Efficiënte routering van strooiwagens ten behoeve van de gladheidsbestrijding op de wegen

Efficiënte Routering van Strooiwagens ten behoeve van

de

Gladheidsbestrijding op

de Wegen

Bibliotheek TU Delft

\\\'\I~\m\I\~\\I\I\\\

C 0083813882

2414

552

2

WBBM

Report Series

WBBM

Delft University of Technology

Faculty of Information Technology and Systems Department of Mathematics and Computer Sc ie nee Room ET 05.040

Mekelweg 4

2628 CD Delft, The Netherlands Phone +31 15 278 16 35 Fax +31 15 278 72 55 I •

38

l

I

Efficiënte Routering van

Strooiwagens

ten behoeve

van

de

Glad-heidsbestrijding op de Wegen

L.B. Gerlagh

The WBBM Report Series is published by: Delft University Press

Mekelweg 4

2628 CD Delft, The Netherlands Phone +31 15 278 32 54

Fax +31 15 278 16 61

Editors: E. de Klerk H. van Maaren

Delft University of Technology

Faculty of Information Technology and Systems Department of Mathematics and Computer Science

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK DEN HAAG Gerlagh, L.B.

Efficiënte Routering van Strooiwagens ten behoeve van de Gladheidsbestrijding op de We-gen / L.B. Gerlagh - Delft: Delft University Press. - Ill. - (WBBM Report Series 36) ISBN 90-407-1764-8

NUGI841

Trefw.: gladheidsbestrijding, routeringsprobleem

Copyright ©1998 by WBBM, Delft University of Technology

No part of th is book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means, without written permission [rom the publisher: Delft University Press, Mekelweg 4, 2628 CD Delft, The Netherlands.

.

\

, fr,

- - _._-- - _._._--

-Inhoudsopgave

Hoofdstuk I ... 1

Hoofdstuk 2 ... 5

2.1 Organisatie van de gladheidbestrijding ... 5

2.2 Eisen aan de gladheidbestrijding ... 6

2.2.1 Tijdslimieten ... 6 2.2.2 Verkeersveiligheidseisen ... 8 2.2.3 ZOAB wegdek ... 9 2.2.4 Zout ... 11 2.3 Efficiënte strooiroutes ... 12 Hoofdstuk 3 ... 15 3.1 Het Strooiprobleem ... 15 3.2 Routeringsproblemen ... 15

3.2.1 Vehicle Routing Problem ... 16

3.2.2 Rural Postman Problem ... 16

3.2.3 Capacitated Arc Routing Problem ... 17

3.3 Mixed Integer Programming formulering ... 18

3.3.1 Uitgangspunten ... 18

3.3.2 Het mode!. ... 19

3.3.3 Toelichting ... 20

3.3.4 Relaxatie ... 22

3.4 Formulering van het strooiprobleem als VRP ... 23

3.4.1 Transformatie ... 23

3.4.2 Het mode!. ... 24

3.4.3 Toelichting ... 25

3.5 Conclusie ... 26

Hoofdstuk 4 ... 29

4.1 Construct and Strike ... 29

4.2 Augment and Merge ... .30

4.3 Path Scanning ... 31

4.4 Augment Insert ... 32

4.5 Overige algoritmes ... 34

4.6 Toepasbaarheid ... 35

Hoofdstuk 5 ... 37

5.1 Strooivariant van Augment and Merge ... .37

5.2 Strooivariant van Augment Insert ... 38

5.3 Strooivariant van Path Scanning ... .40

5.4 Resultaten ... .45

5.5 Interactieve variant van Path Scanning ... .47

5.6 Conclusie ... .48

Hoofdstuk 6 ... 51

6.1 Strooi Optimalisatie Systeem ... 51

6.2 Digitaliseren van wegennetwerken ... 52

6.3 Invoeren van parameters ... 54

6.4 Manipulatie van de strooiroutes ... 54

6.6 Evaluatie ... 56 6.7 Rapportage ... 56 Hoofdstuk 7 ... 59 7. \ Toekomstige ontwikkelingen ... 59 7.2 Gevolgen voor de algoritmiek ... 60 7.3 Netwerkdata ... 60 Literatuur. ... 63 Samenvatting ... 65 Appendices ... 67 Appendix A ... 67 Appendix B ... 7\ Appendix C ... 77

,n " I'. re dM • • I ' H I I • t ft '1 . . . . ' . _ • • _ •• • _ e l U

Verantwoording

Dit rapport is het resultaat van een project dat is uitgevoerd bij ORTEC Consultants bv, gevestigd in Gouda, in het kader van de postdoctorale ontwerpersopleiding Wiskundige Beheers- en Beleidsmodellen (WBBM) aan de Technische Universiteit Delft, Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica, vakgroep Statistiek, Stochastiek en Operations Research.

Ter afronding van deze opleiding is dit rapport verdedigd ten overstaan van een examencommissie bestaande uit:

- Prof.dr. R.M. Cooke, Technische Universiteit Delft - Dr. H.van Maaren, Technische Universiteit Delft - Dr. E. de Klerk, Technische Universiteit Delft - Drs. G.T. Bloemhof, ORTEC Consultants bv - Ir. R.J.M. Gruson, ORTEC Consultants bv

Bij ORTEC Consultants wil ik in de eerste plaats Gerrit Bloemhofbedanken voor de plezierige begeleiding en alle uitleg over de wereld van het 'strooien'. Verder gaat mijn dank uit naar de overige medewerkers van de afdeling ATM (Aviation and Traffic Management), die veel praktische tips hebben aangedragen en die er toe hebben bijgedragen dat ik mijn project in een plezierige sfeer kon voltooien. De begeleiding vanuit de Technische Universiteit Delft werd verzorgd door dr. Hans van Maaren, dr. Michiel Odijk en dr. Etienne de Klerk, waarvoor ik hen wil bedanken. Tenslotte wil ik ook de collega's van de vakgroep Statistiek, Stochastiek en

Operations Research, met name de TwAIO's, bedanken voor de gezelligheid en steun. Lennart Gerlagh

augustus 1998, Gouda.

)

...

--"

.

-Hoofdstuk 1

In Nederland is de overheid op drie verschillende niveaus verantwoordelijk voor het beheren van het wegennet. Rijkswaterstaat beheert op nationaal niveau de rijkswegen, welke voornamelijk autosnelwegen en doorgaande N-wegen zijn. Op provinciaal niveau zijn de provincies verantwoordelijk voor het beheer van wegen die van regionaal belang zijn. Tenslotte dragen op locaal niveau gemeenten verantwoordelijkheid voor de wegen die zich binnen hun grenzen bevinden.

Een van de taken van een wegbeheerder betreft het zorgdragen voor een goede berijdbaarheid van de wegen. Dit houdt in dat er regelmatig onderhoud moet plaatsvinden om de wegen in goede staat te houden. Tevens brengt dit met zich mee dat de wegbeheerder in geval van gladheid maatregelen moet nemen om die gladheid te bestrijden. Hierbij is de wegbeheerder gebonden aan wettelijke richtlijnen, die ervoor moeten zorgen dat de verkeersveiligheid ook bij gladheid zo min mogelijk in gevaar wordt gebracht.

Er zijn twee situaties denkbaar waarop een wegbeheerder in actie moet komen om gladheid te bestrijden. In de eerste plaats is dat wanneer er sprake is van dreigende gladheid. Als de weersvoorspellingen gladheid voorspellen, kan de wegbeheerder besluiten om de wegen preventief te strooien. Dit betekent dat er een bepaalde hoeveelheid zout, afhankelijk van de weersomstandigheden, op de wegen gestrooid wordt ter voorkoming van de gladheid.

Het tweede moment waarop de wegbeheerder in actie komt is wanneer er reeds sprake is van gladheid, meestal veroorzaakt door sneeuw of ijzel. In deze situatie wordt er curatief gestrooid, waarbij de hoeveelheid zout zodanig moet zijn dat de wegen weer berijdbaar worden. Wanneer de sneeuwval zodanig is dat het gestrooide zout onvoldoende verbetering in de toestand van de weg brengt, kan de wegbeheerder besluiten om sneeuwploegen in te zetten, die de weg weer begaanbaar kunnen maken. De kosten die met de gladheidbestrijding verbonden zijn, zijn aanzienlijk. Zo moeten de wegbeheerders de beschikking hebben over steunpunten, waar de zoutvoorraad is opgeslagen en waar de strooiwagens met zout geladen kunnen worden. Daarnaast moet het materieel, zoals de strooiwagens en de strooi-installaties, aangeschaft of gehuurd worden. Een nadeel hierbij is dat dit materieel slechts een beperkt gedeelte van het jaar gebruikt wordt, zodat de kosten relatief hoog zijn. Tenslotte zijn er nog andere kosten aan het strooien verbonden, zoals de brandstofkosten en de arbeidskosten van de chauffeurs van de strooiwagens.

