u rozd zia łu r u r n a k rę g i p rz y m ro że n iu za pomocą dwóch kręgów.

(17)

Rys. 6. Przykładowy przebieg izoterm przy zamrażaniu dwoma kręgami ru r w układzie przestawnym - w ariant podstawowy Fig. 6. E x e m p la ry co u rse o f is o th e r m a l lin e s d u rin g fre e z in g by a d ouble circle of fre e z in g h o les in sh ifte d a r r a n g e m e n t - basic

v a r i a n t

GO-0

ZastosowanieMESdoanalizy cieplnej procesu...

(18)

Fo - 0 , 0 9 6

co

OD

-4.0

0.6 OH ^0,2 0.0 | -

0

Ą-oi\O

,6

~ f

F o = 0,05

Rys. 6 cd. Przykładowy przebieg izoterm przy zamrażaniu dwoma kręgami Fig. 6. Exemplary course of isothermal lines during freezing by a double ci

variant

ru r w układzie przestawnym - w ariant podstawowy circle of freezing holes in shifted arrangem ent - basic

Jan Składzieri,AdamFic

(19)

o E

n / n x

Rys. 7. Zależność liczby Fouriera Fomk odpowiadającej chwili zamrożenia przestrzeni mię

dzy kręgami od stosunku n/nz liczb ru r w kręgu wewnętrznym i zewnętrznym: a) wariant podstawowy przy n + n z = 40, b) t p = 1,0, c) k = 2,0, d) n + nz = 48

Fig. 7. Dependence between Fourier num ber Fomk for the end of freezing of the space between freezing pipe circles and the ratio n/nz of numbers of pipes in the inner and outer

circle: a) basic variant, n + nz = 40, b) t p = 1,0, c) k = 2,0, d) n + nz = 48

O Z N A C Z E N IA

a - w sp ó łczyn n ik w y ró w n y w a n ia te m p e ra tu ry , c - objętościowa pojemność cieplna w łaściw a,

E, e - rzeczyw ista i bezw ym iarow a grubość płaszcza mrożeniowego, Fo — liczba F o u rie ra ,

h - objętościowa e n ta lp ia w łaściw a,

(20)

k - bezw ym iarow a e n ta lp ia zam arzania,

1 - stosunek przewodności cieplnej g ó rotw oru zamrożonego i niezam - rożonego,

n, n z - liczba r u r m rożeniow ych w pojedynczym lu b w ew nętrznym kręgu oraz liczba r u r m rożeniow ych w k rę g u zew nętrznym ,

L W - liczba w y m ia ró w zagadnienia,

p - stosunek objętościow ej pojem ności ciep ln e j w ła ściw e j górotw oru zamrożonego i niezamrożonego,

r - bezw ym iarow y p ro m ie ń zew n ę trzn y r u r mrożeniowych, r 0 - rzeczyw isty pro m ie ń zew nętrzny r u r m rożeniowych,

R0 - prom ień k rę g u r u r mrożeniowych (w ew nętrzny przy mrożeniu dwo

m a kręgam i),

Rz, r z - rzeczyw isty i bezw ym iarow y pro m ie ń k rę g u zewnętrznego, T,Tj - te m p e ra tu ra a k tu a ln a i w yb ra n a te m p e ra tu ra odniesienia, T m ,Tch - te m p e ra tu ra zm ia n y fazy i te m p e ra tu ra chłodziwa,

T p, t p - rzeczyw ista i bezw ym iarow a te m p e ra tu ra początkowa górotworu, t - te m p e ra tu ra bezw ym iarow a,

x - w spółrzędna przestrzenna,

a, a* - zastępczy i bezwym iarowy w spółczynnik w n ik a n ia (przenikania) cie

p ła od zew nętrznej pow ierzchni r u r m rożeniowych, A. - w spółczynnik przew odzenia ciepła,

x - czas,

)n,)z -dotyczy sta n u niezamrożonego i zamrożonego, )m -dotyczy zm ia n y fazy.

L IT E R A T U R A

[1] S kładzień J.: Zastosowanie m etody różnicowej do a n a lizy cieplnej proce

su zam rażania górotw oru, R eferaty S ym pozjum W ym ia n y Ciepła i M a sy, W arszaw a - Jabłonn a 1976.

[2] C ierpka W ., S kładzień J.: Prognozowanie procesu zam rażania górotw oru do dużych głębokości za pomocą m etod num erycznych - różnicowych, R eferaty K o n fe re n cji „G łębokie m rożenie górotw oru p rz y głębien iu szy

bów” , Częstochowa 1976.

