Badania statystyczne ze względu na jedną cechę

(1)

Badania statystyczne ze względu na jedną cechę

Zagadnienia estymacji.

Statystyka matematyczna zajmuje się badaniem populacji generalnej za pomocą metod rachunku prawdopodobieństwa. W rachunku prawdopodobieństwa zakłada się, że jest znany rozkład prawdopodobieństwa badanej zmiennej losowej. W statystyce bada się zmienną losową, która przyjmuje wartości – wartość cechy losowo wybranego elementu z populacji generalnej. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej losowej a więc i cechy jest zazwyczaj nie znany albo mamy małe informacje na temat tego rozkładu. Np. mamy informację, że cecha ma rozkład normalny ale nie znamy jakie są istotne parametry

m

_i



_.

Schemat badania populacji generalnej Z za pomocą próby jest następujący:

Niech X oznacza zmienną losową badanej cechy. Dowolne dwie różne

n

_-

elementowe

próby tej samej populacji są zazwyczaj różne z różnymi obliczonymi parametrami

opisowymi. Próbę

n

- elementową ^x¹^,^x²^,^x³^,....,^xⁿ będziemy traktować jaką realizację ciągu zmiennych losowych ^X¹^,^X²^,^X³^,....,^Xⁿ gdzie zmienna losowa ^Xⁱ przyjmuje wartości – wartość ⁱ^^tego pomiaru cechy w próbie ⁱ^¹^,²^,...,ⁿ. Dla różnych prób

n

- elementowych wartości są zazwyczaj różne. Ponieważ próba jest próbą losową prostą / tzn. wybieramy elementy z populacji tak aby każdy element miał jednakowe

prawdopodobieństwo trafienia do próby/ i populacja jest duża /wtedy wylosowany element nie wpływa na stan populacji / to zmienne losowe X₁,X₂,X₃,....,Xn są niezależne i rozkład tych zmiennych jest taki sam co rozkład zmiennej losowej X co zapisujemy ^X ~ ^Xi ⁱ 1,2,...,ⁿ

Estymacja punktowa.

Statystyka - jest zmienną losową postaci funkcji wyników próby losowej tzn. dowolną funkcją postaci Z  f⁽X1^,X2^,X3^,....,Xn⁾ gdzie z f⁽x1^,x2^,x3^,....,xn⁾ jest funkcją n zmiennych.

Estymator - dowolna statystyka służąca do oszacowania nieznanej wartości parametru

 populacji generalnej.

Wartość estymatora w próbie jest szacowaniem punktowym parametru za pomocą próby Najważniejsze statystyki.

Średnia empiryczna.





 



  ⁿ

i

n Xi

n n

X X

1 2

1 .... 1

Wariancja empiryczna.







 







  ⁿ

i

n Xi X

n n

X X X

X X S X

1 2 2

2 2 2

2 ( 1 ) ( ) ... ( ) 1 ( )

(2)

Odchylenie standardowe empiryczne.

S2

S 

Definicja. Mówimy, że statystyka Zn szacująca parametr  jest estymatorem nieobciążonym gdy wartość oczekiwana ^E⁽^Zⁿ⁾^^ .

Definicja. Mówimy, że statystyka Zn szacująca parametr  jest estymatorem zgodnym gdy ^lim__ ⁽ _n ^ ^⁾^¹

n P Z dla każdego  0.

Definicja. Mówimy, że statystyka Zn szacująca parametr ^ jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym gdy 



 ( )

lim _n

n E Z .

Estymator X której wartością jest średnia arytmetyczna x obliczana w próbie szacuje punktowo wartość oczekiwaną ^m^^E^{( X}⁾ w populacji generalnej. Jest estymatorem nieobciążonym i zgodnym. Ponadto jeżeli ^X ^~ ^N⁽^m^,^⁾ to ^~ ⁽ ^, ⁾

m n N

X 

.

Estymator S² której wartością jest wariancja s² obliczana w próbie szacuje punktowo wariancję ^² ^^D²⁽^X⁾ w populacji generalnej. Jest estymatorem nieobciążonym i zgodnym gdy ^X ^~^N⁽^m^,^⁾. Jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym i zgodnym gdy X ma rozkład dowolny.