Wanneer het in heel Nederland glad is en er derhalve in heel Nederland gestrooid moet worden lopen de kosten van een dergelijke operatie in de honderdduizenden guldens. Telt men de kosten over een hele winter bij elkaar op dan lopen de kosten in de miljoenen. Het grootste gedeelte van die kosten wordt gevormd door de kosten voor het huren van de strooiwagens en de arbeidskosten van de chauffeurs. Deze kosten zijn zo hoog omdat de chauffeurs en de strooiwagens in de winter in principe iedere dag stand by moeten zijn. De kosten die verbonden zijn aan het operationeel

houden van een steunpunt zijn in verhouding minder hoog, omdat deze steunpunten meestal ook voor andere doeleinden gebruikt worden.

Net als bij andere publieke taken is er de laatste jaren door de overheid veel aandacht geschonken aan het efficiënt organiseren van de gladheidbestrijding. Een van de belangrijkste aandachtspunten daarbij is dat men de routes van de strooiwagens zodanig wil samenstellen dat de kosten van een strooiactie minimaal zijn. In de praktijk betekent dit dat men zo weinig mogelijk strooiwagens wil inzetten, en dat de routes van de strooiwagens zo efficiënt mogelijk moeten zijn samengesteld.

Het venninderen van het aantal strooiwagens zal er vaak op neerkomen dat de resterende strooi routes langer worden. Dit kan echter niet onbeperkt. Uit het oogpunt van verkeersveiligheid gelden er tijdslimieten waarbinnen de wegen gestrooid dienen te zijn. Aangezien de wegbeheerder verantwoordelijk is voor de begaanbaarheid van de wegen kan hij ook aansprakelijk gesteld worden wanneer er ongelukken gebeuren, bijvoorbeeld wanneer een weg niet op tijd gestrooid is. Bij het samenstellen van de strooi routes zal dus een afweging gemaakt moeten worden tussen besparingen op het aantal strooiwagens enerzijds, en de verkeersveiligheid anderzijds.

Het handmatig samenstellen van efficiënte strooiroutes is een ingewikkeld proces. De strooiroutes die in de winter gereden worden, worden in de regel in de zomer vastgesteld. De routes uit het voorgaande jaar dienen dan als uitgangspunt. Wanneer er zich geen ingrijpende wijzigingen in het te strooien wegennet hebben voorgedaan zal dit meestal betekenen dat de oude routes worden overgenomen. Kleine veranderingen aan het wegennet worden in de oude routes ingepast. Op deze manier bouwt de wegbeheerder echter geen echte expertise op in het samenstellen van efficiënte strooiroutes. Het gevolg hiervan is dat de resulterende routes niet altijd even efficiënt in elkaar steken.

De bovenstaande situatie kan voor de wegbeheerders aanleiding zijn extern advies in te winnen. ORTEC Consultants adviseert sinds 1988 diverse dienstkringen van Rijkswaterstaat, provincies en gemeenten bij het samenstellen van de strooiroutes. Hierdoor heeft ORTEC de nodige ervaring op dit gebied opgebouwd. Tevens heeft ORTEC de beschikking over een beslissings-ondersteunend systeem, waannee strooiroutes kunnen worden ontworpen en geëvalueerd. Dit Strooi Optimalisatie Systeem (SOS) was echter op een aantal punten verouderd, zowel met betrekking tot de user-interface als met betrekking tot de algoritmische ondersteuning. Omdat ORTEC ook in de toekomst de diverse wegbeheerders wil blijven adviseren is er besloten een nieuw systeem te ontwikkelen, dat aan de huidige beperkingen tegemoet moet komen.

In dit rapport zullen de resultaten worden besproken van het project dat ik bij ORTEC Consultants heb uitgevoerd en wat tot doel heeft gehad het ontwikkelen van een nieuw Strooi Optimalisatie Systeem, waannee ORTEC haar adviserende rol met betrekking tot het ontwerpen van efficiënte strooiroutes kan blijven uitoefenen. In het rapport zal de grootste nadruk liggen op het onderzoek dat is verricht naar de mogelijkheden tot algoritmische ondersteuning.

De opbouw van het rapport is als volgt. In het volgende hoofdstuk zal de strooi problematiek en de specifieke kenmerken ervan worden besproken. Hoofdstuk 3 behandelt mogelijke wiskundige modellen voor het strooi probleem, waarbij tevens de praktische toepasbaarheid van die modellen wordt aangegeven. In hoofdstuk 4 worden enkele mogelijke heuristieken besproken. Een aantal van die heuristieken is in de praktijk getest op het strooiprobleem, waarvan de resultaten in hoofdstuk 5 beschreven staan. Hoofdstuk 6 beschrijft hoe het nieuwe Strooi Optimalisatie Systeem eruit ziet en welke functionaliteiten het bezit. Het rapport zal worden afgesloten met enige opmerkingen over toekomstige ontwikkelingen.

Hoofdstuk 2

In dit hoofdstuk wordt uiteengezet welke factoren een rol spelen bij het strooien van de wegen ter voorkoming of ter bestrijding van gladheid. Eerst zal worden aangegeven hoe de gladheidbestrijding in Nederland georganiseerd is. Vervolgens worden de randvoorwaarden besproken waar tijdens de gladheidbestrijding rekening mee gehouden moet worden. Tenslotte zal worden aangegeven op welke momenten de organisatie van de gladheidbestrijding, en dan met name het verloop van de strooiroutes, heroverwogen wordt.

2.1 Organisatie van de gladheidbestrijding

Zoals in het vorige hoofdstuk reeds is opgemerkt is de organisatie van de gladheidbestrijding in Nederland onderverdeeld in drie niveaus. Op landelijk niveau

zijn de dienstkringen van Rijkswaterstaat verantwoordelijk voor de

gladheidbestrijding, op provinciaal niveau zijn dit de provinciale besturen en op

gemeentelijk niveau zijn de gemeentelijke waterstaten en milieudiensten

verantwoordelijk. De richtlijnen voor de gladheidbestrijding worden centraal vastgesteld door de Hoofddirectie van het Ministerie van Verkeer en Waterstaat, op

advies van de Dienst Weg en Waterbouw (DWW). In deze richtlijnen wordt

vastgelegd op welke wijze de gladheidbestrijding moet worden uitgevoerd, aan welke eisen deze moet voldoen en wie er verantwoordelijk zijn voor een juiste uitvoering.

Voor het bestrijden van de gladheid hebben de wegbeheerders de beschikking over één of meerdere depots, van waaruit de gladheidbestrijding plaatsvindt. Deze depots worden steunpunten genoemd. Vaak worden deze steunpunten ook gebruikt voor de andere taken die een wegbeheerder dient uit te voeren, zoals de inspectie en het onderhoud van de wegen. Voor de gladheidbestrijding bevinden zich op deze steunpunten een zoutopslagplaats, installaties waarmee strooiwagens van zout kunnen worden voorzien, sneeuwploegen, etc. De strooiwagens zijn meestal geen eigendom van de wegbeheerder, maar worden van transportondernemingen gehuurd, evenals de chauffeurs. Op een wagen kan een strooi-installatie ('opzetstrooier') worden gezet, zodat de wagen als strooiwagen kan functioneren. Deze installatie kan vanuit de cabine van de wagen worden bedient en zo aan- en uitgezet worden.

Gemiddeld voert een wegbeheerder ongeveer 40 strooiacties per jaar uit. Het grootste gedeelte van deze acties is preventief, wat wil zeggen dat er gestrooid wordt ter voorkoming van gladheid. De overige strooiacties vinden plaats wanneer het reeds glad is en heten curatief. De preventieve strooiacties vinden meestal 's ochtends vroeg plaats, omdat op dit tijdstip de kans op gladheid het grootst is. Tevens wordt zo voorkomen dat de strooiwagens tijdens de ochtendspits hinder ondervinden van het overige verkeer. Deze preventieve strooiacties zijn meestal gericht tegen het opvriezen van natte weggedeelten. Curatieve strooiacties kunnen op ieder moment van de dag plaatsvinden, en zijn voornamelijk gericht tegen (plotselinge) ijzel en sneeuwval. In de praktijk gaat een preventieve strooiactie ongeveer als volgt in zijn werk: op basis van de weersvooruitzichten neemt een wegbeheerder het besluit dat er gestrooid moet

gaan worden. Op dat moment worden de transporteurs en de chauffeurs

gewaarschuwd dat ze in actie moeten komen. De chauffeurs melden zich met hun

wagen bij het steunpunt waar de strooi-installaties op de wagens geplaatst worden.

Nadat een wagen met zout is geladen kan deze vertrekken om een vaste strooiroute te

rijden, waarbij een van tevoren vastgestelde hoeveelheid zout op de weg gestrooid wordt. Nadat de wagen de strooiroute heeft voltooid, keert deze terug naar het steunpunt. De strooi-installatie wordt van de wagen afgehaald en de strooiactie is beëindigd.

