Dichtheidsstromen en interne golven: Collegehandleiding

TECHNISCHE

HOGESCHOOL

DELFT

Afdeling

der Civiele

Techniek

DICHTHEIDSSTROHEN

EN INTERNE

GOLVEN

Collegehandleiding

b 81

Prof.

dr ir J.C.

Schönfeld

Dr ir C. Kranenburg

Delft,

1977

i,!!,t \..d H:h'lldstllk ik,,,'!d~tul, II l~,)~,~·.\':lt·.k I

r~

!hl(·1'l!.~l\.1:; 1\" :L:l'!'-J~;':" iJ

\1~

- I:,LFIDING 1. Inho~,dva~ ~}~tcolleg~ ~. D~ dicbth~id VBn vlooistoEfen

Hoofdstuk VI - m:T UGEI:t·IODEL

I. InlDiding 2. Vergclijkingea

3. Interne en "xt.!rn~Lange golven

3.1.Toepassing vandc ~cthod.der karakceristi"ken 3.2. Gvlven met kleine amplitude

3.3. Afzonderlijk. vergelijkingen voer interne en externe golven

..DICH'llIk:WSSTROHE:\ t• Vl:rgl.!lijkia)jèll

2. Kritibch e, subkr ici.sche en sup er kr Lcischc s cr craing ; dubbcIkr iti.sche scroni ng

J. Annpas sing aan randvoorwaardeu

- r:·;rEK~~ESPRONGE:, n: l'llONTE!j ,.lnlciding

2.Ontstilanun stabiliteit van een interne spronc J. De sprongvergelijkinG"n

4. tic:t J~v31 dat. cen van de Ijebi,:-!:~n gc l ijk 3..lU etui is

5. 11~tg~vcil dat slccllts e~ll v~n da lagcil doorlo~pt

(Ïecueen)

lH"l~;E ~:0~nl::GOl.VE!'l'!::~ STA1HLlTEIT V.\~m: GELMClJllElil i. !:nlt.i(jiH_S

') _{Korte golven bij scherp grcnsv lak} 2.1. V~rg~lijkini~~~

2.'!. KanJv0Ur\:aardcu

1.:L Line ariner ing vaa !\ct •:.r.~Jbl.\!cm 2.4. H.:.lrnuni~t:hJ O"ç..Lossi.ug

2.S. ~elvin-H~tcilioltzinstdbilicl!it

3. Stabiliteit bij geleidelijk.::overgang tussen Je lagen

r

_{._/}q

- TURBULEN"l'IEEN MENGING I.Fysische uitgangspunten

l.I. Turbulentie bij afwezigheid van gelaagdheid

1.2. De invloed van gelaagdheid 1.3. Het behoud van volume bij menging

2. Wiskundige modellen

2.1. 1~eelagênsysteem met menging tussen de lagen

2.2. Continue g"laagdheid 2.3. Dispersie

2.4. Gekoppelde modellen 3. Keuze ~ussen de modellen

,~

....;...

~

:

~

Hoofdstuk I - INLEIDING

I. Inhoud v~n het college

In verschillende voor de civiele praktijk van belang zijnde gevallen wordt de stroming van vloeistoffen beinvloed door verschillen in soortelijk gewicht. Het soortelijk gewicht

1van cen vloeistof is

gedefinieerd als

r '"

f'

( 1.1)

waarin

J

de dichtheid van de vloeistof en ~ d~ versnelling van de zwaartekracht voorstelt. Nu is de laatste nagenoeg constant nabij het aardoppervlak en over niet te grote afstanden, zodat verschillen in soortelijk gewicht corresponderen met verschillen in dichtheid. Een eerste beperking die ingevoêrd wordt is echter dat alleen gevallen be-schouwd worden, waarbij de vloeistofbeweging ontstaat of in belangrijke mate beinvloed wordt door de wiss~l'Werking tussen de zwaartekracht en dichtheidsverschillen.

De samendrukbaarheid van een vloeistof is bij vele toepassingen niet van belang. Als .tweede beperking wordt daaro~ verondersteld dat de vloeistof onsamendrukbaar is. Hierdoor kan de invloed van de druk op de dichtheid, die wel een rol speelt bij b.v. waterslag, buiten beschouwing blijven. Het aldus beperkte gebied is nog zeer ruim, en omvat b.v. nog de interactie tussen lucht (wind) en water. Een derde beperking is nu dat uitsluitend-aandacht besteed zal worden aan gevallen, waarbij de dichtheidsverschillen relatief klein zijn, dus

J"..

~

-

t,...·11

_<~

1

(01_'1.)

r

waarin f"",~n

f"'

....

de maximaLe resp. minimale dichtheid van de vloeistof voorstellen. Dergelijke relatief kleine dichthcidsverschillell kunnen ontstaan door o.a. temperatuurverschillen in de vlocis~of, variaties in hoeveelheid opgeloste stof (b.v. zout in water) en (geringe) concentraties van gesuspendeerd materiaal zoals slib. Ook kunnen hieronder systemen vallen bestaande uit verschillende vloeistoffen, b.v. water co olie.

Toepassingsgebieden van het aldus geselecteerde onderdeel van de vloeistof-mechanica ~etreffen in het algemeen die gevallen waarbij vloeistoffen van verschillende herkomst en daardoor verschillende dichtheid t:letelkaar in aanraking komen. Dichthddsverschillen kunnen ook ontstaan docr plaatselijke

i

_.

"

_~

)

'

- l.

-verwarming of afkoeling-van de vloeistof. Voo!'beel(knuit de vuterbou...kunde zijn:

- Een estuarium "'aarzoetwater uitstroomt in cen zee met ZOllt

water. Bij geringe invloedvan het getij ontstaat een ~.g. zoulwig langs de bodem.

- Het openen van een zeesluis tussen een kanaalpand mcr 7.0"t."at"l"

en een zeemet z out water. Dit leidt in eerste instautic tilt ,'1'11

r

z.g. u i r.visseLingsutrcraing vaurbi] een zoute laag (bijde I,,'dl.l'":' en een zoete laag (bij het vrije oppervLak ) ccgen clkanr lil .'1r"l:l·~I1. De stroming door een kanaal dat dl.lvl.!rbindin~vor~t tUR(~11;...~c

bekkens met water van vcrschiLlende dichtheid.

De u itstroraing van rcLaticf varm \J.ltcr(b.v. kcelvater) in ;",,,..I,,I'

',.-.°atcr.

- Het vrijkomen van olie bij oliewinning op zee.

- Het ontstaan van thermische gelaagdheid in een meer ouder invlo..J va"

zoninstraling door het vrije oppcrvlak co menging dnor wind,

- De onttrekking van koud water uit ecn bekken nct t:,,~rlUiscj

t:"

l,'J.wftcll>,·i,I.

jo

~ ..(:"../t(''!._~,.j .,'

Het is zinvol onderscheid tI! rnakenvat betrcft de aard van d.,·\.'·' ...lb. dh,i·.'. De dichtheid kan 'inverticaLe richzir.g('.f ;;d.~idclijk vcrLopc11, t'l: In,-,.:r 'sprongsgewijster plaatse

""10

Zo.g. grcusvlakkcu,Een Erensv!:t1·,.',,,:nt

dan de afscheiding tussen twee lagenmet bij bcnade ring coustuut«

dichtheid, zie fig. l.I.

In dit college zal ccrst aandacht besteed vordcu aan het L"t"·'J.: l)'I"l' gelaagdheid (hoofdstukken 11, III en IV). Der"di:lI hicrvoor i,; ti\1 IH·.I aantal praktisch belangrijke gevaLlcn redelijk goed bcschrcvcu k.,n ·.lt,~,l·.·.l

door de stroming op re vstten als een dergeLi jk Lagcusystecm, It.')'I.ij 1 ,k wiskundige behandeling crv;;r.'Celatiefcenvou<li{;is.

De stroming in epen leidingen, zoals behandeld iu iJe collcgcs bl:' (lilI, i,;il',.

vIceistofmecnaoicu) en b73 (Lange golven) L op te vat ten als Ik l>ll:'"",i:.:; van ~en a~i:iaagsystecnl.

4'{..ot, -( ,'(.( c(..':,i~

*

0< -:~l"'A~d~~.·,( ......r.,,('" H:,...b,"t.(.. v~ ..".,...~.fdl>{ c(......·l

•.1I +;t(_"u",t ,,,,,~(:.:1.,_

,.r

...

(.!'

.

-I.:e.

~

f

.,(,",·~,-é ...

u.e

()"~

'"

.es«, t''-'ü'('{(c

"1

"

.

~r\) opye.r-vlQ.I. ver~~~L~

t

Coord.'nad: bod~... ~ d.',k-l::I.e.(c(. 1d.e.<dtl'jk. v~;.t.ol'e...k

1tL..

acil."'·,l fig.1.1

1rel'\~vl...k

(re".,çvL4.1..

a"

_~

<

~

~ Dl':c.ktk.a':cL

.

S~to"1

S~..,;}~e.

vev{"Y.f-

4

7tLa"3c:(J...;,(,

LAd""~'tStcc.""