2

2 1

)

( 

n S n

E   Jeżeli ² ²

1S n S n

 

 to E(S²)²

Estymacja przedziałowa

Estymacja punktowa parametru nie daje odpowiedzi jaka jest dokładność uzyskanej oceny. Innym sposobem estymacji, dającym możliwość oceny tej dokładności jest metoda przedziałowa.

Przedziałem ufności dla parametru  na poziomie ufności ¹^^⁽⁰^^ ^¹⁾ nazywamy przedział ⁽1^,2⁾ spełniającym warunki:

a). jego końce 1 1⁽X1^,X2^,...Xn⁾ 2 2⁽X1^,X2^,...Xn⁾ są funkcjami próby losowej i nie zależą od parametru ^ .

b). Prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru ^ jest równe 1 tzn. P⁽^1⁽X1^,X2^,...Xn⁾^^ ^^2⁽X1^,X2^,...Xn⁾⁾^¹^^

¹^^ jest poziomem ufności. Końce przedziałów są zmiennymi losowymi a więc nieznany parametr  może być pokryty przez ten przedział lub nie. Prawdopodobieństwo

(3)

nie pokrycia parametru wynosi



_{a więc}



powinno być wartością małą bliską zeru. W praktyce przyjmuje się ^ ^^{⁰^,¹^;⁰^,⁰⁵^;⁰^,⁰¹^;...}.

Będziemy wyznaczać przedziały ufności dla wartości oczekiwanej ^m^ ^E^{( X}⁾ i wariancji

)

2(

2 D X

 oraz odchylenia standardowego. W pliku „ Wzory estymacja ” są

przedstawione modele dla tych parametrów. W zależności od rodzaju próby i istniejących informacji dotyczących rozkładu cechy oraz parametru należy wybrać odpowiedni model tak aby spełnione były założenia modelu. Stosujemy wzór w tym modelu wyznaczając dodatkowo kwantyle u , , t,n-1 ,

2 1 2,n

 ,

2 1 2, 1 n

 z rozkładów stablicowanych podanych w modelach. Dlatego należy te stablicowane rozkłady wydrukować.

Wyprowadzę wzory dla modelu I dla wartości oczekiwanej i modelu I dla wariancji.

Przedział ufności dla wartości średniej.

Model I

Zakładamy, że populacja generalna ma rozkład N(m,) tzn. ^X ^~ ^N⁽^m^,^⁾. Wartość średnia m jest nie znana, zaś  jest znane. Zachodzi to w sytuacji np. gdy pomiaru danej cechy dokonujemy przyrządem pomiarowym o znanej dokładności (rozrzut pomiarów powinien być podany przez wytwórcę przyrządu pomiarowego). Przedział ufności dla średniej otrzymuje się wówczas z wzoru który można uzyskać w następujący sposób:

Jeżeli założenia modelu są spełnione to zmienna losowa ^U ^ ^X_^^m ⁿ ma rozkład normalny standaryzowany tzn. ^U ^{~ N}⁽⁰^,¹⁾. Z tablic tego rozkładu wyznaczamy kwantyl u tak aby













 







 







 ( ) ) ( ) ( )

1 X m u n

u n P u m n u X

P u m n

P X u U

P  



 _  _ _ _ _ _

) (

)

( m X u n

u n X n P

u X n m

u X

P    



        





Obliczamy wartość zmiennej losowej X która równa się średniej arytmetycznej w próbie i z tablic rozkładu normalnego zatytułowanego P(U u)^ kwantyl u ponieważ



   _   _ 

 ( ) ( )

1 P U u P U u . Dziesiętne wartości



są zamieszczone w kolumnie z lewej strony a setne wartości



są zamieszczone w wierszu na górze. W przecięciu się wiersza na poziome wartości dziesiętnych



i kolumny z setną wartością



otrzymamy wartość u . Wartość



jest w tym modelu znana a n jest wielkością próby. Otrzymamy przedział ^x^^u^ ^_n ^^m^^x^^u^ ^_n o tych końcach z

prawdopodobieństwem 1 pokrywa istniejącą w badanej populacji generalnej wartość oczekiwaną ^m^ ^E^{( X}⁾.

(4)

Przedziały ufności dla wariancji .

