Design wave loads and their correlation

ARCHIE

,Technische Hogt'isctmol

I CARICHI, O'ONDA .131:PROOETTO

I

CARICHI D'ONDA

DI

PROGETTO E LA LORO CORRELAZIONE

DESIGN WAVE LOADS AND THEIR CORRELATION

di

by

ALISSANDRO PITTALUGA

Memoria presentata al Congresso: Paper presented to the Congress: NAV.80 - Genova - Dicembre 1980

Ii presente lavoro si inquadra in una ricerca volta a definire una metodolo-gia di valutazione globale della robustezza

trasversale delle navi. Esso in parti

colare affronta, da un punto di vista teorico, ii problema dei carichi d'onda di

progetto, suggerendo una soluzione che trova logica _{collocazione tra i due noti}

"pseudo-statistical method", conservando _{la semplicitA di utilizzo del primo}

pur

rispettando in buona parte il rigore _{scientifico del secondo. La teoria esposta}

permette, una volta noti i coefficienti di _{correlazione fra i diversi "carichi"}

a genti nei van i punti della _{struttura navale, di combinarli in "condizioni di}

can co" equilibrate _{e scorrelate, determinandone nel contempo le}

relative distribuzio

ni cumulative di probabilita _{a lungo termine. In}

tal

modo vengono a cadere i due principali inconvenienti dello "pseudo-statistical method", che consistono nella mancanza di equilibrio globale delle singole condizioni di carico e nella loro in

terdipendenza o correlazione. Si determinano _{invece condizioni di carico e prefis}

sato livello di probabilita, le quali _{possono essere combinate con legge quadrati} ca sotto ipotesi 'non ristrettive che _{vengono discusse nel testo. Cia permette, in}

ultima analisi, di definire dei carichi _{di progetto non piü basati su} considera-zioni empiriche, ma ancorati ad _{una solida impostazione logica.}

ABSTRACT

The present paper is set in a research addressed _{to define a method for the} assessment of the transverse strength of ships. The problem of design _{wave loads} is faced, and a procedure is suggested, lying between _{the wellknown "pseudo-sta} tistical" and "fully statistical" methods, which preserves the sempZicity of the former even though it has the scientific exactness of the latter. The theory al-lows us to combine the various loads acting on a structure in self equilibrated

and non correlated loading conditions, _{once the correlation coefficients among}

loads are known; moreover it leads to determine the long _{term probability distri} butions of said loading conditions. So the main disadvantages of the pseudo-eta tistical method end, consisting in Zack of equilibrium and in correlation

of

va-rious

loading conditions. As a result, _{some loading conditions with fixed}

proba-bility level are determined, which _{can be combined using the "square root law".} This leads to define design loads in _{a rational rather than empiric way.}

INDICE

INDEX

1. Introduzione 1

Qualche considerazione su alcuni Concetti fondamentali 2.

3. Comportamento in mare confuso stazionario 4

4. Ulteriori considerazioni sulla risposta in mare stazionario .... 6

5. Comportamento a lungo termine 8

6. Conclusioni 10

1. Introduction. 11

2. Pointing out some basic concepts. ... 13

3. Behaviour in steady state random sea 15

4.. Additional remarks on the response in steady sea ___ 18

5. Long term behaviour .---_-__---_-___ 20

5. Conclusions 22

Bibliografia - References

_{________-________-_-_________----}

23

Tavole Tables .... ₂₄

Appendice 1: La matrice dei momenti in un processo stazionario .... 25

Appendice 2: Esempio di calcolo 27

Appendix 1: The moment matrix in a steady process 28

La definizione di una procedura pratica per la verifica della robustezza tra sversale delle navi costituisce un problema aperto.da almeno died i anni, da_guan-do cioe i buoni risultati ottenuti applicanda_guan-do le metoda_guan-dologie statistiche

Eij

e

[2] alla valutazione della robustezza longitudinale hanno invogliato ricercatori e progettisti ad estenderne ii campo di applicazione alle strutture secondarie

dello scafo.

Tali metodologie consistono nell'assimilare la nave ad tin sistema lineare, di cui vengono valutati gli operatori di risposta, ed il mare da questa incontra

to ad un processo stocastico che, per intervalli limitati di tempo, viene consi-derato stazionario ed ergodico. ClO conduce alla determinazione della funzione den sita spettrale di potenza, e quindi delle caratteristiche statistiche, di qualsia si grandezza di cui siano stati calcolati gli operatori di risposta.

Per una sommaria descrizione di tale approccio si rimanda agli Atti del 70

ISSC [5] ; bastera qui ricordare che la differenza sostanziale fra

l'applicazio-ne di tale metodo (Fully statistical method) alla robustezza longitudinale ed al-la robustezza trasversale consiste nel ben diverso peso assunto nei due casi dai

calcoli strutturali.

Gil operatori di risposta, infatti, devono essere calcolati per un numero e-levato di combinazioni diverse di lunghezza d'onda ed angolo di incontro onda-na-ve (da 100 a 200) per ciascuna delle quail devono essere valutati movimenti della nave, carichi dinamici e risposta strutturale. Nel caso della robustezza longitu-dinale la risposta strutturale pub' essere determinata utilizzando la teoria delle travi, mentre nel caso della robustezza trasversale sono richiesti calcoli ben piil onerosi ad elementi finiti, ii che, unito al numero elevato delle condizioni di carico, ha indotto a giudicare tale applicazione "prohibitive".

A tale giudizio va aggiunta la considerazione che ilinetodo

e

applicabile nell'ipotesi di comportamento strettamente lineare, sia del carichi che della struttura, ii che non

e

sempre verificato, e mal si presta a linearizzazioni equi valenti o ad altri simili artifici.

E' naturale quindi che si sia cercato di identificare una metodologia alter nativa, separando la definizione statistica del carichi dalla valutazione della risposta strutturale dello scafo.

L'idea guida

e

quella di definire un numero limitato di carichi di progetto, associati ad tin prefissato livello di probabilita, analizzare le strutture dello

scafo sotto questi carichi, e poi decidere sull'accettabilita della soluzione strutturale in base alle sollecitazioni cosi ottenutd.

Il problema costituito in questo caso dalla correlazione statistica fra i van i carichi (pressioni esterne, carichi inerziali, caratteristiche di sollecita zione al contorno della zona di scafo esaminata), che condiziona pesantementellin terpretazione del risultati ottenuti.

Se infatti le condizioni di caric6 su citate fossero mutuamente esclusive, le'bollecitazioni massime" sarebbero pan, con buona approssimazione, alle maggio ri sollecitazioni ottenute sotto ogni singola condizione di carico; se invece i

carichi fossero contemporanei, occorrerebbe sommare fra lor6 i van i effetti. Una soluzione intermedia

e

offerta dallo "pseudo-statistical method" propo-sto anch'esso dal 70 ISSC, che consiste nel considerare i van i carichi come sta-tisticamente indipendenti, e sommarne quindi gli effetti con la "legge della

2

Per ammissione deli stessi Autori, tuttavia, l'indipendenza statistica del

carichi a tutta da dimostrare, ii che mette in dubbio non solo l'applicabilita della "legge della radice quadrata", ma anche l'equilibrio di corpo rigido della strUttura, e quindi la validita del calcoli strutturali.

L'obiettivo del presente lavoro

_e

quello di estendere e rendere

pia

rigoroso tale metodo, che presenta indubbi vantaggi di ordine pratico; la metodologia espo

sta conduce alla definizione di un certo numero di "condizionidi carico standard" tali che le rispettive "intensita" risultino essere variabili stocastiche scorre-late standard. L'applicazione della 'Flegge della radice quadrata" a tali condizio ni di carico risulta perciO rigorosamente giustificata nella sola ipotesi che la funzione di distribuzione delle intensita sia identica per ciascuna di esse.

CiO

e

verificato in condizioni di mare stazionarie (previsioni a breve ter-mine) mentre costituisce un'approssimazione qualora si cohsideri l'intera vita

della nave (previsioni a lungo termine). Anche in questo caso pera la varianza delle tensioni viene valutata con esattezza, per cui la metodologia _a utilizza-bile in un'ottica di "second moment method".

