Grepen uit de geschiedenis van de wiskunde

Bibliotheek TU Delft

11111111111111111111

Prof.dr. A.W. Grootendorst

DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ

Grootendorst, A.W.

Grepen uit de geschiedenis van de wiskunde /

door A.W. Grootendorst. - Delft: Delftsche Uitgevers Mij. Met index, lito opg.

ISBN 90-6562-OO4-X SISO 510.2 UDC 51 (091)

Trefw.: wiskunde; geschiedenis; opstellen.

©VSSD

Eerste druk 1988

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestem-ming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or olherwise, without the prior written permission ofthe publisher.

Ten geleide

Dit werkje pretendeert niet meer dan de titel in het uitzicht stelt: een aantal grepen uit de geschiedenis van de wiskunde. Dit impliceert uiteraard een zekere mate van willekeur. Het gaat inderdaad om een aantal veelal reeds eerder gepubliceerde -artikelen die onderling weinig of geen samenhang vertonen, onderwerpen die elk op eigen wijze op de weg van de schrijver kwamen, hetzij bij eigen studie, hetzij bij de voorbereiding van een college, hetzij ook aangedragen door anderen. Zo zijn de inleiding en het artikel over WantzeI ontstaan uit voordrachten, gehouden op verzoek van de "Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars". De keuze van WantzeI werd geïnspireerd door nieuwsgierigheid die gewekt was door een voetnoot in het meesterwerk van Morris Kline: "Mathematical Thought from Ancient to Modem Times". De beide opstellen over de Griekse Wiskunde zijn uitgewerkte collegevoordrachten. Het artikel over Adalbold ontstond naar aanleiding van een verzoek van een collega die werkte aan een woordenboek van het middeleeuws Latijn en die wilde weten welke woorden in deze brief niet in het klassieke Latijn voorkwamen. De vertaling van de brief van van Heuraet ontstond doordat de schrijver dezes eens een stukje wiskunde uit het Latijn wilde vertalen. Daaruit resulteerde weer het artikel over Hudde. Het overzicht over het leven en de werken van Euler werd geschreven op verzoek van de redactie van het tijdschrift "Wiskunde en Onderwijs" in het kader van de Eulerherdenking in 1983.

Een belangrijke inspiratiebron werd steeds gevormd door de studenten aan wie de schrijver zijn verhalen "kwijt kon", hetzij ingevlochten in een college, hetzij ook tijdens een toevallige ontmoeting op de gang, in de lift, tijdens een koffiepauze. Vooral aan hen mijn dank.

Veel dank ook aan een aantal collegae die steeds weer bereid waren conceptversies of drukproeven kritisch te bezien of ook maar gewoon mij aan te horen. Van hen noem ik Prof.drs. D. Eckhart, Dr. E. Glas, Dr. J.A. van Maanen, Mevr.Ir. Y. v.d. Munnik en Prof. dr. C. de Vroedt. M.b.t. de praktische uitvoering veel dank aan Mevr. Dori Steeneken die er steeds voor zorgde dat er een goed concept kon worden ingeleverd. Een bijzondere plaats in het geheel wordt ingenomen door de heer J.E. Schievink, de uitgever, met wie het zo prettig samenwerken was tijdens de voorbereiding van dit werkje.

Gaarne spreekt de auteur de wens uit dat de lezer dit boekje met evenveel genoegen leest als waarmee de schrijver het geschreven heeft. Een schrijver die zich aanbevolen houdt voor opbouwende kritiek.

Inhoud

TEN GELEIDE 1. INLEIDING

Verschenen onder de titel: "De Geschiedenis van de Wiskunde en het Onderwijs in de Wiskunde", in: Wiskunde en Onderwijs 8e jrg., 1982, nr. 30, pp. 287-306.

2. HET OMGAAN MET GETALLEN IN DE OUDHEID

Verschenen onder de titel: "Enkele aspecten van het omgaan met getallen in de Oudheid", in: Feestbundel S.H.B.D., Delft, juni 1987, pp. 39-59. 3. OVER DE GEOMETRISCHE ALGEBRA VAN DE GRIEKEN EN DE OORSPRONG

5 9

29

VAN DE WOORDEN PARABOOL, ELLIPS EN HYPERBOOL 49 4. BRIEF VAN ADALBOLDUS, BISSCHOP VAN UTRECHT AAN PAUS

SILVESTER 11 (999-1003) 65

5. DE TWEEDE BRIEF VAN JOHANNES HUDDE 77

Verschenen onder de titel: "Johan Hudde's Epistola Secunda de Maximis et Minimis", in: Nieuw Archièf voor Wiskunde, vierde serie, deel 5, no. 3, november 1987, pp. 303-334.

6. BRIEF VAN HENRICUS VAN HEURAET OVER DE RECTIFICATIE VAN KROMMEN

Dit artikel is in essentie een artikel dat geschreven is in samenwerking met Dr. lA. van Maanen, onder de titel: "Van Heuraet's Letter (1659) on the Rectification of Curves. Text, Translation, (English, Dutch),

Commentary", in: Nieuw Archief voor Wiskunde, derde serie, • deel XXX, no. 1, maart 1982, pp. 95-113.

7. LEONHARD EULER, 15 APRIL 1707-18 SEPTEMBER 1783

Dit artikel verscheen in: Wiskunde en Onderwijs, ge jrg., 1983, nr. 36, pp. 467-486.

107

123

8. EEN BEKEND PROBLEEM, OPGELOST DOOR EEN ONBEKEND WISKUNDIGE 143 Dit artikel verscheen in: "Euclides", 58e jaargang, 1982/1983, no. 1,

augustus/september, pp. 17-28.

INDEX VAN EIGENNAMEN 155

Inleiding

De wiskunde zelf*

a. Wat had men voor met wiskunde?

De Papyrus Rhind, toegeschreven aan Ahmes, daterend uit 1800 v.Chr., opge-kocht door A.H. Rhind in Luxor en geschonken aan het Brits Museum, kondigt veelbelovend aan dat zij bevat:

'Een volledig en grondig onderzoek van alle dingen, inzicht in al het zijnde, kennis van alle geheimen'.

