Windgolven. Handleiding college b78

Ji

uitge

herdruk

cct.

ßept. '8

HÂNDLEIDIÑG COLLEGE b78

prof. drir. J.A.Bottjes

Vakgroep Vloeistofmechanica

Âfdeting Civiele Techniek

Technische Hogeschool. Deift

Sept. 1982

2e herdr

aUg. '86

b78.!

20'+ 0? 9 3e hd

INHOUD

Inleiding

Stochastische variäbelen

Stochastische prOcessen

Spectraal analyse

Statistische eigenschappen vaìì, windgolven

Go1fverwachtngsmêthôdieken

Golfklimatólogie

1. INLEIDING

1.1. Doel

Windgolven op zee, d.w.z. door wind opgewekte golven aan bet opperviak

van deee, vormen én der meestbelangrijke omgevingsinvloeden voor het

gedrag ván zandige kusten en van constructies aan de kust of

buiten-gaats. De waterbôuwkundige ingenieur die werkt op het gebied van kust-verdediging, kusthaens of offshore constructies behoort dan ook kennis

van dit verschijnsei te hebben, ±odanig dat hij in staat zal zijn

eigen-schappen van wiúdgolven te berekenen zówel als effécten die zij

teweeg-brengen aan kusten en constructies. Het doel van bet yak "Windgolven" is nu bet geven van een inleiding in de methoden die daarbij gebrüikt:kunnen worden, en van etkéie belangrijke resultaten.

1.2. Aspecten

In het yak "lorte golven" is een categorie goifbewegingen in water

be-.handeld op determinist-isehe vije, gebruik makend van dé wetten va de

hydrodynnica. Bij gegeven begin- en raidvoqrwaar4en kan da mee worden berekend hoe groot snelheid én druk zullen zijn op een wiliekeurig

tijd-stip in een willekeurig punt.

Een opperviakkige beschouwing van windgolven zal al voldoende zijn orn in te zien dat die zich niet lene voor een determi.nistische beschrijving.

Weliswaar blijven de wetten van de hydrodynamica evenzeer van belang, maar

bet is niet doenlijk orn voor windgolven begin- en randvoorwaarden te geven

die een deterministische beschrijving mogelijk zouden maken. Dit is teug

te voeren op bet turbulente karakter van de wind. De momentane windsnel-heid is te beschrijven als een stochastische grootwindsnel-heid. Ook al kennen we

daarvan enkele kenmerkende grootheden, b.v. de over een zekere tijd

ge-idde1de waarde in een aantal punten, dan nog is bet v66rkomen van een zekere fluctuatie in sneheid (of druk) niet voorspelbaar in deterinis-tische sin. We kunnen hoogstens bereiken daarvoor waarschijnlijkheden aan

te geven. Hetzel.fde ge.ldt voor de door die wind opgewekte golven.. M.a.w.,

i.p.v. een deterniinistische beschrijving is een probabjljstj&che beschrijving

geigend voor windgolven. We kunnen ook zeggen: we gaan het verschijnsel.

is gefundeerd op de kansrekening.

Met het voorgaande is een invalshoek gegeven die nogal afwijkt van wat

gebruikeiijk is bi.j andersoortige watergolven die van belang zijn in de

waterbouwkunde, zoals scheepsgolven, hoogwatergolven, en bovenal getijden.

Zoals bekend laten vooral de z.g. astronomische getijden zich zeer goed deterministisch beschrijven. Een getijdenregistratie wordt dan oôk zodanig

geanalyseerd dat hij zo goed mogelijk kan worden ge-±eproduóeerd, met als doel de voorspélling tnogelijk te makén van b.v. hoogte en tijdstip van toekothstige hoogwaterstande. Dit is-. zinvol omdat de oorzakelijke

fac-toren bekend zijñ, en een zodanige regelmaat hebben dat voorspelling ervan

mogelijk is. Bij windgolven is da-arvan geen sprake. Een registratie daarvan kan niet in details, met inbegrip van de fasen, worden gekoppeld aan in

de-tails voorspelbare oorzakèlijke factoren. De dede-tails in een enkele

registra-tie hebben daarom geen betekenis voor nze beschrijving van het verschijnsel..

De analyse van een windgolvenregistratie moet er dus bewust Op gericht zijn

de toevallig in die registratie aanwezige detail-s te negeren. In plaats

daar-van gaat het erom dié -eigenschappen uit de registrtie te destilleren die

represekitatief zjn voor dé zèétoetàñd aarvan de te analyseren registratie

slechts een steékpröef is.

Naast dé hydrodynamica en de kansrekening is ook de spectraal-aialyse

(Fourier--analysé) een belängtijk .hulpmiddel in de beschrijving van windgolven. Het blijkt nl. dat een bruikbare benadering van het gedrag van win4golven wordt verkregen door deze te beschouwen -als een superpositie van lopende, sinus-vormige golven met verschillendê ainpltùden, frekwenties, lengten, richtingen

en faseñ, z.g. spéctrale- componenten. Het opsplitseñ van een gegeven

golf-veld in déze componènten gebeurt in de spectraal-analyse. Het resulterende 8pCCtr4m geeft een ged inzicht in de structuur van het verschijnsel. Het geeft in beknopte, overzichtelijke vorm de essentie ervan weer, althans bij benadering. Het ugt dan ook voor de hand dat bet spectrum een centrale

plaats inneemt in

de

beschrijving vañ windgolven.

De bovengenoemde invaishoeken vn wáarùi't windgolven kunnen worden

be-:naderd, nl. die van de hydrodynamica, de kansrekening en de

spectraal-analyse, zijn alle drie nodig. Zij -zijn onderl-ing gekoppeld. M.a.w., de genóemd aspecten zijn wel onderscheiden maar niet gescheiden.Dit maakt

de bestudering van windgôlven âanzienlijk gecompliceerder dan b.v. die

'van de periodieke golven.

In het voorgaande was steeds sprake van een gegeven golfveld. In

prak-tische toepassingen zal het veèlal nodig zijn orn de golfeigenschappen af te leiden, uit gegevens ván wind, diepte, afstand uit de kust, enz.

Dit-is het terrein van de

golfverwachting.

De overdracht van energie van wind naar golven is ondanks veel onderzoek theoretisch nog niet goed bekend.

Golfverwachtingsmethodieken berusten voor- wat betref t de golfgroei dan ook

op empirische gegevens. De

voortplanting

van een eenmaal .opgewekt goif

veld daaretegen kan met voldoende nauwkeúrigheid theoretisch worden

be-paald.

Op grotere tijdschaal bezien (b.v. decennia) wordt het v66rkomen van winden

en stormen van een zekere intensiteit zelf op stochastische basis beandeld,

en van de daarmee samenhangende zeetoestanden eveneens. Hiermee kornen we op

het terrein van de

golfklimatologie.

In technische toepassingen gaat het :in laatste instantie niet orn een be-schrijving van windgolven, waarop bet voorgaande betrékking had, maar orn

de bepaling van invioeden die dezen uitoefenen op iets anders, b.v. een staande of drijvende constructie. Hiermee raken we het aspect van de

responsiébrekeningen.

In veel gevallen zal de responsie niet slechts door de golfamplitude worden bepaald, maar tevens door frekwentie en

richting. Gedacht kan worden aan de frekwentie-afhankelijke afneming van drukfluctuaties et de afstand onder bet opperviak, en aan systemen met

eigen trillingsvormen, zoals een schip in roibeweging (mogelijkheid van

resónantie). In zulke gevallen is het dienstig orn het gegeven golfveld spectraal te ontleden, de responsie per component te bepalen, en die

dan te sonneren orn de responsie op het samengestelde golfveld te bereke-ntn. Dt betrckkelijke eenvoud van deze spectrale rekenwijze voor

hct b

palen van reponsies is een belangrijke bijkomende reden waarom

htt

speC-trum zo'n essentile rol vervult in de beschrijving van enhet rekenen

aan windgolven.

De gekozéú indeling van 4e stof in het college (zie inhoudsopgave) voigt in grote iijnen de aspecten 41e in het voorgaande zijn genoémd. Eén

be-handeling van de hydrodynamica van golven is echter achterwege gelaten,

(b76). Voorafgaand aan hethoofdstuk over stochastische processen is

een résumé gegeven omtrent stochastische variabelen, aansluitend aan

de bekend veronderstelde behandeling van de kansrekening in het college

Toegepaste Statistiek.

1.3! Literàtúür

Van elk van de min of meer kiassieke basisdisciplines die van belang zijn

voor de beschrijving van windgOlven, met name de hydrodynamica, de

kans-rekening en de spectraal analyse, zijn vèelboeken beschikbaar die geschikt zijn voor een eerste kennismaking. Dit geldt echter niet voor de zaken die specifiek zijn voor windgolven; die zijn nogal verspreid in een groot aan- I

tal tijdschriftartikelen en rapporten, die niet zijn bedoeld als inleidiüg in het vakgebied. Wel zijñ er enkele públicaties beschikbaar die _een

samen-vatting geven van de literatuur op een bepaald deelgebied (b.v stätistische

eigenschappen, golfverwaçhtingsmethodiéken).