2. _{QUALCHE CONSIDERAZIONE SU ALCUNI CONCETTI FONDAMENTALI}

Prima di procedere nell'esposizione, _a forse utile definire con esattezza i

concetti di:

condizione di carico base

intensita delle condizioni di carico variabili e condizioni base scorrelate

i quali, non essendo del tutto usuali, potrebbero dar luogo a malintesi.

Per condizione di carico si intende una distribuzione continua di forze agen ti sullo scafo, dovute alle pressioni dinamiche sulla carena, ai carichi inerzia-li legati ai movimenti della nave e, qualora si consideri solo una porzione di struttura, alle condizioni al contorno sulle sezioni di estremita.

Di solito a possibile individuare ogni singola condizione di carico mediante un insieme finito di parametri, fra i quail ad esempio ii valore della pressione in un numero sufficientemente grande di punti della carena, che verranno detti "parametri di definizione".

E' possibile quindi scegliere un numero finito di condizioni di carico, det-te "condizioni (di carico) base" in modo che ogni generica condizione di carico possa essere ottenuta come combinazione lineare di queste. I coefficienti di corn binazione verranno detti "intensita", della condizione di carico considerata, rispetto a queste condizioni base.

In altre parole, sia Akj il valore assunto dal k-mo parametro di definizione nella j-ma condizione base, e sia xM.il valore assunto dallo stesso parametro di

definizione nella generica condizione di carico; risulta: _xk Ej Akj yj o, in termini matriciali:

°) -

Dal concetto di condizione di carico cosi definito restano escluse le forze

statiche,

cioe

le pressioni idrostatiche ed il peso, i cui effetti sono trat tati in modo indipendente, in quanto tali forze sono qui considerate

dove: {x} = _{vettore del valori del parametri-di definizione nella generica}

condizione di carico

fyl

vettore delle intensita della stessa condizione di carico rispetto alla condizione base

EA] =

matrice di definizione delle condizioni base.

Si noti che la scelta delle condizioni base

_e

_{arbitraria, dovendo queste sod} disfare all'unica limitazione di poter rappresentare qualsiasi coudizione di can co. Cia significa che la matrice

LA]

non pub essere singolare, per cui le condf= zioni base devono essere linearmente indipendenti _{ed in numero pan i a quello del} parametri di definizione.

Ad esempio un modo banale, ma poco utile, per definire un insieme di condi-zioni base consiste nel considerare tutte le condicondi-zioni di carico in cui uno dei parametri ha valore unitario e tutti gli altri hanno valore nullo; nel seguito a tale sistema di condizioni base verra fatto riferimento _{come "sistema banale".}

In un'altra ottica lo spazio di tutte le possibili condizioni di carico pub essere visto come uno spazio vettoriale, nel quale le condizioni base costitui-scono ii sistema di riferimento, e le intensita rappresentano le coordinate (o

componenti).

La (1) pub essere interpretata percib come una _{trasformazione nello spazio} delle condizioni di carico. Tale trasformazione _{e ortogonale}

_{se EA:TEA]}

_e

_una matrice diagonale, se cio ii prodotto scalare di una condizione baseperciascuna delle altre e _{nullo. Si parlera in tai caso di "condizioni di carico (base) orto}

gonali".

Si consideri ora ii caso in cui i parametri di definizione sono variabili aleatorie generate da un processo stocastico; anche le "intensita" rispetto ad un prefissato sistema di condizioni base diventano variabili aleatorie generate dallo stesso processo stocastico, ed _{possibile definirne la matrice del}

momen-ti [a]

mediante la relazione aij = < yi yj >, si veda in proposito l'Appendice

1.

In tale relazione ii simbolo < > indica la speranza matematica, ii generico termine diagonale aii rappresenta ii momento quadratico _{dell'i-ma intensita e} generico termine fuori diagonale _{al .. rappresenta ii momento misto delle}

intensi-a ta i-ma e j-ma.

Se il processo stocastico _{stazionario, la matrice dei momenti è costante,} e se le variabili sono a media nulla ii momento quadratico ed ii momento misto diventano rispettivamente la varianza e la covarianza.

Se ora la covarianza di due intensita

e

nulla le condizioni base cui esse sono relative si dicono scorrelate. Nel seguito per "sistema di condizioni _(base) scorrelate" si intendera un sistema in cui tutte le condizioni base sono scorre-late; se le variabili in gioco hanno media nulla ciO implica che la matrice dei momenti diagonale.

Si noti che alb non implica necessariamente _{indipendenza statistica, a merib} che le intensita siano normaldistribuite.

COMPORTAMENTO IN MARE CONFUSO STAZIONARIO

Si consideri ora una nave che avanza in mare confuso ed i carichi'che ne deni

vano sullo scafo; se l'intervallo di tempo congiderato non e troppo lungo

feno

meno puts

essere descritto come un processo stocestico sta.zionario ed ergodico, in

cui la variabile indipendente

il tempo [l], [2]

In un prefissato istante di tempo lo scafo e eoggetto ad una distribuzione

di pressioni sulla ,carena che individua, univocamente la' 'condizione di carico; le

accelerazioni e le forze di linerzia che be derivano sono infatti determinate dell':

le relazioni di equilibrio.

Tale distribuziobe di pressioni put) essere poi defibita noti i valori della

pressione in un-numero:finito di punti,- come mosti.ato in [63, per cui i parametri

di definizione delle condizioni di- carico sono i Velori delle pressioni in tali)

pouriti.

Se il fenomeno

lineare -e di Si limita."- a considerare le variazioni di ca

,

rico e di solleciteziane riSpetto4 elle condizioni in acqua .tranquilla, detti valo

ri..sono funzioni stocastichd a media nulla del tempo e la loro matrice dei

mornen-ti [a]

P

u

essere ottenuta come indicato in Appendice 1:'

Et);4?) =

Hh ed 'Mk

=

-

-Se; come in.questo -caso, le

tempo, anche-le yi sono- funzioni

calcol.are la matric_d :del- moment i

7 00

i',

-Hh 0;40

frequenza angolare

angOlo di incontro onda7nave

densi:ta:.Spettrele di potenZ-e.';(dicre4oriale)--dello.".S.tato

mare ifiContrato..

complesso coniugato di Hh-(w,(P)

operatori di risposta complessi delle variabili h e k, in

questo caso le pressioni-in due 'punti della carena.

-

Tale matrice :put) essere interpretata come matrice clei . momenti delle intensite

nel sistema banale di condizioni di carico

base ed in generale nob e una matrice

diagona.le; tali condizioni base sono percici correlate.

Si consideri ora un nuovo sistema di condizioni base, dove

[A] sia la matri

ce di definizione,- di cui al paragrafo 2, e

{y} sia ii vettore -delle intensita

della generica conditione di carico.

(w,+)

-[S] =

{y} {y}T

> = < EAT-1 {x} {x}-T

(IATI)T> =

-Indicando encore con {X} ii vettore dei veloei dei Perametri di definizione

(della_generica-condiziohe di carico), vale la relaZicine (inverse della 1):

{y} =

EA] -1 {x}.. ,

xk sono funzioni stocest_i.che a

Media nulla del

stodastiche a 'Media nulla del teMPC; e se ne

put)

formalmente identica alla (3), in quanto la matrice modale 'ortonormale,

-1 = [a]

Quindit_se la matrice di trasformazione [A] proporzionale alla matrice mo

dale della La] , la matrice [S] risulta diagonale.

-Dal punto di vista fisico ci significa che, se si assume II:, 3istema di con-dizioni di carico base proporzionale agli autovettori della matrice dei momenti

[a] s le intensita della condizioni di carico in tale nistema sono variabili sto-castichescorrelate, le cui varianze sono proporzionali agli autovalori della [a] Tali autovalori sono tutti non-negativi, ed ii numero degli autovalori nulli è pa ri al numero di i-elazioni-deterministiche che legano i parametri di definizione (si veda in proposito l'Appendice 1).

Si costruisca ora ii sistema di candizioni di carico base in modo che ii vet tore_dei valori dei parametri di definizione della j-ma condizione di carico sii-pari al j-mo autovettore della [a] moltiplicato per la radice quadrata deli' auto valore corrispondente.