Het blijkt echter een aantal rekenvoorschriften, loonberekeningen en voorraad-berekeningen te zijn. t

Het is dan boeiend om na te gaan hoe, met veel vallen en opstaan - en onder-brekingen - de wiskunde in zijn verdere ontwikkeling allerlei stadia heeft door-lopen. Hier volgen er enkele:

De Griekse periode met zijn strenge, deductieve bewijsvoering. De stagnatie van de wiskunde in het avondland gedurende de vroege Middeleeuwen, hoewel juist in het Westen veel origineel werk uit het Arabisch in het Latijn werd vertaald.

De Late Middeleeuwen en de Renaissance, waarin de algebra (inclusief de notatie d.m. v. letters) en de leer van de perspectiviteit opbloeiden.

De 17e eeuw met als hoogtepunt de differentiaal- en integraalrekening, de analytische meetkunde en de kansrekening, maar ook met de logaritmen en de opkomst van de projectieve meetkunde uit de wiskundige behandeling van de leer van de perspectiviteit; in deze eeuw vormde de hemelmechanica een grote bron van inspiratie, de methoden kan men omschrijven als 'heuristisch'.

De 18e eeuw die de ontwikkeling laat zien van de analyse uit de differentiaal- en integraalrekening; veel inspiratie haalt men dan uit de natuur- en scheikunde .

... Zie literatuur nrs. I, 6, 8, 13, 19,20,22, 27, 29, 34 en 35.

In de daarop volgende

1ge

eeuw

trok een veelheid van nieuwe gebieden de aandacht: groepentheorie, functietheorie, getallentheorie, niet-euclidische meet-kunde, meerdimensionale meetmeet-kunde, intuïtieve verzamelingenleer; axiomatische methoden komen op (e - ö), men bezint zich op het verleden, maar vindt - ook met strengere methoden - oude resultaten bevestigd.

Onze 20e

eeuw

tenslotte zet in met abstractie, generalisatie en uniformisatie. De toepassingsgebieden breiden zich snel uit, de vraag naar de maatschappelijke relevantie van de wiskunde dringt zich naar voren.

b. Bestand en ontwikkeling van wiskundige theorieën.

*

Hiermee is zeker niet bedoeld een dorre opsomming van het bestand van wiskun-dige theorieën, hoewel men ook dan al zou kunnen opmerken dat het niet alleen gaat om een

aangroeiing

van de hoeveelheid stellingen, maar vooral om een

sub-stitutie

door dieper inzicht.

In zijn voortreffelijke boek Ferrnat's Last Theorem, a genetic introduction to Algebraic Number Theory propageert H.M. Edwards de genetische methode en

plaatst die tegenover de historischet .

De genetische methode is daarbij die welke de stellingen verklaart in termen van hun ontwikkelingen. Hij zegt daarbij: in de

historische

methode is geen plaats voor gedetailleerde beschrijvingen van de theorie, tenzij onmisbaar voor het begrijpen van de gebeurtenissen. In de

genetische

methode is geen plaats voor de bestu-dering van de gebeurtenissen tenzij van belang voor het begrip van het onderwerp. Mijns inziens zou er plaats voor beide moeten zijn, vooral ook indien men daarbij tevens aandacht zou schenken aan mislukte pogingen en bovenal aan de redenen waarom men bepaalde vragen stelde.

Wat het eerste betreft noem ik een uitspraak van N.G. de Bruijn in het voorwoord van zijn boek

Asymptotic Methods in Analysis,

waar hij zich verzet tegen een kant-en-klare presentatie van de stof, maar daarbij verzucht: 'a mathematican cannot possibly publish his waste-paper basket'. Wat het tweede betreft: het is boeiend te zien hoe een bepaald probleem bij nadere bestudering anders gefor-muleerd moest worden en tenslotte een geheel ander karakter bleek te bezitten. Men zou kunnen zeggen: het graven naar de schat (de oplossing) maakt de akker vruchtbaar.

Gelukkig verschijnen er tegenwoordig steeds meer boeken die de theorie op deze wijze in historisch perspectief aanbieden.

• Zie literatuur nrs. 12, 17,18 en 24.

Van deze verandering in de probleemstelling worden hier enkele voorbeelden gegeven.

i. Het oplossen van hogere-machtsvergelijkingen.

*

Sinds de Babyloniërs kon men reeds een tweede-graadsvergelijking oplossen. Omstreeks 1500 na Chr. losten Scipio del Ferro (1465-1526), Tartaglia

(1499-]557), Cardano (1501-1576) en Ferrari (1522-1561) derde-graadsvergelijkingen op, de laatste slaagde er zelfs in de wortels van een vierde-graadsvergelijking te bepalen. Dan komt men een hele tijd niet verder totdat Galais (1811-1832) in het begin van de 1ge eeuw, voortbouwend op het werk van Lagrange (1736-1813) de algemene vraag beantwoordt welke vergelijkingen wel en welke niet oplosbaar zijn

'd.m.v. wortelvormen'. Hij kon dit doen door het probleem vanuit een geheel nieuw gezichtspunt te bezien, n1. dat van de permutatiegroepen.

In de twintigste eeuw wordt het probleem in de school van Hilbert (1862-1943) nog weer geheel anders gezien, nl. als het veel algemenere probleem van de automorfismengroep van een lichaam. Het is dan Artin (1898-1962) die de zgn. hoofdstelling van de Galoistheorie op een geheel nieuwe manier bewijst en wel met behulp van de groepenkarakters en de representatietheorie, waarbij de oor-spronkelijke vergelijking zelfs geen rol meer speelt! Men heeft hier een zeer duidelijk voorbeeld van een theorie die vanuit het stadium waarin de vraag naar de berekening van bepaalde grootheden centraal stond, via een proces van abstractie ontwikkelde tot een gegeneraliseerde, unificerende theorie. Deze stadia konden slechts bereikt worden door een verandering in de vraagstelling, d.W.z. door een herformulering van het probleem, waartoe men geleid werd doordat men een vertrouwde situatie eens geheel anders is gaan bezien. Uit dit proces wordt nu een klein detail gelicht ter illustratie.

We gaan daarbij uit van de vierkantsvergelijking: x2+ax+b

=

O.

Voor de wortels geldt:

Xl + X2

=

-a

en Xl - X2

=

..[D, waarbij D

=

a2 - 4b.

