• Nie Znaleziono Wyników

1. Przypomnij znane Ci algorytmy mnożenia długich liczb całkowitych. Jaka jest ich złożoność, jeśli rozmiarem problemu jest długość mnożonych liczb l.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Przypomnij znane Ci algorytmy mnożenia długich liczb całkowitych. Jaka jest ich złożoność, jeśli rozmiarem problemu jest długość mnożonych liczb l."

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

3 marca 2021

Zadania z kryptografii, lista nr 2

1. Przypomnij znane Ci algorytmy mnożenia długich liczb całkowitych. Jaka jest ich złożoność, jeśli rozmiarem problemu jest długość mnożonych liczb l.

2. Redukcja Montgomery’ego służy do wyliczania a

x

mod n, gdy n jest długą liczbą naturalną. Niech l = dlog

2

ne, r = 2

l

⊥ n i r

0

r − n

0

n = 1 . Za pomocą redukcji Montgomery’ego znając A i B wyliczamy t = ABr

0

mod n. Używamy następującego algorytmu:

• T ← A · B,

• m ← T n

0

mod r,

• t

0

← (T + mn)/r ,

• zwróć t = t

0

lub t = t

0

− n , w zależności od tego, które z nich jest w Z

n

.

Uzasadnij poprawność redukcji Montgomery’ego. Jaka jest jej złożoność obliczeniowa? W jaki sposób może być ona użyta do szybkiego wyliczenia a

x

mod n?

3. Niech ¯x będzie logicznym dopełnieniem ciągu x złożonego z zer i jedynek. Niech E oznacza szy- frowanie DESem. Pokaż, że jeśli y = E

K

(x) , to ¯y = E

K¯

(¯ x) . Jak używając tej tożsamości można zredukować dwukrotnie liczbę szyfrowań przy kryptoanalizie DESa poprzez przeszukanie przestrzeni kluczy dla danej pary tekst jawny – szyfrogram?

4. Określ złożoność ataku ‘meet in the middle’ na 3-krotny i 4-krotny DES.

5. Przy przesyłaniu szyfrogramu w DES nastąpiło przekłamanie jednego bitu. Ile bitów tekstu jawnego zostało utraconych jeśli DESa użyto w trybie ECB, CBC, CFB, OFB, k-CFB, k-OFB, CTR.

6. W których trybach działania DES można wykryć, że po raz drugi przesłany został szyfrogram tej samej wiadomości, a w których nie?

7. Pokaż, że istnieje dokładnie (n−1)! permutacji długości n, w których 1 jest w cyklu długości k. Jaka jest średnia długość cyklu zawierającego 1 w losowej permutacji? Jaka jest średnia liczba iteracji trybu OFB dla której następuje powtórzenie bloku r

i

ciągu losowego generowanego przez ten tryb?

Jak można oszacować średnią długość cyklu w trybie k-OFB dla k mniejszego od długości bloku?

8. Niech Q będzie ciałem liczb wymiernych. Niech Q[ √

2] będzie zbiorem liczb w postaci a+b √ 2 gdzie a i b są liczbami wymiernymi.

(a) pokaż że dla różnych par a, b liczby a + b √

2 są różne (b) pokaż, że Q[ √

2] jest ciałem z dodawaniem i mnożeniem.

Cytaty

Powiązane dokumenty

inny ciąg liczb całkowitych, który okaże się zbieżny, a więc od pewnego miejsca stały.. Przeprowadzimy najpierw czysto heurystyczne rozumowanie, które pomoże nam znaleźć

Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg {a n } który nie jest zbieżny, chociaż {|a n |}

(41) Zbiór C liczb zespolonych z działaniami dodawania liczb zespolonych i mnożenia liczb zespolonych przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią wektorow nad ciałem liczb

W macierzach zmiennych na ogół elementy oznaczamy tą samą literą z numerem wiersza i numerem kolumny

(22) Zbiór C liczb zespolonych z działaniami dodawania liczb zespolonych i mnożenia liczb zespolonych przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią wektorow nad ciałem liczb

Twój algorytm może korzystać tylko z dodawania liczb (dodawanie pisemne) i ich przesuwania o jedną pozycję w prawo (dzielenie całkowite przez 10) lub w lewo (mnożenie przez

Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ` równoległej do którejkolwiek osi układu

Z twierdzenia 1.1 wynika, że q jest dzielnikiem liczby −1, więc jest równe ±1, a to oznacza, że liczba x jest całkowita. Zaznaczyć wypada, że to czy jakaś liczba jest