La trasformazione di coordinate nello spazio della condizioni di carico sia

cioe

definite dalla matrice

CB:

=

Ea]

DC11/2

(5)

E' facile verificare che le intensita della oondizioni di carico in tale si-stema sono variabili scorrelate standard. Infatti dalla (4) e dalla (5)

[B]

[BT

Ca3

-mentre dalla -(3)

Es] [33]

Ca]

per cti la matrice dei momenti [S] nel nuovo sistema pari alla matrice

identi-ta.

sistema base cosi ottenuto verra nel seguito indicato come "sistemadrcon dizioni di carico standard".

Finora si è parlato di eguaglianza formale del problema in esame con la ri-cerca di autovalori e autovettori; se i.parametri di.definizione sono grandezze fisiche non omogenee,possono,±hfattisorgere dei_problemi. La [a] infatti

a

una ma trice di valori dimensionali e cosi pure la mentre la matrice modale [a]

dove [K], matrice del momenti della intensita nel nuovo sistema base, risulta dia gonale se tale sistena di condizioni di carico base

e

scorrelato.

Sia ora

[ct] la matrice degli autovettori (o matrice modale) della [a] e

Dk]

la matrice diagonale degli autovalori. E',nota la relazione:

[x]

[a] T

Cal

Ca3

(4)

6

e

adimensionale.

E' immediato per verificare che la matrice [B] ottenuta mediante la

rela-zione (5)

e

congruente come dimensioni fisiche con i parametri di definizione, mentre le intensita delle condizioni di carico sono variabili adimensionali (scor relate e standard).

L'effettuazione di calcoli strutturali, per ciascuna delle condizioni di ca-rico standard precedentemente definite, permette ora di valutare le

caratteristi-che statisticaratteristi-che della risposta strutturale dello scafo in mare confuso

staziona-rio.

Infatti, assumendo per semplicita che la risposta dello scafo, ad esempio in termini di tensione, rimanga lineare,questa puO essere rappresentata da un vetto-re {r} legato al vettovetto-re {x} dei carichi da una vetto-relazione del tipo:

{r} = [R]

60

dove ER: verra detta matrice di risposta strutturale.

Si verifica facilmente che la matrice del momenti della risposta

Etc

pub essere ottenuta dalle relazioni:

Lii]=

<fr) IrlT> =

ER] Ea]

DT.

= ( ER] DLI)'

ER]

DE

)1.

Le colonne della matrice

[R]

LB]

non sono altro che la risposta dello scafo alle condizioni di carico standard, per cui la varianza piidella i-ma ten-sione si ottiene sommando i quadrati delle risposte a tutte le condizioni di

ca-rico standard, mentre la covarianza pii delle tensioni i e j

Si

ottiene sommando i prodotti delle risposte relative sempre in tutte le condizioni di carico

stan-dard.

4. ULTERIOR' CONSIDERAZIONI SULLA RISPOSTA IN MARE STAZIONARIO

Nel paragrafo precedente si e visto come costruire un sistema.di condizioni di carico standard e come ricavare da queste la varianza della generica risposta.

In Appendice 2,e riportato un esempio di tali condizioni standard per unaORE/ OIL che naviga a 12 nodi, con mare al mascone di altezza significativa pan i a-1 in

e periodo medio apparente pani a 10 sec.

Si nota subito come solo le prime 14 condizioni di carico sono influenti,men-tre le restanti presentano valori trascurabili. CiO permette di effettuare i cal-coil strutturali solo per alcune condizioni di carico, ii che rappresenta un van-taggio sostanziale rispetto al "Fully statistical method".

Poiche lo stato di mare in esame e stazionario, ii processo stocastico che lo rappresenta viene di solito considerato ergodico e gaussiano, per cui tutte le variabili generate sono normaldistribuite.

e valido anche per la risposta, ela conoscenza della varianza individua

Cri

In particolare se si suppone che ii fenomeno sia "a banda stretta" la distri buzione delle ampiezze del valore ri della generica risposta segue la distribuzio

ne di Raileight:

Fij = e x p (- ri . 2 uii )

Prefissando un livello di probabilita

_p(Y1)

_{ii valore corrispondente della} risposta

a

dato della relazione:

Fj(p) =

_{,(---2-3 np}

Se si assumono come carichi le condizioni di carico standard moltiplicate _per

17-77.;-17)

e

_{immediato verificare che il.valore r1(p) puO essere ottenuto come ra}

dice quadrate della somma del quadrati del valori assunti della risposta conside-rate in corrispondenza a ciascuno di tali carichi. Tale operazione corrisponde proprio alla nota "square root law" utilizzata dello "pseudo _{statistical method".}

Questa legge, pen),

e

qui applicabile in modo rigoroso.

Pua

essere interessante notare che l'applicazione di questa legge non

e

limi-tate all'ipotesi di distribuzione gaussiana, essendo sufficiente che _le distribu-zioni di probabilita standardizzate (*) siano identiche per tutti i parametri di definizione delle condizioni di carico e per i.e loro combinazioni.

Infatti per una generica variabile v, avente media nulla e deviazione stan-dard 6, si definisce una funzione pv(p) mediante la relazione

P [v/6,,>

Pv(P)]

_P

Se le distribuzioni standardizzate di tutte le variabili in gioco sono eguali le funzioni pv(p) sono identiche e rappresentano un'unica funzione p(p); nel caso particolare visto precedentemente

(p) = -2 ln p

Si ottiene encore che ii valore della generica risposta a livello di

probabi-lita

p e

dato della relazione

(p) =

p (p)

17TT-e

pua

_{essere ricavato come radice quadrate della somma dei quadrati delle risposte}

ad un insieme di condizioni di carico ottenuto moltiplicando le condizioni

stan-dard per p (p) .

Si noti inoltre che la trattazione precedente presuppone una risposta lineare esattamente come il "fully statistical method". Si presta per?) ad una applicazione approssimata a strutture non lineari, utilizzando ancora la "square root law" per combinare le risposte strutturali (non lineari) al carichi di progetto prima defi

niti.

Non si

e

indagato sull'ordine di grandezza di tale approssimazione, che non

sembra per superiore a quello degli altri metodi oggi impiegati.

(*) _{Per distribuzione standardizzata si intende qui la distribuzione del rappor}

5. COMPORTAMENTO A LUNGO TERMINE

Durant

e

la vita della nave lo stato del mare incontrato varia, per cui non

₄

pi applicabile la relazione (2). E' usuale per considerare tale stato di mare va riabile come tin insieme di stati di mare stazionari, definiti dalla tripla (H1/3, T, 0)5 ciascuno del quail viene incontrato con probabilita ps.

E' immediato allora estendere le considerazioni precedenti a questo caso. Sia ahks) la covarianza del carichi xh e xk nell's-mo stato di mare; la covarianza

011)01° a lungo termine viene definita come:

(L) _{<.xh xk >(L) =- Es Ps < xh}

_xk>(s)

₌

Ps ahk(s)

Ci6 conduce a calcolare, con ovvio significato dei simboli, la matrice dei mo menti a lungo termine

EdL)

Es Ps

L'applicazione della procedura sopra descritta alla matrice Ea](L) porta a definire un sistema di condizioni di carico standard a lungo termine, in cui le intensita sono ancora variabili stocastiche standardizzate e scorrelate, ma non

pii normaldistribuite.

E' percica dubbia, in questo caso, la applicabilita rigorosa della "square root law", mentre conserva piena validit ii calcolo della varianza (come somma dei quadrati delle risposte alle condizioni di carico standard). Cia

e

sufficien te in tin approccio di tipo "second moment method" alla valutazione dell'affidabI

lita.

In tale approccio, infatti, vengono considerate solo la media e la varianza delle variabili in gioco.

In un approccio completamente statistico si puca intervenire ton coefficienti correttivi come segue; con riferimento alle funzioni p (p) definite precedentemen te sia pi (p) la funzione relativa all'i-ma condizione di carico standard e Pk(p) quella relativa alla k-ma risposta. Al livello.di probabilita p corrispondono i valori Ick (p) della risposta e yi (p) delle intensita delle condizioni di carico.

Siano inoltre Rkio i valori della k-ma risposta all'i-ma condizione di cari-co standard ed Rki (p) quelli relativi alla stessa cari-condizione di caricari-co, moltipli

cata per yi (p).

Nell'ipotesi di risposta lineare valgono le relazioni:

((p) = Pk(p) _1-1717k 2 kk = Rkio U 8

p(Yi

da cui: Rki (P) = Rkio Pi(P)

in-k(p)I R

(p) 1332ci (p)

Pk (P)

dove 8k1(

_p)

e tin coefficiente correttivo pari a

P. (p)

Poiche le condizioni di carico standard hanno varianza a lungo termine unita-ria, i valori pi(p) e y1(p) coincidono e possono essere calcolati come segue.