Lagrange nu zag in de uitdrukkingen Xl + X2 en Xl - X2 als essentieel verschil dat de eerste invariant is onder alle permutaties van Xl en X2, terwijl de tweede niet al deze permutaties toelaat, maar slechts invariant is onder een deelgroep van deze permutaties (i.c. slechts de identiteit) en onder de twee permutaties van Xl en X2 twee waarden aanneemt die voldoen aan een tweede-graadsvergelijking met als

coëfficienten Xl + X2 en de coëfficienten van de gegeven vergelijking, immers stelt men Xl -X2

=

v, dan geldt:

v2

=

(Xl

+

x2)2 - 4b.

Uit deze binomiaalvergelijking is v eenvoudig te berekenen. Tenslotte zijn dan Xl en X2 te berekenen uit de twee lineaire vergelijkingen Xl + X2

=

-a en Xl - X2

=

v. Op analoge wijze kan men dan de derde-graadsvergelijking x3 + px + q

=

0 behandelen. Hier is de vorm Xl + X2 + X3 invariant onder de permutaties van de symmetrische groep

S3.

Indien men onder (J) een wortel verstaat van de

vergelijking

t2

+ t + 1

=

0, dan blijkt de vorm (Xl + {J)X2 + {J)2X3)3 onder de permutaties van

SJ

twee verschillende waarden aan te nemen nl.

(Xl + lin2 + aflx3)3 en

(Xl

+

m2x2

+

COX3)3.

Deze blijken dan te voldoen aan de tweede-graadsvergelijking 3

y2

+qy-S

_=0.

Met behulp van de wortels YI en Y2 van deze laatste vergelijking vindt men dan, bij passende keuze van ~ en ~, de waarden van XI. X2 en X3 uit de drie lineaire

vergelijkingen:

Xl

+

X2

+

X3

=

0

Xl + lin2 + m2x3

=:vn

Xl + aflX2 + {J)X3 =~.

Op analoge wijze behandelde Lagrange de vierde-graadsvergelijking; tevergeefs waren uiteraard zijn inspanningen om zo ook de vijfde-graadsvergelijking aan te pakken! Voor het inzicht daarin was het genie van Galois nodig, maar in feite had Lagrange de kern geraakt, immers de situatie bij de vierkantsvergelijking laat zich aldus karakteriseren:

Xl + X2 is invariant onder

Sz;

Xl - X2 is invariant onder de normaaldeler {e} van

Sz,

terwijl de factorgroep Sz/{~} cyclisch is en dat is nu juist de situatie waarover de hoofdstelling van de Galoistheorie een uitspraak doet!

ii. Het vermoeden van Fermat en de theorie van de algebraïsche getallen

[12, 32,33].

Het vermoeden van Fermat (1601-1665) is wel bekend. Gevraagd wordt alle drietallen (x, y, z) gehele getallen (x, y, z '" 0) te bepalen die voldoen aan de vergelijking x!' + y"

=

zn (n E IN, n ~ 3).

1

-Fennat deelt in de marge van zijn exemplaar van Diophantus' Arithmetica mede dat hij een bewijs heeft van de onmogelijkheid van de oplossing van dit vraagstuk, maar dat de marge te klein is om dit bewijs te omvatten. Sindsdien hebben vele wiskundigen gepoogd dit 'vermoeden' van Fermat, ook wel 'Fermat's laatste stelling' genoemd, te bewijzen. Het ligt daarbij voor de hand dit probleem aan te vatten op de wijze waarop men ook alle Pythagoreïsche tripels bepaalt, d.w.z. alle drietallen gehele getallen (x, y, z) die voldoen aan de vergelijking x2

₊

_y2

₌

_z2. Men kan dit laatste doen door het linkerlid te ontbinden in de ring 7L [i] van de complexe gehele getallen van Gauss, aldus:

(x + iy)(x - iy) = z2.

Men verifieert dan eenvoudig dat de beide factoren in het linkerlid geen gemeenschappelijke factor in Z [i] hebben. Het rechterlid is echter een kwadraat en dus in Z [i] op eenduidige wijze te ontbinden in het produkt van een aantal priemfactoren aldus:

z2=~~

...

~.

Hierbij zijn de factoren Tri (i = I,2, ... ,t) complexe - niet noodzakelijk verschil-lende - priemfactoren, hetgeen impliceert dat elk der

1t7

óf deelbaar is op x

+

iy óf deelbaar is op x - iy, m.a.w. x + iy is het kwadraat van een complex getal, zeg a met a

=

a

+

bi (a,b EZ). Dan echter geldt:

x + iy

=

(a + bi)2

en dus x = dl -

b2

en y =

2ab,

waaruit volgt z = a2 ₊

_b2.

Omgekeerd is direct in te zien dat voor elke x, y, z van deze gedaante geldt: x2 ₊

y2

=

z2. Het essentiële van deze berekening is dat ieder complex getal van de gedaante m + ni (m, n E ,Z) op eenduidige wijze te ontbinden is in een produkt

van priemfactoren, d.w.Z. complexe getallen Tri met de eigenschap dat, indien Tri I af3 (a,

13

E

Z

[i]), ófwel voldaan is aan Tri I a ofwel aan Tri I

13.

Het ligt voor de hand op analoge wijze het probleem van Fermat aan te pakken en een van de eersten die deze gedachte - hem gesuggereerd door Liouville (1809-1882) - uitwerkte, was G. Lamé (1794-1879) in een verhandeling die hij op 1 maart 1847 aanbood aan de Académie des Sciences. Hij kon zich - hetgeen gemakkelijk is in te zien - beperken tot het geval van een priemgetal p (p ~ 3) als exponent.

Met behulp van de p-de-machtseenheidswortel

a= e2m

/p (die dus voldoet aan de vergelijking ,xp-l +,xp-2 + ... + x2 + X + 1

=

0) ontbindt hij het linkerlid van de vergelijking van Fermat, waardoor dit overgaat in:

Hiervan uitgaande 'bewijst' hij dan de onmogelijkheid van de oplosbaarheid van de vergelijking van Fermat, afgezien van de triviale oplossingen, maar hij maakt daarbij de kardinale fout dat hij onderstelt dat in de ring van de getallen van de gedaante ao

+

a I a

+ ... +

ap-l (xp-I (ai E .z) een eenduidige ontbinding in priemfactoren mogelijk is. Dit manco wordt direct gesignaleerd door Liouville: ' ... il faudra d'abord chercher pour les nouveaux nombres complexes un théorème analogue à la proposition élémentaire pour les nombres entiers ordinaires qu'un produit ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière'.

