WPŁYW POROWATOŚCI NA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁU. OCENA ANALITYCZNA

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 473-478, Gliwice 2006

WPŁYW POROWATOŚCI NA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁU.

OCENA ANALITYCZNA

ANDRZEJ WILCZYŃSKI

Instytut Mechaniki i Konstrukcji, Politechnika Warszawska

Streszczenie. Szereg prac poświęcono opisom i przewidywaniom właściwości mechanicznych kompozytów wzmacnianych wtrąceniami, zarówno o osnowie metalowej jak i polimerowej, jednak jedynie nieliczne z nich wykorzystują wyniki teorii wzmocnienia do opisu materiałów porowatych, będącej dobrym modelem dla uwzględniania wpływu porowatości osnowy na własności kompozytu. Rozważa się materiał porowaty, utworzony ze sprężystej osnowy oraz pustek kulistych, rozmieszczonych w osnowie zgodnie ze schematem najgęstszego upakowania, bez kierunków wyróżnionych. Jako jednostkowy element objętościowy przyjmuje się dwunastościan foremny z pustką kulistą w środku. Zgodnie z założeniem Hilla, często stosowanym w teorii wzmocnienia, zakłada się, że materiał otaczający pustkę ma własności globalne materiału spienionego.

1. WSTĘP

Szereg prac poświęcono opisom i przewidywaniom właściwości mechanicznych kompozytów wzmacnianych wtrąceniami, zarówno o osnowie metalowej jak i polimerowej, jednak jedynie nieliczne z nich wykorzystują wyniki teorii wzmocnienia do opisu materiałów porowatych, będącej dobrym modelem dla uwzględniania wpływu porowatości osnowy na własności kompozytu. Czynnikiem dodatkowym jest niezbyt zrozumiałe występowanie dość często błędów [2], [3], wreszcie poprawionych [4] dotyczących rozwiązań zagadnień wtrąceń kulistych i ziarnistych. W tej sytuacji wydaje się celowe z jednej strony podać opracowane na podstawie [5], przydatne w teorii wzmocnienia rozwiązanie problemu, z drugiej algorytm postępowania przy opisie materiału spienionego.

2. ZAŁOŻENIA

Rozważa się materiał porowaty, utworzony ze sprężystej osnowy oraz pustek kulistych, rozmieszczonych w osnowie zgodnie ze schematem najgęstszego upakowania, odpowiadającym stałej odległości pomiędzy sąsiadującymi pustkami, bez kierunków wyróżnionych. Jako jednostkowy element objętościowy przyjmuje się dwunastościan foremny z pustką kulistą w środku. Zgodnie z założeniem Hilla [1], często stosowanym w teorii wzmocnienia, zakłada się, że materiał otaczający pustkę ma własności globalne materiału spienionego. Prowadzi to do zastępczego stopnia porowatości f, odniesionego do rzeczywistego stopnia porowatości φ, związkiem

f = 1.325 φ (1)

(2)

co też wyznacza zastępczy, średni promień pustki kulistej

ro = 1.0983 r (2)

φ

Rys.1. Powtarzalny element struktury

Powyższe rozumowanie, zaproponowane przez Hilla [1], wynika z konieczności zapewnienia spójności powtarzalnym jednostkom objętości modelu porowatego materiału. Powtarzalny, jednostkowy element objętościowy spienionego materiału, zawierający pustkę kulistą przedstawiono na rys. 1. Współrzędne układu sferycznego, użytego do opisu własności materiału, zostały przedstawione na rys. 2.

θ ϕ

Rys.2. Współrzędne układu kulistego

W opisach tych, ze względów numerycznych, przyjęto promień kuli wpisanej w dwunastościan R = 1. Ze względu na przyjęte założenia geometryczne, a także cel dalszych rozważań, najwygodniejszym układem do rozwiązania jest zagadnienie osiowo-symetryczne zapisane w układzie współrzędnych kulistych. Poza tymi stwierdzeniami klasyczne założenia teorii sprężystości pozostają w mocy. Zastosowane rozwiązanie, po usunięciu licznych błędów znajdujących się w podstawowej literaturze zagadnienia, zestawiono w Dodatku.

3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU

Po wprowadzeniu powyższych założeń można stwierdzić, że możliwe jest osiągnięcie rozwiązania dotyczącego przewidywania właściwości sprężystych materiału porowatego.

Wprawdzie nie wprowadzono tutaj ograniczeń na temat stopnia porowatości, jednak w przypadku polimerów i kompozytów polimerowych za porowatość można uważać także zapowietrzenie, w takim przypadku zazwyczaj ograniczone do kilku procent objętości.