De stroming in een meerlagensysteem vertoont hiermee verwantschap, maar is gecompliceerder. :;tci:,...·o,e....stromingen in een meerlegensysteem worden aangeduid als dichtheidsstromen. Golven in een dergelijk systeem kunnen worden onderverdeeld in interne en externe golven. Bij

interne golven is de vervorming van het grensvlak (of de grensvlakken) groot t.O.V. die van het vrije oppervlak; bij externe golven is dit niet het geval. Evenals;in een éénlaagsysteem kan in een mee

rlagen-systeem onderscheid gemaakt worden tussen lange en korte golven.

Analoog aan de watersprong in een éénlaagsysteem kunnen in een

meer-lagensysteem interne sprongen en fr'ontenoptreden.

Enkele aspecten van geleidelijk verlopende gelaagdheid komen aan het

eind van het college aan de orde in verband met de

instabiliteit van de gelaagdheid en turbulente menging in de verticaal

(hoofdstukken V en VI).

2. De dichtheid van vloeistoffen

De dichtheid van een als onsamendrukbaar opgevatte vloeistof hangt o.a.

af van de aard van de vloeistof - de dichtheid van b.v. olie is anders

dan die van water. Beperken we ons tot water als vloei.stof,dan hangt de dichtheid nog af van

l

)

- de temperatuur

a

- de concentraties cic.van stoffen inoplossing (Ic~ I,l,'" - de concentraties oI..j. van quasi-zwevende (gesuspendeerde')

stoffen (.t:. I, L) '" )(quasi+avevende stof: stofvaarvan de

deeitjes ;:0 klein zijn dat de val- of stijgsneIhedcn teu

opzichte van de omringende vloeistof gering zijn).

Er geldt dan dus

!

'

i

_I

!

fe

f

(a,

<

,

, ri;. )

(I. .1)

Het verband tussen

f

enerzijds en 9en Ck anderzijds moet empiriscb

vastgesteld worden (ziehet eind van de ze paragraaf voor de invl.',',!

van 0(1 op de dichtheid).

Voor zeewater blijkt de samenstelling van het opgeIosre zout v rij ,:00

-stant te zijn voor de verschillende plaatsen op aarde,De totnlo

concentratie van het zeezout varieert wel,Er zijn een aantal gr".::th'dc'l·

waarin het zoutgehalte uitgedrukt kan worden, zoals

_ de saliniteit~. het aantal kg zout per 1000 kg zeewater, uil!;(,'drukt in promiIleu,

_ de Chlori.!liteitC~hctaantal kg chloorionen per 1000 kg zecw,\tvr• uitgedrukt in promillen.

- de geleidbaarheid.

De relatie tussen saliniteit en chloriniteit is

~ -;::; 0,0'!>

+

,,

3

0" C

i.

(I .:t)

De saliniteit isverschillend voor cceanen en zeeen:

oceanen :

_~

• 34 3 36 %0

Middellandse zee:

S

•

38

a

39 0/00

Noordzee : ~ • 31 à 33 0/00

Rode zee : ~ %-40 0/00

Oástzee

:

S<

31%0 , tot 0 %0 in de uiterste punt. van de Botnische golf

r

.

»

\.:J Voor zeewater verdund met gedistilleerd water is gevonden

f -:::

10(111+

o,8ot; ~

-

0,00&? (f)-t,

+

0,27. ~ ) ~

(1.5)

waarin

jO

is uitgedrukt in kg/m3 en

B

in oe. Voor b.v. verontreinigd rivierwater gelden in het algemeen andere relaties. Onderstaande tabel geeft een indruk van de dichtheidsvariaties van (verdund) zeewater als gevolg van variaties in temperatuur en saliniteit.

~

~

D 0

'

.

10 20

0 999.9 999,8 998.3

20 1016.1 1015,4 1013,4

40 1032,0 1030,8 1028.2

~

De relatieve dichtheidsverschillen door variaties in saliniteit liggen in de orde van procenten, die door variaties in temperatuur in de orde van promillen. In estuaria met bovenafvoer overheersen daardoor in het algemeen de dichtheidsverschillen door verschillen in saliniteit.

Dichtheidsverschillen ten gevolge van temperatuurvariaties kunnen echter wel van belang zijn als de saliniteit constant is of weinig varieert. Dit is b.v. het geval in zoetwaterbekkens en oceanen. Vergelijking

O.

~

;)

.

geeft het anomale temperatuurgedrag vnn water weer: dit bereikt zijn maximale dichtheid voor

()

:.

