Poziome deformacje górotworu przy eksploatacji górniczej

2E3ZYTT NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : GÓRNICTWO z . 44

________ 1970 Nr k o l . 292

BERNARD DRZĘŹLA

POZIOME DEFORMACJE GÓROTWORU PRZI EKSPLOATACJI GÓRNICZEJ

S t r e s z c z e n i e : W o p a ro lu o różnlozkowy wgór t e o r i i T. Koohmańslclego na p r z e s u n l ę o l e poelo n e punktu w k ie r u n k u e le m e n ta r n e j wybranej p r e e a t r g e n l wyprowa- dgono wzory na p r s e s u n i ę o l e poziome, o d k s z t a ł o e d l e właśolwe p o a l o a e , o b r ó t poziomego e l e n e n t u li n i o w e ­ go o ra g krzywiznę poziomą przy e k a p l o a t a o j l a k s z t a ł o l e p r o s t o k ą t a . P onadto w o p a r o iu o wzory z a - o z e r p n l ę t e z l i t e r a t u r y o r a z wyprowadzone oześclowo p r z e z a u t o r a podano sposób o k r e ś l e n i a w l e l k o ś o l tyob d e f o r a a o j l w dowolnym k i e r u n k u .

1 . Watep

W o p a ro iu o metodę a u t o r a zaprezentow aną w praoy [6 ] 1 ró in lo zk o w y wzór t e o r i i p r o f . Koohnaóeklego [ 2 ] na p r z e s u n l ę o l e p o z lo a e punktu w k i e r u n ­ ku e l e m e n ta r n e j wybranej p r z e s t r z e n i , z o s t a n ą a a r t y k u l e wyprowadzone wzo­

r y na p r z e s u n i ę c i a poziome, o d k a z t a l o e n l a w laśolw e poziome, o b r ó t p o z io ­ mego elem entu lin io w e g o 1 krzywiznę poziomą przy e k a p l o a t a o j l w k s z t a ł - o l e p r o s t o k ą t a . Wzory szozególowe według t e o r i i T . Koohmaósklego będą po­

przed zo n e wzorami ogólnymi o k r e ś l a j ą c y m i w l e l k o ś o l ty c h d e f o r m a c ji o do­

wolnym k ie r u n k u o r a z pewne o h a r a k t e r y s t y o z n e k i e r u n k i poszozególnyoh de­

f o r m a c j i . Wzory ogólne z o s t a ł y z a c z erp n ię te z l i t e r a t u r y o r a z ozęśolowo wy­

prowadzone p r z e z a u t o r a .

Wzory szozegółowe d o ty o z ą e k a p l o a t a o j l pokładu poziomego.

2 . P r z e s u n l e o l a poziome 2 . 1 . Wzory oaó ln e

Niech b ę d z ie zadany poziomy u k ła d w spółrzędnyoh p r o s t o k ą t n y c h ( x ,y ) o r a z n le o h u ( x , y ) 1 v ( x , y ) będą składowymi p r z e m ie s z c z e n ia punktu ( x , y ) w k ie r u n k u o a l x 1 y . Wtedy p r z e s u n l ę o i e o a łk o w ite t e g o punktu w y n i e s i e :

U ( x , y ) - ^ | u 2 ( x , y ) + x ^ ( x , y ) ( 2 . 1 ) a Jego k ie r u n e k znajdziem y z r ó w n a n ia :

(2.2)

26 Bernard D rzęślą g d z ie

^ - k ą t między o s i ą x , a kierunkiem p r z e s u n l ę o l a p unktu.

Składowe p r z e s u n i ę c i a w k ie ru n k u o a l układu ( § ,1? ) obróconego w i g l ę - dem układu ( x , y ) o k ą t oS wyrażą s i ę wzorami:

Bodzinę l i n i i wektorowych przem ieszczeń poziomych punktów płaszozyzny ( x , y ) o k re ślim y równaniem różniczkowym (na podstaw ie 2 . 2 ) :

L i n i a wektorowa przem ieszo zeń poziomych b ę d z ie łą c z y ć punkty przesuwa­

ją c e s i ę s t y c z n i e do t e j l i n i i .