Aan hét êifld van elk hoofdstuk in dit dictaat is eenkorte lijst opgenomen

van liteätuur die dienstig kan zijn naast het dietaat dan wel voor

2.1. Inleiding

In dit hoofdstuk zullen enige elementen uit. dewaarscihijnlijkheids-rekening de revue passeren. We zullen ons daarb-ij meteen richten op

stochastischevariabelen, met name continu verdeelde stochastische

variabelen. Dit hoofdstuk bevat hier en daar herhalingen van de stof

van het college Toegepaste Statistiek, maar de accenten liggen anders, en wel meer öp de vraag welke informatie nodig is voor de beschrijving

van stochastische variabelen. Verder wordt er aandacht gegeven aan

samen-gestelde verdelingen van twee of meer variábelen, en aan de begrippen

covariantie en correlatie. Voor een úitvoeriger behan4eling van e.e.a.

dan hier plaatsvindt wordt verwezen naar voortgezette colleges

kans-rèkening en naar boeken zoals van Van der Griiiten en Lenoir, Moroney,

Papoulis of Stam (zie literatuurlijst).

2.2. Enkelvoudige stochastische variabelen

De wäarschijnlijkheidsrekening i als on4erdeel van de züivere wiskunde

op axiomatische basis geplaatst door Kolmogorov. Wij zùlleñ hier echter

uitgaan van een meer intuitieve benadering en het kansbegrip interpre-teren áls een relatieve frequentie.

Stel dat in een experiment (b.v. het goien van een dobbelsteen, of het

opwekken van golven in een windgolfgoot) een grootheid wordt gemeten.

Als deze grootheid bij herhaling van het experiment onvoorspelbare waar-dèñ aannèemt, dáor allerlei onbekende of niet-controleerbare oorzaken,

dan noemen we hem een stochactieche varia.bele. In de schrijfwijze wordt

dit vaak tot ulting gebracht door een oderstreping (b.v. x). Een waarde die x aanneemt bij én experiment is éri realisatie van x. Het is

gebrui-kelijk orn realisaties met dezelfde letter te schrijven als de stochastische variabelen waarvan zij realisaties zijn, met weglating van de onderstreping.

We nemen nu aan dat het relatieve aantal keren dat we cen uitkornst vinden,

kleiner dan of gelijk aan z, nadert tot een constante (lirniet) waarde als

het aantal herhalingen van het experiment oribeperkt toeneemt. Die waarde

noemen we de relatieve frequentie van de gebeurtenis (x<x),; we zullen hem

als Pr(x < x). Deze is voor een gegeven stochastisóhe grootheid (x)

èen functie van x, de z.g. verdelingsfunctie:

P(x) =.Pr(x<x) (2.1)

Opm.: Eenmeer voliedige notatie zOu tot uiting laten komen dat dit de

verdelingsfunctie. vaíi x betref t, b.v. door te schrijven P(x) i.p.v.

P(x). WI] zullen dat echter kortheidshalve in het aigemee niet doen.

Vit de definitle van P(x) voigt dat P(x) monotoon niet-dalend is. De

kans op een .onmogeii.jke resp. zekere gebeurtenis is per definitie. gelijk aän O resp. 1. Dus

en

Ook geidt

Ret differentie quotint

P(x+x) - P(x) Pr(x < x <. xfLx)

steit de kans voor dat x in het interval. (x, x+x) ugt, gedeeld door

de lengte van dat intervaL Stei nu dat. dit tot een eindige wáarde

nadert ais ¿x O. De. stochastisch variabele x heet dan. continu (i.t.t. discreet). Ret linkerIid van (2.5) gaat in dat geval over in de af ge-leide van P(x)., geschreven äls p(x),. die wij gezien bet rechterlid 4e

kansdichtheidsfünctie van x kunnen nemen:

Bij benadering kunnen we dan schrijven

Pr(z < z z..z) (2.7) fl_co) = O

P() =

:p(b) - P(à) = Pr(a <x < b) p(x) dx dP (x) lirn

cO

Pr(x

< X

< x+1x) (2.5) (2.6) Figuur 2.1 (2.2) (2.3) '(2.4)

P (x)

Figuur 2.2

Een stochastische variabele worth in statistische zin gehee gekenmerkt

door zijn verdclingsfunctie of (als die bestaat, zoals we hier

veronder-stellen) de kansdichtheidsfurict le. Die bevatten n of meer

De belangrijkste hiervan zijn die welke kenmerkend zijn voor de jqzr.c;

resp. de spreiding van x. De meest gebruikte parameters daarvoor zijn

resp. het gemiddeide en de standaardafwijking. Daarnaast kent men para-meters voor scheefheid, gepiektheid, enz. bm dergêlìjke parapara-meters te

definireü voeren ve het begrip verwachtingswaa±'de in. terwiji (2.3) en (2.4) resuitéren in

Pr(x<) = P()

_{= f}

_{p(x)dx =} 1 (2.9) -en b Pr(a < x < b) = P(b) - P(a)

f

p(x)dx (2.10) a

De verwachtingswaarde van eeñ functie van x, b.v. h(x),is gedefinieerd

als

E{h(x)} = f h(x)p(x)dx (2.11)

-Wé kúnnen dit interpréteren als een gemiddelde over alle mogelijke

waar-den h(x), gewogen met de kans dat x een waarde zal aannemen in een

in-finitesimaal interval (x, x+dx).

Het gemiddelde van x, geschreven als p, is per def initie geiijk aan de

verwachtingswaarde van x

= E{x} = f .xp(x)dx (2.12)

-Het rechterlid van (2.12) stelt het "statischt' ment voor van p(x) t.o.v.

x= O, ofwel bet z.g. le-orde moment,om een term te gebruiken die niet

aan bet vakgebied van de mechanica is verbonden. Meer in bet algemeen

definiren we het n°-orde moment van p(x) t.ô.v. ì O als

f x'p(x)dx (2.13)

Blijkbaar geldt

= E{ xT1} (2.14)

De variantie van ç is gedefinieerd als

var(x)

E{Xp))

(2.15)

Door bet rechterlid uit te schrijven en (2.12) te substitueren kan worden

bewezen dat

var(x) E{

x2}_

2 (2.16)

ofwel, in termen van demomenten

Als maat voor de spreidthg. van x kan de standäardafwijk.i.ng dienen, gedefinleerd als

E {var(x)}1 (2.18)

e e

We zien dus dat hiervoor naast het i -orde moment ook het 2 -orde moment

nodig is. Evenzo kan een scheefheidsparameter worden gedefinieerd,

waar-in het 3e_Örde moment verschijnt, een gepiektheidsparameter waarwaar-in tevens

het 4e..orde moment voorkomt, enz.

In de context van een theorie kunnen we de kansdichtheidsfunctie van een

stochastisehe variabele veelal békend veronderstellen, in welk geval

even-eens alle momenten daarvan bekend. .zijn. In een praktische situätie

daar-entegen kunnen we op grond van steekproefgegevens slechts schattingen

maken van de kansdichtheidsfurictie, b.v. via schattingen van de momenten.

Naarmate we daarbij in staat zijn hogere en hogere orde momenten te

schat-ten, krijgen we méer en meer kennis van de kansdichtheidsfunctie. De

laag-ste-orde momenten zijn daarbij de -belangrijkste (ligging en spreiding uit

M1 en M2). De hogere-orde mòmênten geven relatief minder extra informatie

en zijn ook met minder grote betrouwbaàrheid te schatten uit een

steek-proef. Hoger dan M3 of N. wordt zelden gegaan.

Het voorgaande kan nog worden toegespitst op kansdichtheidsfuncties

waar-van de vorm wel bekend is (b.v. Gauss of Rayleigh) en waarwaar-van slechts de

parameters (een eindig aantal.) behoeven te worden geschat. In dat geval

behoeven slechts evenveel momenten te worden geschat als dat er

onafhan-ke].ijke parameters zijn Een Gaussische kansdichtheidsfunctie b y , zoals

kct slechts voor de hand Momenten van (x-p 2 p(x) _{exp i:-} -- } (2TT) X X (2. 19)

twec onafhankelijke pàraters (waarvcor en dc

ecst

X X

liggende keuze zijn). Die kunnen uit M1 en M2 worden bepaald.

hogere orde kunnen, indien zij nodig zijo, worden uitgedrukt

in p en a, en dus in en M2 M.a.w., voor de statistische beschrijving

van een Gaussisch verdeelde stochastische variabele is kennis van de mOmen-ten t/m die van 2e_orde voldoende.

De

Rzyleigh

_{kansdichtheidsfunctje kan worden gechreen àis} Trx iT x 2 p(x) exp -

()

De bijbehorende verdelingsfunctie is Pr{x < x}= P(x) I - exp Figuur 2.3

Blijkbaär heef.t de Ry1eigh-verde1ing slechts n parameter. (Darvoor

is in 2:2O en 2.21 de gemiddelde waarde gebrtiikt.) Van een stochastische

variabéle waarvan békend is dat hij Rayleigh verdeeld is bhoeft dus

s1ehts én oênt t

worden bepaáld Orn de verdelingsfünctie te kennen. voor X > 0 (2.20) voor x < O 2 (è) } voor x>0 'ix (2.21) o voor x<O

Meestal gebruikt men hierôor M of M (waarbij ùit (2.20) voigt dat

M=ji2

=!M2).