Model I

Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ) tzn. ^X ^~ ^N⁽^m^,^⁾ o nieznanych parametrach m i  . Z populacji tej wylosowano niezależnie próbę n elementową

(zakładamy, że n jest małe, tj. n<30). Z próby obliczamy ^s². Wówczas przedział ufności dla wariancji ² populacji generalnej można otrzymać w następujący sposób:

Jeżeli założenia modelu są spełnione to zmienna losowa ₂

2 2

  nS ma rozkład ch-kwadrat o r=n-1 stopniach swobody.

) (

1 ) ( 1

) (

1 ₂

1 2, 1

2 2

2 1 2,

2

2 1 2, 1 2 2

2 1 2, 2

1 2, 2

2 2

1 2, 1 2

1 2, 2 2

1 2, 1



           





n n

nS P nS

P nS P nS

P



  





 

 





Pole zawarte po lewej stronie wartości ² , 1 12 n

 i ograniczone funkcją gęstości rozkładu

2 i osią OX jest równe 2

 . Również pole zawarte po prawej stronie wartości

2 1 2,n



i ograniczone funkcją gęstości rozkładu ^² i osią OX jest równe

2

 . W sumie pole nad

zewnętrzem przedziału (

2 1 2, 1 n

 ,

2 1 2,n

 ) i funkcją gęstości jest równe



_.

Wartości

2 1 2, 1 n

 ,

2 1 2,n

 dla przyjętego



odczytujemy z tablic rozkładu ^² zatytułowanego P(^² ^²)^ przyjmując odpowiednio

1 2

   i 2

  . Wartość  znajduje się w wierszu na górze tablicy a stopnie swobody r=n-1 w pierwszej kolumnie z lewej strony tablicy. W przecięciu się wiersza na poziomie stopnia swobody r=n-1 i kolumny zawierającą wartość  otrzymamy szukany kwantyl.

Zad

Zawartość witaminy C wyrażona w mg na 100g w 10 słoikach konserwowanego soku pomidorowego reprezentują liczby 15 ; 21 ; 21; 20 ; 23 ; 15 ; 17 ; 27 ; 23 ; 18 . Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla wartości oczekiwanej i wariancji zawartości witaminy C w słoikach konserwowanego soku pomidorowego n = 10

(5)

xi (x_i x)²

15 25

21 1

20 0

23 9

15 25

17 9

27 49

23 9

18 4

 = 200  = 132

10 20 200 



x 13,2

10

2 132  s

63 , 3 2 , 13 

 s

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej.

Model I nie możemy przyjąć gdyż nie znamy wartości



.

Model III nie możemy zastosować ponieważ próba jest mała ( n=10<30)

Zostaje model II w którym trzeba przyjąć, że ^X ^~ ^N⁽^m^,^⁾ co dla tej cechy jest wielce prawdopodobne albo wynika to z innych badań. Można taką hipotezę

zweryfikować.

05 , 0 95 , 0

1    

Z tablic rozkładu t – Studenta zatytułowanego P(| t | > t

262 ,

9 2

; 05 , 0 1

; _ t 

t__n

Wstawiając do wzoru

1

1 ^; ¹

1

;    

 _  _

n t s

x n m

t s

x __n __n mamy

1 10

63 , 262 3 , 2 1 20

10 63 , 262 3 , 2

20    

  m ¹⁷^,²⁶^{ m}^²²^,⁷⁴

Ten przedział o tych końcach pokrywa z prawdopodobieństwem 0,95 istniejącą teoretyczną średnią zawartość witaminy C w słoikach konserwowanego soku pomidorowego.

Przedział ufności dla wariancji.

Stosujemy model I dla wariancji gdyż model II jest dla dużej próby (n>30)

05 , 0 95 , 0

1    

Z tablic rozkładu chi – kwadrat zatytułowanego P(^^ ; 7

,

2 2

9

; 975 , 0 2

1 2,

1  



 

 _

n

023 ,

2 19

9

; 025 , 0 2

1 2,



 

_

n . Wstawiając do wzoru ²

2 1 1

2 2

2 2 1

2





α,n

α,n χ

σ ns χ

ns

mamy

7 , 2

2 , 13 10 023

, 19

2 , 13

10 σ₂   ⁶^,⁹⁴^{ σ}² ^⁴⁸^,⁸⁹ ²^,⁶³^{ σ}^⁶^,⁹⁹

(6)

Te przedziały o tych końcach z prawdopodobieństwem 0,95 pokrywają istniejącą teoretyczną wariancję i odchylenie standardowe zawartość witaminy C w słoikach konserwowanego soku pomidorowego.