[3] S kładzień J.: Zastosowanie m etody różnicowej do a n a lizy cieplnej proce

su zam rażania górotw oru za pomocą podwójnego kręgu otworów, Zeszy

ty N aukow e Pol. Śl., E n e rg e tyka z. 63, G liw ice 1978.

[4] S kładzień J.: A n a liz a procesu zam rażania górotw oru podw ójnym k rę giem otw orów m rożeniow ych, R eferaty X Zjazdu T erm odynam ików , W rocław 1978.

[5] S kładzień J.: A n a liz a cieplna procesu zam rażania górotw oru p rz y pomo

cy m etody różnicowej, A rc h iw u m T e rm o d yn a m iki i S palania 1, 1978.

(21)

[6] Składzień J.: B ezw ym iarow a a n a liza cieplna procesu zam rażania góro

tw o ru , Zeszyty N aukow e Pol. Śl., E n e rg e tyka z. 67, G liw ice 1978.

[7] S kładzień J.: Z am rażanie g ó ro tw o ru p rz y ograniczonej mocy agregatów m rożeniowych, Zeszyty N aukow e Pol. Śl., E n e rg e tyka z. 71, G liw ice 1979.

[8] Składzień J.: The a p p lica tio n o f th e difference equations in th e rm a l analysis o f rock-freezing, re fe ra t w ygłoszony n a k o n fe re n cji “N u m e rica l M ethods in T h e rm a l Problem s” , Swansea 1979.

[9] S kładzień J.: M e to d yka o kre śla n ia o p tym a ln ych p a ra m e tró w m rożenia górotw oru, M a te ria ły Zjazdowe X I Zjazdu T erm odynam ików , Szczecin - Świnoujście 1981.

[10] Składzień J.: A n a liz a cieplna i ekonom iczna m rożenia górotw oru, Zeszy

ty N aukow e Pol. Śl., E n e rg e tyka z. 78 (m onografia), G liw ice 1981.

[11] Składzień J.: Dobór mocy zespołu agregatów do głębokiego zam rażania górotw oru, M a te ria ły K o n fe re n cji N aukow o-T ech nicznej „K o m p u te ry w P ro je kto w a n iu i E ksp lo a ta cji U rządzeń C hłodniczych i K lim a ty z a c y j

nych” , X V I I I D n i C hłodnictw a , Poznań 1984.

[12] Składzień J.: A n a liz a cieplna m rożenia g órotw oru, B udow nictw o W ęglo

we - P ro je k ty - P roblem y 5, 1984.

[13] Składzień J.: B ezw ym iarow a a n a liza cieplna m rożenia górotw oru je d nym krę g ie m r u r, B udow nictw o W ęglowe - P ro je k ty - P roblem y 2, 1987.

[14] Fic A.: B łędy m odelow ania cieplnego efe ktu zm ia n y fazy p rz y stosowa

n iu m etody uśrednień całkow ych do ro zw ią zyw a n ia zagadnień Stefana, Zbiór R eferatów X X V I Sym pozjonu „M odelow an ie w M echanice” , G liw ice - W is ła 1987.

[15] Fic A., S kładzień J.: O bliczanie zam ra ża n ia g ó rotw oru p rz y w yko rzysta n iu m etody uśre d n ie ń całkow ych, Z b ió r R eferatów X X V III Sympozjonu

„M odelow anie w M echanice” , G liw ice - W is ła 1989.

[16] Fic A., S kładzień J.: A n a liz a num eryczna zam rażania górotw oru przy stosowaniu różnych u k ła d ó w r u r m rożeniow ych, R e feraty V I I Sympo

zjum W y m ia n y C iepła i M asy, W arszaw a - J a d w is in 1989.

[17] Fic A.: W ybrane aspekty stosow ania m etody uśrednień całkowych do ro zw iązyw ania zagadnień Stefana, Zeszyty N aukow e Pol. Śl., E nergety

ka z. 107, G liw ice 1989.

[18] Fic A., S kładzień J.: W p ły w u k ła d u r u r na przebieg zam rażania górotwo

ru podw ójnym kręgiem , M a te ria ły K onferen cyjne X IV Zjazdu Term ody

nam ików , K ra k ó w 1990.

[19] Fic A., S kładzień J.: Koncepcja obliczeń zam rażania górotw oru z uw z

ględnieniem ru c h u wód podziem nych, R e fe ra ty V I I I Sym pozjum W ym ia ny C iepła i M asy, B iałow ieża 1992.