1 2

2 rr x ir

2.3. Tweestochastisehe variabelen

In het voorgaande is een stochastische variabeie genttoducéêrd ais een

grootheid die onvoorspelbare waarden ãanneemt bij herhaiing van een ex-periment onder gelijk gehouden controleerbare omstandigheden _Evenzo

kun-nèn we per steekproef de waarden bepaien van twee grootheden, en zo twee

stochastische variabelen definieren, b y x en y, met een gezcvnenhjke verdelingsfunctie P(x,y), zodanig dat

Pr{x<x eny<y}= P(x,y)

(2.22)

De bijbehorendê gezamnlijke kansdichtheid.functie is

zodat

Prlx <x

< 1+&x en y < y < y+5y}p(x,y) cSx óy (2.24)

De verdeiingsfunctie van X a1in, ongéacht de waarde van y, is

P(x) = Pr{x< x eri -

< y<

= f dx!! p(x',y)dy

- -

(2.25)

Deze is tevens gelijk aan

X

P(1) -

_p(X')dx'

(2.26) -oe zodat p (

2P(x,y)

:'

axay

(223) p(x) =Tp(x,y)dy, (2.27)

de z.g. rnarginaZ..e kànsdichthèidsfunctie. Èen soortgelijke betrékking geldt voor p(y).

Beschouw nu de kansdicht Id van x, gegeven dat y = y. We noernen dit

de voorwaardelijke kansdichtheid vanx, geschreven als p(xly). Hiervoor

geldt

p(xly)ôx Pr{x < x < x+5xjy = y} (2.28)

Een soortgé]ijke betrekking geldt voor p(ylx). Gebruik mákènd van de regel

uit de kansrekening (zie van Soest, handleiding Toegepaste Statistiek A)

Pr{A en B) = PrA} .Pr{BIA} (2.29)

waarin A en B gebeurténissen zijn die al dan niet kunnen optreden, vOigt

p(x,y) = p(x) p(ylx) = p(y) p(xly) (2.30)

Als de kans dat x (resp. y) bepaalde waarden aanneemt onafhankelijk Is van

de waarde van y (resp.

X),

dan noemt men x en y stochastiach onafhanke-lijk. In dat. geval gldt dus p(xly) = p(x) en p(ylx) = p(y), zodat dan

tevens geldt

p(x,y) = p(x) p(y) (2.31)

Op analoge wijze als in het gêval van n stochastische variabele def

i-niren we de verwachtingswaarde van een functie h(x,y) van twee variabelen

X en y

E{h(x,))

= f f h(x,y) p(x,y)dx dy (232)

-Ook kunnen we monten de! iniren van p(x,y) to.v. z O en O:

mn

mn

-

-= E{x y } -= f f x y p(x,y)dx dy

-

(2.33)

We spreken van re_orde mômenten vanneer m + n =:r. Ais we ons .'oeperken tot

M

=Ex)

1,0

-(2.34)

en drie

eorde

momenten:

M

E{x2}

2O

-M1,1 = E{xy) (.2, 35)

= E{y2}

De varianties van X resp. y zijn

2

-2

a

= var(x) = M M.

X

-

;o 1,0

(2.36)

a2

= var(y) M0,1 M0;

Dezen geven slechts iets weer van de spreiding van x en y afzonderlijk, en zouden ook

Zi]fl

te bepalen uit de marginale verdelingen Het essentieel nieuwe t.o.v. hetgeval van een enkelvoüdigeväriabelé is dät er bij twee

variabelen sprake kan zijn van een meer of minder sterke samenhang. 0m dit uit te drukken wordt de

covariantie

ván x en y gebruikt, gedefinieerd

als

cov(x,X) (2. 37)

oi1, na uitwerkefl,

De covariantie speelt o.a. een rol als we de variantie moeten bepalen

vari de sorn of het verschil van twee stochastische variabelen:

var(x+y) = E{E(x+y)

()]2}

Door het rechterlid uit te werken is (2.39) te heileidên tôt

var(x i- y) = var(x) + var(y) + .2 cov(x,y)

Een dimènsieloze en genoreerde maat voór de covariantie van x en y is de

z.g.

rrelatie-coefficient,

gedefinieerd als

cov(x,y)

(2.41)

De waarde van y is een maat voor de lineaire afhankelijkheid tüssen x

xy - - -.

en y. Dit kan worden gezien door na te gaan in hoever-rê y tè benaderen

y

E y - (a x + b)

X Figuur 2.4

-is doòr (a z + b), waarin a en -b constanten zijn. De waarden van a en b

worden bcpaald uit de voorwaarde van inimalizering van de geniddelde

kvadratische afwijking. Dus als

(2.39)

(2.40)

cov(x,y) var(ì)

dan moet E{c2} minimaal worden. Dit vereist. dat E{c} nul moet zijn, ofwel

= aj+ b, (2.43)

terwiji var(e) minimaal moet zijn. Deze is glijk aan

var{y - (ax + b» = var(y) +. a var(x) - :2a cov(x,y) (2.44)

(zie vgl. 2.40). Bijvariatie van a is de waarde van deze variantie mini-maal indien

De waarde van dit minithum, en tevens van het minimum van E{c2}, is

tn:Ln

E{C}

_{= var(y)}

co.v2(x,y)

var (x)

ljitgedrukt in verhouding tot de variantie van y is dit

min E{}

var(y) -I < i xy-cov(x,y) var(x) var(y)

V2

xy

Het linkerlid van (2.. 47) kan niet negatief zijn, iodat geldt

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Verder blijkt uit (2.47) dat l'ri een maat

is vootdelieare

azv'kc-van

zen

. Het geval _Y I kamt blijkens (2.47)

overeen met

volledige lineaire afhankelijkheid. Sij kleiner wordende yj zullen

aselect getrokken waarden van (x,y) zich steeds minder _{orn een rechte ,lijn}

scharen. Als _{O zegt men dat x en y ongecorreleerd zijn; zij zijn dan}

lineaironafhankelijk, wat overigens niet betekent datzij niet op een

is ineetgegevens een verzameling puntenârën {x,y} wordt gevonderi, die verdeeld zijn orn een cirkel zoals in onderstaañde f iguur, dan is de

lineaire corre1tiecofficint 0, terwiji hier dùideiijk een

,bepaa1-de afhankeijjkheid tussen x en geconstateerd kan worden.

E{x

Figuur 2.5

Omgekeerd geidt echter wel dat stochastiSch onafhankeli.jke v7ariabèiefl

aitijd ongecorreieer. zijn. Dit voigt uit substitutié van (2.31) in de

uitdrukking voôr

É{Ì

y} n uitwerken:

rn

É{x y] f f xy p(x,y)dx dy

f i

p(x)dx

f y

p(y)dy (2.49)

--

- -rn

öfwei

(2.50)

zodat in dit geval cov(x,) s O (zie vgl. 2.38). Stochastisch onafhankelijke

variabelen zijn dus ongecorreleerd. maar bet ogekeerde hoeR niet bet

ge-val te zijn.

Gezienhetbovenstaande voigt uit (2.40) dat de variantie van de Sôm

van twee (of meer) stochastisdh onafhankeijke variabeien geiijk is aan

De begrippen covariantie en correlatiE spelen bij de beschrijving van stochastische processen (zoals windgolven) een bèlangrijke rol, omdat

een essentieel deel van die beschrijving juist gaat over de structuur

van het proces in de tijd, rn.a.w. over de samenhang tussen de

proces-waarden (b.v. de uitwijking van het zeeoppervlak) op versçhillende tu

stippen. In latere hoofdstukken wordt dit verder behandeld.

Tot slot van deze paragraaf; wordt ingegaan op de

Gaussiache

samengestel-de kansdichtheidsfunctie van

ùee

variabelen. Deze is te schrijven als

I

exp1-2(1

p(x,y) -.

We merken hierovér het volgende op:

Als ÓTedücéert (2.51) tot p(x,y) p(x)p(y). M.a.w.,

tweege-zamenlijk Gaüssisch vêrdeèlde stòchastische variabelen die

ongecor-relèerd ïijn, zijn tevens stochastisch onafhankelijk.

De enigé parameters in (2.51) zijn de gemiddelden (p,p), de

standaard-afwijkingen (cY,,c), en de correlatiecofficint 'r. ofwel: de gemid-delden en de covarianties, als we de variantie van x zien als cov(x,x)

en idem voor y. M.a.w. : de twee-dimensionale Gaussische

kansdichtheids-functie is geheel bepaald door de le_ordeen 2e_orde momenten. Dit is

een generalisatie van de overeenkomstige uitspraak voor het

1-dïmèn-sionale geval.

2.4. Wi11ekeurigaanta1 stochastische variabelen

Ret bovenstaande is uit te breiden tot een villekeurig aantal stochastischt

variabe1en

b.v. z, z ...,

t een n-dimtnsionalc vrrdillng%functie

zodanig dat P(x ,x ...x ) = Pr{x < i _{en x} < x en ...o x

< x}

(2.52) 1 2 fl - - I

2

₂

-(x-p)2

-(y-p)2

)t

52

2y

-'

X X (2.51) 211 (1

._xy xy

Begrippen als marginale en voorwaardelijke verdelingen, verwachtings-waard, enmomenten. worden gedefinleerd volledig analoog aan het

2-di-mensionale geval. De le_Orde moménten zijn de gernddelden van de

sto-chastische variabelen X. afzonderlijk (P. E{x} voor i = I,,... n).

De 2e_orde momenten, die gezamenlijk een n x n matrix vormen, geven de vèrwachtingswaarden van de producten van twee van de n variabelen

(E{x1x} voor i = 1,2...n, j = 1,2...n ), de 3e_orée momenten die

vandrie variabelen, enz. 0k hier geldt dat kennis van de hogere en

hogere orde momenten een steeds betere kennis van de gezamen],ijke

ver-delingsfunctie inhoudt, en - dat. de momenten van le_orde en 2e_orée de belangrijkste zijn, ofwel : de gemiddelden .i1= E{x} en de

covarian-ties cov(x1,x.) = E1:x.x.} . De covarianties vormen gezaxnenlijk

een n x n matrix, de z.g. covaPiatie-rntrix C. . E cov(x.,x.). De

ele-1,3

1)

meuten op de. hoofddiagonaal zijn de varianties: C= covQ1,1)var(1).