Het besluit tot het organiseren van een curatieve strooiactie wordt meestal niet op basis van weersvooruitzichten genomen, maar op basis van weerrapporten over de situatie op dat moment. De laatste jaren wordt er in dit kader ook steeds meer gebruik gemaakt van zogenaamde gladheidmeldsystemen. Dit zijn sensoren die in de weg geplaatst worden en die gladheid, of omstandigheden die snel tot gladheid kunnen

leiden, kunnen detecteren. Wanneer een dergelijke sensor gladheid of dreigende

gladheid constateert wordt er een melding naar een controlekamer gestuurd, waarna besloten kan worden een strooiactie te ondernemen. Bij langdurige sneeuwval of zware ijzel worden de strooiacties herhaald, totdat de situatie op de wegen weer onder controle is.

2.2 Eisen aan de gladheidbestrijding

Er is een wettelijke regeling die aangeeft aan welke eisen de gladheidbestrijding moet voldoen. De reden dat een wettelijke regeling noodzakelijk is, is eigenlijk tweeledig. In de eerste plaats dient de verkeersveiligheid niet in gevaar gebracht te worden, gezien de maatschappelijke kosten die met ongevallen gepaard gaan. In de tweede plaats is de wegbeheerder door de wettelijke regeling juridisch aansprakelijk voor de toestand van de weg. Dit beperkt zich niet alleen tot het bestrijden van eventuele gladheid; een wegbeheerder is ook verantwoordelijk voor het onderhoud aan de weg. Wanneer er een ongeval gebeurt doordat de wegbeheerder in gebreke is gebleven kan hij aansprakelijk gesteld worden voor de (financiële) gevolgen. Op deze manier wordt een wegbeheerder er toe gedwongen zijn taak serieus te nemen.

2.2.1 Tijdslimieten

De belangrijkste eis die aan het strooien van wegen verbonden is, is dat alle wegen binnen een bepaalde tijdslimiet gestrooid dienen te zijn. Deze tijdslimiet geldt vanaf het moment dat een strooiwagen vanaf het steunpunt vertrekt, en niet vanaf het moment dat de melding binnen komt. De tijd die een transporteur nodig heeft om bij het steunpunt te komen en de strooiwagen gereed te maken bedraagt meestal ongeveer 30 minuten. De wegbeheerder ziet er op toe dat deze tijd niet veel groter wordt, zodat er niet te veel tijd verloren wordt voor de strooiactie daadwerkelijk begint.

Niet alle wegen die gestrooid moeten worden hebben dezelfde prioriteit. Afhankelijk van de verkeersintensiteit van een weg worden de wegen onderverdeeld in een aantal wegtypes, waarbij ieder wegtype een bepaalde tijdslimiet krijgt. De exacte verdeling verschilt per wegbeheerder; een locale wegbeheerder heeft immers met andere wegtypes te maken dan een dienstkring van Rijkswaterstaat. Wel is er sinds kort een landelijke richtlijn gekomen die verschillende wegtypes aan de hand van de

verkeersintensiteit definieert. Deze richtlijn is onderdeel van een groter project ter

verbetering van de verkeersveiligheid, Duurzaam Veilig genaamd. In tabel 2.1

worden de meest gebruikte tijdslimieten weergegeven.

Wegtype Tijdslimiet in minuten

Rijkswegen: Autosnelweg 45 Autoweg 45 Oprit / afrit 60 Verzorgingsplaats 90 Overige wegen 90 Provinciale wegen: Hoofdweg 45 Secundaire weg 60 Oprit / afrit 60 Parallelweg 90 Verzorgingsplaats 90 Overige wegen 90 Locale wegen: Doorgaande weg 90 Overige wegen 120 Fietspad 120

Tabel 2.1: Overzicht van de meest gehanteerde tijdslimieten.

Naast de tijdslimieten per wegtype geldt er vaak ook een tijdslimiet waarbinnen een strooiwagen op het steunpunt teruggekeerd moet zijn. Deze limiet is met name van

belang wanneer een strooiwagen meerdere strooiacties achter elkaar moet uitvoeren.

In de praktijk blijkt dat niet overal aan alle tijdslimieten voldaan wordt. Met name de

tijdslimieten van de minder belangrijke wegtypes, zoals op- en afritten, parallelwegen,

verzorgingsplaatsen en wegen binnen de bebouwde kom, worden af en toe

geschonden. De reden hiervan is dat wanneer er strikt aan alle tijdslimieten zou worden vastgehouden het aantal benodigde strooiwagens aanzienlijk zou toenemen. Die extra strooiwagens zouden ook relatief veel kilometers moeten rijden, in verhouding met het aantal kilometers dat ze daadwerkelijk zouden strooien. De extra kosten die hiervan het gevolg zouden zijn wegen niet op tegen de (beperkte) schendingen van de tijdslimieten die in de huidige praktijk worden toegestaan. Een andere reden waardoor niet altijd aan de tijdslimieten kan worden voldaan is dat de strooiwagens ook door het overige verkeer kunnen worden opgehouden. Dit is met name het geval wanneer er curatief gestrooid moet worden, bijvoorbeeld in de avondspits. Doordat er dan veel overig verkeer op de weg is kunnen de strooiwagens worden opgehouden, zodat de strooiroutes langer duren dan oorspronkelijk gepland was.

2.2.2 Verkeersveiligheidseisen

De grootste deel van de strooiacties vindt 's ochtends vroeg plaats, wanneer er nog niet veel verkeer op de weg is. Curatieve strooiacties kunnen echter op ieder moment van de dag plaatsvinden en hebben direct invloed op het overige verkeer. Hoewel het strooien tot doel heeft de verkeersveiligheid te bevorderen, kunnen er bepaalde situaties voorkomen waarbij het overige verkeer door de aanwezigheid van strooiwagens juist in gevaar gebracht wordt. In de eerste plaats kan het voorkomen dat een automobilist over een gestrooide weg rijdt en plotseling op een weggedeelte terechtkomt dat nog niet gestrooid is. Omdat de automobilist er vanuit kan gaan dat er reeds overal gestrooid is, en zijn snelheid daaraan aanpast, kan deze situatie gevaar opleveren. Dit geldt met name voor doorgaande (snel)wegen. Deze observatie leidt tot de eerste verkeersveiligheidseis:

• Een automobilist mag in principe niet van een gestrooid op een ongestrooid weggedeelte komen.

Omdat het in de praktijk onmogelijk is om overal aan deze eis vast te houden, kan deze ook op een andere manier geformuleerd worden. In dat geval wordt voor opeenvolgende weggedeelten van een bepaald wegtype vastgesteld hoeveel tijd er mag verstrijken tussen het strooien van beide weggedeelten. Tussen het strooien van twee weggedeelten van het type snelweg mag bijvoorbeeld nul minuten zitten; tussen het strooien van twee weggedeelten van het type snelweg en het type op- en afrit mag bijvoorbeeld 15 minuten zitten.

Een ander situatie waarin de verkeersveiligheid door de aanwezigheid van strooiwagens in gevaar kan worden gebracht is wanneer een automobilist een strooiwagen ziet rijden en er dan vanuit gaat dat de weg waarover deze strooiwagen rijdt al gestrooid is. In de praktijk kan het echter voorkomen dat een strooiwagen eerst een gedeelte moet rijden zonder te strooien, voordat de strooiroute van de betreffende wagen begint. Wanneer een automobilist denkt dat de betreffende weg reeds gestrooid is en dit is nog niet het geval kan dit gevaarlijke situaties opleveren. Dit leidt tot de tweede verkeersveiligheidseis:

• Een strooiwagen mag niet over een ongestrooid weggedeelte rijden zonder te strooien.

Bij het samenstellen van de strooiroutes wordt getracht met deze twee eisen rekening te houden. In de praktijk blijkt het echter niet mogelijk om overal aan deze eisen te voldoen, tenzij het aantal strooiwagens dat wordt ingezet aanzienlijk wordt vergroot. Met name bij autosnelwegen kan al snel de situatie ontstaan waarbij de hoofdrijbaan reeds gestrooid is, maar nog niet alle op- en afritten. In dat geval is er een redelijke kans dat een automobilist van de gestrooide snelweg op een ongestrooide afrit terechtkomt. Deze situatie is echter slechts te voorkomen ten koste van de inzet van (veel) extra strooiwagens, en de extra kosten die hieraan verbonden zijn wegen weer niet op tegen de (beperkte) schendingen van de verkeersveiligheidseisen zoals die in de praktijk voorkomen.

Een andere reden waarom nooit overal aan deze eisen voldaan kan worden is dat bij het samenstellen van de strooi routes er vanuit gegaan wordt dat alle strooiwagens op hetzelfde tijdstip vanuit het steunpunt vertrekken. In de praktijk zal dit echter niet het geval zijn; de chauffeurs zullen immers op verschillende tijden bij het steunpunt arriveren en dus ook op verschillende tijden met de strooi routes beginnen. Daarnaast wordt er bij het samenstellen van de routes uitgegaan van gemiddelde snelheden. In de praktijk is het natuurlijk mogelijk dat een strooiwagen wordt opgehouden door het

overige verkeer, zodat de tijdsduur van een route langer wordt dan bij het

samenstellen van de routes was berekend. Het theoretisch op elkaar afstemmen van de verschillende routes biedt dan ook geen garantie dat de routes in de praktijk altijd precies volgens planning verlopen.

