Metody Numeryczne Laboratorium 2 Numeryczna reprezentacja liczb.
Zadanie 1
Prosz¸e napisać program w OCTAVE, obliczaj¸ acy sum¸e 100000 razy liczby 0.1 w for- macie long.
Jaki jest bł¸ ad wzgl¸edny dokładności obliczeń?
Rozwi¸ azanie
» format long;
» suma =0;
» for i = 1:100000 suma = suma + 0.1;
end
» suma
suma = 10000.0000000188
Bł¸ ad wzgl¸edny = |10000−10000.0000000188|
10000 = 1.88e − 12
Zadnie 2
Prosz¸e przedstawić liczby 123.456, 523.2345 w pozycyjnym systemie dziesiętnym.
Rozwi¸ azanie
123.456 = 1 · 10 2 + 2 · 10 1 + 3 · 10 0 + 4 · 10 −1 + 5 · 10 −2 + 6 · 10 −3 .
523.2345 = 5 · 10 2 + 2 · 10 1 + 3 · 10 0 + 2 · 10 −1 + 3 · 10 −2 + 4 · 10 −3 + 5 · 10 −4
Zadanie 3
Prosz¸e przedstawić liczby 123.456, 523.2345 w zapisie zmiennoprzecinkowym.
Rozwi¸ azanie
123.456 = 1.23456 · 10 2 = 1.23456e2;
523.2345 = 5.232345 · 10 2 = 5.232345e2.
1
Zadanie 4
Jakie s¸ a możliwe postacie liczb 123.456, 523.2345 w programie OCTAVE?
Rozwi¸ azanie
W obliczeniach numerycznych OCTAVE najcz¸eściej wykorzystujemy pi¸eciocyfrowy for- mat stałopozycyjny (format short),pi¸etnastopozycyjny format stałopozycyjny (format long), pi¸eiocyfrowy format zmiennopozycyjny (short e), pi¸etnastopozycyjny format zmien- nopozycyjny (long e)
Przykład 0.0435 short
0.04347826086957 long 4.3478e − 002 short e
4.34782608695652e − 002 long e
Zadanie 5
Prosz¸e wykonać działania: 3.25+18.7 , 3.25*18.7, 6.152+ 96.47 , 3.523* 80.13.
W każdym z powyższych działań prosz¸e uwzgl¸ednić proces przenoszenia si¸e cyfr do nast¸epnej pozycji.
» 3.25+18.7 ans = 21.950
» 3.25*18.7 ans = 60.775
» 6.152+96.47 ans = 102.62
» 3.523*80.13 ans = 282.30
»
Zadanie 6
Prosz¸e przedstawić nast¸epuj¸ ace liczby dziesi¸etne w postaci dwójkowej (binarnej):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
Rozwi¸ azanie 1 - 1
2 - 10
2
3 - 11 4 - 100 5 - 101 6 - 110 7 - 111 8 - 1000 9 - 1001 10 - 1010 11 - 1011 12 - 1100
Zadanie 7
Jaka jest binarna (dwójkowa) reprezentacja liczb całkowitych, ułamkowych i mieszanych?
Rozwi¸ azanie
liczby dwójkowe całkowite: b n 2 n + b n−1 2 n−1 + ... + b 1 2 1 + b 0 2 0 = P n i=0 b i 2 i liczby ułamkowe : b −1 2 −1 + b −2 2 −2 + ... + b m 2 −m = P 1
i=−m b i 2 −i
liczby mieszane : b n 2 n + b n−1 2 n−1 + ... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b −1 2 −1 + b −2 2 −2 + ... + b −m 2 −m = P n
i=−m 2 i
Zadanie 8
Prosz¸e przedstawić liczby (11010) 2 , (1.011) 2 , (10011.01101) 2 ,(−111.111111) 2 w postaci dziesi¸etnej.
Rozwi¸ azanie
(11010) 2 = 0 · 2 0 + 1 · 2 1 + 0 · 2 2 + 1 · 2 3 + 1 · 2 4 = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 (1.011) 2 = 1 · 2 0 + 0 · 2 −1 + 1 · 2 −2 + 1 · 2 −3 = 1 + 1 4 + 1 8 = 13 8 = 1 5 8
(10011.01101) 2 = 1 + 2 + 16 + 1 4 + 1 8 + 32 1 = 19 13 32
(−111.111111) 2 = −(1 + 2 + 3 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 16 1 + 32 1 + 64 1 = −6 59 16 = −9 11 16
Zadanie 9
Prosz¸e wykonać działania : (101101) 2 + (10101) 2 , (100.011011) 2 + (10.10111) 2 , (1011) 2 ∗ (101) 2 (10.1101) 2 ∗ (1.011) 2
Rozwi¸ azanie
(101101) 2 + (10101) 2 = (1001011) 2 ;
(100.011011) 2 + (10.10111) 2 = (111.001001) 2 ; (1011) 2 ∗ (101) 2 = (110111) 2 ;
3
(10.1101) 2 ∗ (1.011) 2 = (11.1101111) 2
Zadanie 10
Korzystaj¸ ac ze wzoru na sum¸e szeregu geometrycznego, prosz¸e przedstawić liczb¸e bi- narn¸ a (0.1111111...) 2 w postaci dziesi¸etnej.
Rozwi¸ azanie
(0.11111111...) 2 = P ∞
k=1 2 −k =
1 2
1−
12= 1
Zadanie 11
Prosz¸e przedstawić liczb¸e (2.777...) 10 w postaci skończonej.
Rozwi¸ azanie
(2.777...) 10 = 2 + 7 P ∞
n=1 ( 10 1 ) n = 2 + 7
1 10
!["Ricerche di sociologia nei documenti dell' Egitto greco-romano", V-VII, O. Montevecchi, "Aegyptus", XXVI-XXVIII : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)