-s)

In ogni stato di mare stazionario, la matrice

1(

dei momenti delle in-tensita a lungo termine yi pub essere ottenuta con la relazione:

[S(s)

=

EByl-

Ea](s)

(DQT)

-1

La matrice

ESP)

non epiü necessariamente la matrice identite, e la varian

(g) za della

_y1

11

Poiche per in tali condizioni le variabili sono normaldistribuite, la distri buzione delle ampiezze delle yi vale: P

Eyi >3j[ =

e x p (- yi 2 Sii ), per

cui a lungo termine si ottiene la distribuzione di probabilita:

(s)

=p exp

_{Es s}

(-72/

S)

i

che,invertita, fornisce la yi (p).

Nulla invece si pub dire riguardo alle funzioni pk(p), a meno di effettuare calcoli "prohibitive" col "fully statistical method". Se le pi(p) differissero

p0-cc fra loro sarebbe lecito pensare che anche le pk(p) non si discostino molto dal la media, ed assumere i Oik (p) di conseguenza.

Al momento di stendere le presenti note non si e ancora giunti a calcoli nume rid i dei coefficienti pi(p) Sono per stati calcolati, e vengono riportati in Tav. 6 i valori della distribuzione standardizzata per alcuni valori delle pressio ni lungo la carena della nave di cui all'Appendice 2.

Come si pub notare viene rispettata abbastanza bene la distribuzione di Wei-bull, ma i coefficienti della distribuzione varianosensibilmenteda punto a punto. Cib fa pensarechesiano necessarie ulteriori indaginiondeindividuarevalori nominali dei coefficientiy della distribuzione" di Weibull, relativi sia alle inten-sitA del carichi, sia sopratutto alla risposta strutturale, e giungere cosi ad una definizione del coefficienti correttivi Oki da introdurrenella "square root law".

L'applicazione di. tale legge senza i coefficienti correttivi introdu-ce tuttavia delle approssimazioni che, pur essendo sensibili, sono nettamen-te inferiori a quelle insinettamen-te negli altri metodi oggi impiegati.

Ii metodo proposto, purt)aiandosi su precedenti lavori

3,

presenta carattere dedisamente-innovativo per il dafOolo navale. E! quiridi

pia

che giusti-ficata una certa cautela, 4ecie finch

e

ndn saranno completati gli studi in corso, volti a definire

11

numero dei parametri e delle condizioni di carico necessari ad une comPleta descrizione dei carichi, e ad individuare valori numarici nOminali per i coefficienti Oki relativi alle previsiOni a xlungd termine.

'

-Si spera pert che i notevOli'vantaggi offertii in termini di semplicita

--spetto al "fully statistical method", e di rigore, rispetto allo "pseudo-statisti

cal method" possano invogliatle,altri,RIcercatori ad,incamminarsi 'su questo sentie

ro, in modo da rendere-il.m9tod9 cOmPletqmente affidabile ed id9neo

alrimPiego.

iwatico nella progettazione navale.

i.

INTRODUCTION

The definition of a practical procedure for the assessment. of the transverse strength of ships is a problem which has been dealt with for ten -years at least.

Since that time, indeed, the excellent results obtained applying the statistical

methodea2

e to the assessment

of

Longitudinal strength, have induced.rdsoar

chers designers to extend their application to the secondary structures

of

the

hull.--tuch methods consist in assuming that the ship behaves

liks a

linear system,. the response operators

of

which are assessed, and that the sea encounteredittlybe considered like a stochastic process which is steady and ergodic for limited' time intervals.. As a result, the power spectral density function and the distribution

function are determined, of whatever quantity the response operators of which

have been calculated.

For a brief description

of

such method see the Proceedings

of

the 7th ISSC

E]; it is

herein enough to rememberthat the basic differences between the ap-plicationesuch method (Fully statistical method) to, the longitudinal strength and to the transverse strength consists

of

the different importance

of

the struc tural calculations

in

these two cases.

In fact, 'the response operators are to be calculated for agreatnumber

of

different combinations

of

Wave length and wave-ship encountering angle (from 100 to 200), for each

of

which the ship motions, dynamic loads, and structural res-ponse are to be assessed. In the case

of

longitudinal strength, the structural

response may be determined by means

of

the beam theory, While in, the case

of

transverse strength more arduous finite elements calculations are to be carried out, and this fact, together with the high number

of

the loading conditions makes such application prohibitive.

Moreover, is to be considered that the method may be applied only under the

hypothesis

of

strictly linear behaviour both

of

loads and

of

structure,. and this

hypothesis is not always complied with, and is not well fit for equivalent Zinea

rizations or similar artifices.

Therefore an alternative method has been investigated, separating the stati stical defintion

of

loads from the assessment

of

structural response

of

the huff.

The basic idea is to define a limited number

of

design loads, associated

with a given probability level, to anaZize the hull structures under. these

and then to apprise the structural solution on the ground

of

the stressescbtaimed. The problem is now the statistical correlation of the various loath (external

pressures, inertia loads, integrated loads on the boundary

of

the concerned hull

substructure), that heavily affects the interpretation

of

the obtained results. In fact,

if

the above mentioned loading conditions exclude each other, the -"extreme stresses"arenearZy equal to the extreme stresses obtained under each load

ing condition; on the contrary, in the case

of

contemporary lOadS, the various ef

feats are to be summed up.

An intermediate solution is given by the pseudo-statistical method, also de-scribed by the 7th ISSC, consisting in assuming the various load as

statistical-ly independent, and then adding their effects using the square root law.

Though, the Authors themselves adMit that the statistical independence

of

loads is to be demonstrated, and this not only affects the applicability

of

the

square root law, bUt also the rigid body equilibrium

of

the structure, and

- This work aims to extend thie method that has undoubted

practical advantages,

and make it more exact. This is attained by defining some standard loading condi

tions such that thet..r--.relevont "intensities" -Cm* _{out to be standard non-correlii}

-ted random variables: The applidat-ion of the square root Zoo to these loading

-conditions is _therefore.

fully

_{,justified under the only hypothesis that each} tensity has the saine-distribution function.

Such hypothesis is complied

w-ith

in steady sea conditions (short time fore-castings) while it is an approximation if-the Whole life of the ship is being considered (long term forecastings). Nevertheless, also in the latter case the stress variance is assessed 'exactly, and so the method

may

be used

in

ai"second

moment method" approach. =

-- .

POINTING-011T_SOliff -BASIC CONCEPTS

Before going

on

with the description, the follow-ing- concepts, being rather

uncommon and liable to lead to misunderistandings, are perhaps to be defined with

accuracy:,

-- base loading condition intensity

of

loading

non-correlated variables and base, conditions.

Loading condition means a continuous distribution

of

forces acting on the hull, due to the dynamic pressures on the bottom, to inertia loads due to the ship motion, and, whenever only a part

of

the structure is being considered, to

the boundary conditions on the end sections. °

Each single loading condit-ion may be usually identified by means

of a

finite

group of

parameters, that are called "definition parameters", among which, as an example, the value

of

pressure in a sufficient number

of

hull points.

It 'is therefore possible to choose a finite number

of

loading conditions, to

be called "base (loading) conditions", such as that any generic Loading condition may be described as linear combination

of

these. "Intensiti,es" of the concerned

loading condition are then the combination coefficients, relevant to these base

conditions.

In other words, let Aki be the value

of

the k-th definition parameter of the j-th base condition, and let xic be the value

of

the same definition parameter in the generic loading condition; it

.follows: xi( =5 147.

y.7 or, in matrix form:

K.7

{x} = [Aj {y} ₍₁₎

vector

of

_{the values of definition parameters in the generic load} ing condition

intensity vector of he same loading condition with respect to the base conditions

definition matrix of the base conditions.

Being arbitrary the choise

of

the base conditions,_as these only are required

to

be able to represent any loading condition, matrix _{L41 can not be singular, and} hence the base conditions are to be linearly independent and equal in number _to the definition parameters.