Zondér nu de complete formule voor de n-dimensionale Gaussische

kans-dichtheidsfunctie te reproduceren wordt. hier gesteld dat deze geheel is

bepaàld door de le_orde en 2e_orde momenten (ofwel : door

de

gemiddelden

en de covarianties), evenals in de gevallen n = 1 en n = 2 die al

be-sproken waren.

2.5. Centrale limietstelling

De centrale limietstelling in én dimensie houdt in, ruw gezegd, dat de

80717 van een

groot

aantal stochastisch

onafhnkelijke var bln onder

vrij ru:ime voorwaarden bij benadering Gaussisch verdeeld is.

Dit kan als voigt preciezer worden geformuleerd.. Beschouw de S van n

stochastisch onafhankelijke variabelen x1

(i

= 1,2, n):

n s

-n

-i-I

(2.53)

Stel dat de verwachtingswaarden en de standaardafwijkingen van x. gelijk

zijn. aan en

.

respectievelijk

en

1Js =.

1!

n i=I

n

a2 = Z

s.

_i

n i=1

nJs

z--n

n

n

co as

n

Deze kunnen onbeperkt toenémen als

n -

co

_{orn welke reden we bij}

voor-kéur werken met de gereduceerde variabele

(2.. 54)

(2.55)

(2.56)

waarvan de verwachtingswaarde en 4e standaàrdafwijking gelijk zijn

_aan

O respectievelijk 1, ongeacht de waarde

_{van n. Volgens de centrale}

li-mietstelling is Zn Gàussisch verdeeld in de limiet n

De "vrij ruime"

voorwaarden waaraan de variabe].enx. môeteii voldoen (behaive de hierboven

_-

_-i

_-.

-reeds génoemde) houden in dat niet

_{én erVan mag domineren. Een voldoende}

(niet nodige) vooräarde hiervoor is dat

a.

urn

= O voor elke i

.

(2.57).

Dit betekent dat elk der bijdragen

_{x. slechts een oneidig kleine}

rela-tieve bijdrage tot de variantie vári de

som levert.

In het voorafgaande was sprake van de centrale limietstélling

_{in één}

dimensie (omdat de somvariabele enkelvoudig is). Hij is

_{echter uit te}

breiden tot meer diensies (Cramér,

_l937

_{1970). Daarôp wordt hier niet}

verder ingegaan.

De centrale lirnietsteìling is voor windgolven

_{van belang otndat de daarin}

optredende momentane uitwijkingen, snelheden, drukken enz. kunnen worden

gezien als het resultaat van een soflmiatie

van bij benadering

onafhanke-lijke, siflusvorinige componenten, met als gevolg dat de

centrale

limiet-stelling bi benadering erop van toepassiug is, zodat de genoernde

groot-heden bij benadering Gaussisch verdeeld zijn. Hetzelfde geldt dan voor responsies van (b.v.) coústructies op de golven, voorzover de betrékking

tussen responsie en excitatie lineair is.

2.6. Rsum

Etikelvöudige en meervöudige stochastische variabelen worden beschreven m.b.v. én-dimensionale resp. mér-dimensiona1e kansverdelingen, die op

hun beurt zijn te bepalen via de nj van momentEn, waarvan die van lage orde de belangrijkste zijn. Met name geldt dit voor de gemiddelden en de

(co)varianties. iCennis hiervan is voldoende voor Gaussisch. verdeelde

variabelen. Dergelijke variabelen kunnen ontstaan uit de som van een

groot aantal onafhankelijke bijdragen.

2.7. Literatuur

- H. Cramr, Random Variables and Probability Distribtitions, Cambridge University Press, 1937, 1970

- P.N.E.M. van der Grinten en J.M.H. Lenoir, Statistische

Procesbeheer-sing, PriSma - Technica 50, Uitg. Het Spectrum., Utrecht, 1973.

J.R. McCord en R.M. Moroney, Inleiding tot de waarschijnlijkheidsleer,

Prisma-Aülá no. 328, Uitg. Het Spectrum, Utrecht, 1967

A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes,

McGraw - Hill, Inc., 1965

- J. van Soest, Eleinentaire Statistiek. Handleiding voor het college Toegepaste Statistiek A. De].ftsche Uitgeversmaatschappij, Delft, 1974

- A.'J. Stam, Inleiding tot de waarschijnlijkheidsrekening, Uit. H. Stani

3. STOCHASTISHE PROCESSEN

3.1. Inleding

Verschijnselenzoals windgolven, met éen stochastisch karalter en een

afhankelijkheid van tijd en/of ruirnte, kan men beschrijven als een

stochastisch proces. In dit hoofdstuk worden enige bégrippen uit de theorie, daarvoor geïntroduceerd. Het gaat daarbij órn begripsbepalingen,

orn een kiassificatie van verschillende typen stochastishe processen, en

orn de .informatie die nodig is voor een statistische beschrijving ervan.

Tenslotte wordteén stochastisch proces gentroduceerd dat kan dienen als een model voor windgolven.

3.2. Def initie van een stochastisch proces

In het voorgaande hoofdstuk werd een stochastische variabele geinttoduceerd als een nietvoorspelbare ùitkornst _{van een experiment, in die .zìn dat}

her-halingen van het eipiriment bij gelijke contróleerbare ömstaüdigheden tot

verschillende en niet van tevóren bekeñde resultaten leiden. NU _{gaàn wij}

experimenten beschouwen waärbij de uitkornst bovendien nog een functie is

van de een of andere onafhànkelijke variabele, wa.atvoor we voorlopig de tijd (t) zullen kiezen. Wé kunneñ b.v. denken aän het verloop van de water-stand met de tijd, ergens in eei göot waarin doot wind golven worden

op-gewekt. Ook al zouden de controleerbäre Ornstandighede, zoals gemiddelde

waterdiepte, gemiddelde windsnelheid etc., bij herhaling van een expe-riment constant worden gehouden, dan nog zouden de daarbij op te nëmen registraties van de golfbeweging niet (in details) steeds hetzelfde _beeld

opleveren, en ook niet voorspelbaar zijn. In figuur 3.1. zijn twit van zulke

Digclijke.

_{regiscraties gischetat, resp. Ht) vn '(t) waarbij het}

t = to

2

(t)

tijdstippen ( , .),

ti

t2

de samenhang die bestaat tussen die juist essentieel is voor de

jt41lî\JV,i

maar dit verschaft nog geen inzicht.. in

de waarden van op die tijdstippen,

beschrijving van bet golfkarakter van

de uitwijkingen. Daarvoor is bet nodig de verdelingsfunctie te kennen. We kamen zo tot de volgende aanduiding van

van

t1t;

een stöchastisch proces in meer algemene zin, en van .wat nodig is voor de

statistische beschrijving ervan.

t = to t = ti t = t2

Figuur 3.1

We beschouwen nu eerst de waarde van de uitwijking (n) op een

tijd-stip t1, dat vastligt t.o.v. het tijdtijd-stip (t0) waarop de ventilator word

gestart (m.a.w., we houden t1. t0= constant). Het is eeú

ervarings-feitdät de waarde van de uitwijking niet voorspelbaar is bij her-halingen van bet experiment. M.a.w. de uitwijking r op hét tijdstip

is een stochastische variabele, geschreven als met een

dimensionale kansverdeling en bijbehorende momenten,'die we kunnen

schatten uit verschillende. realisaties (1r1(t1), 2fl(t1), ).Dit.

kunnen we ook doen voor andere tijdstippen t2, t3 ...Wat we dan krijgen is statistisçhe informatie over de uitwijking op een reeks van

Een stochastisch proces is een geordende verzamèling stochastischè variabelen In fyssche processen is dè ordeningsparameter veelal de

tijd (t), en/of n of meer mte-cordinateii. Wê beperken dns vöor-aisnog tot tijdsafhankelijke processen. Als te de verzameling

tijdstip-pen waaröp het procès is gedefinleerd aanduiden met 7' en de proces-waàrdé met i, dàn kunnen we het bétreffende stochastisch proces aanduiden

al de verzatheting {x}, t De verzamelig rkan eindig. of onindig

zijn, en aftelbää (discrete tijdstippen) of nietaftelbàat (t ontitu).

Een registratie vañ de waarden van x als functie van t in n experimnnt

is een realz.satie vafi het proces {x}, geschreven als x(t), waaraan we nog ¿eu rangnummer kurin en toevoegen orn ze van elkaar te ónderscheiden. De

verzameling van beschikbare of denkbeeldige realisaties heet het ensemble

3.3. Beschrijving van een stóchastisch proces

Voor de beschrijving van een stochästisch proces moeten we de gezcnenZijke

verdetingsfunctie kennaivan de waarden ervän op een willekeurig aantal (n) willekeurig uit 7te kiezén tijdstippen t1, t,

t:

P(ç1., X2,

x) = Pr(xx1 en

(x2

en

....

x)

(3.1)

1 2 n

Deze is op zijn beurt te beschrijven m.b.v. de r-ij van le_ordé momenten, 2e_orde momenten, en hogere-orde momenten, ofwel uit de gerrtiddelden u. E ECxt ) , de covariwit-tes C E coy ), en hogere-orde mo-menten. Om.: omdat C. . de covariant:ie voorhelt3van tweewaarden van

- 2.,J.

hetzelfde proces spreekt men hier van autocovarianties.