Zad

Badając koszty produkcji kwintala pewnej paszy wylosowano n =80 gospodarstw rolnych z których otrzymano podane poniżej wyniki w postaci szeregu rozdzielczego.

Oszacować metodą przedziałową średni koszt i odchylenie standardowe produkcji kwintala paszy na poziomie ufności 1 -  = 0,9

Koszt paszy w zł/q

Liczba gospodarstw

środki

przedziałów składniki składniki

20 - 40 10 30 300 17222,5

40 -60 16 50 800 7396

60 - 80 24 70 1680 54

80 - 100 18 90 1620 6169,5

100 - 120 12 110 1320 17787

n =  = 80  = 5720  = 48620 5

, 80 71

5720 



x ⁵⁴⁶^,²⁹

80 48620

2  

s ^s^ ⁵⁴⁶^,²⁹ ^²³^,³⁷

Wybieramy model III dla wartości oczekiwanej i model II dla wariancji gdyż mamy dużą próbę (n=80 > 30) .

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej.

1 , 0 9 , 0

1    

Z tablic rozkładu normalnego zatytułowanego ^P⁽^U ^^u^⁾^^u_  u0,1¹^,⁶⁴⁵. Wstawiając do wzoru

n u s x n m

u s

x _    _ mamy

80 37 , 64523 , 1 5 , 80 71

37 , 64523 , 1 5 ,

71  m  ⁶⁷^,²^{ m}^⁷⁵^,⁸

Ten przedział o tych końcach pokrywa z prawdopodobieństwem 0,9 istniejący teoretyczny średni koszt produkcji kwintala paszy .

Przedział ufności dla odchylenia standardowego.

1 , 0 9 , 0

1    

Z tablic rozkładu normalnego zatytułowanego ^P⁽Û ^û^⁾^^ ; û^ ^{ u}⁰^,¹ ^¹^,⁶⁴⁵ 2

i i i

b x a 

i

i x n

x )² ( 

ai b_i nⁱ

i in x

(7)

Wstawiając do wzoru



 n u

n s u

n n s



 

 

 2 1

2 1

2

2 mamy

645 , 1 1 80

* 2

80 2 37 , 23 645

, 1 1 80

* 2

80 2 37 , 23



 

 



  ²⁰^,⁷³^^ ^²⁶^,⁹⁶

Ten przedział o tych końcach pokrywa z prawdopodobieństwem 0,9 istniejącą teoretyczne odchylenie standardowe kosztu produkcji kwintala paszy .

Czynniki wpływające na długość przedziału ufności.

Długość przedziału ufności np. dla modelu III dla wartości oczekiwanej wynosi n

u s

dl__,_n 2 _ to istotnie na długość wpływa poziom ufności i wielkość próby. Tak jak w tym przypadku ogólnie długość przedziału ufności dowolnego parametru ma

następującą zależność:

a). Większy poziom ufności 1 - długość przedziału większa i odwrotnie i ponadto



 

 dl _,n

lim0 _

 .

b). Wielkość próby n większa - długość przedziału mniejsza i odwrotnie oraz ponadto lim _, 0



 n

n dl_

Hipotezy statystyczne i weryfikacja hipotez.

Drugim istotnym obok estymacji działaniem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja czyli podejmowanie decyzji o prawdziwości albo fałszywości hipotez statystycznych.

Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie odnośnie nieznanego

rozkładu badanej cechy populacji generalnej o prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próby.

Przypuszczenia najczęściej dotyczą postaci rozkładu cechy / hipotezy nieparametryczne / lub wartości jego parametrów / hipotezy parametryczne /.

Przykłady

a). W przypadku gdy cecha ^X ^~^N⁽^m^,^⁾ o nieznanych m, wysuwamy hipotezę , że wartość oczekiwana ^E⁽^X⁾^² lub ^D²⁽^X⁾^⁰^,⁵ / hipotezy parametryczne /.

b). Wysuwamy hipotezę , że cecha ^X ^~ ^N⁽^m^,^⁾ o pewnych parametrach m, / hipoteza nieparametryczna /.

c). Wysuwamy hipotezę o równości parametrów dwóch zbiorów obserwacji lub twierdzimy , że pochodzą z tej samej populacji / hipotezy parametryczne /.