De verkeersveiligheidseisen kunnen ook met elkaar in conflict komen. In sommige gevallen is het noodzakelijk dat een strooiwagen over een weg rijdt zonder te strooien,

ook wanneer deze weg nog niet gestrooid is, omdat anders de eerste

verkeersveiligheidseis wordt geschonden. In deze situatie wordt meestal de eerste verkeersveiligheidseis belangrijker gevonden dan de tweede.

De manier waarop met beide eisen tijdens het samenstellen van de strooi routes rekening wordt gehouden is dat belangrijke, doorgaande wegen zoveel mogelijk in

één strooibeurt gestrooid dienen te worden. Vooral bij autosnelwegen en bij

belangrijke doorgaande provinciale wegen is deze afgeleide eis erg belangrijk. Daarnaast dienen op- en afritten van deze wegen niet te lang na de hoofdbaan gestrooid te worden. Bij secundaire en locale zijn deze eisen wat minder van belang, omdat automobilisten op deze wegen uit voorzorg ook meer op hun hoede zijn. 2.2.3 ZOAB wegdek

De laatste jaren is het DAB (Dicht Asfalt Beton) wegdek van veel autosnelwegen vervangen door een ZOAB (Zeer Open Asfalt Beton) wegdek. Rijkswaterstaat streeft ernaar om binnen een aantal jaar het hele Rijkswegennet van een ZOAB-wegdek te voorzien. ZOAB-wegdek heeft als voordeel dat door de open structuur van het asfalt regenwater sneller wegloopt. Dit komt de verkeersveiligheid tijdens regen ten goede, omdat het zicht voor de automobilisten beter is doordat er minder water opspat. Voor de gladheidbestrijding heeft ZOAB echter een aantal nadelen. In de eerste plaats leidt de open structuur van het ZOAB ertoe dat strooizout sneller in het asfalt verdwijnt. Dit heeft tot gevolg dat het strooien op ZOAB minder effectief is, en er dus extra gevaar voor het verkeer kan ontstaan. De speciale structuur van het ZOAB leidt er tevens toe dat gladheid op een andere manier ontstaat, met name wanneer er sprake is van gladheid door opvriezende weggedeelten. Deze vorm van gladheid komt op een

ZOAB-wegdek dan ook vaker voor dan op een DAB wegdek. Ook ijzel leidt om deze

reden op ZOAB sneller tot problemen dan op DAB. Tenslotte is een nadeel van ZOAB dat de verkeersintensiteit veel invloed heeft op de effectiviteit van het strooizout. Bij een gering verkeersaanbod is het strooizout veel minder effectief dan bij een groter aanbod.

9

De problemen met de gladheidbestrijding op ZOAB hebben de wegbeheerders destijds verrast. Dit heeft er toe geleid dat er aanvullende maatregelen ontwikkeld zijn om de verkeersveiligheid ook op ZOAB te kunnen waarborgen. Deze maatregelen zijn afhankelijk van het type gladheid. Er kunnen vier typen gladheid onderscheiden worden:

• gladheid veroorzaakt door opvriezen van natte weggedeelten

• gladheid veroorzaakt door een kleine hoeveelheid aanvriezend vocht (mist) • gladheid veroorzaakt door sneeuw

• gladheid veroorzaakt door ijzel

Gladheid veroorzaakt door het opvriezen van natte weggedeelten komt het meest voor. Om deze vorm van gladheid op ZOAB te bestrijden geldt als uitgangspunt dat op weggedeelten met een ZOAB-wegdek twee maal de normale hoeveelheid zout wordt aangebracht. Indien het mogelijk is dient dit in twee strooibeurten te gebeuren. Gladheid veroorzaakt door aanvriezend vocht kan in verschillende gradaties voorkomen. Bij kleine hoeveelheden is het meestal niet noodzakelijk om een extra strooiactie in te lassen, maar wanneer de hoeveelheden groter zijn wordt op ZOAB in principe de dubbele hoeveelheid zout aangebracht, indien mogelijk weer in twee strooibeurten.

Ook bij sneeuwval is het noodzakelijk om zout op de wegen te strooien, zelfs wanneer er ook sneeuwploegen worden ingezet. Het zout voorkomt in dit geval dat de sneeuw zich aan het wegdek vasthecht. De hoeveelheid zout die in deze situatie gestrooid wordt is voor zowel DAB-wegdek als voor ZOAB-wegdek twee maal de normale hoeveelheid. Er wordt geen onderscheid gemaakt tussen DAB en ZOAB. Het aanbrengen van deze dubbele hoeveelheid kan in één strooibeurt gebeuren.

Het type gladheid dat het meeste gevaar voor de verkeersveiligheid oplevert is gladheid veroorzaakt door ijzel. Ook bij ijzel dient de hoeveelheid strooizout twee maal zo groot te zijn als normaal. Afhankelijk van de hoeveelheid ijzel dienen weggedeelten met een ZOAB-wegdek door extra strooiacties behandeld te worden. Bij curatief strooien, wat dus voornamelijk ter bestrijding van sneeuwen ijzel is, kunnen nog additionele maatregelen genomen worden om de verkeersveiligheid te bevorderen. Voor een goede werking van het strooizout is het van belang dat er voldoende auto's over de gestrooide weg rijden. Door middel van verkeerssignalering kan het verkeer op een bepaalde rijstrook geconcentreerd worden, zodat de werking van het strooizout optimaal is.

De verschillende typen gladheid maken het samenstellen van de strooiroutes niet eenvoudiger. In feite zouden er verschillende routes bij verschillende typen gladheid gereden moeten worden. Dit is echter niet gewenst, omdat dit bij de chauffeurs van de strooiwagens tot verwarring kan leiden, wat weer nadelige gevolgen voor de verkeersveiligheid kan opleveren. Op dit moment wordt bij Rijkswaterstaat als uitgangspunt genomen dat alle weggedeelten met een ZOAB-wegdek twee maal

gestrooid dienen te worden. Tussen deze beide strooibeurten dient ongeveer 30

minuten te zitten. De dienstkringen van Rijkswaterstaat implementeren dit uitgangspunt niet allemaal op dezelfde manier. Sommige dienstkringen proberen hun bestaande routes zodanig aan te passen dat de tweede strooiactie op ZOAB in deze

routes geïntegreerd kan worden. Andere dienstkringen ontwerpen aparte

routes, die alleen de tweede strooi acties op ZOAB uitvoeren. Het voordeel van deze aparte routes is dat deze bij lichte gladheid niet altijd gereden hoeven te worden. Een nadeel is echter dat voor deze routes geen nieuwe strooiwagens worden ingezet, maar dat meestal wagens gebruikt worden die eerst een reguliere strooiroute rijden. De tijd tussen de twee strooi acties op het ZOAB-wegdek zal in deze situatie al snel meer dan 30 minuten bedragen.

De uitgangspunten die op dit moment gehanteerd worden zijn voorlopige uitgangspunten. Rijkswaterstaat is nog bezig met een onderzoek naar een definitieve

regeling met betrekking tot de gladheidbestrijding op ZOAB. De verwachting is dat in

de toekomst weggedeelten met een ZOAB-wegdek bij normale (preventieve) strooiacties op dezelfde wijze behandeld zullen worden als overige weggedeelten. Alleen bij ernstige gladheid zullen er dan extra strooiacties op ZOAB uitgevoerd

worden.

2.2.4 Zout

Er zijn twee soorten zout die voor het strooien gebruikt kunnen worden: droogzout en natzout. In het verleden werd voornamelijk droogzout gebruikt; tegenwoordig gebruiken alleen sommige kleinere wegbeheerders nog droogzout, omdat de meeste wegbeheerders zijn overgegaan op het strooien met natzout. Dit is een combinatie van natriumchloride en een bepaalde vloeistof. Het voordeel van natzout is dat er minder

van nodig is om hetzelfde resultaat te bereiken, waardoor het goedkoper is.

De hoeveelheid zout die er gestrooid wordt kan per strooiactie verschillen. De meeste wegbeheerders houden een standaard hoeveelheid van 7 gram per vierkante meter aan, hoewel 10 gram ook veel voorkomt. De moderne strooi-installaties hebben een instelbare breedte waarover het zout gestrooid kan worden. Dit heeft als voordeel dat een weg precies over de hele breedte gestrooid kan worden. Wanneer er zich geen scheiding tussen de rijbanen van een weg bevindt, is het zelfs mogelijk om de beide rijbanen van een weg in één passage te strooien. Dit komt voornamelijk voor bij

regionale en lokale wegen. Sommige wegen, bijvoorbeeld autosnelwegen met 4

rijstroken per richting, zijn echter zo breed dat een strooiwagen niet alle stroken tegelijk kan bereiken. In dat geval worden twee strooiwagens ingezet die gezamenlijk de weg strooien. Dit wordt gestaffeld strooien genoemd.