Een stochastisch prOces heet Gssiscb als de in (3.1) aangeduide

ge-zamenlijke verdeling van bet Gaussische type is in n diensies.

Derge-lijke

processen zijn volledig bepaald door de gemiddelden en de

co-varianties C.

3.4. Stationaire processen

In het geval van opwekking van windgolven uit een rust-toestand

(f iguur 3.) kan men twee fasen onderscheiden: een aanvangsfase waarin

sprake is van groei van de golven (en een aanpassing van de gemiddelde

water-stan4) ,en een eindfase waarin zieh een vorm van evenwicht beef t ingesteld..

In de aanvangsfase variaren diverse statistLsche parameters die het

pro-ces beschrijven in de tijd, terwijl dat in de eindfase niet bet geval is.

Men noemt het stochastisch proces in de aanvangsfase niet-s.tationar, en

in de eindfsé stationair. Of een proces al dan niet als sationair is

te beschquwen hängt veelal af van de duur vaaqver men het bekijkt.

Wind-golven op zèe b.v. zijn op een tijdschaal van ca 15 min of minder veelal

als stationair te beschouwen, maar op een tijdseh1vàn enkele uren niet omdat beiàngrijke omgevingsfactoren (wind, gétij) op die tijdschaal

aan-merkelijk kunnen variaren.

Het spreekt vanzélf dat de beschríjving van stationaire processen veel

minder gecotnpliceerd is dan die van niet-stationäire processen. Zoals eerder is gesteld is voor zo'n. statistische beschrijving kennis nodig van de gerniddelde. vaärden, de autocovärianties, en van hogere-orde momenten.

Voor een niet stationair proces kan p E{x } variaren met t., en zal

de autocovariantie coy (xe,

) kunnen varren met

de twee tijdstippen (t1, t) waarvoor hij is bpaàl. Hierbij moet worden bedacht dat het

niet gaat orn de waarden t resp. t zelf, maar orn de tijdsduren verstreken

na de start van de ventilator (t.- t- resp. t.- t ). Maar in de stationaire

- i o _J o

fase van het proces doet het er niet meer toe wanneer die start plaatsvond. Dit houdt in dat hoogstens lokale tijdsverschillen nog van betekenis

kun-nen zijn. In concreto leidt dit ertòe dät voor een stationair proces de

gemiddelden E{x} voor alle t dezelfde waarde hebben, dus

F{x } s const o voor i - 1,2, n *

en dat de autocovariaflties C1ç coy (xe, x) flog slechts variaren met

het tijdsverschil- (t.- ti). Duiden we di verchil aán met T dan kunnen we de z.g. autocovaiantiefunctie definiren als

C(T)

coy (xe,

_t+T

= È{x

_t+T - (3.3)

waarbij de notatie C(T) erop duidt dat de waarde van coy (xe,

_xt+T)

wel

van T àfhàngt maar niet van t; de toevoeging "xx" geef aan dat het gaat

orn de auto-covarianties van

OÌidat voor stàtiönäiré processen slechts het tijdsverschii bepalend is

voor de aúto-co'ariantie, gldt blijkbàar

C(T) = C(-T)

(3.4)

Het is dus een even functie. De waarde ervan kan nergens groter zijn dan in de oorsprong, omdat twee

verschillende

stochastische variabelen

(x en. met T * O) niet sterker gecorreleerd kunnen zijn dan een

variabele met zichze1f Formeel kunnen we. dit zien via de z.g.

auto-correlatiefunctie:

C(T)

cöv

C (0) var (3.5)

Voor elke t. en T is deze geiijk aan de correlatiecofficint tussen x en

t+T zoals gedefinieerd in (2.41), zodat blijkens (2.48) tevens .geidt

,(T)I

C(0)

(3.6)

(Op.: in de literatuur worth de functie R(t) E

Ex

vaak

aañgt-duid

als dr autocorrelatiefunctic van hei stationaire pruces .

l)tzr

benaming

is

in zoverre onjuist dai em correlatie een genoreerde cova

nantie is, en E(x xt+T} is noch het één noch het ander. De moraal van

deze opmerking is dat per geval (per werk) moet worden nagegaan welke

in stationaire pröcessen is É{x} constant, d.w.z. onafharikeiijk van t. De waarde van deze constante kan door een geschikte keùze van

het referentieniveau gelijk aan nul worden gemaakt als we geTnteresseerd

zijn in de fluctuaties, en niet in het gemiddelde niveau zeif. Voor

wind-goiven b.v. is dit zinvol, waarbij we dan de relatief larigzaam varirende

getij stand uitfilteren.

Zoals reeds is opgemerkt. is voor de beschrijving van Gaussisçhe processen

kennis van de gemiddeiden en van de autocovarianties voldoende. Voor

sta-tionaire, ,Gaussische processen behoeveñ we dus slechts het gemiddelde P

te kennen, en de autocovariantiefunctie C(T). Stationaire, Gusssche

processen met gemiddelde gelijk aan nul zijn volledig bépaald door hun

c,tocovariantiefuñctie.

Een overzicht van de informatie die nodig is voor de volledige beschrijving

van een aantal typen processefi wordt hieronder gegeven.

Stochastisch proces Nodige para-meters: momenten van orde

/\

Niet-stationair Stationair

Willelceurig Gaussisch Willekeurig Gaussisch

p. p. p(=O) p(=O)

C. . C. . C(T) C(T)

1,3

1,)

D(T1, 12)

-enZ. eñz.

Hierin zijn de 3e_orde momenten aangègeven met D (d.w.z. D.

= E{x } en

D(T,T2) =

E{x _t+T

i. _j k 1 2

2

3

In deze paragraaf worden enkele voorbeelden gegevn vañ stochas-tische processen in een mathemastochas-tische formulering Zij worden

gegeven voor de begrlipsvôrmirìg omtrent stochastische processen in het

aigemeên. Modellen voor windgclven komen in par. 3.7 ter sprake.

v.b.

=

2x(t)

a is een stochastische variabele met gegeven kansdïchtheidsfunctiê p(a).

0m een reälisatie te genereren van (3.7) nemen we een willekeurige steek-proef van a, zeg ka, en stellen kxÇt) daarari gelijk voor alle waärden

van t in het definitie gebied (f iguur 3 2)

x(t)

Figuur 3.2

Dit voorbeeld laat zien dat d formele definitie van eéh. Stochastisch

proces niet inhoudt dat eei realisatiè een grillig verlôop moet hebbén

in de tijd. Het gaat ero dat de waarden van{ ç} niet priori zijn

(3.7)

a

te voorspellen. BIj het proces (3.7) zi3n de waárden van x voor

versehillende waarden van T volledig gècofreieerd (y(T)

I

voor

alle T)

C

(0)=.var(x ) = var(a)

xx

-t

-

--T

Figuur

3.3

Tensiotte wordt opgemerkt dat (3.7) een Gaussisch proces is as a

Gaussisch verdeeld is (dus als p(a) van de vorm (2.19) is)

}= E

, t(-,)

(3.8)

'.1=-1

n =

1,2,

...,

zijn stochastisch onafhankelijke variabelen met

gegeven xnarginale kansdichtheidsfuncties.

Voor dit, proces geldt in grote trekken hetzelfde als voor

(3.7),

be-halve dat (3.8) Gaussisch is, ongeacht of de bijdragen a

individueel

Gaussisch verdeeld zijn, gezien de centräle limietstelling (aann,nende

dat aan een voorwaarde zoals

2.57

is voldaan).

v.b. 3

=

cos 2irft, tE (,), f = const

(3.9)

De realisaties zijn in dit geval sinusvoruiig, met stochastische amplitude

(figuur 3.4). Ze hrbben allen dezelfde fase. Daardoor is (3.9) cen niet

stationair proces,. Neem als voorbeeld:

Ebc}

E{ä cos 2irft} = E{a} cos 2trft

(3.10)

to

Fi.guur 3.4

De wäarde hiervan varieert thet t (.tenÉij E{a} = O). Evenzo geldt dat

E{x

x}

E{a2}cós 2îrft1 cos 2iîft2 (3.11)

zöwel met t als met t varieert, en niet is te rédùceren tôt een func-tie van (t2-t1) à1l&n.

Of $.9 al dan niet een Gaussisch proces voorstelt wordt bepaald door

op dezelfde wijze als in voorbeeld 1.

v.b. 4

x}

a cos (2nft + ci), t( (_,) (3.12)

a en f zijn constanten en ci is cen stochastische fase, uniform virdeeld

op het interval

ci(-1T,1r):

p(ct)

p()

o

Figùur 3.5

De rëalisaties van (3.12) zijn .sinusvormig, allen met dezelfde ampli-tude (f igúur 3.6). Het uniform verdeeld zijn vân de f asen houdt indat

er niet een voorkeurs-fase is, zodat (3 12) een stationair proces voorstelt

2x(t)

_A

Figuur 3.6

Dit is

in

detail als voigt te zien, waarbij we als voorbeeld E{x}

bepa1n:

E{x} = E{a cos(2rrft + ct)}

= f a cos(2'rrft + cl) p(a)da

-=af cos(27tft +a) -dOE= Q

(3.14)

Merk op dat bij het bepalen vân de verwachtingswaarde, d.w.z. bu het

middelen over de stochastische fásehoek OE, de tijd wegvalt (omdat

uniform verdeeld s). Dit is vanzelfsprekend niet slechts het geval

voor E{x} maar voot de veriacbtingswaarde van welke functie van {}

dan ook, zodàt (3.12) en stationair proces is.