As an example, a trivial, but scarcely useful way to define a set

of

base con ditions consists in considering all the Loading conditions in which one

of

the

pa-rameters has unit value, and the remaining are null, herein after said base

condi-tion system will be called. "trivial system".

phere-:

{0 =

-

Static forces, i.e. hydrostatic pressures and weight, are excluded from the above definition of loading condition, and their effects are dealt with inde-pendently, being said forces herein assumed as constants.

14

Alternatively, the space of all, the possible loading conditions may

be

con-sidered like a vector space, the reference. system of which is made up by the base conditions, and the coordinates (or components) are represented by intensities.

Equation (1) may therefore be seen. as a transform into the space

of

the load ing conditions. Such transform is brthogonal if

ag [4] is a diagonal

matrix, i.e.

if

the scalar product

of

a base condition by each remaining one is null. These will be,called."(base) Orthogonal loading conditions"..

Now let the definition paraneters be

random

variables generated by a random

process; also the "intensities" relevant, to a given system

of

base conditions

are

then random variables generated by the same random process.,and the matrix [a]

of

moments may be defined the equation aij = <yi /id>, see Appendix 1.

In said equation the: symbol > means the mathematical expectation, the

ge-neral diagonal term aii. represents the. second moment of the i7th intensity and

the general term ai4 out of diagonal represents the cross-moment

of

i-th and j-th

intensities. .

In a steady

random process,

the moment matrix, is constant, and,

if

the mean

of

the variables is null, the second moment and the cross-moment are the variance

and the co-variance respectively.

Whenever the co-variance

of two

intensities is null, the relevant base condi

tions are

called "non correlated". Herein after system

of

"non-correlated (base)

conditions" means a system entirely composed of non correlated base conditions; if the mean of the concerned variables is null, the moment matrix is a diagonal

one.

It is to be pointed out that the above is not necessarily equivalent to

_3. BEHAVIOUR IN STEADY STATE RANDOM SEA

Let now a ship sailing in random sea and relevant, Loads acting on the hull' be considered;

if

the concerned time interval is not too long,, the phenomenon may

be described like a steady and ergodic random process, the independent variable

of

which is the time gl ,

_23.

In a given moment the ship is subjectedtoapressure distribution on his hull, which determines univocally the Loading condition; the consequent accelerations and inertia forces are in fact determined by the equilibrium equations.

If the values

of

pressure in a finite number

of

points are known, as shown in [6]

,

such pressure distribution may be deduced, and hence the definition para

meters

of

loading conditions are the values

of

pressure in said points. In the

case

of

a linear phenomenon when the only loading and stress variations from still water conditions are being considered, said values are random functions

of

time,

with null mean, and their moment matrix [a] may be obtained as showninAppendix1:

c'hk = ReeN,O)

Hk

[1.1wH

-IT 0

w, 0)

Sw(w, 0)dwd

(2)d

where: w = angular frequency

0 = wave-ship encountering angle

Sw 64,0 = power spectral density (directional) of the encountered sea

Hh 64,0 = conjugate complex

offih

64,0

HhandHk = complex response operators of variables h and k, in this case

the pressures in two points

of

the hull.

Such matrix may be seen as the moment matrix

of

the intensities in the trivial

base system

of

loading conditions and in general is not a diagonal matrix; such

base conditions are therefore correlated ones.

Let now be a new system

of

base conditions, where [A] is the definition matrix

mentioned in item 2, and {y} the intensity vector

of

the generic loading contition. Let {x} be the vector

of

the values

of

the definition parameters

(of

the

ge-neric loading condition): it follows:

{y}

=

(this equation if the inverse

of

(1) ).

If,

and this is one of the cases, xk are random functions

of

the time with null mean, also

in

are random functions of time with null mean, and the relevant moment matrix

[-Si may

be calculated by the equation:

[S] = <

{}T

= [4-1 {x} {x}T ([4]-1)T > =

(3) =

E-1

{x} {s}T (20_1)T

ET' Ca]

(E13-1)T

wheie

H,

moment matrix

of

the intensities in the new base system, is

a

16

Let now be Ca3 the matrix of eigenvectors (or modal matrix)

of Ea]

and

[x]

the

diagonal matrix

of

eigenvalues. It is well known that:

E

Ea]T Ea] [a] (4)

formally identical to (3), as the modal matrix is orthonormal, and

HT

E]-1.

Hence,

if

the trans for matrix [A] is proportional to the modal matrix of E:17.1,

[-g.1 is

a diagonal matrix.

From a physical point of view the above implies that, if a base loading con-dition system, proportional to the eigenvectors

of

the moment matrix

El

is asau-med, the intensities

of

the loading conditions in such system are non-correlated random variables, the variances

of

which are proportional to the eigenvaluescie[a]

Such eigenvalues are all non-negative ones, and the null eigenvalues are equal

-in number to the determ-inistic equations connect-ing the def-inition parameters (see

Appendix 1).

Let now define the system

of

base loading conditions in such a way as that the vector

of

the values

of

the definition parameters, relevant to the j-th

load-ing condition,, equals the j-th eigenvector of [a] multiplyed by the square root of the corresponding eigenvalue.

Hence let the transform

of

the coordinates into the space of the Loading con ditions be defined by the matrix

E = E

(5)

It is easy to see that the intensities

of

the Loading conditions in this sys

tern are standard non-correlated variables. In fact, from (4) and (5)

= [a]

and from (3)'

Es]

[a]

then the moment matrix

E]

in the new system equals the identity matrix.

The base system obtained as above is herein after called "system of standard

loading conditions".

Up to now the formal equality of the concerned problem with the research of eigenvectore and eigenvalues has been dealt with;

if

the definition parameters are

non-homogeneous phisical quantities, indeed, some problems are likely to arise.

ti]

and

IA

are in fact matrixes

of

dimensional values, while [a] is a nondimensio

nal matrix.

On the contrary, the definition matrix [A], is a dimensional one.

Nevertheless it is trivial to verify that matrix [g] obtained by means of (5) is congruent, as to physical dimensions, with the definition parameters, while the

intensities

of

loading conditions are nondimensional variables (non-correlated and

standard).

The statistical properties

of

the structural response of the hull in steady

fact,- under the -assumption that they AUZZ- resp*.se;e.g.:i.w.terms of stress,

rerizczin:a a linear.. *e, -it may be represented by 'a Vector {r} connected- to

the

vector {x}

of-toadS-.by, the equation:

,

where R is called_matriX of structural response.

,

It is easy to Veii;f'y that the moment matriX:iof the response may 'be obtained

froin:

-513

Columns in matrix [R]

are nothing but- the- hull responses tc.j the standard

loading conditions, and hence the

,variance of the i-t12 stress, -1,s obtained awn

ming the squares of the responses to all the standard -loading conditions, while

the ,co-varzzove

of stresses i and j is obtained sumfm.ng the products of reZe

_-

(*) Standardized distribution herein means the distribution

of

_{the ratio between}

a variable and its standard deviation.

18

4.

ADDITIONAL REMARKS ON THE RESPONSE IN STEADY SEA

The above paragraph has shown how to construct a system

of

standard load-ing conditions and how to deduce the variance of the generic response from these.

Appendix 2 shows ._4n exa-nple of such standard conditions for an ORE/OIL sail

ing at 12 knots, in a bow sea

of

_{significant height equal to 4 m and} , apparent mean period equal to 10 sec.

From the results shown in Tab. 2, it is immediate to see that only the first

14 load-big conditions have influence, while the remaining may be dis.regczrded.

This allows to carry out the structural calculations for , few Zaoding conditions

only, and this is a true advantage in respect to the

fully

statistical method.

Being steady the concerned sea state, the relevant random process is usual4y considered as an ergodic and gaussian one, and hence only normaldistributed

va-riables are derived.

The above appZies for the response too, and the probability distribution is

univocally defined by the variance.

In particular, if the phenomenon is assumed to be "narrow band", _{the distri} bution of the amplitudes of values r.

of

the generic response complies with the

RaiZeight distribution:

2 /

171-, .] e x p / 2 uji.).

Given a probability level p(;), the corresponding value

of

_{the response is} given by the equation: ii(p) =1ii. 1-2 1n p .

If the stozzggrd loading conditions multiplied by

1-rno

_{are assumed as}

loads, it is easy to demonstrate that the value r(p) may be obtained as square root of the sum of the squared values assumed by the concerned _{response in d.epen} dence on each

of

_{said loads. Said operation just corresponds to the well known}

"square root law" used by the pseudo statistic method.

