Zadanie 1.
SprawdŸ, czy sekwencja wstêpuj¹ca stopni wierzcho³ków poni¿szego grafu jest ci¹giem hamiltonowskim.
1
2
3 4
5
Zadanie 2.
(Punkt (1) tego zadania jest obowi¹zkowy.)
Macierz M jest macierz¹ incydencji pewnego grafu G.
(1) Czy w tym grafie spe³nione s¹ warunki dostateczne (Diraca, Ore’a, na liczbê krwawêdzi) istnienia cyklu Hamiltona?
(2) Czy sekwencja wstêpuj¹ca stopni wierzcho³ków tego grafu jest ci¹giem hamiltonowskim?
(3) Czy ten graf ma cykl Hamiltona?
ú ú ú ú úú ú ú ú úú
û ù
ê ê ê ê êê ê ê ê êê
ë é
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Zadanie 3.
(1) (obowi¹zkowy) W poni¿szym grafie H zbuduj drzewo rozpinaj¹ce T metod¹ przeszukiwania grafu wszerz.
zaczynaj¹c od wierzcho³ka 7.
(2) Wyznacz kod Prufera tego drzewa.
(3) Wyznacz zbiór wszystkich cykli fundamentalnych wzglêdem T.
(4) Przedstaw cykl (1, 2, 5, 3, 6, 4, 1) jako ró¿nicê symetryczn¹ cykli fundamentalnych.
Zadanie 4.
(1) Wyznacz w poni¿szym grafie H maksymaln¹ liczbê dróg wierzcho³kowo roz³¹cznych miêdzy wierzcho³kami 1 i 9. Wska¿ te drogi.
Stosuj¹c twierdzenie Mengera (w wersji wierzcho³kowej), wyznacz minimaln¹ moc zbioru rozdzielaj¹cego wierzcho³ki 1 i 9.
(2) Wyznacz w H maksymaln¹ liczbê dróg krawêdziowo roz³¹cznych miêdzy 1 i 9. Stosuj¹c tw. Mengera (w wersji krawêdziowej), wyznacz minimaln¹ moc zbioru rozspajaj¹cego wierzcho³ki 1 i 9 oraz wska¿ taki zbiór minimalnej mocy.
(3) Ile wynosz¹ spójnoœæ wierzcho³kowa oraz spójnoœæ krwêdziowa tego grafu?
1
2
3
4
5
6
7
8 9 a
b c
d e
f g
h j i
k l
1
2
3
4
5
6
7
8 9 a
b c
d e
f g
h j i
k l
1
2
3
4
5
6
7
8 9 a
b c
d e
f g
h j i
k l
1
2
3
4
5
6
7
8 9 a
b c
d e
f g
h j i
k l
H