't-

"-21. /

( 1.6)

~~~..JA. .

Het ano~le-temperatuurgedrag heeft belangrijke gevolgen voor pet thermisch gedrag van bekkens en meren. Als in het najaar het water gaat afkoelen. daalt de temperatuur aan het oppervlak het snelst. Zolang de temperatuur aldaar hoger is dan de waarde volgens (1.6), is het soortelijk gewicht aan het oppervlak groter dan dat op grotere diepte.

t_J

Deze gelaagdheid is instabiel en de inhoud van het bekken "keen cm": het oppervlaktewater zakt naar beneden en mengt met IH!tomrinrcnd«

water. Dit proces zet zich voort totdat de temperatuur 8an hel

oppervlak daalt beneden de waarde volgens (1.6).Bij verdere temperatuurdaling blijft het soortelijk gewicht aun h~t oppcrvl~k

kleiner dan dat op grotere diepte enwordt de gelaagdheidw~cr dl~hi~l.

zodat b.v. ijsvorming aan het oppervlak optreedt,

De invloed van quasi-zwevend materiaal op de dichtheid is als VO!Ht

in rekening te brengen: als Ikg mengsel bestaat uit

(

1

-

"'

)

i,): \,:lll!r

met dichtheid

f."

en Q(kg gesuspendeerd materiual met dichrhci,1

ft

•

dan volgt de dichthcidfv:m het mengsel uit

f

1-0(

t:

(t.ï)

~

ft

..

Dit is als volgt in te zien: het rechterlid van (1.l) gceft iI,·t voilll;;"

van I kg mengsel weer; de dichtheid van het mengsel is de rccipr,Ji..,; waarde hiervan. Quasi-z....evend Dlateriaalkan relatief grote dicuth...d.

.tll-verschillen veroorzaken, waardoor een zeer stnhiele g~laacdhcij kUIl

ontstaan (b.v. sliblagen in havens).

I I I

·

1

i

I

I

Ui'S!

~

Hoofdstuk 11 - HET LAGENMODEL

1. Inleiding

Als twee vloeistoffen van verschillende dichtheid met elkaar in

aanraking,komen zal, als er niet te veel vermenging van de vloeistoffen

optreedt, de lichtere vloeistof onder invloed van de werking van de zwaartekracht de neiging vertonen als een laag op de zwaardere te gaan

liggen. De aldus ontstane gelaagdheid is (binnen zekere grenzen)

stabiel: als een pakketje vLoeistof uit b.v. de zwaardere onderlaag

door een of andere oorzaak in de bovenlaag terecht zou komen, zal dit

wecr terugzakken naar de onderlaag. lets analoogs .geldt voor een pakketje vloeistof dat vanuit de bovenlaag de onderlaag binnendringt.

Zie fig. 2.1. Later (hfst.V) zullen we zien dat deze

L.~k\:e.... Vlot.:l\;of

f

=-

f,

C~

4W4M't:lere

7

~

\

t

.'''''hf

"'"

_0!../

rz-.

7

,,,",,L...

r~ft.

fi~

.!

.~

redenering opgaat zolang de snelheidsverschillen tussen beide vloeistoffen

niet te groot zijn. Yoorlopig zullen we aannemen dat dit het geval is en

er van uitgaan dat de vloeistoffen in lagen over elkaar bewegen. We

spreken dan van een lagenmodel. In Nederland leidde de zoet-zout problematiek

tot het werken met lagenmodellen

(I,

~)*.

We voeren nog de volgende vereenvoudigingen in:

_ Het eventuele transport van vloeistof, warmte, zout enz. van de ene

laag naar de andere door het ertussen gelegen grensvlak wordt (voorlopig)

buiten beschouwing gelaten.

H _{Onderstreepte cijfers duiden op literatuuropgaven aan het eind}

van het betreffende hoofdstuk

f' '

)

'-'-- De dichtheid van een laagwordt constant in plaats en tijd

..erondersteld. Het grensvlak wordt dus alsvolkomen scherp

gedacht. In werkelijkheid zal dat slechts bij benaderinG het

geval kunnen zijn en zal de dichtheid ter plaatsevau het t;r,~"s -vlak een meer geleidelijk verloop hebben, zie fig. l.I.

- De drukverdeLing in de verticaal wordt uydrostatLscu v(:r~'I"kr"l"ld. De verticale versnellingen worden dus klein vcrundcrsleld l,'"

opzichte van die van de :waartekracht. Deze veronder5tcllin~ ~)rdt

ook ingevoerd bij b ;v, verhanglijnen (b72)en lange goIven (b7'J) en

sluitpIotseHngeve randeringcn in strorningsrichtIuguir, De .11"\:\

-verdeling noemen "'enu quasi+hydrostatisch ,omdat de dnlkl,r'",,!i'~l1;,

in horizontale richting in het algcraecnn iet gelijk .i.m nul :~,\1zijn, Fig. 2.2. geeft als voorbeeld het drukverloop ineen verticale c!,)Uf';lh"k.

over een tweclügensystecm.

2.1

r-

ft> f,

I

I

=-t~--

0 ~t fig. 2.2

-

--

-

----

...

-

--~

d.t..k ~

I

f

~

,

-

+f,:

1

4-;

-

-

-

-

-

'

~

V'

I 1\

_{_",}

)

~

, "':J '-",(",.1.,l.'IL, -r.)H'(~,\',';'~ __~ h~";7.'''~'..(" -:~t,,"lf·,l.~"a(:II"\:I("I·'

De verdeling'in de verticaal van de horizontale sneIheidscompotu-u t 1I11rdt

per laag homogeen verondersteld, zie fig. 2.2. He verken dus 11"'leen \".,. laag gemiddelde snelheid. De mutivering van deze verondcrstelling is

gelegen in het feit dat nabij grensvlakken en bodem de turbul011Lic

onderdrukt wordt (zievoor grensvlakken de redenering bij fiC. 2.1.). Bij gelijkblijvende schuifspanning kunnen de sneIheidsgradLcut.cu daardoor ter plaatfe groot worden (zie het werkelijke sllelhcidliVHloop

[i)

Een niet essentiele beperking is verder dat alleen stroming in

één horizontale dimensie (coordinaat:

X)

beschouwd wordt. Uitbreiding naar twee horizontale dimensies is in principe eenvoudig.

-2. Vergelijkingen

li~

.

Voor het meerlagenmodel voeren we een nomenclatuur in volgens 2.3. De lagen worden genummerdvan boven naar beneden. Voor een willekeurige laag gebruiken wehiervoor de index n (n" O,~,2. .... , N).

Zo is

.!'"

de.dichtheid, ~"de dikte, V", de snelheid van de ",de

laag. De laatste twee hangen af van plaats en tijd. Schuifspanningen

en normaalspanningen (drukken) in de grensvlakken duiden we aan met s~ resp. ~n • De index 0heeft betrekkin~ op de lucht boven het lagen

-systeem. Ive leiden de vergelijkingen af voor n willekelirig. Bij

verdere uitwerking zullen weons beperken tot een twee-Iagensysteem

(n= 2). Delaaghellingen in-fig, 2.3. zijn overdreven veer gegeven,

Dewerkeli.jk optredende hellingen zijn in het algemeen aanzienlijk

klèiner. Deze opmerking geldt voor de meeste figuren in dit en het volgende hQofdstllk. ___1~

ft>

vrij oppet-'VlAl

PI

_V,

'tl-~",vt...l

ft

~v

~

'Jre"svlMt

S"

Ph+!

>

r,

a

,

_ho

at

~I

hl

"H-I·I'ti-·I

I

I

I

t

'1

re"\\1{"''' h",_,

f"

~VN. fig. 2.3 ~b ..,le ...

x

"

_\.../

:' 1

Voorhet afleiden van vcrgelijkingen voor het LagenmodeI make-u we gebruik van het behoud van massa en impu'ls ic , Wekiezen ecn

controlevolume waarvan dc zijvlakken verticaal C:I vast in de

ruimte zijn, Boven+:en ondervlak laten wesamcuva Llcu met dc LI':':':

1 k .id de .

grensvak en tcr veers zij en van de

n

laag. Dezebehoeven III1.:t

vast in de ruimte te zijn, omdat een grensvlak zich in vcrti,..Ic richting kan verplaatsen. Zie fig. 2.4.

_ - -

1

-- -

-=-

'1r~

..

\Vl...1c. _ ~+~~--~ ....

"

-

'

-

'''-

J.

~

"

.,

..

.

~ I

«

.

,..

l,

I

y

.

r

,

I

<,

(X,

ti

~ V., ()I.*') \voL...e

I

~

:

t

+

~t_- - - -

'1

_ __

~

.

-~=~

~

.:

t

=

=t~_q,,·

l

I

h

,

,

(X,tl

4<

.

AX ~~--_"" x fig. 2.4 Behoud van rJassa

Instror.ling van massa door linker zijvlak in tijdje At:

..

_"

..

..

rechter

..

_"

_"

Netto Instroming: -

~x.

(f ..

t1..

v,,)

4X ti!:

Toename van massa in het controlevolume in tijdje 6-l:

r

:»:

v., At

I

·

) ti ,/ "

-,

.

..