Door de overgang van droogzout naar natzout is de totale hoeveelheid zout die

gestrooid wordt afgenomen. Een gevolg hiervan is dat de capaciteiten van de

strooiwagens tegenwoordig bijna altijd voldoende zijn. In het verleden diende men bij het samenstellen van de strooiroutes nog rekening te houden met de beperkte capaciteit van de wagens, maar dit is nu in de meeste gevallen niet meer noodzakelijk. Alleen in extreme situaties waarbij er een grote hoeveelheid zout per vierkante meter gestrooid moet worden, en bij (meest locale) wegbeheerders die over strooiwagens met een kleinere capaciteit beschikken, kan de capaciteit nog een beperking opleveren.

2.3 Efficiënte strooiroutes

Er zijn een aantal momenten waarop wegbeheerders de organisatie van de gladheidbestrijding onder de loep nemen. In de eerste plaats is het wegennet voortdurend aan veranderingen onderhevig. Nieuwe wegen worden aangelegd,

bestaande wegen worden uitgebreid, klaverbladen worden omgebouwd, etc. De

wegbeheerders dienen er voor te zorgen dat ook deze nieuwe wegen gestrooid worden. Dit kan door de huidige strooiroutes aan te passen, of door nieuwe strooiroutes te ontwerpen.

Op dit moment worden de rijkswegen in Nederland gefaseerd voorzien van een ZOAB-wegdek. De huidige richtlijnen geven aan dat weggedeelten met een wegdek twee maal gestrooid dienen te worden. Wanneer een weg van een ZOAB-wegdek wordt voorzien heeft dit dus gevolgen voor de bestaande strooiroutes. Deze zullen aangepast dienen te worden, of er zullen nieuwe strooiroutes ontworpen moeten worden. Ook in deze situatie wordt de organisatie van de gladheidbestrijding dus geëvalueerd.

Door de toegenomen aandacht voor de efficiency van de gladheidbestrijding worden de wegbeheerders gedwongen strategische beslissingen over hun organisatie te nemen. Dit kan betekenen dat de locaties van de steunpunten opnieuw moeten worden vastgesteld. Ook kunnen dienstkringen onderzoeken of het zinvol is om samen te werken bij de gladheidbestrijding, bijvoorbeeld door niet meer strikt aan de dienstkringgrenzen vast te houden. Een derde mogelijkheid is dat verschillende organisatorische niveaus gaan samenwerken, bijvoorbeeld een dienstkring van Rijkswaterstaat met een provinciale of een locale wegbeheerder. Tenslotte kan een wegbeheerder het idee hebben dat de huidige strooi routes niet (meer) efficiënt zijn en om die reden de strooiroutes laten evalueren.

In al deze situaties is één van de belangrijkste aandachtspunten het verloop van de strooiroutes. De ligging van de steunpunten heeft direct invloed op de strooiroutes, en bij het vaststellen van de optimale ligging van steunpunten zullen de strooiroutes een grote rol spelen. Ook de samenwerking tussen verschillende wegbeheerders heeft meestal als doelstelling het verminderen van het totale aantal strooiroutes, of het efficiënter rijden van de bestaande strooiroutes. Tenslotte kunnen nieuwe wegen grote consequenties hebben voor bestaande strooiroutes, omdat deze te lang worden of minder efficiënt.

Uit bovenstaande situaties blijkt dat het bepalen van goede strooiroutes van essentieel belang is voor een efficiënte gladheidbestrijding. Vanwege de vele randvoorwaarden is het echter niet eenvoudig om goede, efficiënte strooiroutes te ontwerpen die aan alle eisen voldoen en waarbij de kosten zo laag mogelijk zijn. Bovendien beschikken de wegbeheerders niet over veel ervaring in het samenstellen van strooiroutes, omdat deze gemiddeld slechts één keer in de vijf jaar opnieuw worden samengesteld. Dit is ook de reden waarom veel wegbeheerders advies aan ORTEC vragen wanneer er beslissingen over steunpuntlocaties, samenwerking, of het strooien van nieuwe (ZOAB-)wegen genomen moeten worden. In het vervolg van dit rapport zal de nadruk

dan ook liggen op de wijze waarop efficiënte strooi routes kunnen worden samengesteld, rekening houdend met de beschreven randvoorwaarden.

Hoofdstuk 3

In dit hoofdstuk zal het probleem van het vinden van efficiënte strooiroutes, verder het strooiprobleem genoemd, als een wiskundig model geformuleerd worden. Eerst zal een verbale omschrijving van het te modelleren probleem gegeven worden. Aangezien het strooiprobleem een routeringsprobleem is, zal daarna uiteengezet worden welke overeenkomsten er zijn tussen het strooiprobleem en andere uit de literatuur bekende routeringsproblemen. Vervolgens wordt het strooiprobleem als een Mixed Integer Programming (MIP) model geformuleerd. Ook zal worden aangegeven wat de (on)mogelijkheden zijn om met behulp van die formulering het strooiprobleem (optimaal) op te lossen.

3.1 Het Strooiprobleem

Het strooiprobleem dat in dit hoofdstuk gemodelleerd wordt kan als volgt worden omschreven: gegeven is een bepaald wegennetwerk, dat bestaat uit wegen die gestrooid dienen te worden en uit wegen die niet gestrooid hoeven te worden, maar waarvan wel gebruik gemaakt mag worden. Verder bestaat het wegennetwerk uit één-en uit tweerichtingswegéén-en. Vanuit eéén-en céén-entraal steunpunt, waar een aantal strooiwagens gestationeerd zijn, dienen een aantal routes geconstrueerd worden, zodat alle te strooien wegen daadwerkelijk gestrooid worden. Deze routes moeten aan een aantal eisen voldoen. Zo moeten alle wegen binnen een bepaalde tijdslimiet gestrooid worden. Daarnaast moet er rekening gehouden worden met de verkeersveiligheidseisen. Omdat men de kosten wil minimaliseren en de kosten van het inhuren van een extra strooiwagen relatief groot zijn wil men zo weinig mogelijk strooiwagens gebruiken. Daarnaast moeten de routes op een efficiënte manier worden samengesteld, wat er op neer komt dat de afstand die gereden moet worden zonder te strooien geminimaliseerd wordt.

De wegen kunnen worden onderverdeeld in een aantal wegtypes. Ieder type heeft een bepaalde tijdslimiet. Daarnaast kunnen er verschillende snelheden van de strooiwagens onderscheiden worden op de diverse wegtypes. De strooiwagens rijden bovendien met een hogere snelheid wanneer ze niet hoeven te strooien. De zoutcapaciteit van de strooiwagens is over het algemeen toerijkend.

Bij de formuleringen die hier besproken worden wordt er uit gegaan van de situatie waarbij er slechts sprake is van één steunpunt van waaruit de strooiwagens vertrekken.

3.2 Routeringsproblemen

In de literatuur worden verschillende typen routeringsproblemen onderscheiden. Kenmerkend voor routeringsproblemen is dat er, gegeven een bepaald netwerk, één of een aantal routes gevonden moet worden langs een aantal locaties in dat netwerk, waarbij er sprake kan zijn van aanvullende restricties op capaciteiten, tijdslimieten, etc. Globaal zijn deze routeringsproblemen onder te verdelen in twee soorten. In Node routing problems moeten de knopen in het netwerk bezocht worden; in Arc routing problems moeten de takken bezocht worden. Node routing problems, waarvan het Traveling Salesman Problem het bekendste voorbeeld is, komen (onder andere) veelvuldig voor in de transport- en distributiewereld en zijn veelvuldig onderwerp van 15

I' I

(wiskundig) onderzoek geweest. Arc routing problems daarentegen hebben tot nu toe

minder aandacht gekregen, hoewel ook deze problemen veel praktische toepassingen

hebben, zoals het routeren van sneeuwploegen, vuilniswagens, strooiwagens of postbodes.

Binnen deze twee klassen van problemen kunnen nog verschillende types onderscheiden worden, aan de hand van de specifieke kenmerken van een probleem. Hierbij kan gedacht worden aan het feit of er één of meerdere routes geconstrueerd moeten worden, of er sprake is van een gericht, een ongericht of een mixed netwerk,

of er rekening gehouden moet worden met tijdsrestricties, beperkte capaciteiten, etc.

Het strooiprobleem kan in een aantal opzichten vergeleken worden met andere

problemen uit de literatuur. Enkele problemen die veel overeenkomsten vertonen met het strooiprobleem zijn het Vehicle Routing Problem (VRP), het Rural Postman

Problem (RPP) en het Capacitated Arc Routing Problem (CARP). Deze problemen

zullen nu worden toegelicht. 3.2.1 Vehicle Routing Prob/em

Bij het Vehicle Routing Prob/em is het doel het vinden van een verzameling routes

van minimale (totale) lengte, vanuit een centraal depot langs een aantal klanten, die

overeenkomen met knopen in een netwerk. De belangrijkste restrictie die bij het VRP

voorkomt heeft betrekking op de capaciteit van de wagens. Een mogelijke uitbreiding

van dit probleem is het introduceren van tijdsvensters (Time Windows), wat inhoudt dat klanten slechts binnen bepaalde tijden bezocht mogen worden. Dit is een in de transport- en distributiepraktijk veel voorkomend probleem.