Kummer (1810-1893) wist al dat dit in het algemeen niet mogelijk is. Het onder-zoek naar de voorwaarden waaronder een eenduidige ontbinding in priemfactoren al dan niet mogelijk is, komt dan centraal te staan. De eerste generalisatie is van Dedekind (1831-1916) die algemenere soorten complexe getallen invoert, en wel de zgn. algebraïsche getallen, d.w.z. getallen die voldoen aan een vergelijking van degedaante a"xn

+

all_lx"-l

+ ... +

a2,X2

+

alx

=

0 (ai E .z).

Hierop ga ik niet verder in, dit zou een apart hoofdstuk vergen, maar ik vermeld slechts dat Dedekind de vraagstelling verder verlegde: naast algebraïsche getallen beschouwde hij ook speciale verzamelingen van algebraïsche getallen, de zgn. idealen. Voor deze verzamelingen deftnieerde hij een produkt en bewees daarvoor een eenduidige ontbinding in priem-ideaalfactoren.

Wij hebben hier weer een duidelijk voorbeeld van een vraagstuk - door Gauss (1777-1855) bestempeld als een geïsoleerd probleem waarvoor hij weinig belang-stelling had - waarvan de bestudering uitgroeide - met een regelmatig verleggen van de probleemstelling - tot een algemene theorie i.c. die van de algebraïsche getallen, die weer uitloopt in de commutatieve algebra. Overigens zij opgemerkt dat de oplossing van het 'vermoeden' van Fermat in zijn algemeenheid lang op zich heeft laten wachten. Hier vermeld ik slechts dat het vermoeden in ieder geval is bewezen voor alle p < 125000. Op 10 maart 1988 verscheen er een bericht in de dagbladen dat een Japanner, Yoichi Myaoka, werkzaam aan het Max-Planck-instituut in Bonn met behulp van een krachtige computer het vermoeden van Fermat bewezen zou hebben. Bij het ter perse gaan van dit boek was een gefundeerd oordeel over dit bewijs nog niet bekend. Voor historische informatie kan men terecht in het interessante boek van P. Ribenboim: 13 Lectures on Fennat' s Last Theorem. [32]

iii. Een magnifiek voorbeeld van een voortdurende verlegging in de probleem-stelling vindt men in het boek Proofs and refutations van Imre lakatos [23]. Hierin wordt in een gefingeerde klas o.a. de stelling van Euler over regelmatige veelvlakken besproken en de door de 'leerlingen' aangevoerde argumenten zijn alle

ontleend

aan

de mathematische literatuur!

Tenslotte zij opgemerkt dat niet alleen een voortdurende evolutie van een probleem of theorie plaats had. Er zijn ook gevallen bekend waarin een theorie decennia lang klaar lag voordat men hem ging toepassen. Ik noem u de complexe getallen, reeds ontdekt door Caspar Wessel (1745-1818) en de Boole'se algebra, door G. Boole reeds in 1854 opgesteld in zijn An Investigation of the laws of thougth en eerst goed toegepast door Shannon in zijn schakelalgebra van 1936.

c. Het kan ook boeiend zijn niet alleen de ontwikkeling van één bepaalde theorie na te gaan, maar ook de ontwikkeling te volgen van algemene trends in belangstelling en methode - en ook de oorzaken daarvan [1, 3, 6, 10, 35]. Men zou dan de volgende tegenstellingen (en ook wel combinaties) kunnen waarnemen: streng-heuristisch; abstract--concreet; continu-discontinu; meetkundig-algebraïsch; numeriek-niet numeriek. Als voorbeelden van studies op dit gebied noem ik E.T. Bell, Development of Mathematics, N. Bourbaki, Eléments

d' histoire des Mathématiques en de kleinere studies van A.F. Monna, L' Algébrisation de la MathémaJique en Evolution des problèmes d' existence dans

l' analyse.

d. Daarnaast vraagt ook het detail de aandacht: hoe heeft één bepaald begrip, zeg het getalbegrip, het limietbegrip, het begrip functie, integraal, afgeleide etc. zich ontwikkeld? [2,4,5,7, 11].

e. Bij dit alles kan samenwerking op taalkundig gebied met deskundigen op het gebied van klassieke en oosterse talen (het Chinees niet uitgezonderd) interessant, nuttig en noodzakelijk zijn. Er zijn reeds veel vertalingen voorhanden, maar verificatie daarvan en het ontsluiten van nog niet vertaalde teksten is en blijft noodzakelijk [36].

f. Tenslotte mag als interessant gebied dat van de notaties [7] niet onvermeld blijven. Laplace merkt op dat goed gekozen notaties de kiem van nieuwe vondsten kunnen zijn:

' ... ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs'.

Het is ook bekend dat gebrek aan goede notaties blokkerend kan werken en ook inderdaad heeft gewerkt. Op dit gebied noem ik u het met ongelooflijke energie samengestelde werk van F. Cajori, A Histroy of Mathematical Notations waaraan afbeelding 1 ontleend is, die een overzicht geeft van een aantal symbolen samengesteld en gedeeltelijk ook ontworpen door Richard Rawlinson uit Oxford (circa 1660). Wist u overigens dat ons '='-teken afkomstig van R. Recorde

Afbeelding 1.

(1510-1558) voor het eerst in druk verscheen in 1618 en het eerst in het begin van de achttiende eeuw won van de vele concurrenten. Johan de Witt (1625-1672) gebruikt in zijn Elementa Curvarum Linearum nog het teken':lO' dat geïntrodu-ceerd was door Descartes (1596--1650) (zie afbeelding 2).

Afbeelding 2.

ia , I • • ' , • C i _

==az-=-~;r: r. •

b

L J:X> .. 1 llve (pohro 4'l) } J:X> x.

11.

J:>:l~+', {ivc,po!ico,ut(upra,,:>:>x+t.

I Il.}:x>

~-(,

{jye J:O

x--(.

IV'J:O-~+c, {jvcJ:O-.~+,.