-

t"

.,"l

+

.

~

'

:

(

U

·

,

I"

î> (., a \

1~

r

~

I'~,)

t

~t

l~>"..

Detoename van massa moct gclijk zijn aan de.netto illstn'I:1it'!~. du.:

~(F ..

~n)+

~

Jr

,,

({..

v..) :::0

Ocx.latde dichtheid constant verondersteld is, valt deze weg. Ze'

vinden we de continuî tei tsverge I ij king

C :

n

o

ct", Û

_

+

t«

V)

@2Î

t:,(.),\

I·i.:verdelen het controlevolume nu in drie delen, zie fig. 2.5.

l

_ft-I

fi~_ 2_5

Behoud van impulsie in horizontale richting

De horizontale component van de impulsie van de vloeistof in het ccnt roIcvo Iume bedraagt:

f..

ah v... AX'.

verandering van impulsie (ineen tijdjeAl:) is

De

en wordt veroorzaakt door: 4

~

J[

f", ~

(4."v" ) 6~

Al:-p

_~

~ T 1)X 6)(

.I.

~

_I

_~

j'

_L..J

-

'

r

~

_{_}

: 1

ï

I. Transport van impulsie door de zijvlakken. De netto instroming

bedraagt (vergelijk de overeenkomstige grootheid bij het behoud van massa) ë>

-

fh

~(tt",V"t)dX.4t-1.."_1

j'

1t

d:z AX ÎX

2. 'Jolumekrachten.We beschouwen 'hiervan alleen de zwaartekracht. Deze is echter verticaal gericht en levert daardoor geen directe

bijdrage tot de iropulsiebalansin horizontale richting. Wel werkt de invloed ervan door in de druk (zieonder).

3. Oppervlaktekrachten. Deze kunnen we ontbonden denken ine~n normale en een tangentiële component. De eerste wordt geleverd door de druk, de tweede door de SChuifspanning.

IJebeschouwen rui eerst de invloed van de druk. Uit de aanname van

de quasi-hydrostatische drukverdeling volgt dat in laag11

\;..,uek i.jken eerst het gedeelte Il. Denetto normaalkracht op de

zijvlakken bedraagt.

h.

~~d(2.1J geeLt dit als nctco ImpuLsLeoverdrachc in een tijdje

At

- t:t

(

?

~I'I~

+

p 'l ~~"-=..!... ) 6.)(, .tlt '" DJ( l'" '" ol(

_~r

i

7.

~

-

f..

4-V~rvolg~ns bekijken we gedeelte I, zie ook fig. 2.6.

~

~.'

Ä

~

~

~r/~X

+

~~

_"

,"

~

..

y

'f'

-

_

'

_

+I ~.,

L~,--

1:

r.·.

ï

)X

6)(

k-

-

p-~

-

r

-

.--

-;.

I

IJ:~. 2.6 zodat in deze laag geldt

~ -= p(X,2,-t)

=

f

n-I

(X,i)

+

f", '1

[h

",_

,

U,t') -'2. ]

(hl'!

<'Z'á~"_I)

Uit (2.2) volgt, omdat \,~"'-~

-

a

•• ~-I ., •

(2.2)

~

De~esulterendehorizontale component van de kracht ten gevolge

van de drukken is in dit geval

b ~

Si.. '" _

(h

-+-2.

1

~b'1.)

b'I. .i..o(

l;'~ C,,~tI. r·-'~)( ~~

~

-

-

J-

~bX

+101..

- 2. ~)(

Deze bijdrage is kwadratisch·in

AX

en is dus verwaarloosbaar ten

opzichte van bijdragen die evenredig zijn met ÄX, als we ~

tot nul laten naderen. Hetzelfde geldt voor de bijdrage van gedeelte

lIl.

Vervolgens beschouwen we de schuifspanningen. Eventuele schuif-spanningen op de zijvlakken leveren geen bijdrage in horizontale

richting. De lagen n-I e_nnH oefenen schuifkrachten op laag n

uit via de respectieve grensvlakken. We noemen hier een

schuif-spanning positief als laag "tl op laag n een schuifspanning in

positieveX-richting uitoefent. Laag 11oefent op laag nt-l

een even grote maar tegengesteld gerichte schuifspanning uit (actie

is reactie). Zie fig. 2.7.

~

z.

i..

~

nt-~

s.;

J.o"t" L..ut~ nt-I

"p

Lc:!~"r

h W:1:~e"efe"de ~osiheve

SCkl<.ifs I:IQMiV\ ~

fig. 2.7

doet- L".. ~

r\

ot L.... ~

1'1+-1

1.o!.\'1:1e

oefe."de

p(lsi~

ieve

sck ....

,·f

s p"""

i ..~

Omdat we de impulsie in horizontale richti~g beschouwen, moeten we

de.

J.",....

zD..é...t.e

co,..

"",e .. ie...

v__

dl.

sc)·'···:flc...-lt.cI,ét...,.;,

r-<.~N-l

b

"

'

~t~

.

D« bijh,,~

v~~

N-

$c!"""fs/,IC"""

'

''',

Sn_,' I'(.Ü I(~ ... 4

bqV_Zilfc.

Va-tt lilA! n 1V'.../"'k.I:, h

- S"_I ~ CoS tt. '" - ~ .._I Al(.

C<»oI..

Es.. AA-td.

'

i

k ".

,..

t:b....st V'-IIfÛ.. W~ V""I- de.

hor'~o,,(:;Q.k ";"'I,.ds,:r_DVG-rarAcl..l:. rucr-

~A.J

',,_'ordf. ç;(..q,."

~J.. ...

:

ff/"'''tn.''';

S". ~ h<!t:l:" n dd"r -<...

sct....

,

..

fJplf""i~J~

(S" - ~,.-,) 4'< di: ("~

\UI

Samen nemen van alle termen

e

n

delen dOOL" ex

t.

t

levert nudc

impulsievergelijking

J .

n'

o (

)

., (

l) O~,,_I )t"

~t\i~

<t"I/.,

+

fl1 ~x a"lI"

+

it .. ~ t· ~11~Q~ ~-I

'bX

IJ ~"

"I

te ...

Di" (.... ".../

/)lil

e...~..

11"

D-i

levert de kcnchr-

p

r

1.•'. i) ~i1-4 S.o,., .:.,., ()t>-... i)v...

t

el..

11.

v

",

+-e...

A_...

h

_{t {I"}

a"'·"

_{11.. )}

_v...

e

_"'v>t"

{)04 "'I ,jv.. ~ ..~

v ...

u. ...

al- - ~

Ij t De coobinatie

c r, - f.. -,

.,)/ f.,~"

bewegingsvergelijking K . n' Î)V.,

v

DV"

+

1

'1l~

+

"g)C

f

.,

() pn-'

_~

_+'1

0\'''_

_-

_-

_,-

1

'0)( 13 (0)( .'l) Snol

__

- ç.., -

--f

"

q... .=. ()

Let op de sterke overeenkomst tussen deze vergclijkinge» ;,:1 di.•:

voor gewone lange golven. ',lh'cnde drukterm vcrratcen lli'>'II-I I'JI.:T:lt.

Beschouwen we de laagdikten <t" en de snelheden V" als 'lfh"lfl/:elijk

variabelen (dedrukken ~ volgen uit (2.J.);op de GrootteV.IIl J0

schuifspanningen gaan...I!.hieronder in).dan zijn er 2!\Iln:",,,,,".k:t.

Per laag hebbenwe tweevergelijkingen (C en I ), Er zijndll:: <",I:

. n n

2N vergcli.jkingen,zodateen oplossing in principemogelijk is ,11:;

voldoende begin- en r.andvoorwaardengegeven zijn.

VergelijkingenVOOl; het tweelagerunodel

Voor het praktisch belangrijke gevalvan de tweeLagens troming )~,'\'.:'n

we de cont inuÏ teits- en bcweging sve rgc1ijkingen (gcb rui~'\I:Ul\.·~;ldv.u.

(2.3») ~xrlicier. 00k ~ullea we ingn~n cp de grootte v~n d~ V(~

-sen i lLe nde schu Lf spaun i.ug cu ,

De continuiteitsvergelijkingenzijn (zieook fig.2.B)

Cl: 'lill

?

~~

:

-{

0/1.

ClIV, ::'0 C2: Q~!-,

0

',H: T'

i'x

et\, Ih "0 (2 •.') (L.")

f:":~·~

~

De bewegingsvergelijkingen zijn (de luchtdruk wordt constant genómen)

KI: So _ Sr

~

p,

~o(, '0

(I

)

SI-

Sz--

~

-

+ ~ X

~bfltL ::. -

---f,_

"3)( . '7>

f'l-

'{1., ()v, ?lil, Û /L . ) 1~

+v,

-)J(

+

1

i"'><

L

n"

+

'tI +O(L ::. K2: () Vt_.

+

v

cvt.

+

"a-t Z. 'l>J(

s~~

=:;-1(

1

',--'11

t'Z.

--+51. 1.---7)X

_

.

.

-' -fig. 2.8

Over de grootte van de schuifspanningen het volgende. Het ligt voor

de hand de sèhuifspanning'te koppelen aan het snelheidsverschil tussen

de lagen. Bij volledig ontwikkelde turbulentie (b.v. Reynoldsgetal> 104)

denken we in eerste instantie aan een kwadratische relatie (verg. de

bodemschuifspanning bij Poenéénlaagsysteem):

S., -,:.-

k

"

~

I

V - v

I

" " 1'1+' !//""" 0 t.~ -/)Î{":; "'/ ...,' (V ..._1/",...,) ~ . SJ.

I.

..

~._..,o "'.. h..,\" J.) ... l(l

waarin

kil

een,coëfficiënt is die experimenteel bepaald moet worden.

We gaan nu de verschillendè mogelijkheden bij een tweelagensysteem ' na.

":'. Vrij oppervlak - In het algemeen is de watersnelheid klein ten

opzichte van de windsnelheid, zodat de eerste verwaarloosd mag

worden ten opzichte van de tweede. Dan onstaàt

'50 -::. -

ko fo

I

v

.

]

V

o

LY

Gemeten waarden voor

k

o

zijil

ko:::: a.10-4 (zwakke wind)

(2.7)

k

.,.,.,

'2'>. IO-'i (zwarestorm)

(2.8 )

De schuifspanning neemt in dit geval dus 'Watsterker ';;ank\~:Jdrai';t"Î\