A n a lo g ic z n ie można o k r e ś l i ć r o d z i n ę l i n i i przem ieszozeń zerowych, oży­

l i l i n i i łą c z ą cy c h punkty p rzesuw ająoe s i ę p r o s t o p a d l e do ty c h l i n i i :

Obie ro d z in y l i n i i utw orzą na p ł a s z o z y ż n le o r t o g o n a ln ą s i a t k ę krzywyoh Podane wyżej wzory o k re ś lo n o z z a l e ż n o ś c i geom etrycznych.

2 . 2 . Wzory szczegółowe

Elementarne p r z e m ie s z o ze n le poziome punktu w kierunku wyeksploatowanej pow lerzo h o l dP wynosi [2 j s

g d z i e :

r - pozioma o d l e g ł o ś ć rozpatryw anego punktu od wybranej pow ierzch n i dP z - współrzędna pionowa o k r e ś l a j ą c a o d le g ło ś ć danego punktu w górotwo­

r z e od pokładu

ug * u o o s rt + v since

u^ « - u sincS + v oosci ( 2 . 3 )

( 2 . 4 )

V

( 2 . 5 )

a - współczynnik z a le ż n y od sposobu kiero w an ia stropem , g - grubość p o k ła d u ,

* 0 > b - p aram etry t e o r i i .

Poziome def or macj e g ó r o t w o r u . . 27 Elem entarne p rz e m ie s z c z e n ia w k ie ru n k u o s i układu współrzędnych ( x , y ) w y n io są :

* » - - « * • «

*» - - M r ■ •* » « •

g d z i e :

u - składowa p rz e m ie s z o z e n la w k ie ru n k u o s i x y - składowa p r z e m ie s z c z e n ia w k ie ru n k u o s i y

6 - k ą t Dlędzy o s i ą x , a kierunkiem łączącym dany punkt z e le m e n ta rn ą p o w ie rz c h n ią dP

Obieramy na p ł a s z c z y ź n i e p r o s t o k ą t n y uk ład współrzędnyoh ( x , y ) o ś r o d ­ ku w punkcie A 1 o s ia c h ró w n o leg ły ch do p r o s t o k ą t a e k s p l o a t a c j i ( r y s . 1 ) . W punkcie B o współrzędnych ( x , y ) umiejscawiamy p o o zątek nowego u - k ła d u współrzędnych ( s , t > rów nież o o s i a c h ró w n o leg ły ch do p r o s t o k ą t a e k s p l o a t a c j i .

Z a k ł a d a j ą o , że punkt o współrzędnych ( s , t ) w u k ł a d z i e w spółrzędnyoh ( s y t ) j e s t zaw arty w dP, t o d l a punktu B samy:

28 Bernard Drzęźla

s i n d » t i s 2 + t 2 S tą d składowe p r z e m ie s z c z e n ia punktu B wyniosą

d f ( 1 a2+ t 2 . z ) Oz

(

.

)

l - x n-y

r

k-x t - j

\

Wzory ( 2 . 6 ) o k r e ś l a j ą składowe p rz e m ie s z c z e n ia « punkole bieżącym (x ,y ) sta n o w ią wlęo rów nania przem ieszczeń poziomych.

F o le p rz e m le sz o ze ń poziomych, j e s t według omawianej t e o r i i , polem p o - te n o ja ln y m [ 1 , 4 ] , o z y I I i s t n i e j e f u n k c ja s k a l a r n a $ ( x , j ) zwana p o t e n - o ją łe m p o la t a k a , że

I s t n i e n i e f u n k o j l $ o w ła sn o śo la o h j a k wyżej wynika z f a k t u , że

B e z p o śre d n i dowód równośol ( 2 . 7 ) , dośó p r o s t y z r e s z t ą , pominiemy. Szkio dowodu p o ś re d n ie g o podamy przy wzoraob na krzywizny poziome. Równość ( 2 .7 ) wyniknie poza tym w oczy w isty sposób przy wzorsch d l a e k s p l o a t a c j i w k s z t a ł c i e wyolnka kołowego przy ozym, w związku z su p e rp o z y c ją wpływów, można j ą b ę d z ie u o g ó l n i ć na dowolny k s z t a ł t e k s p l o a t a o j l .

Wzory d l a e k s p l o a t a o j l w k s z t a ł c i e wycinka kołowego będą tematem odręb­

nego o p raco w an ia.