Yet, the application of said

lad

is herein strictly allowed.

It may be of some interest to note that the application of said

_lad

_{is not} limited to the hypothesis of Gaussian _{distribution, as it is enough that the}

standardized probability distributions (*) are identical for all the definition parameters of the loading conditions and their combinations.

In fact, for a generic variable v, with null mean and standard deviation

a function p (p) is defined by means of the equation P tv/(57) pv(p)] =p

If the standardized distributions of all, the concerned variables _{are equal,}

the functions pv(p) are identical and represent _{an unique function p (p); in the} particular case mentioned above

(p) = -2 1n p

_given by the equation

(P)

(p) 141;27

. ...

-.

crnd 'Tray " be calculated as square rootof the sum' of the . squared resp'onset to a set

- . . _ _ _

of loading conditioi2s- ob-tained niuitiplying the_standard-conditions by

.

p (p).

Moreover, it is to' be pointed out that tile above piaotheciure requires a linear

response exactly as the fully Statistical method But it

may be used to give an

czpproxiznate evaluat-i,on of -non-linear_ structures, still' using She--square root l010

'

to &Omb-f-ne the structural fnon linear) response-S.-tr.) the above defined design load

The degree of-ma-'gnitude bf-sai4 approximatibn-has not been investigated, but

5. LONGIUBIBEHAVIOUR

During the ship's life, the state

of

the encountered seas changes, and hence

the equation (2) is no more applicable. Yet it is a common practice to consider

said variable sea state as a set of steady sea states, defined by the tern (ff113, T, 043,each

of

these being encountered with a probability _Ps.

Then it is trivial to extend the above to this case too. Let ahk(8) be the

variance

of

loads xh and xk

of

the s-th sea state; the

long

term co-variance ahk(L) is defined as:

ahk(L) = <x xk >

h (L)

= Es

ps < xh xh > (s) _{= Is Ps Ohk(s)}

The above leads to calculate the matrix

of

long term moments, with obvious

meaning

of

symbols

[i](L) = Is Ps

ED'

The above described.procedure, when applied to the matrix [a] to

the definition of a system

of

long, term standard loading conditions, the intensi

ties of which are still standardized and non correlated, but no, more

normaldi-stributed random variables.

Therefore, in this case, the strict applicability

of

the square root Zaw may be doubtful, while the calculation

of

variance (as-sum

of

the squared

re-sponses to the standar& loading conditions) is.

fully

applicable. This is enough

for the reliability assessment in a second moment approach.

In fact, in. such case, only the mean and the variance

of

the concerned

va-riables are to be considered.

In a

fully

statistical approach, the following corrective coefficients may be introduced: with reference to P4nctions.p(p) defined above, let Pi (p) be the function relevant to. the i-th standard loading condition andpk(p) the function relevant to the k-th response. The value's Fk(p).of'response and yi(p) of'intensi ties

of

the loading conditions correspond to the probability level p.

In addition, let Rki-0 be the values

of

the k-th response to the i-th stan-dard loading condition and Rki(p) the ones relevant to the same loading

condi-tion multiplied by yi(p) respectively.

Under the hypothesis of linear response, the following equations apply: k(p) = ph(p)

= Ek

Pki(1)) Rkio Pi (P) from which:

YVp) =

14i 41(p)

80:(p)

where 0ki(p) is a corrective coefficient equal to Pk (P)

pi (p)

20

As the standard loading conditionshwe unitary long term variance3t1r values

rn

(8)

Whenever the sea is in steady state, matrix LSJ

of

the moments

of

the long

term intensities yi may be obtained by the equation:

Z(8) =

[93

[a] (

)

)-1

Matrix

El(s! is

_{no more necessarily the identity matrix, and the variance}

_of

y s. is S1.8

Yet, as in said conditions the variables are noramaldistributed, the amplitude

-2

s)

distribution of yi is: P = exp (- yi / 2 S(ii ), and therefore the fol lowing long term probability distribution is obtained:

p(gi) = Es ps exp ( - g2.

/

2

SW )

which, inverted, gives (p).

On the contrary, nothing can be said about functions pk(p), unless prohibitive calculations are carried out with the

fully

statistical method. If

pep)

are not very different from each other, it would be allowed to assume that also pk(p) are not very far from the. - mean, and to assume aik(p) consequently.

Up to now numerical Calculations of coefficients pi(p) have not yet been ap-proached. However, the values of the standardized distribution, for a few values

of

pressures along the ship bottom -mentioned in Appendix 2 have been calculated, and are reported in Table 6.

The Weibull distribution appears to be complied with well enough, but the

di-stribution .coefficients notably differ from pOint to point.

This induces to think that further. investigations are required to assess no- .

mined values

of

y coefficients of the Weibull distribution, relevant both to the

loading intensities, and above all to. the structural response, and so to reach a definition of the corrective coefficients Ski to be introduced into the square root law.

Yet the application of said laza without the corrective coefficients involves approximations that are smaller, than the ones involved by the other methods

-22 . CONCLUSIONS

The proposed method; even ifbased on previous works

po,. [],

has an inno-vative character for the ship design. A certain prudence is therefore more than justified, especially until the present researches are completed; aiming to de-fine the number

of

parameters and loading conditions necessary to a complete de-scription

of

loadings and to assess nominal numericaZ values

for

the coefficients

Oki relevant to the long term fbrecatings.

Yet it is hoped that the great advantages, consisting in semplicity, in

re-spect to the

fully

statistical method, and in exactness, in respect to the

pseudo-statistical method; may induce other Researchers to deal with said method; in order to make it completely reliable and fit for the practical use in ship design.

BIBLIOGRAFIA REFERENCES

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Ferro, G., Ziliotto, F.: Descrizione semplificata delle pressioni dionda sulle sezioni trasversali di carena; Report; R.I.NA.; no 206; 1980.

IN CONDIZIONE DI PIENO CARICO

73.000 GROSS TnNN. ORE-OIL

FULL LOAD CONDITION

CARATTERISTICHE DELLO STATO DEL MARE

SEA STATE PROPERTIES

H-ls-=41/1 T = 10 s 11, 135° CARATTERISTICHE NAVE ESAMINATA

SHIP PROPERTIES

Lpp = 280.000 m iAV = 15.420 m

B = 40.780 m r-a = 4.835 m iAD = 16.680 m v = 12 nodi

Diagramma delle aree

Area diagram

= 100 m

Diagramma dei pesi

Weight diagram

= 100 t/m

MODULI DELLE CONDIZIONI DI CARICO _STANDARD ABSOLUTE VALUES OF STANDARD LOADING CONDITIONS

TAB. 2 CC LC MODULO ABS. VALUE 1 1.2853 2 1.1367 3 0.6392 4 0.5476 5 0.4798 6 0.3797 7 0.3393 8 _0.2966, 9 0.2505 10 0.2158 11 0.1921 CC LC MODULO 4BS.VALUE 12 0.1899 13 0.1706 14 0.1520 15 0.1266 16 0.1202 17 0.1179 18 0.1035 19 0.0949 20 0.0859 21 0.0819 22 0.0645 . CC LC MODULO ABS.VALUE CC LC . MODULO ABS. VAITE CC LC MODULO 4BS. VAILIE 23 0.0568 34 0.0203 45 0.0000 24 0.0547 35 0.0173 46 0.0000 25 0.0492 36 0.0162 47 0.0000 26 0.0436 37 0.0136 48 0.0000 27 0.0410 38 0.0110 49 0.0000 29 0.0350 39 0.0099 50 _0.0000 30 0.0324 40 0.0079 51 0.0000 31 0.0306 41 0.0000 52 0.0000 32 0.0249 42 0.0000 53 0.0000 33 0.0236 43 0.0000 54 0.0000 34 0.0217 44 0.0000 55 0.0000 Lpp AD _LppAV TAB. 1

_

AtrZigir

~420:my

domer_i-gprze

ri/... Pr.

P

Ard.740P5

wifer;

,s; 1 SN AV .

OREO I L..,..DA' i3.00.0;,T

.

S .L ..

OOND I Z I ()NE PI:ENO. eAki.C. 0

.

,

73': OOD ,CROSS..$10 V:ORE7OIE. '

. FULL

-LOAD CONDITION,

L

.