Wiskundig gezien is het VRP een NP-compleet probleem. Het introduceren van tijdsvensters maakt het probleem er niet makkelijker op. Er zijn een aantal optimale algoritmen ontwikkeld, die echter (tot nu toe) slechts op kleine probleeminstanties met succes zijn toegepast. Daarnaast bestaat er een aantal heuristieken, die met redelijke successen in de praktijk worden gebruikt.

3.2.2 Rural Postman Prob/em

Het Rural Postman Prob/em tracht één route van minimale lengte te vinden langs een aantal takken in een netwerk, waarbij een deel van de takken in het netwerk wel bezocht moet worden en een ander deel van de takken niet, maar waar wel gebruik

van gemaakt mag worden. Dit probleem is afgeleid van het Chinese Postman Prob/em

(CPP), dat een route van minimale lengte zoekt langs alle takken in een netwerk.

Voor het CPP bestaat een optimaal polynomiaal algoritme, wanneer er sprake is van

een gericht of van een ongericht netwerk. Dit algoritme maakt gebruik van een

speciale eigenschap van een zogenaamde Eulergraaf Een Eulergraaf is een graaf

waarbij, in een ongerichte graaf, alle knopen even graad hebben. Een gerichte graaf

wordt een Eulergraaf genoemd wanneer in iedere knoop het aantal ingaande takken

gelijk is aan het aantal uitgaande takken. Een belangrijke eigenschap van een

Eulergraaf is dat er een route door geconstrueerd kan worden die alle takken precies

één maal passeert. Deze route heet het Eulercircuit. Het optimale polynomiale

algoritme voor het CPP breidt een netwerk eerst zodanig uit dat er een Eulergraaf

16

ontstaat. Vervolgens wordt het Eulercircuit door de uitgebreide graaf bepaald. Dit

Eulercircuit wordt tenslotte terugvertaald naar het oorspronkelijke netwerk.

In tegenstelling tot voor zuiver gerichte of zuiver ongerichte netwerken bestaat er voor een willekeurig mixed netwerk geen polynomiaal algoritme voor het CPP.

Het RPP is, of er nu sprake is van een gericht, een ongericht of een mixed netwerk, een NP-compleet probleem. Optimale algoritmen hebben tot nu toe slechts betrekkelijk kleine probleeminstanties kunnen oplossen. Deze methoden maken gebruik van MlP-formuleringen. De heuristieken die voor het RPP ontwikkeld zijn trachten meestal een netwerk zodanig uit te breiden dat er een Eu/ergraaf ontstaat, waarna het Eulercircuit door het uitgebreide netwerk bepaald wordt.

3.2.3 Capacitated Arc Routing Problem

Het Capacitated Arc Routing Problem tracht, vanuit een centraal depot, een verzameling routes te vinden van minimale (totale) lengte, waarbij de takken in het netwerk een bepaalde 'vraag' hebben waar de wagens aan moeten voldoen. De belangrijkste restrictie is hier de capaciteit van de wagens. Het verschil met het VRP is dat bij het CARP de takken in het netwerk bezocht moeten worden, terwijl bij het VRP de knopen bezocht dienen te worden.

Ook het CARP is een NP-Compleet probleem. (In feite is het RPP een speciaal geval van het CARP, waarbij er slechts één wagen is met voldoende capaciteit, en alle takken die bezocht moeten worden dezelfde vraag hebben). Tot nu toe zijn er slechts kleine instanties (maximaal 50 te bezoeken takken) van het CARP optimaal opgelost. Deze instanties hebben betrekking op een ongericht netwerk. Voor gerichte en voor mixed netwerken zijn (voor zover bekend) nog geen instanties optimaal opgelost. Vanwege de moeilijkheden die ondervonden zijn om het CARP optimaal op te lossen, en vanwege het feit dat het CARP toch veel praktische toepassingen heeft, is er redelijk veel onderzoek verricht naar heuristieken voor het CARP. Uit dat onderzoek is echter geen heuristiek naar voren gekomen die duidelijk beter presteert dan de andere. Het blijkt dat de vorm van het netwerk een grote rol speelt bij de effectiviteit van een heuristiek. Een voordeel van een aantal van de onderzochte heuristieken is wel dat ze in principe op gerichte, ongerichte en mixed netwerken kunnen worden toegepast.

Ondanks de overeenkomsten van het strooiprobleem met de bovenstaande problemen zijn er toch ook aanzienlijke verschillen. Een belangrijk verschil is dat bij het strooiprobleem duidelijk sprake is van een combinatie van gerichte en ongerichte takken in het netwerk, terwijl bij de MIP-formuleringen van bovenstaande problemen altijd een keuze tussen een gericht of een ongericht netwerk gemaakt wordt. Een tweede verschil heeft betrekking op de tijdslimieten van de te strooien wegen. Bij het VRP is het mogelijk om tijdsvensters te introduceren. Ook het RPP is uit te breiden door de takken onder te verdelen in verschillende klassen, met elk hun eigen tijdslimiet. Uit de literatuur is geen formulering van het CARP bekend waarbij rekening gehouden wordt met tijdslimieten, hoewel het wel mogelijk is om deze in een MIP-formulering te introduceren. Een derde verschil betreft het voorkomen van twee verschillende snelheden van de wagens, namelijk één voor tijdens het strooien en

één voor tijdens het rijden zonder te strooien. Het is wel mogelijk dit toe te voegen aan de bestaande formuleringen van het RPP en het CARP, alleen bij het VRP zal dit problemen geven, omdat hier één afstandsmatrix (eigenlijk een rijtijdmatrix) gehanteerd wordt. Andere strooirestricties, zoals de eis dat een doorgaande weg zoveel mogelijk in één keer gestrooid moet worden lijken moeilijk in de bestaande formuleringen in te passen.

3.3 Mixed Integer Programming formulering

3.3.1 Uitgangspunten

Het strooiprobleem is duidelijk een Arc Routing Problem. Het ligt dan ook voor de hand als uitgangspunt voor een Mixed Integer Programming formulering van het strooiprobleem het RPP ofhet CARP te nemen. De hier gepresenteerde formulering is gebaseerd op een formulering van het RPP door Letchford en Eglese (1998) en op de oorspronkelijke formulering van het CARP door Golden en Wong (1981). Bij deze formulering zijn de verkeersveiligheidseisen buiten beschouwing gelaten, omdat deze eisen lastig wiskundig te definiëren zijn.

Het probleem dat hier gemodelleerd is kan als volgt worden omschreven. Gegeven is een mixed netwerk G =

CV,

A u E), waarbij V de verzameling knopen is, A de verzameling gerichte takken en E de verzameling ongerichte takken. Knoop {I} komt overeen met het steunpunt, waar K beschikbare wagens gestationeerd zijn. Er is een verzameling takken R ç A u E die gestrooid moet worden. De verzameling R kan worden verdeeld in een aantal klassen Rl, ... , RL; voor iedere klasse geldt een bepaalde tijdslimiet Tl, ... , TL. Takken uit klasse RPmoeten voor tijdstip TP gestrooid zijn. Verder komen er twee snelheden voor: sij is de strooitijd van de tak die loopt van knoop i naar knoopj, en tij is de rijtijd zonder te strooien van diezelfde tak. De kosten van het passeren van de tak die loopt van knoop i naar knoop j bedragen

Het doel van het model is het vinden van een verzameling routes tegen minimale kosten, zodanig dat alle takken op tijd gestrooid worden. Er wordt bij deze formulering dus uitgegaan van een vast aantal strooiwagens. Iedere route moet beginnen en eindigen in het steunpunt. De routes kunnen worden onderverdeeld in een aantal tijdsfasen, welke overeenkomen met de tijdslimieten. In de eerste tijdsfase, die loopt tot tijdstip Tl moeten alle takken in Rl gestrooid worden. Aan het eind van de eerste fase vindt een overgang plaats naar de tweede tijdsfase. Aan het eind van deze fase moeten alle takken in R2

gestrooid zijn. Het is toegestaan om in een eerdere fase takken te strooien die pas later gestrooid hoeven te worden. Takken dienen in één keer gestrooid te worden. Het is mogelijk dat er geen oplossing voor het probleem is, bijvoorbeeld als er te weinig strooiwagens beschikbaar zijn of als de tijdslimieten te strikt zijn (wat eigenlijk op hetzelfde neerkomt).