Wzory podane w p unkcie 2.1 w y stę p u ją w t e o r i i p o la sk a la rn e g o [ 4 ] , a - l e są oozywlśole rć w n le ż ważne w przypadku n ie p o t e n c j a l n y c h c z y l i wirowych p ó l p rz e m le s z o z e ń .

Poziome defor.^ao j e g ó r o t w o r u . . 29 3 . O d k s z t a ł c e n i a poziome

3 . 1 . Wzory ogólne

W leikośol o d k s z t a ł c e n i a poziomego w kieru n k u obu o s i wyniosą:

( 3 . 1 )

g d z i e :

6 , 8 - o d k s z t a ł c e n i a l i n i o i t e w k ie ru n k u o s i x i yX /

fxy - o d k s z t a ł c e n i e p o stacio w e odpowiadające układowi współrzędnyoh

< x , y ) .

W leikośol o d k s z t a ł c e n i a w k ie ru n k u o s i układu ( § » i ? ) obróconego względem układu ( x , y ) o k ą t oC znajdziemy z równań:

k o r z y s t a j ą c ze wzorów ( 2 . 3 ) o r a z ze wzorów na zamianę w spółrzędnyoh:

x *

S

( 3 . 2 ) j - § sino? + ri oosoc .

Otrzymamy

g§ - gx o o s a oc + s in c i ooscC + 8 y s i n 2cC

8 ^ - 8X s l n 2ec - s i n c t o o s t f + 8f oos^ct

“ <8j - 8X' 8ln 2 t* + ^ l y 008 2oC *

( 3 . 3 )

30 Bernard Dr gę ¿la

K ie r u n k i o d k s z t a ł c e ń e k s tre m a ln y c h , e s y 11 t e n . k i e r u n k i główne od­

k s z t a ł c e ń ok reślim y e ró w n a n ia : dSh m ‘ ° * S t ą d :

t g 2% > i 3 -*>

g d z i e :

% - k ą t między o s i ą z , a kierunkiem głównym .

Równanlie ( 3 . 4 ) o k r e ś l a dna o rto g o n a ln e k i e r u n k i główne (poea przypad­

k iem , gdy każdy k ie r u n e k J e s t główny o e y l l , gdy 6X « 6y 1 - 0 ) , w zdłuż k tó r y o h w y stą p i n a jm n ie js z e i na jw ię k sz e o d k s z t a ł c e n i e (oo do w a r-

t o ś o i w z g l ę d n e j ).

Warto zauważyć, że równanie ( 3 . 4 ) można rów nież otrzymać p o d sta w ia ją «

^ « 0 , z czego wnioskujemy, że w k ieru n k ao h głównych n ie w ystępuje od­

k s z t a ł c e n i e p o s ta c io w e .

W lelkośoi o d k s z ta ło e ń głównych będziemy o b l i c z a ć ze wzoru:

e fl,2 “ 2 <£x + Sy* “ I " 6y )2 + ? i y . ( 3 . 5 ) P o d s ta w ia ją ^ we wzorze ( 3 . 4 )

tg<ig *

otrzymamy rów nable różniczkowe l i n i i o d k s z t a ł c e ń głównych, o z y l l l i n i i p o s ia d a ją o y o h w każdym swym punkcie k ie ru n e k główny:

. i i 2 dy

' & > - l i - ' - ” -

Równania ( 3 . 6 ) o k r e ś l a o r t o g o n a ln ą s i a t k ę l l a l l o d k s z ta ło e ń głównyoh.

Z k o l e i z rów nania

8g - 0

otrzymamy ró w n a n ią różniczkow e l i n i i o d k s z t a ł o e ń zerowych:

f i j i z j y ) ( | Ł ) ♦ <Jxy( x », ) * M + &x i x , y * m ° ' ( 3 *7 )

PoElone deforaaoje górotworu». 31 Bówoanle ( 3 . 7 ) w p r z e c i w i e ń s t w i e do ( 3 . 6 ) Boże n i e » l e ć r o z w ią z a ń . Za­

i s t n i e j « t o w tedy, gdy

W rów nania ( 3 . 7 ) u s t ą p i o n o ta n g e n s k ą t a Błędny o s i ą x , a k i e r u n k i « » serowego o d k s z t a ł c e n i a p z s e e poohodną . Może wlęo ono ró w n ież s łu ż y ć do snajdyw anla te g o k i e r u n k u .