toemet de windsnelheid.

Bodem - üe snelheid van de bodem is gelijk aan nul, dus (verg.

éi3nlaagsysteem,l S1. :: -

k!,

~

,

I

VL

1

\11..

met

k

_/

:(.

'

.

,

-

I~

.

•.

=

~

C

z '30 t>_ "10 . to Hierin isC de coëfficiënt

in

de formule V31l Chézy.

Q:~~ _ Beide lagen kunnen een snelheid ongelijk aan nul !le!1;"11,

du:;

s,

= -

k,

f,

I

V

1-V

'l..I(V,_vd

De coëfficiënt

k

l blijkt nog af te hangen van het type stro.ninj;<.l):

(2.9)

1<

,-==

k

,

"::::

'-I

.

10-'1

7

.

10-4 (stronende bovcnlaag,onderlaag in I:<,,'I. 1:"";' ',"" (snelheden in beide lagenCl'lijk m'-,H l(,~,ç'_:',,',;1 ,,1. geen wind) (stromende onderlsag,bovenlaag in rust, g;'~"11\.-jn,

k,::.:.

I'S. 10-'1

Deze variatie in de coëfficiëntenvordt;waarschijnlijk v(,l'O'Jf):;I'lki; door

verschillen in rurbuIcnt icintcusiteLtbij het grcusvlax, Als d,'\lmkd,·"I'.

stroomt wordt bij Ge bodem turbulentie opgewekt. Deze la..t zijn iuvloud

gelden bij het grensvlak, vergroot'daar de turbult!ntic-intl.)n~illcm,it

(.",;;,''1

"01

.Een formule die dit effect in rekening brengt is

"',-::- f,

V[~"

C

V,_ V....) ] '1.~ [

k,2.

v7

(V,_ VI.)

De waarden van de coëfficien~

kil

en

k,2.

die corresponderen met de hierboven genoemde, zijn

kil ~

ij.10-1;

k,'2. ~

1Lj.10-4

Als ook wind een rol speelt, zou de invloed op S, van de daardoor opgewekte turbulentie op een dergelijke manier in r~kening gebracht kunnen worden.'

Voorbeelden

1. Wiud op een gelaagd bekken

Een afgesloten bekken bevat een vaste hoeveelheid verontreinigd,

relatief zwaar water (dichtheid

fi ).

Daarboven bevindt zich een laag

met een vaste hoeveelheid niet-verontrein~gd water (dichtheid

f,

<

f~).

De bodem van het bekken nemen we voor het gemak horizontaal (neem daar 7= 0 ). Er waait een wind met constante snelheid in de lengte-richting van het bekken. Hierdoor zullen zowel het vrije oppervlak

als het grcnsvlak tussen de twee lagen eEn helling gaan vertonen.

Een en ander is weergegeven in fig. 2.9.

k

~

'>-f:~

j

~ X 77777,;

,

fig. 2.9

~ten vraagt zich nu af of de helling van het grensvlak nadat zich een permanente toestand heeft ingesteld zo groot kan worden dat het ver-ontreinigde water uit de onderlaag aan de oppervlakte komt.

(2.10)

'

(

)

Het gaat hier om een twee lageup rob Ieem. De gemiddelde sncthé'dl'" \I, en V1 in de lagen zijn gelijk aan nul omdat een permanente «'il1d") toestand wordt beschouwd en in beide lagen geun toevoer of afvucr van water plaatsvindt. Aan de continuiteitsvergelijkingcn C, "" C2

is dus voldaan. De lokale snelheden zullen echter niet gelijk ;:,'11

nul zijn. Zie hiervoor fig. 2.10. Des chuifspunningeu in de l';g',n kunnen alleen optreden als er ook sneLheids grad iiiutcn ;lV"

I

(l.,..

aanwezig zijn. s.

-

-I'_~ s, "'...l~l v~r~~It.A.h .....,0""<."" ~--t-verL.·r .,.Y

p,

s, \

'Z ~ '.

~

o St ' 'X':'-'\O\i.f

'

r

...

·t'\~..

1-~" ~,Pfi.'to""t.A.le. c.,?~\"r()I'f.H'" v)'

Zt

ft. ~T77TT o J.."r'''C)h'L.~..te ç~.('(h~:j·{~ vlAUe" fig. 2.10

De turbulentie, opgewekt bij het vrije oppervïsk door de wlnd, \,.,)1"):;

sterk onderdrukt ter plaatse van het grensvlak. DeschuiLspanniugvu It,J.(j,}:,,.

zullen dan ook relatief klein zij n , WeverwaarIozert danromde ",:1:\1.:

[-spanningen in de onderlaaG en daarmee de snelheden daarin.

De schuifspanning 'SQ Langs het vrije oppervlak raaakt, cvcnwicht I\h'l een

drukgradiënt en een impulsietransport in de boven1;131;(z ie 00', dc

impulsi~vergelijkinll). Deversnellingen in het beschouvd e pr obl

I'

''

'''

zij n in het algemeen klein t.o.v. de druktermen, aodat de i.mpuLsictransportvu hier verwaarlDosd mogen worden. Debewegingsvergclijkingcl1 K, ~n ~2

«2.7) en (2.S» worden nu d.- So K,:

~ iix

(<t,+1(1.) + - :. 0

f,

a.,

K2:

d.a.

p.

d-tl

f,

1

'ii

+

11.1

d.x -=.0

or

~

(Fe

4,

+

f

t

a

l

.

)

'"

0

Clr.1datwe een permanentie bes chouven hebben 'Wcalleen af'geLeLdea na.1r )\. en vinden wc gewonedifferentiaalvergelijkingen.

f'."'>7J

~

Y.l

l

.J

Gemakkel~jk is na te gaan dat de laatste vergelijking'niets anders

weergeeft dan de hydrostatische drukverdeling in de onderlaág

(waardoor daar Zl~

/~J(

'='0 ), ontstaan door het verwaarlozen van

snelheden en schuifspanningen in deze laag. We kunnen deze ver-gelijking in een nog wat andere vorm schrijven, n.l.:

De laatste uitdrukking levert nog (voor

~:L)

4 .._ ctL

t.r

-ct

r.

L

da.~

"iG

t;

ti..

.df

c:rx(efl

+

IlL)

waaraan weer te zien is dat het verval (over de lengteL) van het

kIeiner is Jan dat v.in hvt,

vrije oppervlak een factor

Af

I ti

grensvlak.

Op X~O en

x>L

is een eerrlaagsysteem aanwezig.

waarin

Af

=

f2. -

f.

,het dichtheidsverschil tussen de lagen is.

We zien dat de helling van het grensvlak tegengesteld gericht is aan

die van het vrije oppervlak. De factor ~

fhl

is in het algemeen

veel groter dan één, dus in absolute zin zullen de hellingen van het grensvlak aanzienlijk groter zijn dan die van het vrije oppervlak.

Aan de formule voor de lengte

L

waarover het grensvlak zich uitsLrckt is te zien dal deze kleiner wordt naarmate het dicht.heidsvcrschi1

kleiner wordt.G..b..ll.. voorbeeld:

Integratie naar Xvan de twee bewegingsvergelijkingen geeft, zie fig. 2.11,

Vo.. -15 mis

-)

k •

_v 2.10

b1' "10 kglml geeft L~850(i :',

Ar .. I kg/ro)geeft

L

~,l 850 ru

Bij kleine dichtheidsverschillen zal de onderlaag dus eerder 83n J~

oppervlakte komen dan bij grote dlchtheidsverschillen.

Of het grensvlak zoals hier berekend in een feitelLjke s itu.iti, j" zijn geheel gerealiseerd zal worden hangt af van de sL"rkt" V'-Ill dl' wind en de hoeveelheid water in ouJer- en bovenlaag, zie fig. ~.12.

et

-=-I

s, (

-; L

-

j()

a.

o• 10 m ) /,. 1000 kg/m z, f,_

1';

c1f

L

=

i

f.t.f

311.·

L

/2.

S" (uit de voorwaarde:

4'=«0

op

x=

C? )

~4 ':.

IJ.

(ot ..-It.I)

fz.

5'.

~

k-- - ....

r

s.

~

::z~

I

'

~--:J

-_

-a.

_Ol I I I I

'a

I

L

I .i,ltt .1. _ 'lI_____ \Y

k

i7

s.~

_

~'

I

fig. 2.11

t=o

/

r ~

\~

l

X

~

L

>I

_::;;j

r

~

.-\

$.~

t

~

fig. 2.12

zwakke wind, ouder Li..g komr.

niet il.111 de opperv1."ktl1

hardt:wind, ondcrla.ig komt

aan de oppervlakte'

weinig vloeistof in l"'V':IIIc..11~,

onder Laag komt :1;111de "pI'crv I"kt ','

weinig vlo....istof in on-Icr loug,

onderlaa~ komt nit:tn31l de

1,',,:,,1

~

'

L)

•

Opm.: De tijd nodig voor het bereiken van de permanente toestand is

gewoonlijk groot ten opzichte van de tijd dat de wind (min of

meer) constant is. Een permanente eindtoestand wordt daardoor

meestal niet bereikt.

De vraag is nu wat het maximale debiet is dat door de sp Lcet

'

''

'

.

:1

,I.;

onderlaag onttrokken kan worden zonder dat \later uit de bover.l""I'.

aangezogen wordt (vandaar de benaming: selectieve onttrekking). n"ze

vraag kan van belang zijn bij het onttrekken van kocLvat c r .1'111 ,','"

koelvijver of het verminderen van het zoutbezwaar in ccn kan.i.rl , <1,11:

door .cn sluis van dc·zee gescheiden is.

