GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 5
8.1. Kąty trójkąta sferycznego wynoszą π/2, π/3 i π/4. Jakie jest jego pole?
8.2. Dwa kąty trójkąta sferycznego wynoszą π/3 i π/4, a jego pole jest równe π/2. Ile wynosi trzeci kąt?
8.3. Czy dwa trójkąty sferyczne o tej samej podstawie i długości wysokości muszą mieć równe pola?
8.4. Czy dwa trójkąty sferyczne o równych polach mają takie same obwody?
8.5. Wysokość CC′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
8.6. Dwusieczna CC′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
8.7. Środkowa CC′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?
8.8. Wielokąt sferyczny nazywamy foremnym, jeżeli ma równe wszystkie boki i równe wszystkie kąty. Wyznacz miary kątów oraz obwód n-kąta foremnego jako funkcje pola. (Rozpatrz zwłaszcza przypadki n = 3, 4, 5.) Jakie są przedziały zmienności miar kątów i obwodu?
9.1. W trójkącie sferycznym ABC zachodzi AC = BC. Punkty A′ i A′′ dzielą bok BC na trzy równe części, podobnie punkty B′ i B′′ dzielą bok AC na trzy równe części, zaś punkt C′ jest środkiem boku AB. Które trzy spośród pięciu odcinków (łuków kół wielkich) AA′, AA′′, BB′, BB′′, CC′ przecinają się w jednym punkcie? Na ile części te odcinki dzielą trójkąt ABC?
9.2. Przeprowadź alternatywny dowód tego, że wysokości trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie, korzystając z wektorów normalnych i iloczynu wektorowego.