W punkole następny® z o s t a n ą j e s z c z e onówiooe pewne B agadnleoia z w lą z a - ne b o d k s z t a ł c e n i e » p o sta o lo w y » , ponieważ t e n wskaźnik d e f o r a a o j l ś o i ś l e w iąże s i ę b w i e l k o ś c i ą o b r o tu p o ziosego elew eotu li n i o w e g o .

2 . 2 . Wzory asozegółowe

O d k s z t a ł c e n i a b ę d a ie a y obllOEaó w punkole b ie ż ą c y » ( x , y ) d l a ewentu­

a ln e g o w y k o rz y sta n ia wyprowadzonych wzorów w rów naniach różniczkowych ( 3 . 6 ) 1 ( 3 . 7 ) .

O bliosany w lęo :

t x y ~ * * x S y < °

I

AL

6x (x ,y > « ) .

( k - x ) 2+ t 2 k-x

B-y

m J . - » a i n l A - i — i l 2 . . ) J _

cFI

( 3 . 8 )

■z

32 Bernard Drzęźla

Q v j * i Z l

Ox ( k - x ) * + t 2

t

( l - x ) 2+ t 2 t

W c o d z ie n n e j p r a k t y c e o b llo z e n lo w e j wymagana j e s t t y l k o znajomość w i e l ­ k o ś c i o d k s z t a ł c e ń . W takim przypadku podstawiamy we wzorach ( 3 . 8 ) x»y«0, a sa k , 1 , m, n przyjmujemy o d l e g ł o ś c i pozione ro zpatryw anego punktu gó­

ro tw o ru od odpowlednloh boków p r o s t o k ą t a e k s p l o a t a c j i .

W związku z ró w n o śo lą ( 2 . 7 ) u p ro s z o z e n lu u le g a o b l l o z a n l e s d k s z t a ł c e — n la postaciow ego Mamy miaoowloie:

%. Obrót poziomego elementu lin io w eg o

P r z y b liż o n e w i e l k o ś c i kątów o b r o tu elementów lin io w y c h rów noległyoh do o s i układu wspćłrzędnyoh ( x , y ) o b l i c z a s i ę n a s tę p u ją c o [ 1 , 5 ] :

Dla dowolnego układu współrzędnyoh ( & , v ) b ę d z ie a n a l o g i o z n l e :

J e ś l i u k ła d (fc,ij) b ę d z i e , j a k p o p r z e d n io , obróoony względem układu i x , y ) o k ą t dt, , t o w o p a ro lu o wzory ( 2 . 3 ) i ( 3 . 2 ) otrzymamy wzory t r a n s ­ form acyjne na o b ro ty elementów lin io w y c h rów noległyoh do o s i układu

( 3 . 9 )

( 4 . 1 )

X* - ~ _g (8_ - 6») slncC eescC + X, oos2cC + X_ sin2«*_{x y x y}

n 2

X^« (6X — 8 y ) s l n o t c o s r t + N^ s i n * « + oos c£.

( 4 . 2 )

Pozlone d e f o r z a o j e g ó r o t w o r u » .. 33 K ie r u n k i e k a t r e z a l n y o h obrotów 1 o d k s z ta ło e ń postaolowyoh z n a j d s i a a y z ró w n a n ia :

Po k i licu p r z e k s z t a ł o e n i a o h o t rz y n a z y ( [5] - s t r . 41 ów. 2 ) :

u - 3 ) g d z i e :

<P^- k ą t z ię d z y o s i ą z , a k i e r u n k i « « e k stre m a ln e g o o b r o tu i o d k s z t a ł - o e u i a p o s ta c io w e g o .

Wzór ( 4 . 3 ) o k r e ś l a (poza p r z y p a d k l e z , gdy każdy k ie r u n e k j e s t k l e r u n - kiew główny z , 00 zach o d zi u p . nad ś r o d k l e z kołowego f i l a r u ) dwa p r o s t o ­ p a d ł e k i e r u n k i obrotów e k s t r e n a l n y o h . N ie tru d n o zauważyć, że je d e n z tyoh kierunków stan o w i dwusleozną k ą t a zię d z y k i e r u n k a z l o d k s z ta ło e ń głównych (wzór 3 . 4 ) . Dla układu o s i obróconyoh o k ą t 49° względem kierunków g łó w - nyoh za c h o d z i z r e t z t ą n a k s lz u n o d k s z t a ł o e n l a p o sta o lo w e g o .