(3)

Przystępując do rozwiązania z wymienionych względów, zajęto się nieograniczonym ośrodkiem jednorodnym, obciążonym w kierunku 3 naprężeniem rozciągającym o wartości 1.

W wybranym układzie kulistym stan naprężenia daje się przedstawić jako

( )

1 1 cos 2 2

1sin 2 2

rr

rt

σ θ

= +

= −

(3)

Prowadzi to do warunków brzegowych w rozwiązywanym układzie

( ) ( )

( )

1, , 1 1 cos 2 2

1, , 1sin 2 2

rr

rt

σ θ ϕ θ

= +

= −

(4)

Niezależnie od nich należy wprowadzić warunek powierzchni pustki wolnej od naprężeń, czyli

(

0, ,

) (

0, ,

)

0

rr r rt r

σ θ ϕ =σ θ ϕ = (5)

Warunki brzegowe (4) i (5) prowadzą łącznie do układu 6 równań liniowych, pozwalając na wyznaczenie wszystkich stałych rozwiązania. Znajomość tych stałych pozawala następnie opisać, korzystając z zależności podanych w Dodatku, zarówno stan naprężenia jak i stan odkształcenia badanego materiału porowatego.

4. PRZEWIDYWANIE WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTYCH

To zagadnienie daje się rozwiązać najprościej. Przy spełnieniu postawionych założeń średnie wartości modułu Younga i współczynnika Poissona są określone przez wywołane jednostkowym naprężeniem przemieszczenia na powierzchni kuli, mierzone w kierunku działania obciążenia i w kierunku prostopadłym. We współrzędnych kulistych zapisuje się to jako

( )

1 1, 0,

1, , 2

r

E u

ϕ

ν π ϕ

=

 

= −  

(6)

co pozwala, korzystając z zależności zapisanych w Dodatku wyznaczyć dość łatwo ich wartości.

(4)

5. NUMERYCZNA SYMULACJA SZTYWNOŚCI MATERIAŁU SPIENIONEGO Przyjmując jako osnowę żywicę epoksydową o właściwościach opisanych stałymi

E = 5.55 [GPa]

ν = 0.37

i wykorzystując przedstawiony algorytm można wyznaczyć zmienność modułu Younga materiału porowatego w funkcji stopnia napełnienia, przedstawioną wykresem z rys. 3.

0 1 2 3 4 5

0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8

f E

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4

5 . 5 5 v

0 . 3 7

Rys.3. Moduł Younga i współczynnik Poissona

Jak widać, modułu Younga nie można obliczać, korzystając z teorii mieszanin w zakresie porowatości większej niż 10 – 20 %. Odpowiednie liniowe (małej porowatości) związki przybliżone mają postać

( )

1 2.85 1 0.13

E E f

ν ν f

≅ −

≅ − (7)

Podobne, dokładniejsze związki do oceny otrzymanych zależności dla osnowy sprężystej można stosunkowo łatwo uzyskać na drodze analitycznej na podstawie zależności z Dodatku.

6. DODATEK

W osiowo symetrycznym układzie współrzędnych sferycznych szczególnie wygodnie jest posługiwać się równaniami Love’a, co sprowadza się do przyjęcia wyrażeń naprężeń w postaci

( )

2 2

2

2 2

2

2 2

2

1

2

1

rr

tt

zz

rz

z r

z r r

z z

r z

σ ν

 

∂ ∂

=∂  ∇ −∂ Φ

∂  ∂ 

=∂  ∇ − ∂ Φ

 

∂ ∂

=∂  − ∇ −∂ Φ

 

∂ ∂

=∂  − ∇ −∂ Φ

(A1)

(5)

gdzie wprowadzono oznaczenie

2 2

2

2 2

1 cos

r r r z z r θ

∂ ∂ ∂

∇ = + +

∂ ∂ ∂

=

(A2)

natomiast funkcja naprężeń Φ spełnia równanie biharmoniczne

2 2

∇ ∇ Φ =0 (A3)

Szereg zagadnień dotyczących kuli, zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych, rozwiązuje się przy użyciu szeregów funkcji kulistych Legendre’a. Niektóre proste zagadnienia, takie jak pustka kulista lub wtrącenie kuliste, można rozwiązać, używając jedynie funkcji kulistych Legendre’a pierwszego i drugiego rzędu. Pozwala to na określenie wykorzystywanej funkcję Φ jako kombinację tych funkcji, mnożonych przez zmienną r w wybranej potędze. W badanym zagadnieniu wygodnie jest napisać składowe odpowiedniej osiowo symetrycznej funkcji biharmonicznej we współrzędnych kulistych jako