De volgende variabelen en aanvullende notatie wordt geïntroduceerd:

Xijpk

=

aantal maal dat tak (i,j) E A u E gepasseerd wordt zonder te strooien in tijds fase p door wagen k

Yijpk

=

I als tak (i,j) ERdoor wagen k gestrooid wordt in tijdsfase p, 0 anders Z,'pk

=

I als wagen k in knoop v is als tijdsfase p eindigt, 0 anders

c~

=

kosten van het kortste pad vanaf knoop v terug naar het steunpunt R ~ = R 4 U ... U RB, voor 1 ~ A ~ B ~ L . '<I F ç A u E R~ (F)

=

R! n F B '<IFçAuE

x~k(F)=L

LXijPk p=A ijeF B

'<IFçR;

Y~k(F)=L

L YijPk p=A ijeF

'<IQ ç V zf(Q) = L Z'Pk VEQ

'<Iv EV E+(v) = verzameling takken die uit v 'vertrekken' E-(v) = verzameling takken die in v 'binnenkomen' 3,3.2 Het model

Het probleem kan nu als volgt worden geformuleerd:

subject to: K

L(y;~(i,j)+ y;~(j,i» = 1 (m= 1,00.L; (i,j) ERm)

k=1

(1.1)

f

[ L tijXijpk + L

S

ijYijPk

l~Tm-f

LSijYijPk ('<Ik; m=l,oo.,L) p=l ijeAuE ijER~.1 p=1 ijER~

(1.2) zf(V) = I p = 1,00.,L; '<Ik (1.3) x! (E-(v» + Y! (R₂L _{(E-(v») = x! (E+(v» + Y! (R2}L (E+ (v))) + Zvlk (I Aa) ('<Iv EV\{I};'<Ik)

xf(E-(v» + Yf(R~(E-(v))) +zv.P-1.k = xf(E+(v» + Yf(R~(E+(v») +zvpk

('<Iv EV \ {I}; '<Ik;p

=

2,00.,L) ( lAb)

_ _ _ _ ~~~XI~·LI _ _ ~~~~ _ _ _ _ ~ _ _ ~JL_=_ _ _ _ _ _ _ ~~~~ _ _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

L L

L L Xijk + L LYijk :S; Isl-I +n2u; ,S ç V \ {I}; S ;.dO; k

=

I, .. ,K

p=1 U.jleS p=1 (i.jleS ( l.5a) (l.5b)

u;

+w

;

:s; I (I.Sc)

u;,

w

;

E {O,I} ( LSd) Xijpk EZ+; Zvpk E {O,I} ( 1.6)

Yijpk E{O,I}; \t(vi'Vj) EEuA;

\tv EV; k

=

I, ... ,K; P

=

I, ... ,L

3.3.3 Toelichting

k

=

I, ... ,K; P = I, ... ,L

De doelstellingfunctie bestaat uit twee componenten: de kosten van het passeren van takken zonder te strooien en de kosten van de kortste paden van de eindpunten van de routes terug naar het steunpunt. De kosten van het strooien van de takken zijn niet in de doelstellingsfunctie opgenomen, omdat deze kosten vast zijn en in iedere oplossing gemaakt moeten worden.

Aangezien we te maken hebben met een mixed netwerk is niet van tevoren bekend in welke richting een wagen een tak zal passeren of strooien. De variabelen x pk en Y pk

zijn dan ook voor alle takken in beide richtingen gedefinieerd. Voor gerichte takken kunnen de x pk en Y pk variabelen in de verboden rijrichting op 0 worden gesteld. Een andere mogelijkheid is om de cij horend bij een verboden rijrichting een zodanig grote waarde te geven dat deze in een optimale oplossing nooit gekozen wordt. Dit heeft tot gevolg dat de kostenmatrix niet meer symmetrisch is. In dat geval moeten de kosten van het strooien van de takken wel in de doelstellingsfunctie worden opgenomen.

Constraint (1.1) eist dat een tak in één van beide richtingen gestrooid wordt, door één van de beschikbare wagens.

Constraints (1.2) is de tijdsrestrictie. Deze restrictie geldt voor iedere tijdsfase en voor iedere wagen. De constraint eist dat aan het eind van iedere tijds fase de totale tijdsduur van een route, die bestaat uit de tijd die het kost om takken in deze tijdsfase te strooien, om takken die later gestrooid moeten worden reeds te strooien en om takken te passeren, kleiner is dan de tijdslimiet van die tijdsfase. Op deze manier is het niet mogelijk dat een tak na zijn tijdslimiet gestrooid wordt.

Constraint (1.3) zorgt ervoor dat iedere wagen zich precies in één knoop bevindt tijdens een overgang tussen de verschillende tijds fasen.

Constraint (IA) eist dat voor iedere knoop het aantal gepasseerde ingaande takken gelijk is aan het aantal gepasseerde uitgaande takken, onafhankelijk van de tijdsfasen.

Deze constraints worden in vergelijkbare problemen (bijvoorbeeld het VRP) de jlow

-conservation constraints genoemd.

Constraints (1.5) zijn de subtour-eliminating constraints. Deze constraints zorgen

ervoor dat een route niet uit losse componenten bestaat. Bij deze constraints kan slechts één van de variabelen u en w de waarde I hebben, zodat een lus van wagen k met verzameling knopen S verbonden moet zijn met de verzameling knopen VIS (en dus met het steunpunt), omdat:

L L

I I

Xijpk +

I

I YijPk >

I

s

l

-l

~

u

;

=

I

p=l v"vieS p=l Vi 'Vi eS

p=1 v,eS vJ~

De mogelijke waarden die de variabelen kunnen aannemen worden in constraint (1.6) weergegeven. Merk op dat Xijpk een geheel getal ~ 0 is. Doordat er gerichte takken in

het netwerk voorkomen is het namelijk niet ondenkbaar dat in de optimale oplossing een tak een aantal keer (~ 2) in dezelfde richting door dezelfde wagen gepasseerd moet worden. Yijpk en Z,'pk zijn binaire variabelen.

In bovenstaande formulering zijn geen capaciteitsrestricties opgenomen, omdat de capaciteit van de strooiwagens bijna altijd voldoende is. Deze restricties kunnen echter eenvoudig worden toegevoegd en zullen er dan zo uitzien:

L

I

I

dijYijpk ~ Dk ('<ik) p=1 (i,j)eAuE

(1.7)

Hierbij is dij de zouthoeveelheid die op tak (i, j) gestrooid moet worden, en Dk de capaciteit van wagen k.

Het voordeel van deze formulering is dat er rekening gehouden kan worden met een mixed netwerk, met verschillende tijdsklassen en met verschillende snelheden. Het grote nadeel is echter dat het aantal subtour-eliminating constraints (1.5) en de bijhorende variabelen

u

;

en

w

;

erg groot wordt bij realistische probleeminstanties. Dit wordt veroorzaakt door het grote aantal mogelijke verzamelingen S, wat er toe leidt dat het aantal constraints (1.5) kan oplopen tot 3K(2Y'-_' -I) .

Een realistische instantie van het strooiprobleem bestaat uit een netwerk met 200 knopen, 400 te strooien takken verdeeld over 3 tijdsklassen (200,100,100) en een wagenpark van 10 strooiwagens. Het zal duidelijk zijn dat het aantal constraints in bovenstaande formulering met deze getallen snel uit de hand loopt.

21

3.3.4 Relaxatie

Een gebruikelijke methode om (te proberen) een lP model op te lossen is door gebruik te maken van een relaxatie. Bij een relaxatie worden één of meerdere restricties buiten beschouwing gelaten en wordt het resterende probleem opgelost. De uitkomsten van die oplossing kunnen een indicatie geven over de oplossing van het gehele probleem. In het beste geval is de oplossing van een relaxatie ook een toegelaten oplossing van het oorspronkelijke probleem. In dat geval is het probleem opgelost.

De meest voor de hand liggende relaxatie die uitgevoerd kan worden is die waarbij de restricties op de geheeltalligheid worden gerelaxeerd. Voor binaire variabelen betekent dit dat ze in de oplossing van de relaxatie een waarde tussen de 0 en de I mogen hebben, in plaats van 0 óf I. Overige geheeltallige variabelen worden continu. Vervolgens wordt de LP-relaxatie met behulp van een LP-solver opgelost. Soms blijken de uitkomsten van de LP-relaxatie reeds geheeItallig te zijn, zodat het oorspronkelijke probleem is opgelost. Wanneer dit niet het geval is bestaat nog de mogelijkheid om (iteratief) bepaalde restricties aan het probleem toe te voegen, op een zodanige wijze dat een nieuwe oplossing van de relaxatie met de toegevoegde restricties wel een geheeltallige oplossing geeft. Het vinden van deze extra restricties

(valid inequalities) is echter niet eenvoudig.

Het is ook mogelijk, en soms zelfs noodzakelijk, om andere restricties te relaxeren, bijvoorbeeld wanneer er sprake is van een exponentieel aantal restricties, zoals bij bovenstaand formulering de subtour-eliminating constraints (1.5). In dat geval wordt het probleem opgelost waarbij de betreffende restrictie niet wordt meegenomen. Vervolgens worden aan deze formulering weer (iteratief) extra restricties toegevoegd, totdat er uiteindelijk een oplossing gevonden wordt die aan alle restricties voldoet. Ook in dit geval is het vinden van die extra restricties echter niet eenvoudig.