De aütocovariantiefunctie is tè berekenen op dezelfde wijze als E{x}

(doe dit), met het resultaat

C(t) = cov(x,

_t+T = - a2 cos 2lrfT (3. 15)

Voor t= O reduceert dit tot

C(0) = var(x)

_{= L} a2 (3.16)

3.6. Schatten van paraieters

In theoretisch wrk over stochastische processen kan men en proces vol-ledig beschrijvén door aangenomen verdelingen, inclusief de bijbehorende

parameters (zie voorgaande voorbeelden). In praktische situaties zal men

de eigenschappen van het proces, m.n. de diverse momenten van de geza-menlijke verdeling (3.1). meten schatten op basis van registraties, die dan als steekproef worden beschouwd. 0m de proces-eigenschappen te kennen moeten we afzièn van toevallige verschillen tussen registraties, en zoeken

naar datgène dat zij gemeenschappelijk hebben. Daartoe gaah we in prn-cipe middelen over het ensemble (bi vaste waarden van t), wat we met < >

wrdt uit een steekproef van K realisaties bepaald als

Kk

<x(t1)> E E x(t1)

k= 1

(3. 17)

Dit is een schatting vän

_E{x

},

ofwel van het le_orde moment van de kansdichtheidsfunctie van Op socrtgelijke wijze kunnen in principe

schattingen worden gemaäkt vn hogere-orde momentén, zoals <x(t1)x(t2)>

als schatting van enz.

.1

2

Bij schattingen zoals bovenstaande zijn er twee praktische beperkingen: zo

wel deduur(T)als het aantal (K) van de realisaties is beperkt Het eerste houdt in dat de autocovariantiefunctie slechts geschat kan worden voor

jTI T, het tweede betékent dat de betrouwbaarheid van de schattingen

beperkt blijft. BÌj de spectrale analyse van stochastische procèssefi (hoofdstuk 4) kornen we op beide aspecten terug.

Hierboven werd gestêld dat middelingen in princjpe over het ensemble

moesten gebeuren, dus bij vaste

_waar4en

van t. Bij tationaire processen echter is het ook zinvol om over de tijd te middelen, binnen én

reali-satie. Dit zullen we met een overstreping aandúiden. Ret ti.jdsgemiddelde

van x(t) b.v. wordt uit een continue realisatie met düur T bepaald als

Ç

k

dt (3.18)

Voor een realisatie met discrete tijdwaarden (een z.g.

tijdreeks,

"time series" In het Engels) wordt de integratie vervangen door een sónatie.

In principe kunnen de tijdsgemiddelden van diverse grootheden (b.v. kx(t))

verschillen van reaüsatic tot realisatie. zeUs aïs T Dit is o.a. het

geval in de voorbeelden I, 2 en 3. Proctssen waarvoor zij convergeren

naar dezelfde waarde als T * (zoals in voorbeeld4) ...

Die gemeenschappelijke limietwaarde is dan tevens gelijk aan bet

ensem-ble gemiddelde van de betreffende grootheid, als we daarbij het aantal .realisatieswaarover we middelen onbegrensd laten toenemen. Beide

limiet-waarden zijn dan bovendien gelijk aan de verwachtingswaarde van de

betreffende grôotheid.

In praktische sitùaties, _{en zeker bij metingen in de natüur, heef} t men veelal slechts de besch-ikking over _{n realisatie, met een eind-ige duur,}

en is men aangewezen op tijdmiddelingen

orn de proces-eigenschappen te

schattêú. Daarbij wordt ergodiciteit _{vóórondej-steld. Bij windgolven is} dit geen probleem omdat niet is in te zien waarom de gemiddelde eigen-schappen van een golfveld zouden verschillen van éxperiment tot expe-riment -als we de van belang _{zijnde invloedsfactóren zoals gemiddelde}

diepte, windsnelhejd e.d. _{op dezelfde waarde hoúden.}

3.7. Random phase model

3.7.1. En-djmens-ionaal random _{Ehase model}

In deze parägraaf zullen wij een mathematisdh proces introduceren dat kan dienen als _{een mo}

fysisch denkbeeld dat w.ij daarbij _{hanteren is}

wind die lokale verstoringen aanbrengt in het chastisch verdeeld zijn in ruimte en tijd, en

planten over bet opperviak. De uitwijking in een vast punt zal dan Op

elk moment bestaan úit de som van verschilléndè sinuscomponenten in wil-lekeurige en bij benadering van elkaar onafhakelijke f asen. Als we ons voorlopig beperken tot de variaties in de tijd allén, van b.v. de uit-wijking van het opperviak in een gegeven vertikaal, of de deeltjessnei=

heid

in

_{een vast punt, dan komen we tot het volgende model:}

(t

ii

Z

a

cos(2îf.t + e.), t(-,)

_i

geformuleerd stochastisch del voor windgolven. Het

dat

_van

_{een türbulente}

wateropperviak, die sto-diê zich vervolgens

voort-(3. 19)

De

e'

U. worden verondc.rsteld a:ac:a

_{o'f rkeUjk te zijn, elk}

met een 'orrnc

kidichthcjd

zoals gegeven in (3.13). Het enige dat

daarnaast flog n dig is orn de proces-eigenschappen vast te lggen is ken-nis van de amplituden (a1) van de respéctiévelijke spectrale _{componénten,}

ofwel a. als functie van de frekwentief..

Het uniform verdeeld zijn van de fasen impliceert, evenals in voorbeeld

4, dat (3. 19) een stationair (en ergodisch) proces voorstelt. De

onaf-hankelijkheid van de fasen, en daarmee die van de spectrale cömponenten,

impliceert dat (3.19) een Gaussisch prÒcès is, zoals blijkt uit toepas-sing van de centrale limietstelling (veronderstellend dat niet n van

de bijdragen overheerst, m.a.w. dat de bijdragen vôldoen aan een

voor-waarde zoals (2.57)).

Het proces (3. 19) is een handzaam model voòr stationaire, Gaussische

pro-cessen en wordt in die context veel gebruikt (niet alleen in toepassingen

op wjndgolven). Het wordt vaak kortweg aangeduid als. het "random phase model". Zoàls geforrnüleerd in (3.19) is het één-dimensiónaal, mdat slechts

t als onafhankelijk variabele erin voorkomt. Ruimte-dimensies worden in het

volgende toegevoegd (zie 3..24).

Omdat (3. 19) een stationair, Gaussisch proces voorsteit is het geheel

be-paald door het gemiddelde en de autocovariantiefunctie. Hiervoor geldt

(bewijs dit)

en

E{x} = O

= cov(x,

_t+T

cos 2irf.t

VoorT= O reduceert (3.21) tot

Ci(0)

var(x) =

IastgenoeiDdegt1ijkheid voigt ook direct uit het gegeven dat x de som

is van stochastisch onafhankelijke bijdragen, et varianties

Voor T = O worden alle bijdragen in (3.21) in fase bij elkaar opgeteld;

voor toenemendeT gaan de bijdragen in (3.21) élkaar in toenemende mate

ophef-f en door interophef-ferentie, waardoor

C(T)

kleiner wordt (hoewel dat niet

(.3.20)

(3.2.1)

monotoon hoef t te gébeuren). Een schets van een mogelijke realisatie

van (3.19), en een schets van (3.21), zijn hieronder gegeven, voor het

geval dat de componenten die aarimerkelijk bijdragen tot de variantie van betrekkeiijk weinig in f.rekwentie (f) verschillen. De realisaties lijken dan op een ânplitude-gemoduleerde sinusfunctie., terwiji de auto-covariantiefunctie lijkt ôp een langzaam gedenipte sinusfunctie (f iguur 3.7).

Uit (3.21) blijkt dat C(T), en dus ook het proces (3.19), geheel

bepaald is door de. verdeling van de varianties van de componenten (a2) over de frekwenties (f.). In de spectrale beschrijving van windgolven (hoofdstuk

6)

komen wij hierop terug.

3.7.2. Méér-dimensionaal random-phase model

t

Het random phase modél (3.19) heef t betrekking op funct-ies van de t-ijd.

Vooraf een opinerking Over de notatie. In het voorgaande werd de

prôces-waàrde met x aangedui4 omdat we niet over specifieke grootheden spraken.

In dit voorbeeld gaan we ons expliciet richten op de uitwijking vati het

opperviak uit de middenstand als de stochastische variabele, geschreven als r, en zullen we die zien als functié van twee cordinaten in het

horizontale viak (x,y), en de tijd (t),. (Let op de nieuwe betekenis van

x.)

We bekijken eerst de uitvijking (n) in een enke-le sinusgôlf, met hock-frékwentie w = 211f en golf getal k, lpend in een richting die een hoek e insluit met de pasitieve x-as (f iguur 3.8). (In verband met de beknopte

notatie gebruiken we hier w i.p.v. f.) Daarvoor geldt

Figuur 3.8

n(x,y,t) = a cos(wt - kx cos O - ky sin O + a) (3-23a)

ofwel, in vectornotatie, met = (x,y) en = (k,k) = (k cos O,k sin e):

n(t,t) a cos(wt .

fOE)

(3-23b)

Door soatie van verschillende componenteri zoals (3.2.3) ontstaat bet

meer-dimensionale random-phase model:

fl(x,y,t) E E a. .cos(w.t - k.x cos O. - k.y sin O. + a. .) (3.24a)

1,3 1 1 .1 1 J -1,3

13

k =k cos e

ofwel, in vectornotatie, met . (k.cos 8., k. sin Oi): - 1,3 1

j

1

j

9. - 9. fl(r,t) = E E a. . cs(w.t - k. .'r + c.