N a t o n i a s t w k le ru n k a o h głównych o d k s z t a ł o e n l o postaolow e n i e w y stęp u je t j . wynosi z e r o . Gdy p o le p r s e z i e s e o e e ń j e s t p o i s z p o t e n o j a l n y n , t o w k le r u n k a o h główoyoh n i e w y s tę p u ją ró w n ież o b r o t y . S t ą d wzór ( 3 . 4 ) o k r o ś l a k i e r u n k i w k tó r y o h o d k s z t a ł o e n l a p o s ta o lo w e , a w p o lu p o t e n o j a l n y n rów­

n i e ż o b r o t y , wynoszą z e r o . Z k o l e i rów nanie ( 3 . 6 ) j e s t rów nanlen r ó ż n l o z - kosyn krzywych n ająo y o h w każdyz swyn punkcie k i e r u n o k , w k t ó r y ż występu­

j ą serowe w a r t o ś c i o d k s z t a ł o e n l a p o s ta o lo w e g o , a w p o lu p o t e n o j a l n y n 1 o b r o t u .

Ponieważ według o aaw lanej t e o r i i p o le p rz e m ie s z c z e ń pozlonyoh j e s t w łaś­

n i e p o l e ź p o t e n o j a l n y n , p o ż l o l e z y więc o g ó l n i e j s z e ro z w a ż a n ia w t y z z a k r e ­ s i e o g r a n ia zaJąo s i ę do wypowledzlanyoh wyżej tw i e r d z e ń dotyoząoyoh w ł a s - n o ś o i o b r o tu p o s lo z e g o e l e z e n t u lin io w e g o w p o lu p o t e n o j a l n y z .

J e ś l i we wzorze ( 4 . 3 ) podstaw lny

" &

t o o trz y n a n y rów nanie różnlozkow e kraywyoh, wzdłuż k tó ry o h w każdyz l e h p u n k cie zachodzą e k s t r e n a l n e o b r o ty 1 o d k s z t a ł o e n l a postaolow e

{i £ ) 2 " fx “ 1 ■ °* U *4)

Krzywe o p is a n e ró w n an len ( 4 . 4 ) będą w każdyz punkole s ta n o w ić dwusleoz- ne kątów a lę d z y l l n l a z l o d k s z t a ł o e ń głównyoh ( 3 . 6 ) .

34 Barnard P r z ę ś l . Ra p o d sta w ia wzorów ( 4 . 2 ) 1 ( 4 . 3 ) o b lic z a n y w le lk o ś o l obrotów e k s t r e ­ malnych (po d o b ała j a k w [1] - o s . I I a t r . 131):

XM,a * \ (*x + V * \ “ V * + i U . 5 )

gd łla i

^>K» 3-n - n a jw ięk sza 1 n a j a n l e j s s a (oo do w a rto ó o l w z g lę d n e j) w ie lk o ść o b r o tu e l e a a a t u H alo w eg o w danyn p u n k c ie .

I n t e r e s u j ą o e 1 j a k s i ę w ydaje, udyteozne o p r a k ty o e byłoby o k r e ś l a n i a z a l a n y k ą t a nlęd zy dwooa dowolnym k l e r u a k a a l . Odpowiednia wzory podana s ą j e d n a k w l i t e r a t u r z e [ 3 ] , a poza ty n łatwo t ę z a la o ę k ą t a o b llo z y ć na p o d s ta w ie wzorów ( 4 . 2 ) .

Dla p o t e n o j a l n a g o p o la p rz e a le a z o z e ń podana wydaj wzory u l e g a j ą zn ao z- nenu u p r o s z o z a a l u . Blorąo pod uwagę równość ( 2 . 7 ) o r a z wzory ( 4 . 1 ) o t r z y - n u je n y :

\ m “ N “ § * * 8 y U *1 a)

^ “ 7 “ ®y) aln 2o? ♦ 008 (4.2a)

hUtB - i ^ ( 8 , - 8y )2 ♦ t 2 v . (4 .5 .)

Wzór ( 4 . 5 a ) o k r e ś l a z a r a z e a połowę a k s t r e a a l n y o h w l e l k o ś o l o d k e z t a ł o e - n l a postaolow ego w danys punkela (w dowolnya polu p r e e m le s s o z e ń ).