2. Selectieve onttrekking

Omdit probleem in zijn eenvoudigste vorm op te Los sen nemen "''' .r.in

dat het kanaal van f ig . 2.13 betrekkelijk kort is, zcdut bodcuwrijvIn.;

en ...·rijving in het grensvlak verwaarloosd mogen worden. Vl'ni,·r. \',:1'

-....aarlozen we verticale versnellingen en mcnging tussen de };Jf,"1l. 1~"

kunnen dan dus gebruik maken van het tweelagenmodel.. Hezuil cn dc

stroming ..il s ~ermanent beschouwen.

De gemiddelde snelheid in de bovenlaag zal gelijk aan nul zijn, Ol:1Û:\t

daaraan geen water onttrokken wordt. "I en K2 vcrden nu

Een kanaal met horizontale bodem sluit aan de ene zijde aan op een

als oneindig groot te beschouwen bekken en is aan de andere zijde

gedeeltelijk afgesloten door een verticale wand. Tussen wand en bodcg

bevindt zich een spleet over de volle breedte van het kanaal. In

bekken en kanaal bevindt zich een tweelagensysteem. Zie fig. 2.13.

Door de spleet wordt water o~ttrokken aan de onderlaag.

Spleethoogte, hoogte van het grensvlak in het bekken en debiet z'ijn

constant.

"""",

..

,.,~

KJ:

_d'l..

!::.

Cot

IHL) '"

o

bd.kL" K2: VI. et\lLcL'!..

+

t.f

_1'1.

,,.

_v

dil.,:

{lvx

-::.0

bovenaanzicht

....a ar in

6f

':'_

.f'l.

-

f

~

Int~gratic levert

veer het dichtheidsverschi.l rus sen de la!:.,!ni~.

ctl

+ Itz.

i V .t ~_ 2. .t. .. constunt ~ ~ a.l.

1;.

~ constant

c

ve ....1I!.L~li,,~ V''-l'\ ·l'!>('I""o...,U.~)

-1'

I v,=o , QI I

t.

I

a. ~~ <- VL

1,,-1.

1

verticale

S?,-,

77 7;; ,,;; / ?

)77

??~ ~. langsdoorsnede

s~lel!.t-Aanpas aing aan de r.1.nuvoorwa<1rdenin het bekken (de sneIhcd cn u,ladn

zijn venr:rnrl.oosbaar ) b"eft a.1

+-

a.t -:. "-fig. 2.13 1. Iit '- t. t-

~ 1A.

t ::

fz.

~/ 1-

h Atoo

Invoeren van

_'h

het debiet per eenheid van breèdte in dl! oudor+

), geeft

laag (

41.

-;.

al..v2_

'l-l. ::

~.t

V

z

11

(a.t.~ -

a.ot.)

.z.

(;;::,:"J

'<0'

u

24

-Omdat de stroming permanent is, is ~L onafhankelijk van de

plaats

X •

Dit geldt dus ook voor ~~.

Door de .eerder genoemde ve rwaar Ioz i.ngcn geven de hierboven gcvondcn

uitkomsten een bovengrens aan van de te onttrekken maximale dcb lctcn ,

De werkelijke waarden liggen zo'n 10 tot 20 procent lagcr (~).

We kunnen nu het maximumbep~len van ~~ als functie van ~~

(verg. de theorie van de stroming over een overlaat zoals

behandeld in het college b72). Dit geeft

3, Interne en externe lange golven

De niet-permanente str oraing in aanwezigheid van een vri j oppe rv l.rk

of grensvlak heeft in het algeneen gesproken een golfkuruktcr. 1~

het lagenmode I hebben wcde verticale versnellingen van ,1.: \~;ltl'I' -dec ltj es verwaar loosd teu opzichte van de versnclling van ci,~>:\4:1.irte-:

kracht. Als gevolg h ie rvan vinden ...e als oplossingen z.g. lnnge )~"l\'l~ll. dus golven vaarvan wemoeten e is en dat de golflengte (llf l'c'!>.111..1"1"(:

karakteristieke lengtemaat) gr oot; is l(,'11 opaichte van de llli11;di.kL,'1I.

Dezesituatie is geheel analoog aan die bij lange golvcn in ccn "<':11""""

systeem (college b73 A).

We zullen zien, dat als het dichtheidsvcrschil tussen de lagvn r"lulicl

Cl..t_ -;;

z:

_:ia.ll><>

en als maximaal debiet

(1)

-

~Cl.

ot rnA-X - 3 'l.c:>O

2. 6f

S

1..

Î

Cl.ZiXJ

De toestand met maximaal deQiet kan echter niet altijd optreden.

Duiden we de spleethoogte aan met a.S' dan kunnen we twe.e

gevallen onderuche Lden, n.l.

a.

>

Cl.

> ~ ({

en

tt

s < ~ a,

pO •

.z_oo S..) ~"" . ...

klein is, we onderscheid kunucu janken tussen twee~p,e :;olvcn, 11.1.

~

r

,...

~

(of oppcrvla~te-) lallge golven. Hierbij g~draG011d~ l~G~I\

- Extcrne

a..ot1>0'>.::t.s'> ~et.lt00

zich in zekere zin als één enkele Laag, De\(Oortp1311tinb:;;;I~,;.lloci.d

van deze golven ligt dan ook dicht bij die

'r.

een c,_'nJ;)ag:;~·,;lcI·m

van dezelfde diepte.

- Lnte'rrïe lange golven. Dezc goIvcn vervormen voor nnmelijk h, l 1',n:lIs,'1.1; en in veel mindere mate het vrije oppervlak. 1)" voortplnutin:~"'II"lh,:;.i

ervan is aanzienlijk klciner dan die van dc extorue glllVCll.

In dit geval zou bij maximaal debiet ( a,2. '" ~ Q.l... ' dus

kleiner dan CZs) het grensvlak dalen tot beneden de bovenzijde

van de spleet en zou ook water uit de bovenlaag worden aangezogen.

Dit is in tegenspraak met het uitgangspunt. In dit gevel vinden we

het grootste debiet Cfts dat aan de onde~laag ont tr okken kan worden

door q%, gelijk te stellen aan tts (grensvlak in het kanaal

samen-vallend met de bovenzijde van de spleet), dus

Voor het onderzoek van lange golven is de methode «lel: Ka'.:!~I.,:,·i:;tjl'k·:1! het meest geschikt. He rnakenin het ondcrstaande gcbru i.kvan d«:.:.<, mrth.:lc

-voor de analyse van lange golven in een l\\'\!c.la;\!nsysll~(!~l.Ll,~t'h...'t1rie

'J.-zs

e, tts

t::.f

z,

K

1-

(tl.z,oo

~"ls)

ervan wordt bekend verondersteld, zie (~).

'ft

=

(1-2. )

"'~l(

3.1. l'oepassin~n de methode der karakteristieken

r.t~<. ~tt.::t_

Nu bestaat het hierboven genoemde probleem niet en kan wel het maximale

debiet onttrokken worden, dus

De vergelijkingen (2.5) tlm (2.8) vormen een ste!sel. partj~lc dif(ur~nt~nnl

vergelijkingen, dat, wequasi+Li.nenir noemenomdat de :lfgo.!ld,d(~n n.rar l~,':l l

tot de eerste macht voorkomen (de ve r gelijkingun zijn Lincnir in de

r~;"l

~

We onderzoeken nu het gedrag van deze afgeleiden. Daartoe beschouwen

we de verandering van de afhankelijk variabelen

in een zekere richting in het

(t

,

-b) - vlak. Voor

functie F van X en ~ geldt, zie fig. 2.14,

et, ,tL,ll

V,

"

en Vz.

een willekeurige

~F(X,t) 'bF(X,-+.)

f

U+t.x.

,

-t

+

t.t:-)

:

F(.X,~)+6)(.

~+6.t

-~t-

+

~.'l&~e ..,..o(e~'_c~

*1'

~t-~t-X

X

+

M

~x.

-t

-7;---

-.:_

:

-- I I I I I : I

f(~

.

2..14 We stellen nu ~ - C. t..è -f(l(+e.lC/.j,.+t>~)- F(~,-t}:.

AF

zodat

6F

=

(~F+c.t>F\+

6t-

-ut-

0

x. )

hogere orde termen

Na limietovergang, waarbij we c constant houden, ontstaat

(

c{F)

~ c. :::;

oF

i"t-

+

c,

'OF

7>X

In het linkerlid staat de afgeleide van de functie F naar de tijd

in de richting dl( /

d.t

=c, ; vandaar de index c • De grootheid c

heeft de dimensie van een snelheid en is vooralsnog wiflekeurig.

Bovenstaande relatie kunnen we .opstellenvoor de vier afhankelijk

variabelen a.1, Itt, I VI en Vl. • In totaal hebben we dan acht

vergelijkingen. Er zijn ook acht partiële afgeleiden. I~evatten deze

laatste op als onbekenden en krijgen dan het volgende stelsel

lineaire vergelijkingen:

0

C) 0 <> VI 0 a.,

_{o \}

{O_«:J

:

\

~'"

"ct

L 0 I 0 0 0

V

1 0 _{<t-:z. \}

I

~

DV,

-~,

\

0 0 I 0

3

r

V;

:,

\

-il

~

1

~III.. - ~'1.. 0 0 0 I

d-

o ~l

t;

~

"::

'

-

-

l

~

_c

0_

_H

'

)

_c 0 0 0

,.

(.) 0 o

I \

~~

'-~<tl _lel",.~)

I

(2.11 ) 0 I 0 0 0 C- c.:> _<>

_'

_?x

I.-" , cl"'c 0 0 I 0 0 0 C. .0

I

\

u

₀₎₍

il,

(d.

",

'

\

d

e

I ,

o·l\.

(

!

~

i

/

0 0 0 I 0 0 0 C

I

\

-i;

waarin "- ~~1.

+

?I - ~((l( ..4

Jhl.

~'1.-:'1t(x+ ~I_ s~

f~

ct ..

S

,,-