Ogólny sposób tworzenia i weryfikowania hipotez statystycznych jest następujący:

Niech  będzie parametrem cechy populacji generalnej i 1,2 parametrami cechy odpowiednio dwóch populacji generalnych.

0^o Formułujemy hipotezę główną tzw. hipotezę zerową co zapisujemy w postaci H0: 0 lub H0:1 2 gdzie 0 konkretna wartość liczbowa tzw. wartość hipotetyczna - w przypadku hipotez parametrycznych. H0 ^: sformułowanie dotyczące rozkładu cechy - w przypadku hipotez nieparametrycznych.

(8)

1^o Przyjmujemy poziom istotności ^ ^^{⁰^,¹^;⁰^,⁰⁵^;⁰^,⁰¹^;^itd^..} na którym będziemy testować

hipotezę zerową.

2^o Formułujemy hipotezę alternatywną którą przyjmiemy w przypadku odrzucenia hipotezy zerowej .

Przyjmujemy zazwyczaj H1: 0 lub H2: 0 lub H3: 0 w przypadku hipotezy zerowej H0: 0.

Przyjmujemy zazwyczaj H1:1 2 lub H2:1 2 lub H3:12 w przypadku hipotezy zerowej H0:1 2.

Przyjmujemy zazwyczaj H1^: zaprzeczenie hipotezy zerowej w przypadku hipotezy zerowej nieparametrycznej.

3^o Formułujemy statystykę testową próby  ⁽X1^,X2^,...Xn⁾ której będzie znany rozkład prawdopodobieństwa przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej i znanych innych własnościach cechy X . W praktyce wybieramy odpowiedni model danego zagadnienia w którym spełnione są pewne założenia odnośnie cechy i wielkości próby.

4^o Obliczamy wartość statystyki 0 ⁽x1^,x2^,...xn⁾ na podstawie uzyskanych wartości x₁,x₂,...,xn próby.

5^o Wyznaczamy obszar krytyczny K tzw. zbiór wartości mało prawdopodobnych statystyki

 ⁽X1^,X2^,...Xn⁾ taki, że P⁽^⁽X1^,X2^,...X_n⁾^{ )}K ^^.

6^o a). Jeżeli wartość statystyki 0 ⁽x1^,x2^,...xn⁾ obliczona w punkcie 4^o należy do obszaru krytycznego K , tzn. 0^^K to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej i będziemy twierdzić, że hipoteza alternatywna

jest prawdziwa z prawdopodobieństwem 1 .

b). Jeżeli wartość statystyki 0 ⁽x1^,x2^,...xn⁾ obliczona w punkcie 4^o nie należy do

obszaru krytycznego K , tzn. 0^^K to twierdzimy, że nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy zerowej na poziomie istotności



. W praktyce na

tym poziomie istotności przyjmuje się prawdziwość hipotezy zerowej.

Obowiązują zagadnienia zawarte w modelach i modele przedstawione w pliku

„Weryfikacja hipotez_wzory z m” na stronie internetowej //wmii.uwm.edu.pl/~germaniuk .

W takim postępowaniu mogą pojawić się następujące błędy:

a). Błąd pierwszego rodzaju - odrzucimy hipotezę ze zerową która jest prawdziwa i przyjmujemy hipotezę alternatywną która będzie fałszywa. Ten błąd może pojawić się z prawdopodobieństwem



a więc poziom istotności



przyjmujemy mały bliski zeru.

b). Błąd drugiego rodzaju - nie odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy ją która w rzeczywistości jest fałszywa. Taki błąd może pojawić się też z małym

prawdopodobieństwem ale z jakim nie możemy określić /nie tak jak w przypadku błędu pierwszego rodzaju/.

Przykład

Badając wpływ pewnego herbicydu na wysokość plonu zboża, użyto go do ochrony roślin na n1=5 poletkach doświadczalnych i otrzymano następujące plony ( w q/ha ) :

(9)

27 , 34 , 36, 31 , 32 . Natomiast w grupie kontrolnej n2=6 poletek doświadczalnych o identycznych warunkach uprawy bez stosowania tego herbicydu, plony były następujące : 25 , 31 , 27 , 23 , 30 , 32 ( w q/ha ). Na poziomie istotności  = 0,1 sprawdzić hipotezę o równości wariancji. Również zweryfikować hipotezę, że stosowanie tego herbicydu zwiększa plony na poziomie istotności  = 0,05 .