Wzorów szozegółowyoh t u t a j n i e p r z y ta o s a n y ponieważ w s z y s tk ie w y s tą p i­

ł y j u d w pun k cie 3 . 2 .

5 . Krzywizny poziome 5 . 1 . Wzory ogólna

W wyniku ruohów górotw oru każdy punkt u le g a r ó ż n e j w i e l k o ś c i 1 k i e r u n ­ ku p r z e s u n i ę ć l o s . D lateg o l i n i a pozlona p i e r w o t n i e p r o s t a p r z e j d z i e w pew­

ną krzywą p r z e s t r z e n n ą . Krzywiznę r z u t u pozlonego t a k i e j krzywej nazwiemy k rz y w iz n ą poziomą. Krzywizna p o z lo n a j e s t wlęo w y n ik łe ś pozlomyoh ruohów punktów g ó ro tw o ru .

P unkt ( x , y , z ) górotw oru z n i e n l swe w spółrzędne poziome na (X,X). Nowe w spółrzędne poziome punktu są o k r e ś lo n e wzorami:

X ( x , y ) - x + u i x , y ) X ( x , y ) * y + r ( x , y ) .

( 5 . 1 )

Poziome deform aoje g ó r o t w o r u .. 35 Dostosowująo znany z g e o m e t r i i różn iczk o w ej wzór aa krzywiznę krzywej p ł a s k i e j o k r e ś l o n e j równaniami parametrycznymi do równań (5*1)« otrzym a­

my n a s t ę p u j ą c y wzór na krzywiznę poziomą w k ie ru n k u równoległym do o s i x :

a x d 2Y d 2X a r k_X

. 9 x 3 * /&x

Ponieważ w yrażenie

9Y . a x

57 : 57

oznaoza n a o h y le n le rozpatryw anyoh krzywych do o s i x , k t ó r e j e a t w l e l k o ś - o l ą m ałą, więc je g o kwadrat możemy p o o la ą ó , p o p e ł n i a j ą c n i e w i e l k i b ł ą d .

P o z o s t a ł e w yrażenia wzoru rozwijamy o trz y m u ją c :

» ♦ B h

W dalszym o lą g u pomijamy l l o o z y n poohodnyoh w l l o z n l k u , ja k o w ie lk o ś ć małą wyższego r z ę d u . Many w lęo :

Ą

kx - ---- ^2 ---? . ( 5 . 2 )

(1 + £x )

Na o g ó ł b ę d z i e można ró w n ież przyjmować mianownik równy j e d n o ś o l , oo n p . p r z y o d k s z t a ł o e n l u Gx m 10 7.0 spowoduje b ł ą d o b l l o z e n i a s wysokośol o k . 2*.

k - ¿ ł . < 5 .2 a)

x d x 2

Analogiozny wzór wyjśolowy mamy dla kierunku równoległego do osi y:

36 Bernard D rzęźla g d z i e wyrażenie

f ’ §

ozaaoza n a c h y le n ie ro zp atry w an y ch krzywych do o a l y . T rz y j nu Jąc u p r o s z c z e n i a Ja k wyżej doohodzimy do wzoru:

a2u

k 3 ’ 7 ^ 7 ( 5 . 3 )

* (1 + 8y )2 l u k , pe dalszym u p r o s z c z e n i u :

k “ - ^ - S - . (5 .3 a )

J dy^

Bo d a lazy o h rozw ażać przyjmujemy wzory na krzywiznę w n a j b a r d z i e j u - p ro a z o z o n e j w e r s j i .

Dla o a l układ u w spółrzędnych { § » b ę d z i e : aau

-d au

J e ś l i u k ła d (§»1?) b ę d z ie obróoony względem ( x , y ) o k ą t cC , t o u - w s g lę d n la ją o wzory (2 .3 > i ( 3 . 2 ) otrzymamy:

k | - kx o os3cS + 2 sinoCoos2eC + s i n 2cC ooaoC - sinóCooa2cC -

- 2 sin3*ooscf + ky s l n 3oC ( 5 . 4 )

2 2

■> - kx s i n 3« + 2 Ein^tooacC - — J sincC ooa^ot -

- -— Ip sia^Ccoace + 2 s io d o o s 2cC + fc^ oos3oe.