~,

ft

~I en

Als de hoofddeterminant van dit stelsel ongelijk aan nul is,

kunnen de parti~lc afgeleidertuit'(2.11) bepaald worden. Uct uit

-zonderingsgeval dat de hocfddeterari.natnwel geHjk is ,HIl' nul i:,

echter het mQest interessant, omdat de afgcieiJ2p don onbcp~31J ~ijn.

We vinden zo de richtingen c{'I./d..1;. ;:. C V':1Il de z.g. groud+

karakteristLeken in het (xl~) _vlak, waar Langs zich disccntinuÏ'tciteu

in de partiële afgeleiden kunnen voortplanten. De grootheid c io; d.rn

de voortplantingssnelheid daarva~ (een discontinulteit inde af~nlciJn"

betekent een "knik" in het verIoop van de variabeLen als funcrie van x

en ~). Nul stellen van de hoofJdet~rminant van (2.11) leverl [ (c-v,)2._ (- et,

J [

Cc

-

vz.)'l._

(

p.,t

]

-

(1-

d

11.4.,

t?z. -:: o (2.12) waarin

J~-

f

i

fl.

('"

~

_ey

·.·~;1

het relatieve dichtheidsverschil tussen de lagen is. Vergelijking

(2.12) stelt een vierde gra~dsvergelijking in c voor. Er ~ijn

dus in principe ook vier voortplantingssnelheden. We zullen Later

echter zien dat in bepaalde gevallen complexe wortels voor kunnen

komen.

De regel van Cramer zegt dat we een onbekende in een stelsel lineaire vergelijkingen kunnen bepalen door in de hoofddeterminant een kolom te vervangen door de kolom in het rechterlid en de uitkomst daarvan te delen door de waarde van de hoofddeterminant. Door het nul stellen van

de hoofddeterminant is het stelsel (2.11) afhankelijk geworden. Dan

moet, om strijdigheid van het ste:iselte vermijden, ook de

eerst-genoemde determinant gelijk aan nul 'iet~e Ld. wordën. d...s ~.\I.

"

7 kolommen v.d. 0 hoofddet.

-~,

- ~L

~tl

₌

0

(dl

~t

(~~)

_l..k

_c,

Vervangen van andere kolommen door die van het rechter lid leidt niet tot nieuwe resultaten. Uitwerken van bovenstaande determinant levert de z.g. compatibiliteitsrelatie

( d.A, ) [ :t ]

(dlt

t). (1-~)1(C-",)(.c_v ....) d,1; c

+

'1

(c_v,)

-(.(4.,

d.... c.+

+

(I-cl

1

et

l (C-V1..)

c:

t.

+ (c-"1.)[

(C_VI

)2.._

~4..,

J

(~~'tl

of.

+

(c-"2.) [{

(C-

v

d

t-11l.,

l

St

+

(t-

r )

1et, S,1

=

0 (2.13)

\ij

Er zijn vier onbekenden in deze relatie, n.l.

( J.~,)

(J.~1..)1

(<::1.11,)

(tAl/I..)

.ik

c. I

tAt

c I de c, '

\.dk

c.

Er zijn ook vier karakteristieke richtinGen

rA>:/J...

4:-

::

.

c

.

zori.it; ",rl,\

vier compatibiliteitsrelaties voor de vier onbekenden kunnen opsteLl uu ,

Evenals bij lange golven in een eenlaagsysteem kunnen we op J~~c

resultaten een rekenmethode baseren. Zie fig. 2.15.

'*'

t

I

~+~~t~

d:t/c:..t:~- c - . - --Cz J '-'f

~

--

_A

-

-

_~

_c

_-

-.:!I---->x

fig. 2.15

Stel dat de toestand op het tijdstipi bekend is en dat we do' t.ocstand

op een wat later tijdstip .1;+0..1:. willen berekenen. Op het tijJNtip ~

kunnen voor een zekere )< dl!vier voortplantingssnelh~d(!n c,t/lll C<1

uit (2.12) bepaald worden (zie onder). Voor een punt

'P

ia hct

(

x

,t

)

.

.

vlak kunnen zode vier grondkarakteristieken gevonden wordcn \y.li1r1.1ngs

gelden. Dcicr« hsel'~" oIc"'·, di- .:J..f(crC!11. ;'1:'

de vier compatibili:citsrelaties

1"

oéie .. ée.. .;,.,('l.I~) ...ol'J<''' s

(

d

ct!:

a

l) _

-

(a

----

,

h -(

a

')

A

c, Àt

(ei

"-,

)

-:;;

(

a,

)

p

-

(<tl)e.

( d.,1::iCz. ~t- ""<'1&' •

/1?1A..a_l._1;- h~ l- ~o("..

r.-"10!

e?:

jk.

á

v

il-

O"W.tfh'I'({.

g

'T'""th

c

A

..t..I'

(I

,

)1"

(:

'

<

.

en (V.l)pinhet punt

"P

te. ~_pa..L""n. Deze berekening kan herh.i.rld \~orol,'>\

voor meerdere plinten langsde X +as en het tijdstip

.t

+bt- ,l'\1 da.ui..•

voor latere tijdstippen.

Opm.: Deze rekenmethode is voor praktische toepassingen vaak tcomslnclui!....

~!enneemt dan meestal zijn toevlucht tot een ei.udigu difrer'·nti.,,· ,r

eleruentenmcthode.

I~e·onderzoeken nu de oplossingen van (2.12) voor de versch.ilIcnd,

voortplantingssnelheden. Daartoe stellen we

C-v\ '"

X

'\§..,I

Het snelheidsverschil ~ tussen de lagen wordt hiermee

I.\.-=- VI_lil. -:.

y

-

X

(2.14)

(2.12) wordt met deze substituties

(x1..

_

1

A.

1

)(y1..

_

'3-1{.4)

-

(1

-

·

(.)1l<t.

I

~2.-=0

(2.1.5)

(2.15) stelt de vergelijking van een hyperbool in het voor, zie fig. 2.16.

(X~

y')

-vlak

yl.

\

\

~

I

.

"-:___

.\" - .- .- •- .1'I"'~oot-_.~L.

-

~-.;..---

-

-__ -- .t-l-~"::...:..

+\

~'

:-:---

---\ .1.:\.1

..

\

\

_,

\.. sy..ph••

Xl..

fig. 2.16 . 2. ..

Omdat

X

en

Y ~

positief of nul zijn, isalleen het eerste kwadrant van het (

X

'2.. , y.2_)-vlak van belang. In het

(X.

Y)-vlak levert

dit de krommen van fig. 2.17.

In ueze figuu, is ook (2.14) als een rechte)Weergegeven. De oplossingen van (2.12) vinden we nu als snijpunten van deze rechte met de

krommen.

We kunnen daarbij de volgende gevallen wat betreft de absolute waarde van het snelheidsverschil ~ onderscheiden:

I.

I

lt.1 is zo klein dat er tweesnijpunten met de centrale ovale kromme

zijn en twee met de buitentakken

2.

I ~I

is groter. zodat we alleen twee snijpunten met de buitentakken

vinden. Dit betekent dat de andere tweewortels complex zijn. Dit

geval is instabiel.

3.

I

U.I

is zo groot dat er vier snijpunten met de buitentakken zijn.

Ook dit geval is instabiel.

<

:»

I

/ I

_j

o

/

y-

x

-;.It

Y1

.ï"":"'1

(UI

i

_.... It

'

L-~

---fïc:-

I

~

-

-

~

..

_

,,

..,

-

_

.

,

,

v

E

11..1

i

'

1

0("

-

.

.

.

.

_

;,

-L-

_I

_//

_-

_{-_}

_.

_{_}

_..

_..

'/

I.

-Vf

z, fig. 2.17

\

I

Van werkelijke betekenis is alleen het stabiele geval i. HH S:I"I!:"iJ'i

-verschil IA.;.

"

,-

"

z.

isdan van de orde

I/

i.

,....,

Hierin is ct ,Jo! totalc

diepte,

a."tll+P..;t

~ 'l,....i/.~.te-. ci-vi f,... c~-v... k""'~'p( J,~~.,,(t.

~

l1

jf

"

••

-f:e-. h,·.~·et«..<",,,(,

1:.,-"...

~

j-

efA.". ,,"" v_.,{~ ",..t:(-e ~ (I(I~-ot:.

:t./~

"4 ••"'-< .~.,«.... ). /~

1

r<Jot/t(!..{<- Ce -"i b"",b~ip.I.".e.. ~ Ce - vl.. /'ct..or-e+1d. Z

r-

v...., 4 f?T'~,,_

f

;;'

.

.-l

bi

~(L

s-nl'

...

fe-. -rr

_..:-

_..

_r'

I!..

_.

.

_;'

2 '). "7'

"

,<~

,

.

v

_

.; j1 rl

H

t

ol

,

~

f

.

!:

.J

t'lj

~~

I Jc.<L""C.tI\l l"u\.,Ct" ~ b..Bj4Á.c"'~·'lJ~' het reLarievc dic

ht-Nu we de orden van grootte van ....,e.;-v"~A, ce-v"

oplossingenvan (2.12)gevenvoor waarden van é •

heidsverschil, die klein zijn tenopzichte vsn 1. Wc gaan dna~V00r nis

e

-i.

~

u

z, ~~- l <t,LIl.

+~

_a. C. i-t 1

vi

~L

+ lil '{,

liL

El

t:t,ifz. &t. -;:::0

Er is dan dus geen snijpunt met de centrale kromme in fig. 2.17. In hoof.dstuk V wordt aangetoond dat het voorkomen van complexe

wortels duidt op instabiliteit van het lagensysteem. Ook wordt

daar aangetoond dat bij scherp gren~vlak instabiliteit al bij

-...

geringere sne Ihe i.dsvers ch i llcn dan Ygegeven door (2.19) optrc cdi ,

Een praktisch criterium voor de stabiliteit van een lage",sy,;tCt'r'l !'1ijl\t

te zijn l zee, \...of.L,toJ": 'JJ:) De voortplantingssnelheid

ec:.

Vermenigvuldig de termen' in (2.12) uit en