De wiskundigen

Niet alleen de wiskunde is interessant, ook de wiskundigen [2, 14, 26] zijn

boeiend. Men kan zich afvragen wie er zoal aan wiskunde deden, en ziet dan de diversiteit onder de mensen weerspiegeld in de wereld van de wiskundigen. Men treft er de tegenstelling oud-jong: Galois (1811-1832), Abel (1802-1829) stierven jong. Lothar Heffter (1862-1962) verzorgde in zijn honderdste levensjaar nog de tweede druk van zijn Begründungen zur Funktionentheorie. Er waren ook

veelzijdig 'opgeleide' erudiete geleerden tegenover autodidacten. d' Alembert (1717-1783) verzorgde met Diderot de hoofdredactie van de beroemde Encyclo-pédie ou dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers. Gauss

(1777-1855) aarzelde tussen de studie der klassieke talen en die van de wiskunde, maar toen hij op 30 maart 1796 nog geen 19 jaar oud, de constructie van de regelmatige 17-hoek ontdekte, koos hij toch maar wiskunde! Cauchy (1789-1857) schreef een verhandeling over de Hebreeuwse poëzie. Wellicht dankte hij zijn veelzijdigheid aan het advies dat Lagrange gaf aan de vader van Cauchy om hem tot zijn 17e jaar geen wiskundeboek te geven, daar hij anders uitsluitend wiskunde zou bedrijven. Bekend is ook de levensloop van Grassmann (1809-1877) die, teleurgesteld over de slechte ontvangst die zijn Ausdehnungslehre in 1844 ten deel

viel, zich geheel wijdde aan de taalwetenschap. Beroemd is zijn vertaling van de Rig-Veda uit het Sanskrit. Nog steeds wordt zijn Sanskrit Wörterbuch zum Rig-Veda gebruikt en iedere linguïst kent de 'wet van Grassmann' over de

verschuiving van de aspiratie (thriks-trikhos) even goed als iedere mathematicus de uitwisselingsstelling van Grassmann-Steinitz uit de lineaire algebra kent.

Anderzijds zijn er ook voorbeelden van autodidacten. Jacob Steiner (1796-1863): opgegroeid als veehoeder kon hij op zijn 1ge jaar nog nauwelijks lezen en schrijven. Eenmaal hoogleraar in Berlijk refereerde hij - niet zonder enig sarcasme - aan dit deel van zijn verleden dat hem, zoals hij zei, in staat stelde 'Das Rindvieh auf die weiteste Distanz zu erkennen'. Ramanuyan (1887-1920) maakte zich de wiskunde op eigen kracht meester in het geïsoleerde milieu van Brits Indië, totdat contacten met Hardy hem uit dit isolement verlosten. Talrijk zijn de anekdoten over deze, speciaal op het gebied van de getallentheorie zo begaafde mathematicus. Abel stierf in kommervolle omstandigheden. Kronecker (1823-1891) onderbrak gedurende acht jaren zijn wetenschappelijke activiteiten om het vermogen dat een oom hem had nagelaten te beheren.

De revolutionaire Galois figureert in de geschiedenis van de wiskunde naast getrouwe staatsdienaren als Leibniz (1646-1716) en Johan de Witt (1625-1672). Aan deze laatste danken wij het eerste leerboek over de analytische meetkunde, de

)OHANNIS DE WITT

ELEMENTA

CURVARUM

LINEARUM.

Edita

Opert.

F

A ANC I S C I

à

S

c

~ OOT

a

N,

in

Acadcmia Lugduno - Bauva Mathc{cos

Profdforis.

A )J S

r z

t }6 D A Itl I.

Apud Ludovicum

&

Daniclem

Elzevirios)

cIo loc

J.J%.

Nico/aus

raadsheer in Bazel

1623-1700

Jakob I

~Ja=---

Johann I prof. in Bazel sclVlder prof. in Groningen & Bazel

1654-1705 1662-1716 1667-1748

I

I

_________

I _______

Nico/aus Nicolaus I Nioolaus 11 Daniell Johann 11 schl1der prof. in Padua & Brussel prof. in Bern prof. in Bazel prof. in Bazel

1687-1769 1687-1759 1695-1726 1701-1784 1710-1790

Johann 111

~anl

i

el ~

Jakob 11

sterrenwacht prof. in Bazel Academie

Berllijn 1754-1834 Petersburg

1744-1807

I

1759-1789 Cristoph prof. in Halle Bazel 1782-1863 Afbeelding 4.

Naast het grote aantal 'enkelingen' is er ook een uitgebreide familie van wiskundigen, die van de Bemoulli's (zie afbeelding 4).

Ook vrouwen deden aan wiskunde. Hun aantal is gering, hun weg was vaak zwaar. Ik noem u er enkele [28].

Hypatia van Alexandrië (ca. 400 na Chr.) schreef een leerboek der astronomie, behandelde eerste- en tweede-graadsvergelijkingen en kegelsneden, werd door een woedende menigte vermoord wegens ketterij.

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) uit Milaan - de oudste van 21 kinderen-voltooide in 1748 een leerboek van de analyse, het eerste sinds dat van De l'Höpital (1696). Later gaf zij de wiskunde op om zich als non geheel aan de verzorging van zieken en armen te wijden. Bekend is zij vooral door de 'Versiera' , de grafiek van de kromme x2_{y = 4a}2_{(2a - y) (zie afbeelding 5). Neemt u a =}

i,

1

dan herkent u y = 1 +x2 .

y

Sophie Germain (1776-1831) uit Parijs correspondeerde onder het pseudoniem 'Monsieur Le Blanc' met Gauss. Zij verwierf grote faam door haar onderzoek op het gebied van de getallentheorie, o.a. door haar werk op het gebied van het 'vermoeden van Fermat'.

Mary Fairfax Sommerville (178~1872) uit Schotland werd o.a. bekend door haar vertaling in het Engels van de Mécanique Céleste van Laplace, welke vertaling ook veel waardevolle bijdragen van haar hand bevat. Naar haar noemde de ontdekkingsreiziger Parry een eiland, zij het dan ook een eiland in de Poolzee. De Russische Sonya Kowalewskaya (1850-1891) baande zich tegen veel weerstand in een weg naar de wiskunde en slaagde daarin mede dankzij de steun van Weierstrass en Mittag-Leffler. Grote vermaardheid verwierf zij door haar bekroonde antwoord op een prijsvraag over de rotatie van een star lichaam om een punt. Boeiend beschrijft zij haar leven in een autobiografie [21].