(22)

[20] M a lk ie w ic z T., M ikoś M .: N um eryczne rozw iązanie jednow ym iarow ego zagadnienia m rożenia g ru n tu we w spółrzędnych cylindrycznych, M a te r ia ły IX Zjazdu T erm odynam ików , Rzeszów - P olańczyk 1975.

[21] Bucewicz A., K a lin o w s k i E.: A n a liz a porównawcza zam rażania g ru n tó w w ilg o tn y c h c z yn n ika m i chłodniczym i i krio g e n iczn ym i, M a te ria ły Konfe

rencyjne X Zjazdu T erm odynam ików , W rocław 1978.

[22] Bucewicz A., Lange G.: O p tym a liza cja rozm ieszczenia r u r m rożeniowych p rz y za m ra ża n iu szybów, M a te ria ły K onferencyjne X Zjazdu Term ody

n a m ikó w , W rocław 1978.

[23] K a lin o w s k i E., K u d e la H ., Lange G.: M etoda rozw iązania zagadnienia m rożenia górotw oru za pomocą dwóch rzędów r u r m rożeniowych, M ate

r ia ły K onferencyjne X I Zjazdu Term odynam ików , Szczecin - Ś w inoujście 1981.

[24] Lange G.: A n a liz a propagacji czoła mrożonego g ru n tu zawodnionego, p rz y stosow aniu s o la n k i i cieczy kriogenicznych w podw ójnym kręgu r u r m rożeniow ych u staw ionych przestaw nie, praca doktorska, P o lite ch n ika W rocław ska, In s ty tu t T e c h n ik i C ieplnej i M e c h a n ik i Płynów, W rocław 1982.

Recenzent: D r inż. A n to n i G uzik W płynęło do Redakcji: 20. 07. 1994 r.

A b stract

The unde rg ro u n d rock freezing process analysis is a ve ry com plicated p roblem m a in ly because o f unsteady 3-dim ensional th e rm a l field, in n e r nega

tiv e h e a t sources h a v in g a fo rm o f freezing pipes, v a ria b le he a t properties of u n d e rg ro u n d rock, phase change effect and com plicated shape o f th e frozen area s itu a te d in in fin ite space. T hen th e u n d e rg ro u n d rock freezing process analysis is possible o n ly a fte r a p p lica tio n some s im p lify in g assum ptions and u sin g n u m e ric a l m ethods o f te m p e ra tu re fie ld calculations. In the m onograph [10] th e fin ite difference equations (F D E ) o f e le m e n ta ry heat balance w ith the fo rw a rd difference a p p ro xim a tio n were used and m u ltiv a ria n t calculations fo r single and double circle o f freezing holes were perform ed. The FD E m ethod cannot be used u n fo rtu n a te ly w hen th e distance between th e freezing tubes is re la tiv e ly large. So th e re was elaborated th e n u m e ric a l code u sing th e fin ite elem ent m ethod (F E M ) and th e a p p lica tio n o f th e in te g ra l averaging m ethod fo r ta k in g in to account th e la te n t h e a t [1418], The code m entioned above was used in th e paper fo r th e underg ro u n d rock freezing process analysis in a

(23)

single la y e r and w hen th e te m p e ra tu re o f cooling agent inside the freezing pipes is constant. The dim ensionless param eters and variables (6)(14) were used. E x e m p la ry subdivision o f th e c h a ra cte ristic fra g m e n t o f underground rock in to fin ite elem ents d u rin g freezing by a single and double circle of freezing holes are presented in Fig. 1 and 2. In Fig. 3, 5 and 6 th e exem plary course o f is o th e rm a l lin e s d u rin g fre e zin g b y a single and double circle of freezing holes in ra d ia l and in s h ifte d a rra n g e m e n t are shown. The same as in

[10] the d ig ita l re su lts obtained fo r one circle o f fre e zin g holes proved th a t the correlation (16) m ay be used. The a u x ilia ry constants A;, B, and C, were calculated fo r 20 v a ria n ts and th e y are given in T abl. 1. F o r th e freezing process w ith tw o circles o f freezing pipes th e re w ere perform ed th e a d d itio n a l exem plary calculation s fo r d iffe re n t re la tio n s betw een num bers o f holes in the inner and o u te r circle. The re s u lts in fo rm o f F o u rie r n u m b e r Fo fo r the tim e when th e re is th e end o f fre e zin g o f th e space between th e freezing pipe circles are presented in Fig. 7. The re s u lts have m a in ly cognitive character b u t th e y may be also o f p ra c tic a l im portance.