1,j

1 1,3 -1,3

13

(3.24b)

Voor verschillende waarden van (i,j) worden de fasen stochastisch

onaf-hankelijk verondersteld, elk met een uniforme verdeling zoals in (3.13).

De absolute groottes van de golfgetalleñ (k) in (3.24) worden geacht be-paald te zijn door de frekwenties (via de lineaire dispersie relatie),

vandaar dat ze dezelfde soatie-index hebben äls de frekwenties. Per

frekventie c.q. golfgetai kunnen echter flog componenten uit verschillende

richtjngen v56rkomen; vandaar dat O een eigen index krijgt, en we met

een dubbelsom werken. Aan elke combinatie (i,j) (ofwel f rekwentie c.q.

golfgetai en richting) wordt een deterministische amplitude toegevoegd

(à. .) en,zoàls gezegd, een stochastische fase (a. .).

1,3 1,3

Het uitgébteide random-phase model (3.24) stelt een Gaussisch proces voor dat stationair is in t en homogeen in (x,y). Het laatste houdt in dat de

statistische eigenschappen onafhankelijk ijn van de plaats; siechts

plaats-verschillen zijn van belang, e.e.a. analoòg aan het begrip stationariteit

in de tijd. Het modél is dus slechts lokaal bruikbaar,, voor tijdsduren

resp. afstanden van niet meer dan b.v. honderd kenmerkende golfperioden

rsp. lengten.

Het proces (3.24) is geheel bepaald door zijn autocovariantiefúnctie, die

in dit geval niet slechts ¿fhangt vari een verschuiving in de ti.jd (T=t2-t1)

maar tevens van een verschuiving in de plaats in het horizontale viak

( _:2-rl):

(.

, )

('0V _(:1

,?.

) (3.25)

r ,t

Substitutie. van (3.24) en uitwerken geeft

9

2 -+

C (p,t) = Z Z a. . cos(w.T - k.

.

Deze worcit op zijnbeurt blijkbaar geheel bepaald door de verdeling van de variänties vn, de componenten (a2) over de frekwenties (w= 21rf) en

de richtingen (G.). In de spectrale beschrijving van vindgolven

(hoofd-stuk 4) kornen we hierop terug.

Doordat in (3.24) golfcornponenten met versçhillendê frekwentie en

golf-lengte worden gesoeerd ontstaat door ver.lopende interferentie een beeld

van afwisselende reeksen van hogere of lagere golven; en doordat de compo-nenten uit verschillende richtingen komen ontstaat een beeld van een in

beide dirnensies onregelmatig opperviak, mèt z.g. kortkainmige golven. Kwa

litatief zijn dit voor windgolven realistische eigenschappen.

Aangaande de toepasbaarhei.d van het random-phase model op windgolven in meer kwantitatieve zin 'wotden twee 6pmerkingen gemaakt.

Ten eerste wordt erop gewezen dat (3.24) een sonilnatie geef t van een af-telbaar aantal (discrete) componenten; in werkelijkheid zal. er in wind-golven sprake zijn van een continuum van ,frekwenties en richtingen. Dit

houdt o.m. in dat de autocovariantie naar nul gaat voor T of p - De

wis-kundige fôrmúlering verandert in zoverre dat sonnuaties door integraties

moeten worden vervangen, maar in essentie veranderen de statistische eigenschappen daardoor niet. Eenvoudigheidshalve zullen wij het discrete

model blijven hanteren, ook ai wordt het continue model bedoeld.

De tweede opmerking betref t êen meer fùndamenteel aspect., nl. het niet lineaire karaker van windgolven. Daàrdoor belnvloeden verschillende

component-golven elkaar, en kannen .zij dus niet strikt onafhankelijk van

elkaar zijn. Niet-lineaire effecten zijn zwak t.o.v. lineaire wanneer de golfsteilheid en (vooral) de golfhoogte /diepte verhouding voldoende klein

zijn. Dan is (3.24), een realistische benadering van windgolven. Met toe-nemend belang van ñiet-lineaire invloeden zal bet een minder goedc

benn-dering worden. Dit uit zich vooral in ondiep water.

3.8. Rsum

Een geordende verzameling stöchastische variabelen noemt men een stochas-tisch proces. Voor de beschrijving daarvan is kennis nodig van, de

gezamen-lijke verdeling van de proceswaarden

op versehillende,, willekeurig te

kiezenwaarden van de ordeningsparameter (bv. de tijd). Een dergelijke

verdeling is op zijn beurt te beschrijven niet de nj

van momenten van

1e

2e

en hogere orde. Voor Gaussische processen is kennis van de

orde en 2e_orde momenten voldoende, ofwèl kennis van de gemiddelden en

de autocovarianties. Stationaire Gaussische,

processen met gemiddelde

gelijk aan nul zijn geheel bépaald door de aut6covariantiefuncti.e,

_{die dan}

flog slechts van het verschil tüssen twee tijdwaarden afhangt.

Windgolven kunnen in de lineaire benadening worden

_{opgevat als een som van}

onafhanke].ijke sinusvörmìge componenten, in welk geval zij kunnen

worden

beschreven m.b.v. het z.g. random-phase model,

_{wat een stationair én}

Gaussisch proces voorstelt. Als zodanig is bet bepaald door

_de

autocova-riantiefunctie, die Op zijn beurt is bepaa].d door de verdeling

van de

vanianties van de componentén over de frekwenties en de nichtingen.

Met iaatstgenoemde opnierking raken wij de spectrale ànalyse

van windgolven,

of van stochastische

tocessen in meer algemene zin. Daarover gaat- het

volgende hoofdstuk.

3..9. Literatuur

O.rn. de volgende boeken geven een elementaire inleiding tot de theorie

van

de stochastische procéssen:

- J.S. Bendat én A.G. Piersol, Random Data: Analysis an4 Measurement

Pro-cedures, Wiley-Interscience, 1971.

PM.E.M. van der Grinten en J.M.H. Lenoir, Statistische Procesbeheersing,

Prisina-Technica 50. Uitg. Het Spectrum, Utrecht, 1973.

- A. Papoulis, Probability, Rando

_{Variables and Stochastic Processes,}

4.

SPECTRAAL ANALYSE

41

nl.iding

Zôa].s reeds vermeld in hoofdstuk I

is het van belang orn een stochastisch

proces te kunnen ontleden in sinusvormigecoiuponenten, zowel voor het

in-zicht in de structuur van het proces als voor berekeningen van de respons

van lineaire systemen op het proces. Laatstgenoemd aspect koin in een

volgend hofdstuk ter sprake. In dit hoofdstuk zal de spectrale analyse

als zodanig worden behandeld, gericht op toepassingen. op stationaire

sto-chastische processen. Daartoe zal eerst een beknopt résumé worden

gege-ven van enkele resultaten van de klassieke Fourier-analyse,

aansluitend

op de daaromtrent in het college "Getijdent' (b75) behandelde stof.

De hier gegeven behandeling is elementair gehouden, gezien de beperke

omvang van de totale stof van het college "Windgolven". Dit

ujt zich met

name in de volgende punten:

bewijzen worden in het algemeen niet gegeven;

Fourier-reeksen én Fourier-integralen worden apart behandeid i.p.v.

via een geünificeerde benadering, waarbij gebruik gemaakt zou moeten

worden van de theorie van (Dirac) distributies;

het begrip convolutie wordt niet gebruikt.

Voor informatie over deze punten, en meer in het algemeen over Fourier

analyse en de toepassing ervan op stochastische processen, wordt

ver-wezen naar de literatuur die is genoemd in par. 4.7.

4.2. De Fourier-reeks

Een functie x(t), gedefinieerd op

kan worden ontwikkehi in een z.g.

sinus- en cosinusfuncties die elk

interval passen. Dit houdt in dat

basisfrekwefltie .!

I/I:

f =

,

voor n = O,+I,+2,

n

i T

--een eindig interval, b.v.

t(-T,T),

Fourier-reeks, d.i. een reeks van

een geheel aantal keren in het def.initie

de frekwenties veelvoüden zijn van de

Een söm van sinus- en còsiñusfuncties kan beknopt wordèñ weergegeven in complexe schrijfwijze, gebruik màkend van de forùle van Eüler

ela= _{cos +i sin . In deze notatie kàn de Fburier-reksontwikkeling}

van x(t) (hier continu verondetsteld) vórden geschreven als

i2irf t

x(t):=E ce

n

_(4.2)

waarin de (complexe) Fourier-coefficienten zijn te bepalen uit

-i2irf t

n

c

f

x(t)e dt voor n = O,+1,+2, (4.3)

-T

-De nj waarden _{cI,n=O,I,+2...heet het} pltudispectrwn van x(t), en de nj waarden arg c,n=O,+I,+2...het fasenspectrum. De coff i-cinten c en e zijn elkáárs complex. toegevoegden, zoals blijkt uit

(4.1) en (4.3) (voor reêle x(t)). Bet amplitudenspectrum is dus een even functie van n (vañ de frekwentie), en hêt fásènspectrum een oneven functié.

Qua informatie hadden we dus kunnen volstaan (voor x(t) reel) met niet-negatieve frekwenties, zoals in

x(t) = a cos(2Trf t + cx) (4.4)

nO

waanin dan a0= c0, ₀₌ en (4.5) -n arg c, voor n

= 1,2 ...