( ) ( )

1 4 2

2

2 5 3

3 2 2

3 6 4

1

3 1 1 3 1

cos

r r

r x x

r

r x x

r

x ϕ

Φ = Φ =

Φ = − Φ = −

=

(A4)

Kombinacja liniowa tych rozwiązań daje poszukiwaną funkcję biharminiczną, za pomocą której, z wykorzystaniem zależności (A1), otrzymuje się wyrażenia naprężeń, jak w [5].

Naprężenia występujące w badanym zagadnieniu osiowo symetrycznym można ostatecznie przedstawić wzorami

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 5 3

2

5 3

2

3 5 3

2

5 3

2

3 5 3

2 2 4 2 5 2 1

6 4 2 5 cos 2

2 5 1 2 2 1 5

2 7 3 1 2 3 7 2 cos 2

2 3 1 2 2 2 1 7

rr

tt

A B C

D F Hr

r r r

B C

D Hr

r r

A B C

D F Hr

r r r

B C

D Hr

r r

A B C

D F Hr

r r r

ϕϕ

σ µ ν ν ν

µ ν ν θ

σ µ ν ν ν

µ ν ν θ

σ µ ν ν ν

 

= −  + + − + + + + −

 

−  + − + + 

 

=  + + − − − + − +

 

+  + − + − + 

 

= + − − + − + − +



( ) ( )

2

5 3

2

5 3

2 5 9 1 2 7 11 cos 2

2 8 6 1 3 7 2 sin 2

rt

B C

r r Hr

B C

D Hr

r r

µ ν ν θ

σ µ ν ν θ

+

 

+  + − − + 

 

= −  + + − + + 

(A5)

(6)

Przemieszczenia w rozważanym układzie natomiast zapisuje się jako

( ) ( )

( )

( ) ( )

3

2 4 2

3

4 2

3

4 2

5 4 2 1 2 2

3 5 4 2 cos 2

2 6 1 2 3 7 4 sin 2

r

t

A B C

u Dr Fr Hr

r r r

B C

Dr Hr

r r

B C

u Dr Hr

r r

ν ν ν

ν ν θ

 

= + + − − − − + +

 

+  + − − + 

 

= − − + − − 

(A6)

W obu przypadkach wielkości A, B, C, D, F, H oznaczają stałe dowolne, wyznaczane z warunków brzegowych. Dla zagadnienia wewnętrznego stałe A, B, C przyjmują wartości zerowe ze względu na konieczność zapewnienia ograniczoności rozwiązaniom. W przypadku nieograniczonego zagadnienia zewnętrznego z tego samego powodu stała H musi przyjmować wartość zerową.

Rozwiązanie badanego zagadnienia sprowadza się do spełnienia warunków brzegowych i warunków sprzężenia dla obu zagadnień. W praktyce oznacza to zgodność przemieszczeń i naprężeń na powierzchniach zewnętrznych obu zagadnień oraz na ich powierzchniach wspólnych, o ile takie występują. Prowadzi to do układu co najwyżej 6 równań liniowych, wyznaczających stałe A, B, C, D, F, H.

LITERATURA

1. Hill, R.,J.Mech.Phys.Solids,12,(1964),199 2. Goodier, J.N.,J.Appl.Mech.,A39,(1933),55 3. Nielsen,L.,E.,J.Comp.Mater.,1,(1967),100

4. Wilczynski, A.,P.,Comp.Sci.Techn.,51,(1994),525 5. Nowacki, W., Teoria sprężystości,(1970),PWN

ANALYTICAL ASSESMENT OF POROSITY INFLUENCE ON MATERIAL ELASTICITY

Summary. A number of papers on description and prediction of mechanical properties of composites reinforced by inclusions, both for polymeric and metallic matrices, only in rare occasions use the theory of reinforcement, being a useful tool in modeling of composites, for describing influence of porosity of the matrix and of the whole composite. For this purpose a porous material is taken into consideration, consisting of an elastic matrix and spherical cavities, placed according to the closest packing scheme, with no exceptional directions. As a representative cell a regular dodecahedron is selected, with the spherical cavity inside. According to Hill’s assumption, normally used in theories of reinforcement, the material surrounding the cavity exhibits average properties of the composite.