K ie r u n k i ek stre m a ln y c h 1 zerowyoh w i e l k o ś c i krzywizn o ra z io h w ie lk o ś ­ c i e k s tre m a ln e można z n a le ź ć podobnie j a k w przypadku innyoh d e f o r m a c j i . Odpowiednie wzory pominiemy jed n ak ze względu na io h skomplikowaną p o s ta ć i małe z n a c z e n ie p r a k t y c z n e .

P ozloae d eform aoje g ó r o t w o r u . . . 37 W potenojalnya polu przemleazozeó (wzór 2.7) będzie:

( 5 . 5 ) oxoy d x 2 , kx

s£b£ “ " S

w związku z oz j e wzory tr a n s f o r m a c y j n e ( 5 . 4 ) u l e g n ą u p r o s z o z e a l u :

2 2

k* - k_ . oosoC . (3 o os2ot - 2 ) + £-?• aia^sC ooacC - alooCoos2« +

s x dy2 Qx

+ k^ . alooC . (3 a l n 2cC - 2 )

(5.4a)

2 2

k „ ■ - k^ . alnoC (3 s l n 2oC - Z ) - -2-5 alncC o o s 2cC - -2-8. aln^Cooaci +

^ x dy2 ó x

+ k» ooaoC . (3 ooa^cC - 2 ) .2 rf

5 . 2 . Wzory ązozegółowe

P ę s z o z e g ó la e pochodne obliozymy w punkole A (x » 0 , y « 0 ) :

i, - _e2q „ _ f a<P("\lk2-»-B2 . z ) j t a^ O ik ^ n 2'. z )

fcx - - - 5 t [ 7 7 7 • a z 7 7 7 • 8 «

7 7 7 * az 7 7 J

k . _ SiŁ f B. J j » l - —S - , , £ i

y dx5y 23T [ k2+n2 o t 7 7 d

_ . « , a f P l k 2*«!2 . z ) a o l O l i 2*«2 . b ) 1

7 7 7 — az 7 7 7 s * j

38 Bernard Drzęźla

- 7 k +t*

e x p [ - Ak2+t 2 . 1

& ^{* 0} ’ J

L * £ . c <b)

d t +

y 2 L p [ - ( i S ) L| l

Ś F - - W 5T T ? •' J-

° y k ( s +■ ) k (n +s )

z ) ds -

- 23C

Z

exp

r £ . C (b )

ds

. * Y ^{n2 a}

. a 2 2 b ,?_+a )

r o J

s 2+n2 o-C ( b ł ds

g d z i e : C

p . oo

(b) =■ 23T J ha'

/

W o p a ro lu o r e g u ł ; de L’ H o s p l t a l a łatw o wykazać n a s t ę p u j ą o e : k ą f ^ k 2^ 2 , gj

k 5^ 7

U . w m g r , iri - 0.

k —►O B—*-0

Ewentualne o s o b llw o ś o l f u n k o j i pocałkowyoh w powyższyoh wzoraob są wlęo o s o b liw o śc ia m i pozornymi (skończone g r a n i c e 1 n l e o l ą g ł o ś o l u su w a ln e ), d l a te g o f u n k c j e t e są oałkow alne w dowolnyoh p r z e d z l a ł a o h . Ta sana uwaga do­

t y c z y w s z y s tk ic h wyprowadzonych do tąd wzorów.

Poziome d eform aoje g ó r o t w o r u . . . 39 Przy o b l i c z a n i u krzywizny k 1 k według wzorów:

* w

n a l e ż ; s k o r z y s t a ć z tożsam ośol typu (dowód J e j uzyskany c a ł k u j ą c lewą s t r o n ę p r z e z c z ę ś c i ) :

W t e n sposób w ła ś n ie nożna udowodnić wzory ( 5 . ? ) , a ty n samym równość ( 2 . 7 ) .

6 . Z ako ćo ztn le

O b l i c z a n i e obrotów 1 krzywizn poziomych, jak o nowyoh wskaźników d e f o r ­ m acji g ó ro tw o ru , zaproponowano po r a z pierw szy w pracy [ 3 ] . W pracy t e j . podane z o s t a ł y rów nież odpowiednie wzory d l a o b l i o z e n l s ty o h d e f o r m a c j i . W n in ie js z y m opracowaniu zaprezentowano odmienną metodę wyprowadzenia wzo­

rów na poszczeg ó ln e deform aoje o ra z podano wzory s t e r e o m e c h a n lk l d o t y o z ą - oe ty o h d e fo r m a o jl u z u p e łn io n e p rz e z a u t o r a - c z ę ś c io w o , j e ś l i ch o d z i o ob ro ty elementów lin io w y c h 1 prawie c a ł k o w l o l e , j e ś l i chodzi o krzywizny poziome.