verwaarloos de termen van de o rde

(E:.

t')t.

ten opzichte van de

resterende (grotere) termen. Maak hierbij gebruik van het feit dat C.:_1I1 e\'1 Cè-

v7.

van de orde

VEdtJ...

•

en

a.,

en a.{ van de orde

a.

zijn.

Oplossen van de resulterende vierkantsvergelijking in

c·

~

geeft

(v,_"z.)2.

<

!tCj~ ... i;'.;'O\

Co: '::

a,

V1.i- <l'1.11'1

Gl...

+

a.~~z.

[r1<t.-(.v

l

-V'zY']

c

e-«

I)

waarin t:t",de kleir.ste wo'('.rde is van de laagdikten a" eh (À~.:

r'lerk op dat, de voortplrmtingssnelheid c" sterk afhangt van de \'f'J'!:ml'l iJ"i~ (2.16)

tussen de laagdikten a., en tiZ Dit is veel minder het

De voortplantingssnelheid Ce. Maak gebruik van het feit dat Ce. - VI e.... ce -Vl.

van de orde

ifii- .

VI-V!. van de orde

Viiä-

,en t:tl en<tz. van de orde tl zijn. Verwaarloos nu de termen van de orde [.(14.'1.) De resulterende vergelijking is dan

geval met de voort;>lantingssnelheid ce.. Deeerste term in het rechterlid van (2.18) stelt cie over de verticaal gcmiddcld~

stroomsnelheid (Ii) voor. Vergelijk dit resultaat met d.n; voor

de voortplantingssnelheid van lange golven in een ecn laugs ystccm;

ook daarvoor ge ld te:: iit;

V ;~

,

lj:Jo z.

c

)

Ce _ 2.. Ce (VI

+

Vl.) -. Ce,

1A..

+

1.Cc

Î"

/t,l/z.

+

It.z.Vj :::!o

In de hi~rna volgende paraeraaf zullen we zien dat c~ de (2.17) _{voortplantingssnelh~id van de eerder genoemdeinterne golven}

voorstelt en Ce die van exter ne gol ven , Deoplossing Ce

=

0 voldoet niet. want deze is niet van de orde

~

Een benaderingsoplossing die wel voldoet is 3,2. Golven m~t kleine amplitude

Om inzicht te vcrkr ijgen in de voortplcnting van lange {:,-'lvenin

Ce

-=

etl VI

+

a.~ \/,_

a..

+vr:

(i<":I) (2.18)

een tweelagensyst0cm p~ssen ~e de mctllode der karnkter::~tickcn

toe op e en r eLatie f ecnvcudig geval, n.l. een ::\v~cla);\,~:~~;y')L(~ell' ....aar i.n kleine verstor ingcn optreden. Weve r onderstel lcn hie roij dat

Bij invullen van (2.18) in (2.17) blijkt de gemaakte fout van de orde ~

rQ-')'t.

te zijn, dus van dezelfde orde als de eerder genoemde verwaarlozing.

- de snelheden in ongestoorde toestand gelijk aan nul zijn

- de verstoringen in grensvlak en vrij oppervlak klein zijn tCII

opzichte van de Laagdikten , De stroomsnelhedca samenhal:g,.:~\dnd

de verstoringen ~ullen dan ook klein zijn. - de bodem horizontaal is

Vergelijking (2.16) laat zien dat de voortplantingssnelheden e,;

complex worden als

(V

1_

\/2.).t

>

e ~ ~

(2.19)

- de wrijving verwcorloosbaar is

- het relatieve dichtheidsverschil klein is.

~,::tt-:(

~II It II ( n::. -{ of Zo)

\~e neemende verstoringen in de laagdikten nu

fJ

_.

_,

resp ,

'

_{~ ~}

i

)

waurin

in

de laagdikte in ongestoorde toestond is.

-

.;).;)

-~y

Omdat

ä

H van plaats noch tijd afhangt geldt voor afgeleiden

van de laagdikten

(~H)C

={*)c

enz. De variaties in de laagdikten zelf. dus het verschil tussen

a.

1t en

Gl

n zullen we verder verwaarlozen. De verstoring in de totale diepte noemen we

2 .

We hebben dus (zie fig. 2.17)

t(=

~,+

~t..

fig. 2.17

Met gebruikmaking van deze verwaarlozingen kunnen we de vergelijkingch vereenvoudigen (lineariseren). Voor de voortplantingssnelheden vinden

we. zie (2.16) en (2.18). C'--l-l~

c. - -

V ~( -;::-

(2.21)

C _ ..j-IÇ

e - -

V1~

(2.22)

De voortplantingssnelheden zijn bij benadering constant. zodat de karakteristieken in dit geval rechten zijn.

De compatibiliteitsrelatie vereenvoudigt tot

c'(~t

+

(CL_'~",l

(~t

Hlc(7~L

+

1

(c'-1~ll(~t

=0

Omdat de coëfficiënten in deze relatie nu bij benadering constant zijn. is analytische integratie langs een karakteristiek mogelijk:

~j

clt,

-+-

(c.

t._ (.~

-t,)

t~ +

a.

1 C VI

+

+

~

(

c2..

_

~,t'tf)

Vz.. '" constant .r

0

.

.

k ~ langs karakterlstle (1•.'[}

Voor de karakteristieken met

c

:;;.

()Û(.

/

~ :..

±

C

e

_

levert C'.

n

)

.

met verwaarlozing van de term met oe factor

E.

,

Ce

'L,

+-

Ce ~1....

±.

ct

lV,

t

a.z.

V2.. ..constant (

~

.

.:

)

Voor de karakteristieke richtingen C:. c{x !ti{1;- =-

±.

Co:.viudr-»'.,'(!. :netverwaarlozing van CZ in de laatste term111het linker I id van

(2.23) (

c.

Zis nu cverircdig met E:., zie Cl.21» •

i1A.z.

"L, -

f3t{,

~l -t

:.te,

VI

+-

cte..V2. a constant

c

:

.

:,.

,

:

We beschouven IIU acht ercenvoLguns een golf die met een sue11:"i.l

c

e

en é[.n die met een snelheid Co:.loopt.

Golf m(!t voortplantingssnelheid Ce - externe

j,

'

lll

.!l'=-

'"

~

, i De compatibiLiteitsrcLaties (2.24) 'en (2.25) vo cdeu voor dit g"""'ll

'!!: :

-

Ce j(,t

cM.

C~:

~-Jx :. +

c;

:

d.k

Ce.'ll -I-- Ce

1Lt.

-

et, VI -1Z.2. Vl.. :: 0

s

1

ltt

t, -

ia

ll.

l

1[2.

_

o..c~

1/1

+

(l..C.: V1._ ~c'

Zl ~ 1

,

-

~q(1,1

1

t

+-It.C<. V, _t\..

c

,

Vt, 0

Deze karakteristieken komen uit een ongestoord gebied (zic fig. 2.jij).

Golfhoogten en stroomsnelheden zijn daar gelijk aan nuI , Dl~ l'(',;illl'r

leden in de compatibiLiteLtsreLati.eszijn dus ook gelijk aan nul.

De vierde compatibiliteitsrelatie, n.l. die Langs de karustcristick met

d.~/

tl..

1:.

:fee ,maakt aansluiting aan begin- of ralldvo,)n;,!:'rd"n'

mogelijk. Door schuivcn met het punt A langs deae :(ar;!!al)~i:;t!:,J. u lijkt

dat de golf in de tijd niet van vorm verandert, oadut hel schuiveu g.,"'ll

-l

t

fig. 2.18

~

\ A.l(_{\ jj!';f}

:.-co:

b

--> )(

Uitwerking van vorenstaanue drie relaties geeft

Ce. f1 VI

=

\/2.::'

CL

l en Gt'1. ~l.::'

CL ~

w

J~I<S~~

(2.26)

Dit type golf wordt dus gekenmerkt door de volgende eigenschappen (zie fig. 2.19)

- de voortplantingsanelheid is Ce -;:.

± ~

- de stroomsnelheden zijn constant over de diepte

de verstoring in het grensvlak verhoudt zich tot die in het vrije oppervlak als de dikte van de onderlaag tot de totale diepte ttl.

t-=

r- ~

_V,

1

positief fig. 2.19

~~

.:=r-

.

r ée -I V1 ::'0 '> Ce 177777 777777777 ~ negatief //I'/F

De externe golven komen overeen met die in een eenlaagsyatcem. De twee lagen gedragen zich hier samen als één laag.

\.../

Golf met voortplnntingssncllieidei. _.interne L1ngc golf De compatibiliteitsrelaties(2.24) en (2.25) worden nn, zie ook fig. 2.20,

1..'1.

A::' -

CG'•

J"x

_{M::' -}

·

c~

Jx

_(M..

-=.

+

Ce

Ce

'tI +Ce.~t - .zIVI - ~2.Vl..:: 0

~it{z.

'1.1 -

f~a.1 V[L -

a.c.:

VI +Gt(.: Vl :.0

le.'l.1

+CetL1-.:tlvl +<t1.Vz._::'O

ti

1

ew

/~cif

Vel"1;t-ol-\"'le.I\ /

/

/

b

1~!

~"'~

-/ \ ~....____~

.,.

_ce..

,..".

\.--..

«:

H!

,&J:

-c: --."

~

;

c.;

~\;

,

d.!:.

\

b

'J=/'I

ve"\to~':~~a",

--;

><

fig. 2.20

Nu geldt dat de karnkteristickmet;

J,.t./lk

=--j.(..: gebruikt kan",)r..!,!!1

voor het opleggen van rand- of bcginvoorwaarckn.Ook intl'l''''" I':",;'!

golven met kleine amplitude veranderen in de tijd niet van vl,rm. Uitwerking van bovenstaanderelaties geeft

VI"" -

s:

.-:t.1

~~

"2.

=

C.:

ttL

1

1-

en

'1..

"'

0

\~evinden hier

t::

₀ • omdat E.. klein verondersteld is,