Van de mathematicae van deze eeuw noem ik slechts Emmy Noether (1882-1935), dochter van de Erlanger wiskunde-hoogleraar Max Noether. Zij kan worden beschouwd als één van hen die de grondslag hebben gelegd van de 'moderne' algebra. Ook zij ondervond veel tegenstand, o.a. bij het verkrijgen van een professoraat in Göttingen, weliswaar niet op grond van gebrek aan kwaliteit, maar op grond van haar vrouw-zijn. Bekend is de uitspraak van Hilbert waarmee hij de bezwaren van zij collegae afdeed: 'Meine Herren, der Senat ist keine Badeanstalt' [31]. Gevlucht voor de Naziterreur, stierf zij in Amerika

in

1935.

In dit verband - nl. vrouwen in de wiskunde - noem ik u nog een artikel dat verscheen in de Am. Math. Monthly (87, 10) en als titel draagt Increasing the Participation ofWomen in Fields tha! use Mathematics.

Het spreekt vanzelf dat véél wiskundigen ook véél fouten maken.

Deze fouten kan men verschillend beoordelen. Wij zagen reeds dat zij aanleiding kunnen geven tot nieuw en zeer vruchtbaar onderzoek. Newton (1642-1727)

dacht daar minder optimistisch over toen hij zei: 'In rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi ' •. In dit verband noem ik u het curieuze boek van Maurice Lecat Erreurs de Mathématiciens des origines à nos jours, verschenen in 1935 [25]. Dit boek vermeldt bijna 500 fouten van ongeveer 300 - grotendeels zeer vermaarde - wiskundigen. Zelfs Cauchy, Euclides, Gauss, Lagrange en Newton ontbreken niet!

Tenslotte nog een enkel woord over de boeiende - want menselijke - soms amu-sante, soms tragische, petite histoire. Hiervoor zou ik willen verwijzen naar de vele (auto-)biografieën en werken als Men of Mathematics van Bell [2].

De wisselwerking wiskunde-maatschappij

Over de wisselwerking wiskunde-maatschappij is reeds veel materiaal

beschik-baar, zodat mijn enkele opmerkingen dit onderwerp geen recht kunnen doen wedervaren [15]. Toch waag ik een ruwe schets: de behoeften van de praktijk waren in de oudheid aanleiding de wiskunde te entameren, een axiomatische bezinning volgde in de Griekse Oudheid eerst later. De pragmatische instelling van de Romeinen vroeg eerder om aandacht voor het recht en de codificatie daarvan dan om mathematische studies. In de westerse wereld van de Middeleeuwen liet de preoccupatie met theologie weinig ruimte voor wiskunde-beoefening.

De reislust en de rijkdom van de Italiaanse kooplieden in de Renaissance voerden hen over een groot deel van de toen bekende wereld: naast de rekenkunde en de algebra die zij al nodig hadden voor hun boekhouding, behoefden zij hulp bij navigatie en cartografie. Maar ook noopten opdrachten aan kunstschilders tot een nauwkeurige bestudering van de perspectief; later zou hieruit de projectieve meetkunde ontstaan. Ook stelde hun rijkdom hen in staat waardevolle hand-schriften te verwerven in het Oosten om daarmee de Westerse bibliotheken te verrijken, hetgeen de propagatie van de Arabische en Griekse wiskunde in hoge mate bevorderde.

Het is wellicht overbodig erop te wijzen hoezeer de Tweede Wereldoorlog het karakter van de wiskunde-beoefening heeft gewijzigd.

In de Am. Math. Monthly (87, 8), getiteld The mathematical sciences and World War II trof ik een opmerking aan over de wiskunde-beoefening gedurende de dertiger jaren: 'You turned 10 applied mathematics if you found the going too hard in pure mathematics '.

'Thans moet vaak een theoretische beschouwing gerechtvaardigd worden door de verzekering dat er ook een praktische toepassing van is! De noden van de Tweede Wereldoorlog ontsloten nieuwe gebieden en gaven een enorme uitbreiding aan reeds bestaande onderzoeksvelden. Ik denk hierbij o.a. aan Operations Research, numerieke wiskunde, statistiek en waarschijnlijkheidsrekening.

In de bijgevoegde tabel (afbeelding 6), ontleend aan Behnke's Enzyklopaedie der Elementarmathematik ziet men iets van het bovenstaande weerspiegeld, zoals de

koof tussen circa 400 en 1400, alsook het exponentieel stijgen van het aantal wiskundigen. Zal dit laatst zo doorgaan? In de toekomst zullen de materiële middelen aan deze groei grenzen stellen. Er zullen dan keuzen gemaakt moeten worden, keuzen waarbij maatschappelijke overwegingen een grote rol zullen spelen!

i

_~ CJQ ?' Th.i •• 6247 ·5467 I

I I I

Pvth.gor •• 5801 -500 Zonon 4907 ·4307

Hlppokr.ta. von Chlos um 440

Pl.ton 4287 ·3467

I

I

Eudo.o. 4087 ·3667 Arlltotel •• 384·322 Euklld 3667 ·3007 Archlmed.' 2877 ·212 Appolonlo1262'1·19007 Heron um 100 n.Chr. Ptol.mlla, 857 ·1651 Olophantol um 250 n.Chr. POppOl um 320 n.Chr. Alhwor.zml ·8401 Alblrun1973·1048 Reglamant.nuI1436--1476 Cop.rnlcu.1473-1543 Cord.no 1601·1676 Vlot. 1640-1630 G.III.11664-1642 Kopl.r 1571·1630 O'IC,n" 1596-1650 F.rm.t 1601·1665 P .... 11623·1662 Huygen.1629·1695 Gregory 1638·1675 Newton 1643-1727 L.lbnlz 1646·1716 aernoulll. Jakob 1654·1706 Slrnoulll. Johann 1667·1748 eernouili. o.nl.1 1700-1782 Eulor 1707·1783 Lapl.co 1749-1827 L.gondr.1762·1833 Fourler 1768·1830 Gau .. 1777-1866 C.uchy 1789-1857 LObatIChofskll 1793-1856 Stolnor 1796-1863 A bol 1802-1 829 Boly.11802-1860 Jacobi 1804-1861 Dlrlchlot 1860-1859 Granmann 1809-1877 G.lol. 1811-1832 W.I."tr.n 1811).1897 T.ch.by.choff lB21-1B94 C.yloy 1821-1895 Rlomonn 1826-1B66 Cr.mon. 1830· 1 903 LI.1842·1899 PI'eh 1843-1930 C.ntor 1845-1918 Kloln 1849-1926 Palneer' 1854-1912 Moor. 1862- 1 932 H 11 ba" 1 862- 1 943

De verspreiding van de kennis van de wiskunde

De verspreiding van de kennis van de wiskunde had tot circa 1550 na Chr. in hoofdzaak plaats via mondelinge overdracht tussen personen onderling of in kleine groepjes, eventueel via slechts moeizaam te kopiëren handschriften. Het gezag van de meester was daarbij groot: men denke aan de spreekwoordelijk geworden zegswijze onder de leerlingen van Pythagoras:

mhocr Ë<pa

(hij, d.w.z. de meester, heeft het zelf gezegd).