De techniek van het relaxeren is op twee manieren op het bovenstaande MIP-model toegepast. In het eerste geval zijn de restricties op de geheeItalligheid gerelaxeerd. Daarnaast zijn de subtour-eliminating constraints uit de probleemformulering weggelaten. Vervolgens is de relaxatie van het probleem met Cplex opgelost. In het tweede geval zijn alleen de subtour-eliminating constraints weggelaten. Dit probleem is als Mixed Integer Programming problem met behulp van Cplex opgelost.

De probleeminstantie die in beide gevallen is opgelost, is een kleine instantie van het strooiprobleem. In deze instantie bestaat het netwerk uit 10 knopen en 16 takken, verdeeld in twee tijdsfasen. Alle takken dienen gestrooid te worden. Op het steunpunt (knoop I) zijn drie strooiwagens beschikbaar. De resultaten hiervan zijn opgenomen in bijlage A.

In de oplossing van de eerste relaxatie kwamen veel fractionele waarden voor de y

variabelen voor, waarbij de twee y-variabelen van een tak in beide richtingen de waarde 0.5 aannamen. De oorzaak hiervan is dat op deze manier toch aan de

flow-conservation constraints (IA) voldaan is, en aan constraints (1.1) , terwijl er in werkelijkheid geen sprake is van een 'flow'. Op deze manier wordt een tak voor de helft vanaf de ene kant gestrooid en voor de helft vanaf de andere kant, wat in de praktijk natuurlijk niet toegestaan is. Men kan ook zeggen dat er sprake is van een

22

kleine subtour tussen de twee knopen van een tak, die is toegestaan omdat de

subtour-eliminating constraints uit de formulering zijn weggelaten.

Om dit probleem te vermijden zijn aan de formulering extra constraints toegevoegd. Deze extra constraints voorkomen dat een tak door een kleine subtour, bestaande uit de twee richtingen van de tak, gestrooid wordt. Deze constraints hebben de vorm van (1.5), waarbij de verzameling S bestaat uit de twee knopen van de tak. Deze constraints zijn dus subtour-eliminating constraints en worden voor alle te strooien

takken toegevoegd.

De LP-relaxatie van de uitgebreide formulering is vervolgens met Cplex opgelost. Helaas bleken ook in deze oplossing de y-variabelen (evenals de z-variabelen) bijna allemaal fractioneel te zijn. Om een oplossing te krijgen die ook in de oorspronkelijke probleemdefinitie is toegelaten zullen dus meer restricties (valid inequalities) moeten worden toegevoegd. Dit is echter niet verder geprobeerd, onder andere omdat niet duidelijk is welke restricties dit moeten zijn.

Het oplossen van de tweede relaxatie leidde tot praktische problemen. De benodigde rekentijd voor deze kleine instantie bedroeg namelijk 4 uur op een PC met een Pentium 166 MHz processor. De solver die hierbij gebruikt werd is Cplex versie 5.0. Bovendien bleek de oplossing van deze relaxatie niet te voldoen aan de (gerelaxeerde) subtour-eliminating constraints. Het zal duidelijk zijn dat het oplossen van een wat grotere instantie van het strooi probleem op deze manier weinig zinvol is.

3.4 Formulering van het strooiprobleem als VRP

3.4.1 Transformatie

Het is mogelijk een Arc routing problem om te vormen tot een Node routing problem,

en dus om het strooiprobleem te herschrijven als een Vehicle Routing Problem. Dit heeft als voordeel dat bestaande algoritmes voor het VRP ook op het strooi probleem kunnen worden toegepast. Door de transformatie verdwijnen de problemen die een mixed netwerk opleveren, doordat de afstandenmatrix in het VRP zodanig wordt opgesteld dat gerichte takken slechts in de toegestane richting gepasseerd zullen worden. De tijdsrestricties in het strooiprobleem kunnen vertaald worden naar tijdvensters in het VRP. Het hanteren van verschillende snelheden levert echter wel

een probleem op, omdat in het VRP slechts sprake is van één afstandenmatrix

(rijtijdenmatrix).

Bij de transformatie wordt als uitgangspunt een mixed netwerk G(V,E u A)

genomen, en een verzameling takken R ç E u A die gestrooid moet worden. Iedere

tak (i,j) tussen de knopen i enj uit het oorspronkelijke netwerk wordt vervangen door 3 nieuwe knopen, s ij' mij en s ji. Hierbij wordt mij de middelste knoop op de tak en worden sij en Sji de buitenste knopen. De tak wordt dus in vier delen gedeeld. De oorspronkelijke knopen uit het netwerk worden verwijderd, met uitzondering van het steunpunt {I}. Voor het bepalen van een oplossing van een Node routing problem is het noodzakelijk een afstandenmatrix te hebben met daarin de afstanden tussen alle

knopen. Deze afstanden d (i, j) tussen de nieuwe knopen worden als volgt berekend:

I d(l,sij)

=

"4cij + dist(l,i)

d(m

.

, ,)

=

{~(c.)

als (i,j)

*

(k,/) als (i,j)

=

(k,/) als v

=

sij of v

=

Sji anders

Hierbij is cij de lengte van tak (i, j) en dist(i, j) is de kortste afstand in het

oorspronkelijke netwerk tussen knoop i en knoop j. Bij het berekenen van deze kortste

afstand wordt rekening gehouden met het voorkomen van gerichte takken in het netwerk; dist(i, j) hoeft dus niet symmetrisch te zijn. De afstand tussen twee

'buitenste' knopen wordt berekend door eerst naar de dichtstbijzijnde originele knoop te gaan, met als afstand eenvierde deel van de tak, vervolgens via het kortste pad naar de originele knoop bij de andere 'buitenste' knoop te gaan en tenslotte via eenvierde deel van de andere tak naar de andere 'buitenste' knoop te gaan. De afstand tussen een 'middelste' knoop en een 'buitenste' knoop is alleen gedefinieerd wanneer beide knopen op dezelfde oorspronkelijke tak liggen. Dit zorgt ervoor dat in een optimale oplossing de 3 knopen op een tak achter elkaar moeten worden bezocht. Deze formulering biedt tevens de mogelijkheid om gerichte takken te introduceren. Men kan immers bepaalde afstanden tussen 'buitenste' knopen en 'middelste' knopen op oneindig zetten, wanneer een tak in een bepaalde richting niet gepasseerd mag worden.

Tenslotte wordt de 'vraag' van een tak evenredig verdeeld over de drie nieuwe knopen.

Met de nieuwe knopen, afstanden en vraag kan nu een standaard Vehicle Routing

Prob/em geformuleerd worden. Omdat we bij het strooi probleem te maken hebben

met tijdsrestricties moeten in de formulering tijdvensters worden geïntroduceerd.

3.4.2 Het model

Hier wordt een (mogelijke) formulering van het VRP met tijdvensters (VRPTW) gegeven. In deze formulering is Xijk gelijk aan I als tak (i, j) door wagen k gepasseerd

wordt in de optimale oplossing. Yik

=

I als knoop i door wagen k bezocht wordt. di is de vraag van knoop i, Dk is de capaciteit van wagen k. Verder is ti het tijdstip waarop een wagen in knoop i arriveert, en T een groot getal.

De fonnulering wordt nu als volgt: " minL L CijXijk k=1 i*) s.t. " LdiYij ::; Dk (k

=

I, ... ,m) ;=1 (2.1) (i

=

I) UI

{m

L Yik

=

I k=1 (i

=

2, ... ,n) (2.2) " LXijk = Yjk Î=l (j

=

I, .... ,n;k

=

I, .... ,m) (2.3) " LXijk

=

Yjk (j

=

I, .... ,n;k

=

I, .... ,m) j=1 (2.4) LXijk ::;

I

s

l

-

I (S c

v

;

l

s

l

;::

2;k = I, ... ,m) i,jES (2.5) { ;::ti + tij -(1-xijk)T t

J ::;ti + tij +(I-xijk)T

(2.6)

ti ::; bi (i = 2, ... ,n)

(2.7)

(i,i

= I

, .... ,n;k

=

I, ... ,m)

Xijk E {O,I} (i,i

=

l, .... ,n;k

=

l, .... ,m)

(2.8)

Yik E{O,l} (i=l, .... ,n;k=l, .... ,m)

(2.9)

3.4.3 Toelichting

In deze fonnulering is constraint (2.1) de capaciteitsrestrictie. Constraint (2.2) zorgt ervoor dat elke knoop één maal bezocht wordt (behalve het steunpunt), terwijl constraints (2.3) en (2.4) ervoor zorgen dat er wagen een knoop ook weer verlaat wanneer hij er binnenkomt (jlow- conservation constraints). Constraints (2.5) zijn de subtour-e/iminating constraints. Tenslotte zorgen constraints (2.6) en (2.7) ervoor dat alle knopen op tijd bezocht worden.

Wanneer het strooi probleem als een VRP gefonnuleerd en opgelost wordt moeten de resultaten nog terugvertaald worden naar het oorspronkelijke probleem. Omdat de