GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 8
16.5. Na płaszczyźnie występują dwa rodzaje „symetrii” (tj. izometrii będących inwoluc- jami):
◦ symetria osiowa, która zmienia orientację, i
◦ symetria środkowa, która orientację zachowuje (bo jest obrotem o π).
W przestrzeni trójwymiarowej są trzy rodzaje:
◦ symetria płaszczyznowa (zmieniająca orientację),
◦ symetria osiowa (obrót o π) i
◦ symetria środkowa.
a) Czy ta ostatnia zachowuje orientację?
b) Jak myślisz, ile będzie rodzajów symetrii w przestrzeni czterowymiarowej? (A ile ich było na prostej?)
c) A w przestrzeni n-wymiarowej dla jakiegoś dużego n?
d) Ile z nich (i które) zachowuje orientację?
16.6. Jak wygląda analog twierdzenia o czterech odbiciach w przestrzeni czterowymiarowej?
A n-wymiarowej?
17.1. Czym jest złożenie dwóch symetrii obrotowych w równoległych płaszczyznach?
17.2. Czym jest złożenie dwóch symetrii z poślizgiem w tej samej płaszczyźnie?
17.3. Złożenie pewnych dwóch symetrii (płaszczyznowych) jest a) translacją o wektor (−2, 0, 4);
b) obrotem o π/3 wokół osi Oz;
c) obrotem o π wokół prostej {(0, 0, 3) + t(0, 2, 1)}.
Jakie mogą być równania tych płaszczyzn? Napisz po jednym przykładzie dla każdego podpunktu.
17.4. Podaj przykład pięciu różnych izometrii, których złożenie (wszystkich pięciu, w pewnej kolejności) jest identycznością.
17.5. Niech Z1 i Z2 będą dwoma sześcianami o krawędziach długości 1 i równoległych do osi układu współrzędnych, mającymi jeden wspólny wierzchołek (patrz rysunek). Opisz możliwie dużo izometrii przekształcających Z1 na Z2.
17.6. Zauważ, że:
a) symetria obrotowa z kątem obrotu π jest symetrią środkową (gdzie ma środek?);
b) złożenie obrotów wokół tej samej osi jest obrotem wokół tej samej osi o kąt równy sumie odpowiednich kątów obrotu.
Wywnioskuj z tego, że każdą symetrię obrotową można przedstawić jako złożenie symetrii środkowej i obrotu.