Weryfikacja hipotezy o równości wariancji.

Stosujemy test Snedecora

0⁰ 2² 2

:1 

Ho hipoteza zerowa czyli twierdzę, że wariancje są równe 1⁰ α = 0,1 poziom istotności

2⁰ 2² 2 1 1: 

H hipoteza alternatywna po odrzuceniu hipotezy zerowej

3⁰ Dla zweryfikowana prawdziwości hipotezy zerowej służy statystyka ²

1

S F S





o rozkładzie F - Snedecora z r1 = n1 - 1 i r2 = n2 - 1 stopniami swobody .

^S^ˆ² ^ _nⁿ_₁^S^k²^k ^¹^,²

k k k

4⁰ Wartość statystyki dla naszej próby

^ˆ ₅⁵₁⁹^,² ¹¹^,⁵ ₆⁶₁¹⁰^,⁶⁶ ¹²^,⁸ 0 ₁₂¹¹^,_,⁵₈ ⁰^,⁸⁹⁸ 2

2 2

1   

 

 

 S F

S 

5⁰ Test obustronny 



 



 





 





 ;

;

0 ,( , )

) 2 , ( 2,

1 r₁r₂ F r₁r₂

F

K _ _

^F⁰^,⁰⁵^;⁽⁴^,⁵⁾ ^⁵^,¹⁹ ¹ ₆_,¹₂₅ ⁰^,¹⁶

) 4 , 5 (

; 05 , 0 ) 5 , 4 (

; 95 ,

0   

F F

   

 0 ; 0,16 5,19 ; K

6⁰ Ponieważ wartość statystyki nie należy do obszaru krytycznego K

(F0 ^⁰^,⁸⁹⁸^K ^



⁰^;⁰^,¹⁶

 

^ ⁵^,¹⁹^;^^



) to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej a więc nie ma podstaw do twierdzenia z prawdopodobieństwem co najmniej 0,9 , że wariancje w dwóch populacjach są różne.

xi (x_i x₁)² xi (x_i x₂)²

27 25 25 9

24 4 31 9

36 16 27 1

31 1 23 25

32 0 30 4



^{ 160}



^{ 46} ³² ¹⁶

5 32 160

1  

x 9,2

5

2 46

1  

s



^{ 168}



^{ 64}

6 28 168

2  

x 10,66

6

2 64

2  

s

(10)

Po takiej weryfikacji pozostawia się prawdziwość poprzedniego twierdzenia.

Weryfikacja hipotezy, że stosowanie herbicydu zwiększa plony .

Stosujemy testy istotności dla dwóch średnich. Z proponowanych modeli, Model I

odrzucamy, ponieważ nie znamy odchyleń standardowych badanych populacji. Model III również odrzucamy ponieważ mamy małe próby a w tym modelu próby muszą być duże.

Pozostaje Model II w którym należy założyć że cechy mają rozkład normalny.

) , (

~ ₁ ₁

1 N m 

X X2 ^~N⁽m2^,2⁾ Tego typu cechy mają takie rozkłady. Ponadto trzeba założyć, że 1 2. Prawdziwość tej tezy zweryfikowaliśmy powyżej.

0⁰ H_o :m1 m2 hipoteza zerowa czyli twierdzę, że plony są takie same 1⁰ α = 0,05 poziom istotności

2⁰ H3:m1m2 hipoteza alternatywna po odrzuceniu hipotezy zerowej 3⁰ Dla zweryfikowana prawdziwości hipotezy zerowej służy statystyka



 



 





 

2 1 2

1

2 2 2 2 1 1

2 1

1 1

2 n n

n n

S n S n

X t X

o rozkładzie t – Studenta o r = n1+n2-2 stopni swobody .

4⁰ Wartość statystyki dla naszej próby

889 , 1 6 1 5 1 2

6 5

66 , 10 6 2 , 9 5

28

32 



 

 











  to

5⁰ Test prawostronny K ⁽t²_^;_n1_n2_²^,⁾

^t⁰^,¹^;⁹ ^¹^,⁸³³ ^K ^⁽¹^,⁸³³^,^^⁾ 6⁰ Ponieważ wartość statystyki należy do obszaru krytycznego K

(t₀ 1,889K 



1,833 ;



) to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej a więc z prawdopodobieństwem co najmniej 0,95 twierdzimy , że stosowanie herbicydu zwiększa wydajność plonu.

