Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych k ¬ n prawdziwa jest równość n k  1 kn = 1 k

Wykład z analizy

Lista 4.

Ciągi

1. Udowodnić nierówność: 2^k < (k + 1)! dla każdej liczby naturalnej k ­ 2 2. Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych k ¬ n prawdziwa jest równość

n k

 1 kⁿ = 1

k!

 1 − 1

n



1 − 2 n

 . . .



1 − k − 1 n

 .

3. Udowodnić nierówność Bernoulliego: dla x > −1 oraz dowolnego naturalnego n > 1 zachodzi (1 + x)ⁿ> 1 + nx. Pokazać, że dla x > 0 i n ∈ N, n > 1 zachodzi (1 + x)ⁿ> 1 + ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ .

4. Udowodnić, że dla dowolnego n ∈ N zachodzą równości

n 0

 +n

1



+ · · · +n n



= 2ⁿ, oraz

n

X

k=1 k-nieparzyste

n k



=

n

X

k=0 k-parzyste

n k

 .

5. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n ­ 2 zachodzi nierówność ²ⁿn
< 4ⁿ

6. Udowodnić, że dla dowolnej liczby a ∈ R lub a ∈ C spełniającej warunek |a| < 1 jest limn→∞aⁿ = 0.

7. Obliczyć granice lim_n→∞ 1 +n¹2

ⁿ

oraz lim_n→∞ 1 −n¹

ⁿ . 8. Znaleźć granice ciągów an= √ⁿ

2ⁿ+ 3ⁿ i an= √ⁿ

2ⁿ+ 3ⁿ+ 5ⁿ. 9. Dla jakich liczb rzeczywistych α istnieje granica lim_n→∞√³

n + n^α−√³n? Oblicz te granice.

10. Oblicz granice

n→∞lim

1 + 2 + 3 + · · · + n

n² , lim

n→∞

1²+ 2²+ 3²+ · · · + n²

n³ .

11. Oblicz granice ciągów aⁿ= ^sinn²ⁿ, aⁿ= √ⁿ

ln n, aⁿ= n¹2ln 1 +⁽⁻¹⁾

n

n
.

12. Udowodnij, że jeżeli lim_n→∞ = a to ciąg wartości bezwzględnych {|aⁿ|} też jest zbieżny, oraz lim_n→∞|aⁿ| = |a|. Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg {aⁿ} który nie jest zbieżny, chociaż {|aⁿ|} jest zbieżny. Udowodnij, jeżeli limn→∞|aⁿ| = 0 to {aⁿ} też jest zbieżny do 0.

13. Udowodnij, że jeżeli ciągi {aⁿ} i {bⁿ} spełniają aⁿ ¬ bⁿ, to lim_n→∞aⁿ¬ limn→∞bⁿ.

14. Ciąg aⁿ dany jest następująco: a1= 0, a2= 1, oraz aⁿ+2= ^an+a₂ⁿ⁺¹, dla n = 1, 2, . . . . Pokaż, że lim_n→∞aⁿ =²₃.

15. Pokazać, że jeżeli lim_n→∞aⁿ= 0 oraz ciąg {bⁿ} jest ograniczony, to limn→∞(aⁿ+ bⁿ) = 0.

16. Pokazać, że jeżeli aⁿ> 0, oraz lim_n→∞aⁿ= 0 to lim_n→∞a¹n = +∞ (granica niewłaściwa).

17. Dany jest ciąg {bⁿ}, o którym wiadomo, że

∀ ǫ > 0 ∀ n ­ 10/ǫ |bⁿ+ 2| ≤ ǫ.

Wskazać M takie, że ∀ (n ∈ N) |bⁿ| < M, N¹ takie, że ∀ (n ­ N¹) bⁿ < 0, N2 takie, że

∀ (n ­ N²) bⁿ > −3, oraz N³ takie, że ∀ (n ­ N³) |bⁿ− 2| > 10¹.

18. Niech aⁿ= ^√nn²⁺ⁿ oraz ǫ = ₁₀₀¹ . Znaleźć n0∈ N takie, że dla n ­ n⁰ zachodzi |aⁿ− 1| < ǫ.