Tegen de zeventiende eeuw werden boeken - hoewel nog slechts in geringe oplaag voorhanden - meer gemeengoed. Een belangrijke rol was voorbehouden aan de correspondentie tussen - al dan niet bevriende - vakgenoten. Vaak bevatten deze brieven mededelingen in geheimtaal of in de vorm van een anagram om prioriteit te kunnen opeisen. Daarbij was de Franse geestelijke Marin Mersenne (1588-1648) een centrale figuur. In zijn Parijse klooster ontving hij talrijke geleerden en vandaar uit voerde hij correspondentie met vakgenoten over geheel Europa. Men noemt hem wel de 'secretaris-generaal van geleerd Europa'. John Collins (1625-1683) in Londen, vervulde een soortgelijke functie in Engeland en werd dan ook wel de Engelse Mersenne genoemd.

Weer later werd een belangrijke rol gespeeld door de genootschappen en Academies, die in hoofdzaak - en in hoge mate - bijdroegen door de publikatie van tijdschriften en steun aan hun leden die, vaak vrijgesteld van onderwijs, in de gelegenheid gesteld werden zich geheel aan hun vak te wijden.

Ik noem u er enkele met hun stichtingsdatum:

Accademia dei Lincei, Rome (1603); Royal Society, Londen (1662). In 1686 gaf deze onder voorzitterschap van Samuel Pepys de Principia van Newton uit (zie afbeelding 7). Académie Royale des Sciences, Parijs (1666); Berliner Akademie (1700), met als eerste president Leibniz.

In deze tijden ging er op dit gebied nog weinig invloed uit van de universiteiten, waar die studierichtingen prevaleerden die hun afgestudeerden een redelijke kans op een maatschappelijke functie konden bieden: theologie, rechten, medicijnen. De cultuurhistoricus Huizinga noemt deze de 'broodrichtingen'. Eerst later kreeg men speicale opleidingsinstituten, zoals het Franse instituut dat in hoofdzaak tot stand kwam door de inspanningen van Gaspard Monge (1746-1818) en dat vanaf 1795 bekend staat onder de naam 'Ecole Polytechnique'.

Wat leert ons de geschiedenis van de wiskunde?

Wellicht vooral dit: de ontwikkeling van de afzonderlijke theorieën verliep niet altijd zo rechtlijnig als de leerboeken vaak suggereren. Het ging via een weg van zoeken en tasten, met vallen en opstaan. Ook de wiskunde als geheel heeft

PHILOSOPHIlE

NAT UR A LIS

P

RIN C

I

PI

A

MA THE MA TICA·

Au,,,,,, 1 S. NEWTON.

1, ...

c.u. C..,..h. 5«. M.,hcfcoa P,ofdforc LN-ft-. 3< Socicra,is R<g'1is Sod.Ji.

I MP RI MA TUR· s. PEP Y S. Jt,~. 5«. P R. IE S E S.

1.lii ! .• 686.

L 0 N DIN I.

JutTu soórt.stil Rtc:'~ Je Typis JIJ/cpb; Slrt~It~. ProCbt apud

plurcs Bii.liopobs. Am," MDCLXXXVII.

Afbeelding 7.

perioden gekend van bloei, verval en zelfs stilstand. Ik citeer u een gedeelte uit een brief van d'Alembert aan Lagrange uit het jaar 1781:

'11 me semble que la mine (d.w.z. die van de wiskunde) est presque trop profonde et qu'à moins qu'on ne découvre de nouveaux filons, il faudra tot ou tard l'abandonner; il n'est pas impossibie que les places de géométrie dans les académies ne deviennent ce que sont aujourd'hui les chaires d'Arabe dans les Universités' .

Dit alles weerspiegelt zich in het - mathematische -leven van de individuele beoe-fenaar van de wiskunde. Ook dat verloopt wisselend en k.;'nt hoogtepunten en dieptepunten, teleurstelling en succes. Intuïtie behoort de richting aan te geven, maar voor het verwerven van diep inzicht zal er stevig gewerkt moeten worden. Dit vooral is de les van de geschiedenis. Dit heeft men moeten leren, dit moeten wij leren, dit zullen onze studenten moeten leren. Het is immers 'JlaOr]J.WTI101 'f exvrJ' (mathèmatikè technè).

Aan het einde van dit hoofdstuk zou ik nog één opmerking willen maken. Wij spraken over de geschiedenis van de wiskunde en moesten ons dus veel en vaak met het verleden bezighouden. Toch vond ik op mijn speurtocht door het verleden iets voor de toekomst en daarmee wil ik eindigen.

HIERONYMI CAR

DANI, PRJESTANTISSIMI MATHE

MAT I C I, P H I X. 0

rop

H I, A C MBD 1 C

i,

AR

TIS

MAGNiE,

SIVE DE REGVLIS ALGEBRI\ICIS,

.

Lib. unus. Q.ui & totius opcris de Arirhrnctica, quod

OPVS PERFECTVM

infaipût.dtin

ordinc Dcdmur.

H

Abes in hocIibro,flndiofe Lcdor,R.eguras Afgrbtakas (ftali, dela Cot

fa uocant) nouls adinumtiorubus .acdcmonfiratforubus ah Authore ita 10Cllpleta.tas,ut pro pauculis a.nrea uulgd tritis.lam reptuaginta

euaCèrint.Ne-CJJ foIum , uhi IInuS numerus aIceri,aut duo uni,uerum etiam,uhiduo duobus. auc tres uni çqualcs titcrint;nodum explicanc. Hunc afir Iihrum ideo fcor~

firn ede re placuit,ttr hoc abfuufifsirno, & plant! inexhaufro totius Arithmeti

c~ chefauro in ]uccmeruto, & quaft in thcatro quodam omnibus ad (pedan dum expou ro. Lcdorcs incitarêrur ,ut rtliquos Opcriç Perfedi Jtbros, qui per

Tornos edenrur,tanto auidiw ampledanrur,ac minorc: fafudio pcrdifcan.c.