Badanie statystyczne ze względu na dwie cechy

W badaniu populacji generalnej będą interesować nas wartości dwóch lub więcej cech mierzalnych elementu populacji, wartości których tworzą tzw. wektor losowy

) ,...., ,

,

(X₁ X₂ X₃ X_n . Wartości zmiennej losowej Xi to wartości ⁱ^^tej badanej cechy

(11)

n

i1,2,...., . Zajmiemy się przypadkiem badaniem dwóch cech w populacji generalnej i związanym z tym wektorem losowym dwuwymiarowym ⁽^X^,^Y⁾. Dotychczas zmienne losowe były niezależne a obecnie zmienne losowe ^{X ,}^Y nie muszą być niezależne i będą mieć pewną współzależność, którą będziemy badać. Badać będziemy za pomocą próby n - elementowej postaci ⁽x1^,y1^),⁽x2^,y2^),⁽x3^,y3^),...,⁽xn^,yn⁾ gdzie wartość xi to wartość pierwszej cechy ⁱ^^tego elementu próby, wartość ^yⁱ to wartość drugiej cechy

tego

i elementu próby ⁱ^¹^,²^,....,ⁿ. Elementy próby muszą tak jak poprzednio uzyskane w sposób losowy tak aby każdy element populacji generalnej miał jednakowe prawdopodobieństwo trafienia do próby.

Rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego dwuwymiarowego.

Powiemy, że jest określony rozkład wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾ jeżeli jest określona

funkcja prawdopodobieństwa

R y x y Y

x X

P y Y x X

P(  ,  ) ({: () }{: () }) ,  spełniająca aksjomaty prawdopodobieństwa. Taki rozkład można określić podobnie jak w przypadku jednej zmiennej losowej:

1^oDla wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾ dyskretnego przyjmująca wartości ⁽^xⁱ^,^y^j⁾takie, że pij ^P⁽X ^xi^,Y^ yj⁾^⁰ i



_, ^¹

j i

pij .

2^o Dla wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾ typu ciągłego za pomocą funkcji gęstości

^z^ ^f⁽^x^,^y⁾^x^,^y^^R spełniająca warunki podobne jak w przypadku jednej zmiennej.

a). Przyjmuje wartości nieujemne tzn. f(x,y)0 x,yR

b). Objętość zawarta między wykresem funkcji z f(x,y) a płaszczyzną OXY w przestrzeni R3

jest równe 1 .

c). Prawdopodobieństwa P(aX b;cY d) ab cd a,b,c,dR są równe objętości zawartej między wykresem funkcji z f(x,y) , płaszczyznami ^x^^a^,^x ^^b ^y^^c^,^y ^^d i płaszczyzną OXY.

Składową X wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾ można traktować jako zmienną losową jednowymiarową nie biorąc pod uwagę wartości zmiennej Y . Również składową Y wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾ można traktować jako zmienną losową jednowymiarową nie biorąc pod uwagę wartości zmiennej X .Rozkłady zmiennych losowych ^{X ,}^Y są

rozkładami brzegowymi rozkładu wektora losowego ⁽^X^,^Y⁾.

Definicja rozkładu dwuwymiarowego normalnego . Powiemy dwuwymiarowy wektor losowy ⁽^X^,^Y⁾ ma rozkład normalny jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu wyraża się wzorem:

) ) ( ) )(

2 ( ) (( ) 1 ( 2 ( 1

2 2

1

22 2 2

2 1

2 1 12

1 2 2

1 2

) 1 ,

( ^ ^ ^ ^^ ^







m y m y m x m x

e y

x f z

 



 



 

 



Parametrami tego rozkładu są liczby ,1,2,m1,m2

Wartość oczekiwana tej zmiennej losowej E⁽X^,Y⁾⁽E⁽X^),E⁽Y⁾⁾⁽m1^,m2⁾

Rozkłady brzegowe tego rozkładu X ^~ N⁽m1^,1⁾ , Y ^~ N⁽m2^,2⁾. Niech ⁽^X^,^Y⁾ będzie dowolnym wektorem losowym.