'

STATO DI. .kARE

. SEA STATE .: : -m = 10 j s 1 35`:.: , CONDI Z . 'DI. tARICO rfortp , CONDITION STANDARD 1

-. . .. ORE-OIL DA 73.000 T.S.L. CONDIZIONE.PIENO CARICO -.

73.000 GROSS TVNUORE -OIL ,FULL LOAD CONDITION

STATOiDi MARE

$E,4 STATE

m 10 s. 11, . 135! . LOAD CONDITION. STANDARD .

_

41#0

at

,L14r4 .1$0°PwlierP

4

rd

r

Atardiffli0jr

.4111111rrAgOrst

ir

.440.4174

AlOWFTit

; . 'DRUM L. pk.j3; 000-, T.. S . L .

CODI Z IONE . P I ENO. CAR I CO

-73. 000

'riiiio-s...21Q1%/1120RE.-OIL: :

FULL ' LOAD; iONDITIOli..

' STATO DI PURE SEA 'STATE)

' '

li 1

-T,

: _4,.,

. 1,

., . . ' COM)ti , .D1 CANICO , , -' LOAD CONDITION

,

'STANDARD i . . . N .) ,

Sez. 3 Sez. 2 p. Sez. 1 p. 1 y= 0.94 X.lin"(-1n p) TAB.. 6 0 2 X ln(-1n p) 0 DISTRIBUZIONI STANDARDIZZATE

DI PRtSSIONE A LUNGO TERMINE

LONG TERM STANDARDIZED

DISTRIBUTIONS FOR PRESSURES

Calcolate

Calculated

Weibull :

1:40 =

Sez.

1

0.5

Lpp Sez. 2 = 0-65 LPP Sez. 3 0.75 Lpp Y.lne

S(s)

(w) =

1:0

ww

1 R(S) (T1

(s)

La variabile w (t) costituisca l'ingresso di un sistema lineare L, avente in uscita N variabili V(s), definito mediante le N funzioni di risposta all'impul so unitario, hk(t) oppure mediante gli N operatori di risposta:

Hk(w) =

_{hk (T)}

e-*1WT

Se lavariabilew(s)(t)

e

a media nulla, anche le variabili V(s)(t),sono funzio

ni stocastiche di t a media nulla, e la loro matrice deimomenti Elts)

_e

defini

ta dalla relazione:

aLsc) = <Vi(ls)(t) Vjcs?Ct)>

dove il simbolo < > indica la speranza matematica.

Poich ii processo S

e

stazionario a(s) pub essere ottenuto dalla relazione: hk a(s) urn 1

f

T (s) (s) hk i 74.F17

j

Vh (t) Vk (t) d t T-+.03 -T

Facendo usa delle note relazioni:

Vh(t)

=1

_{hh (Ti)}

w (t -

_{Ti) d}

t1

f

cc Vk(t) = h

₍₁₂₎

w (t -

₁₂₎

d 12 o -iw (T

-

1 1

T2'd

(Ti

25

APPENDICE 1: La matrice del momenti in un process° stazionario.

Si consideri un process° stocastico stazionario ed ergodico S, generante una variabile w(s)(t), definito mediante la funzione di autocorrelazione:

R(s) (T

- T2 )

=

liM

WW 1 T448

2T

1 w

kt-T1

( S )

,

( S )

- T2)

dt

-, .

, .

Quant6,idettoalido;ne12.caso in.cui,41.fenOteno2Si& mOnOdiiii5nAle; mentre- .

daso in CUi:il fenOmenoSia pluridireziOnale la coVariariza_tk.oitlene MediaAdo

;7--su tutti gli angoli

4.:

ofiV

=

CO

-cink. 71 (s).

La diMOS-t:raFi9ne e deltutto. analoga a.quella fornitarin-, Per."11.calcolo

delia

,varian-24'

-Si consideri ora ii caso in cui esiste una relazione deterMiniitica fra le va riabili V

Per

_{_} cui la matrice

0j(

Its) (s)

-k

(t)

-)

e

singolare, in quanto esiste,una dipendenza linea

re fra le colonne. In termini matriciali

Si

pu6 scrivere:

[CC(s) {C) =

{0)

Ii che significa che la matrice Lair--7(s) ha un autovalore nullo, a cui corri-sponde l'autovettore {C}; ne consegue che il.numero di autovalori nylli

e

pan i al

numero di relazioni deterministiche indipendenti fra le variabili V").

Inoltre, poiche gli autovettori sono ortogonali, se {a}

e

un generico auto-vettore, sussiste la relazione di ortogonalita EK Ck akj = 0, ii che significache tutti gli autovettori soddisfano le relazioni deterministiche che sussistono fra

le Vk.

In particolare se le Vk rappresentano un sistema di carichi equilibrato, gli autovettori soddisfano le condizioni di equilibrio.

APPENDICE 2: Esempio di Calcolo

La metodologia proposta e stata applicata al calcolo delle.condizioni di

ca-rico standard per una ORE/OIL da 73.000 T.S.L. _{che avanza.con velocita V}

= 12

no-di in uno stato no-di mare stazionario caratterizzato da.altezza significativa _H113 =

= 1

m, periodo medio apparente T = 10 sec. e direzione di _{propagazione formante un} angolo _{= 135° con la direzione di avanzamento della nave.}

Le caratteristiche principali della nave _{sono riportate in Tav. 1.}

La distribuzione di pressione dovuta alle onde e stata valutata in 55 punti distribuiti lungo la carena, ottenendo cosi 55 condizioni di carico standard, i cui moduli sono riportati in Tay. 2 (*). _{Come si puO notare solo i primi 14}

pre-sentano valori significativi (maggiori del 10% del valore massimo), e ben 15 sono nulli, ii che sta ad indicare _{una forte dipendenza statistica fra le}

pressioni.

Nelle Tay. 3, 4, 5 vengono riportati, sulla superficie sviluppata _{della care} na, le distribuzioni di pressione corrispondenti

alle prime tre condizioni di

ca-rico; tali pressioni vengono poi equilibrate da una distribuzione di forze diiher zia dovute alle accelerazioni di _{corpo rigido. CiO e lecito in}

quanto, come mostra

to in Appendice 1, le condizioni di carico standard, essendo _{proporzionali agli au} tovettori della matrice del momenti, devono

soddisfare tutte le relazioni determi: nistiche che esistono fra i parametri di definizione, e quindi anche le condizioni

di equilibrio.

Con riferimento al paragrafo 5 del testo, sono state poi calcolate, _e ripor-tate in Tav. 6, le distribuzioni standardizzate di pressione _{a lungo termine in} alcuni punti della carena, allo scopo di avere qualche indicazione sulla _distribu zione a lungo termine delle intensita del carichi.

Per l'analisi del risultati ottenuti

_Si

_{rimanda al testo, qui basti notare} che viene rispettata abbastanza _{bene la distribuzione di Weibull,}

anche se con

coefficienti divers 1.

(*) Per modulo di una condizione di carico

_Si

_{intende qui il modulo del vettore} dei carichi relativo.

,

-A stocastw steady and ergodic process

S.-is

Considered, generating a vaa-i-a6le

b;(8)(t),

defined by the following autocorreldtion

fzetction:-7.,.(a)-** %. - 1

IT

_(s)

(a) s

ri--

- T

1.2772"

- Ti)

2T., j

or by the ziower` spectral dens" ity function:

w

-S(s) (

()

Let the van:able w (t) be the input

of

a linear : eystem L; 'with N output

Va.-r.iables

V--k 3

(s) 'defined by the N response functions, to the

'Unit

4k(T),

: - '

or by the N response - operators:

- Hk(w),

-4

hk(Ti e

,-i -1.1.0T

o

,.-_-.. , 1 (s)

If the mean of the Varial)4.e W.., SI (t) is nun, ihe,variables- yk (t):are random funct-ions of t with null mean, and their moment matrix, Ey] (8) is defined ,by:

(s) (s) (s)

cr - < V (t) (t) >

hk h k

where the symbol < > indic3ates- the mathema-tical ex7iectation.