Weliswaar waren we in het voorgaande uitgegaan van een functie x(t) div

slechts op het

interval (-T,

T) was gedefinieerd, maa de som van de

reeks (4.2) is bepaald voor elke t op het interval t(-,). Aangezien

de frekwenties f veelvouden zijn van de basisfrekwentie

som van de reeks periodiek met periode L: De reeks (4.2) kan dus worden

gezien als de Fourier-reeks van een f.unctie (t), die

hetzij slechts gedefinieerd is op een eindig intervaL, met lengte T

- hetzij periodiek is mt période T..

Voorbeeld Hiervoor geldt IT -i2iTf t t -i2if 't I n I _n c ' J x(t)e dt J e . dt n vaaruit voigt sin Ùf T sin(Trnt/T)

%

7mU

x(t)

1 voor

jtIO,T)

/ x(t) Ò voor

ItIE(T,T)

x(t+T) =.x(t) voor

t(,)

Dit stelt een periodieke blokfünctié voor, mét periode T:

o

(4.6)

(4.7)

-T

-T

T

De gegeven functië x(t) is eveñ e reei en heéf t dus s1eóht éen reie

Fourier-cosinus reeks (c _{is ree1). Het amplitudenspectrum is in f iguur} 4.2 geschetst voor T/T = 1/3, n = 0,1,2 ...12.

Bewijs:

Figuur 4.2

Theoretna van Parseval

-E 4; 1. x(t)2dt =

IcI2

-IT

IT

IT

i2

i2irf t

f

x(t)2dt =

f

₍ E

ce

n E c.e ) dt

-IT

-IT

n=-oe

IT i2(n+ni)t T dt

fl..

n ni

-IT

(4.8)

Laatstgenoemde integraal heef t de wáarde nul als n .m 0, en de waarde T als n + th = 0, zodat

=

n-cc= L

q.e.d.

In termen van de reale cofficinten an uit (4.4), slechts gedefinieerd

voor niet-negatieve frekwenties,kan (4.8) worden herleid tot

Vaak is x(t)2 op te vatten als een "energie" (op een fysische constante

na, die hier korthèidshalve wordt weggelaten).. Volgen het theorema van

Parseval geef t dè nj waarden

1cV,

n = 0,+1 +2..., aan hoe de gemid-delde enetgie van x(t) is verdeeld over dé frekwenties. De naam

"ener-giespectturn" is er dus op van toepassing (vroeger werd het "periodogram" genoemd).

Het energiespectrum bevat dezelfde informatie als het aiplitudenspectrum,

maar een belangrijk verschil is dat bij het energiespectrum de soin van de

spectrale waarden ovér een frekwentie-interval betekenis heef t, en wel

die van een bijdrage aan

Bij het amplitudenspectruni is lets dergeli.jks niet het geval (d.w.z. de

n2

t

Ic2

i(X2)

(4.10)

n =n

x2=a+

(4.9)

som Ecj kan wel worden bepaald, maar er is niet een zinvolle

inter-pretatie aan te geven). In dit opzicht verhouden energie en amplitude

zieh tot elkaar als de variantie van een stochastische grôotheid eñ de

standaardafwijking dáarvan: bij meer dan één (onafhatikelijke) variabele heef t de som van de varianties wel betekenis, maar de soth van de

stan-daardafwijkingen niet. In par. 4.4 komen we terug op dé interpretatie

van het energiespectrum in de context vn stochastische processen.

Tij dreelsen

In het voorgaande werd t als een continue variabèle behandeld. Bij

digi-tale verwerking worden echter tijtheeksen gebruikt, d.i. verzamelitigen waarnemingen van x(t) op discrete tij'den t= mÊt, ni O,1,2,.... M,

const. Deze ontstaan door de oorspronkeÏijke functie te bemonsteren,

mett als bemonsteringsinterval.

Een directe consekwent-ie van de discrete tijdbasis in plaats van de

continue i _{dat alle integraties in het voorgaandè deel van dit hoodstuk}

door soaties moeten worden _{vervangen. Er zijn echter bijkomende gevòlgen}

die mindér evident zijn. Die worden hierdoor veroorzaakt dat er siechts

een eindige informatie beschikbaar is in de (M-i-1) functiewaarden. Per

spectrale component, met een zekere frekwentie f, zijn twee waarden, dus

twee stukjes informatie, nodig vöor de bepaling ervan (d.w.z. voor de

e-paling van (Re Im cn) of van

(tcI,

argc)). Voor de component met

frekwentie nul is n waarde voldoende, omdat e0 regel is. De informatie

waarover we in de tijdreeks beschikken is dus slechts voldoende voor de bepaling van c voor n = O t/ni n n waarbij

n max

-n a x

(we veronderstellen dat M even is). Dic levert de z.g. Nyquist-frekwentit

op:

f

_f

1maxM

I

Voor n > n

(f

> f

) kunnen via (4.3) nog wel cofficinten worden

max

n

Nyq

-berekend, maar dat geeft dan geen nieuwe informatie meer. (Het spectrum

gaat zich periodiek herhalen.)

Wat gebeurt er nu als in de oorspronkelijke, niet benionsterde functie

(dus op continue tijdbasis) energie aanwezig was voor f >

Die konit

tot uiting als energie in de lagere frekwenties (strôboscoop-effect,

vouw-effet, "aliasing" genoemd in de Engeistalige literatuur), zoals is

geïl-lustreerd in f iguur 4.3.

(t)

A I

AT4F

aï-A

'-L-V -V V V V

oorspr. x(t) (t cotitinu)

bemonsterde x(t) (t discreet)

- - schijnbaar aanwezige, laag-frekwente component

Figuur 4.3.

Willen we voor f < fyq goede schattingen maken van het spectrum van de

oorspronkelijke, niet-bemonsterde functie, dan moeten wè er dus voor

zor-gen dat daarin geen energie aanwezig is voor f >

b.v. door middel

van geschikt te kiézen parameters van de meetsensoren, of door middel

van f ilteringen van het meetsignaal (voorafgaand aan de bemonstering !).

Omgekeerd kan bet zijn dat we weten, op grond van vóórkennis van bet

be-Deten verschijnsel, gecombineerd met kennis van de

frekwentiekarakteris-tieken van bet meetsysteem, dat er in het continue signaal geen of slechts

een verwaarloosbare energie is in frekwenties hoger

dan een grenswaarde f.

Dan moeten we

t zó kiezen dat f

_Nyq

f

_g

, ofwel

zó dat

Door Cooley en Tukey is in 1965 een algorithme gepubliceerd waarrnee op

efficinte wijze de Fourier-cofficinten (cs) kunnen worden berekend

uit een ti3dreeks, vooral als het .aantal punten daarin een gehele acht

van 2 is. T.o.v. de conventionele aanpak (een recht-toe-recht-aan

flume-rieke integratie in 4.3) betekent dit een besparing in rekentijd met een

factor Váñ cá 2M/2log M. Voor M = 2048 = (een voor metingen op zee

veél gebruikt aantal - zie par. 4.4.5) is dit een factor van ca 400. Het

algôtithx vari Cooley en .Tukey heef t de toepasselijke naam gekregen van

Fast Fourier Transfoz,n,

afgekort' FFT. Het wordt tegenwoordig vrijwel

universeel gebruikt in digitale berekening van spectra (en zeif s van

crrelatiefùncties). Op de structuur en werking van het FFT-algorithrne

gaan wij hier niet in. Voor details .daaromtrent wordt verwezen naar

Bendat en Piersol (1971) of Brigham (1974).

4.3. De Fourier-integraal

Een functie x(t) die gedefinieerd is Op een oneindig interval, t(-,),

maar die niet periodiek is, heef t geen Fourierreeks. Toch is het vaak

wenselijk orn ook dergelijke functies op een bepaàlde manier in harmonische componenten te ontleden. Dit kan, onder zekere voorwaarden, d.m.v. de

Fourier-integraal. Het kan plausibel worden gemaakt door de limiet te

be-schouwen voor T -- van de Fourierreeks-ontwikkeling van x(t) op het

in-terval t L (T, T)

We nemen als voorbeeld de in (4.6) ggeven periodieke blokfunctie. Het

spectrum ervan is in f iguur 4.4 nog eens geschetst (voor positieve f

re-kwenties), voor de gevallen T = 3T (fguur a) en T 9T (figuur b). De onderlinge afstanden (of = lIT) van de frekwenties (fa) en de waarden van de bijbehorende Fut.ier_amplituden (Icj) nemen beide omgekeerd

even-redig ai met T. In de limiet T gaan beide naar nul; d.w.z. de fre-kwenties worden continu, en de verhouding van tot 6f nadert tot een

:1] 0

i 1,1 14!

U,

-3T -.2T -T -. T 2T 3T t

19

x(t)

=

H

x(t) X(f) = t Figuur 4.4

x(t)e2t

-

f

We kunnen het voorgaaride mathematisch weergeven door (4.3) te herschrijven tot

c T -i2irft

1 2

= f

x(t)e dt ,.f £(O,+ ,+ , ...) (4.13)

n

TT

en het gedrag hiervan te beschouwen als T In het voorbeeld bleek het linkerlid, en dûs ook de integràal, naar een limietwaarde te gaan als

T . Deze limiet is bij gegeven x(t) een functie van de (in de limiet continu geworden) frekwentie f. We noen he

de FcrfCrf

:rL;

ofwt1

de r:rr van z(t),hier aangeduid

t Xf)

Dezelfde litnietovergang in (4.2) leidt dan tot de z.g. inverse

Fourier-f