LITERATURA

[1] Huber M.: T e o ria s p r ę ż y s t o ś c i " , PWN - Warszawa 1954 r .

[2] Koohmaóskl T . : O b l i c z a n i e ruchów punktów górotworu pod wpływem ek sp lo ­ a t a c j i g ó r n i c z e j " , PWN - Warszawa 1956 r .

[3] Magdzlorz J . : Nowe metody o b l i c z a n i a ruchów górotworu nad e k s p l o a t a - o j ą . Ochrona terenów g ó rnlozyoh nr 11, 1970 r .

[4] Średnlawa B . , Weyssenhoff J . : Mechanika środow isk r o z o l ą g ł y o h , PWN - Warszawa 1967 *•

[5] Tlnoshenko S . , Goodler J . N . : T e o ria s p r ę ż y s t o ś o l , Wydawnictwo"Arkady"

Warszawa 1962 r .

d t .

[6] D r z ę i l a B»: Pionowe deform aoje górotworu przy e k s p l o a t a c j i g ó r n i c z e j , Z e sz y ty Naukowe P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j , s e r i a Górnlotwo z e s z y t nr 37.

[7] D rzęźla 3 . : Komunikat o wynikach praoy nad nowym u ję c ie m z a g a d n ie n ia o b l l o z a a l a poziomych d e fo rm a o ji górotw oru przy e k s p l o a t a c j i , Zeszyty Naukowe P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j , s e r i a Górnictwo z e s z y t nr 41.

40______________________ Bernard Dr gę ¿ la

rOF^i 30HT AJlbHHE HEttOPMAliKW TOPHMX nOPOfl I1PK TOPHOłl SKCIMyATALHM P e 3 d u e

OcHOBHBaacb Ha gK$$epeHUHaJii>Hoii (popMyae T e o p a u T . KoxuanCKoro r o p a a o H - TanbH oro c g a n x e H jt a t o v k h b HanpaBreHHH p a a p a ó o i a a H o r o a a e u e a T a p a c r o n p o - CTpHHCTBa BblBegeHŁI (pOpMyJIH r0p«30H TajIbH 0r0 CgBHXeHHH, rOpMSOHTajIbHOTO OT- HOCHTeabHoro conpoM aTa, ropH30HTajibHoro noBopoTa jiHHefiHoro a a e i i e H T a . a Taa- x e ropHŁiiHTaahHoa KpHBH3Hhi np» BKcnjiyaTauHH b BHge n p a u o y r o a b H a a a . Kpoae t o t o , ocKOBUBaacŁ Ha (popMynax 3auepnHyTHX H3 «HTepaTypŁi, a T a a x e BUBegeH- a u x tiacTKHHO BBTopoM, nogaH c n o c o ó o n p e g e a e H n a b c ji h ^ h h btjuc x e ^ o p u a H a a b npoKSBoa&HOii H anpaBaeaaH .

HORIZONTAL ROCK DEFORMATIONS RESOLTING FROM THE EXPLOITATION OF COAL MINES

S u m m a r y

Basing on th e d i f f e r e n t i a l formula o f T. KochmaAski'a t h e o r y , co n c e r­

n i n g th e h o r i z o n t a l s h i f t o f a p o i n t towards an e x p l o i t e d elem entary spa­

c e , t h e r e have been developed formulae f o r th e h o r i z o n t a l s h i f t , th e ho­

r i z o n t a l d e fo rm a tio n p r o p e r , the t o r s i o n o f th e h o r i z o n t a l l i n e a r e l e ­ ment and f o r t h e h o r i z o n t a l c u r v a t u r e brought about by r e c t a n g u l a r ex p lo ­ i t a t i o n .

B e s i d e s , b a s in g on formulae tak en from l i t e r a t u r e and p. r t l y developed by t h e a u th o r h i m s e l f , a method has been p r e s e n te d o f d e te rm in in g the ma­

g n i t u d e o f such d e fo rm a tio n s In any o p t i o n a l d i r e c t i o n .