Being the process S a steady one, a miry

be

obtained-from:

ahk

(s)

irn h

so

sa,

hh (T11'

hk

(T2

)

R(a)ww

0

0

And still from

oo ( iW_(T1T2)

_d

R(s)(T

_ww

T2) =1

Sw8)(w) e it is:

(8)

mei ) ahk -h, ' (113) S(s) (w) d w (3:t

The above is valid in case

of

monodirectional phenomenon only; while in the

case

of

multidirectional phenomenon, the covariance is obtained from the mean

over all the angles:

(s) 1

I f

ahk

H.

WA,)

Hk(8)

w. 40 (1)) du) dc:)

-7r

The demonstration of the above is by all means parallel to the one given in

for the calculation of the variance a(s).

hh

Let now consider the case in which a determinate relation is existing among the variables V

Vic (t) = 0

As a consequence:

(8)

Ek ck ahk _ < Ek - Ck Vh(s)(t) V(s)(t) > = 0

Hence the matrix [a] a singular one, and a lineardependence is exist ing among the columns. In matrix terms, the following may be written:

Ei](8)

{c} =

{o}

j

r7 (Et)

It follows that the matrix ishas a null eigenvalue, which the eigen-vector {C} is corresponding to- as a consequence, the null eigenvalues are equal

in number to the independent deterministic relations among the variables V(s).

Moreover, being the eigenvector orthogonal, if [a] is a generic eigenvector the orthogonality relation Ek Ck

aki

= 0 is valid, and this means that eigenvectors comply with the deterministic equations existing among Vic.

In particular,

if

the variable Vk represent an equilibrated loading system., the eigenvectors comply with the equilibrium conditions.

1 -

2

d1

The proposed method has been applied to calculate., the standard loading condi tions for a

73,000 T.S.L. ORE/OIL,

sailing at a speed V = 12 knots in a steady state sea, with significant height

Hi/3 = 4 m,

appearent mean period T = 10 sec

and propagation direction making an angle 4, = 135° with the advancing direction

of

the ship.

The main characteristics

of

the ship are reported in Table 1.

The pressure distribution due to waves has been assessed in 5.6 points along the bottom, obtaining 55 standard loading conditions, the modulus

of

which are re

ported in Table

2 (*). It

may be remarked that only the first 14 are significant values (exceeding

in

of the maximum value) and 15 are null, and this means a

strong statistical dependence among pressures.

In Tables 3, 4, 5 the pressure distribution are reported, on the expanded hull surface, corresponding to the first three loading conditions, such pressures are then equilibrated by a distribution of inertia forces, due to rigid body acce Zerations. The above is allowed as, as shown in Appendix 1, the standard loading conditions are to comply with all the deterministic relations existing among the

defirtition parameters, and then also with the equilibrium conditions as they are

proportional to the eigenvectors

of

the moment matrix.

With reference to item 5

of

this paper, the standardized long term pressure

distributions -in a few points

of

the hull have been calculated and reported in

Table 6, to the purpose

of

deducing some indication on the long term distribution

of

the loading intensities.

For the analysis

of

the results obtained see the text, herein it is enough

to remark that the Weibull disti.ibUtion is complied with well enough, even

if

with

different coefficients.

(*) Mod.Ulu.s

of

loading condition herein means the modulus. Of relevant-I-adding

at tore

Sergio

MARSICH.-.

-Salvitore DE MARIA

CALCOLO jbEI GRIGLIATI:NELLE-. TRUtTURE Nk,V4LI:

Nicola .9QUASSAFICHI

_{2 - Applicazione del_ -thetodo .delle fo-tie e}

.

se-gr:igliati standard.-- Confront° ,del meto

do delle.forze con aLtri

metbdi,

di -c-alcdlo

grigliati

Calcolo:

grigl:iato

THE FLAT GRILLAGES IN SHIP :STRUCTURE

-2 - GAZelage Atandcorid-ziOr.i.4. diacctect-ted by the

6oAce meAhod - COMpq11440

_{between the tiokde}

thod. put a-the/L. ortez:---,Stite.S.60 caecutati.ori

ratida'IvIEREGA.'

5

Antonio DI BiASE

_{LA- COSTRUZiONE DELLE NANiI 7NUCLEAR,± SECOND6 I LE}

ATTUALI DEGLI

NE-1,

--La nave.

_

BOLUTTINT TECNICI GIA' PUBBLICATI TEC4ICAL_BULLETINS. ALREADY PUBLISHEV

-Ldreifz'ar,' SPINELLI _{ALCUNE 'NOTE SULLA CONPERENZA INTERNAZIONALESUL}

BORDO.L.I-BERO DEL 1966'.

SOME NOTES ON THE 1NTERNATONAi

1966-10A1Y1INE-CONVENTION

'CALCOLO DEI GRIGLIidl-NELLE STRUTTURE NAVALI

1 - Guida pratida per l'appridazione del meto_

-do delle forze

THE 'FLAT GRILLAGE:SIN SHIP STRUCTURES

1 .= A 'gu..i.cle Oh.._ the. 6citce: method

apptir4tipn,

r

:NOTE SULLA-ROBUSTEZZA LONGITUDINALE DELLE:.NAVI-' CISTERNA .E.-BULK-CARRIERS."

SOME NOTES ON THE _{LONGTTUPINAL'} STRENGTH OF TAN, -KERS AND ,BULK-CARRIERS:

IL COMPORTAMENTO DELLE NAYI IN MARE, TEMPESTOSO

1 - La

funzione

densita-

spettrale.4Cpcitei4a-:'-'

.. .

nel

proce,Ssi stocastici

THE .BE6AvlOuR OF

silips,

IN CON,F,U,SED. SEA,

1.* +?oweit.-.6pe.. ...tW deity '6.1in:et-ton A.A.F.:fi.4Yid:07.1

lotocezzez . _'

.

THE CONSTRUCTION OF NUCLEAR .SHIPS ACCORpING TO

THE PRESENT RULES ISSUfg 5V THE CLASSIFICATION SOCIETIES

1

authoir.

.13

Franca

MEREGA -- . ' 12 Seigiii-MARSICH=

Salvatore DE MARIA

-Lorenzo VIACAVA ' ' _.,

Franco

'11EREGA i IL COMPORTAMENTO DELLE IsiAVI IN MARE. TEMPESTOSO

,

- - - "--.:2

--L'applicazione-della funzione densita. spet'

:..trale di potenza e,del pr-incipio di sovrapposi

zione al comportamento delle navi in mare

teni-p-estoso

.

THE BEHAVIOUR OF SHIPS. IN CONFUSED SEA

, Powex 4pe2a2 denjc,tj

unction and -iineitir.

iipeiLO,ti.oh aioptied to the behavioun o

41/43.6

con6cused 4ea

. .

.- . .

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' Franco

MEREGA ' 'IL COMPORTAMENTO DELLE.:NAVI IN MARE 1711.'ES'IOSO

.. . .

-,.,. ..-_, ..-, : - -

-

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-3 - II moMenIo. flettenie longi_tudinal6'..'dbvlitei

ai:motooridoso

.

_

:9

Mario

ALIMENT6 SABILITA' DELLE NAVI ALLO STATO ,INTEGRO

. ,INTACTSTABILITY OF SHIPS

10 Antonio DI '.811SE: Lk COSTRUZIONE DELLE NAVI ,NUCLE,ARI SECOND() LE. CIASSIFiCAZIG=

2 -

Gli

impianti

-,THE CONSTRUCTION OF NUCLEAR. SHIPS ACCORDING TO

THE PRESENT RULES ISSUED ...BY THE CLASSIFICATION

SOCIETIES- '

-

The ganks

.

CALCOLO DELLE';COPERTURE METALLICEE:DELLE; -EsOCCA

:PORTE

STEEL HATCHWAY COVERS DESIGN .

. .

.

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.-_COMPORTAMENTO:DELLE PARATIE -LANGITUDINALI DI':

UNA NAVE CISTERNA NEI RIGUARpl-bEGLI.SF0R4I

'TAGLIO

ON THE INFLUENCE OF LONGITUDINAL-BULKHEADS ON THE SHEAR STRESSES IN TANKERS - -

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r -THE BEfiAVIOUR OF SHIPS IN CONFUSED SEA

The tongLtudina.t have behding inomen,C..

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- IL COMPORTAMENTO DELLE NAVI..IN MARE TEMI"ESTOSO

;

4 - Ii momento flettente' laterale do's/1Mo 'al mei .

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THE . BEHAVIOUR OF SHIPS IN CONFUSED SEA