(a) Dzia lanie ∨ jest rozdzielne wzgl¸edem ∧.

Lista 4: Pier´ scienie

(1) Sprawdzi´ c, czy prawdziwe jest nast¸epuj¸ ace zdanie o dzia laniach

∨ i ∧ okre´slonych w zbiorze R wzorami a ∨ b = max (a, b) a ∧ b = min (a, b).

(a) Dzia lanie ∨ jest rozdzielne wzgl¸edem ∧.

(b) Dzia lanie ∧ jest rozdzielne wzgl¸edem ∨.

(2) Sprawdzi´ c, czy pi¸ atka (P, ∗, ◦, a, b) jest pier´scieniem z jedynk¸ a, je´sli P = {a, b}, a dzia lania ∗ oraz ◦ okre´slone s¸ a za pomoc¸ a tabelek:

∗ a b a a b b b a

◦ a b a a a b a b

Kt´ ore z element´ ow zbioru P s¸ a odwracalne wzgl¸edem dzia lania

◦?

(3) Niech P b¸edzie pier´scieniem z jedynk¸ a. Poka˙z, ˙ze (a) a · 0 = 0 · a = 0;

(b) a · (−b) = (−a) · b = −ab;

(c) (−a)(−b) = ab;

(d) a(b − c) = ab − ac;

dla dowolnych a, b, c ∈ P .

(4) W pier´scieniach Z

, Z

zbudowa´ c tabelki dzia la´ n.

(5) W Z

wskaza´ c elementy przeciwne wzgl¸edem dzia lania ⊕

i odwrotne (je´sli istniej¸ a) wzgl¸edem dzia lania 

do:

(a) 1, 2 dla n = 3;

(b) 0, 2, 5 dla n = 7;

(c) 1, 3, 4 dla n = 8.

(6) Obliczy´ c:

(a) 2

w Z

, (b) 888

w Z

. (7) Ile rozwi¸ aza´ n i jakie maj¸ a r´ ownania?

(a) 2x = 1 w Z

; (b) 3x + 2 = 6 w Z

;

(c) 7x − 2 = 4 w Z

;

(d) 3x + 5 = 6 w Z

; (e) 6x = 2 w Z

; (f) 6x = 9 w Z

;

(8) Korzystaj¸ ac z algorytmu Euklidesa w pier´scieniu Z, obliczy´c NWD danej pary liczb x, y, a nast¸epnie przedstawi´ c otrzyman¸ a liczb¸e w postaci ax + by, a, b ∈ Z.

1

2

(a) 287, 14; (b) 213, 94; (c) 2159, 221;

(9) Korzystaj¸ ac z tzw. rozszerzonego algorytmu Euklidesa w pier´scieniu Z, obliczy´ c odwrotno´s´ c danego elementu pier´scienia Z

:

(a) 343, (b) 185, (c) 1633.