Het is het titelblad van de Ars Magna van Cardano uit 1545, het beroemde leerboek van de algebra, en daarvan het randschrift (afbeelding 8)

EIl: TO <l>EPTEPON TIeEI TO MEAAON OTI rENm:ETAI

Vertaald:

Houd de toekomst voor het betere, wat er ook gebeuren zal.

Bibliografie

1. D. Albers, G. Alexanderson, Mathematical People, Birkhäuser, Boston, 1985.

2. E.T. Bell, The development of mathematics, 2nd edition, McGraw-Hill, New York, 1945. 3. E.T. Bell, Men of mathematics, Pelican Books A 276, 277, Penguin Books,

Harmondsworth, 1953.

4. N. Bourbaki, Eléments d' histoire des mathématiques, Hermann, Paris, 1963.

5. C.B. Boyer, History of ana.lytic geometry, Scripta Mathematica, New Vork, 1956. 6. C.B. Boyer, The kistory ofthe calculus, Dover, New Vork, 1959.

7. C.B. Boyer, A history ofmathematics, Wiley, New York-London-Sydney, 1968. 8. D.M. Burton, The History of Mathematics, Allynand Bacon, Boston, 1985.

9. F. Cajori, A history ofmathematical notations, 3rd edition, Open Court, Chicago, 1952. 10. M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Verlag, Leipzig, 1907-1908. 11. J.L. Coolidge, The mathematics of great amateurs, Clarendon Press, Oxford, 1949. 12. J. Dieudonne e.a., Abrégé d' histoire des mathématiques 1700-1900, Hermanne, Paris, 1978.

13. C.H. Edwards jr., The historical development ofthe calculus, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin,1979.

14. H.M. Edwards, F ermat' s last theorem, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1977.

15. L. Garding, Encounter with mathematics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1977.

16. C.C. Gillespie (ed.), Dictionary of scientific biography, Seribner, New York, 1970-1978. 17. E. Glas, Wiskunde en samenleving in historisch perspectief, Dick Coutinho, Muiderberg,

1981.

18. Thomas Hoath, A History of Greek Mathematics, Oxford, 1965.

19. B.M. Kieman, The development ofGalois theory from Lagrange to Artin, Arch. for History of Ex. Sciences 8 (1971-72), 40-154.

20. F. Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, herdruk, Springer-Verlag, New York-Heidelbe:rg-Berlin, 1967.

21. F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. lahrhundert, Reprint der Erstauflage Berlin 1926 und 1927, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1979. 22. M. Kline, Mathematics in western culture, Oxford University Press, New Vork, 1953. 23. M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press,

New York, 1972.

24. S. Kowalewskaya, A Russian childhood, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1978.

25. G. Kropp, Vorlesungen über Geschichte der Mathernatik, Hochschultaschenbuch 413/413a, Mannheim, 1969.

26. I. Lakatos, Prools and refutations, C.U.P., 1976.

27. F. Ie Lionnais, Les grands courants de la pensée mathématique, Cahiers du Sud, Marseille,

1948.

28. M. Lecat, Erreurs de mathématiciens des origines à nos jours, Brussel, 1935.

29. H. Meschkowski, Mathematiker Lexicon, Hochsehultasehenbueh 414f414a, Mannheim. 30. R.E. Moritz, On mathematics, Dover, New York, 1958.

31. L. Osen, Women in mathematics, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1974.

32. M. Otte, Mathematiker über Mathematik, Springer-Verlag, Heidelberg-Berlin, 1974. 33. W.M. Priestley, Calculus: an historica/ approach, Springer-Verlag, New

York-Heidelberg-Berlin, 1979.

34. C. Reid, Hilbert, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1970.

35. P. Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's last theorem, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1979.

36. W. Seharlau und H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1979.

37. L.A. Steen, Twelve inlormal lectures on mathematics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1979.

38. DJ. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, uitgebreide heruitgave, Socialistiese Uitgeverij, Amsterdam, 1980.

39. I. Thomas, Greek mathematica/ texts, Loeb, London, 1957.

40. B.L. van der Waerden, Ontwakende wetenschap, Noordhoff, Groningen, 1950.

41. B.L. van der Waerden, Die Galois-Theorie von Heinrich Weber bis Emil Artin, Areh. for History of Ex. Scienees 9 (1972), 240-248.

42. G. Verriest, Evariste Ga/ois et la théorie des équations algébriques, Gauthier-Villars, Paris, 1934.

Het omgaan met getallen in de Oudheid

1. In deze bijdrage gaan we terug naar het begin van het omgaan met getallen in onze cultuur en dat betekent dat we terechtkomen bij de bakermat van onze beschaving: Griekenland, het oude Hellas en wel in de periode van Pythagoras en zijn school, circa 540 voor Christus.

Volgens Aristoteles was Pythagoras degene die de Wiskunde uit Egypte impor-teerde in Europa. We vinden immers bij Aristoteles [1] de volgende passage:

'Zo ontstonden de wiskundige wetenschappen in Egypte, omdat daar aan de priesters vrije tijd vergund was. '

Pythagoras zou deze kennis in Europa hebben geïmporteerd, waarbij hij ook veel inbracht van wat hij van de Babyloniërs geleerd had.

2. Over Pythagoras zelf is weinig bekend. In de eerste plaats zijn er geen ge-schriften van zijn hand overgeleverd. Dit hangt o.m. samen met het feit dat in die tijd kennis in hoofdzaak mondeling werd overgedragen. (Vergelijk daarmee ook de gedichten van Homerus die eerst eeuwen na hun ontstaan werden gecodicifeerd en waarvan de vorm overduidelijke sporen van deze mondelinge traditie draagt.) Ook zal de plicht tot geheimhouding hierbij een rol gespeeld hebben.

In dit verband is zeer interessant te vermelden het wantrouwen tegen het geschre-ven woord - ten gunste van het gesproken woord - dat wij nog vinden bij Plato [2]. Daar vinden we een dialoog tussen de Egyptische god Thot, de uitvinder van het schrift en koning Thamos van Egypte, aan wie een oordeel was gevraagd over deze goddelijke uitvinding. Dit oordeel liegt er niet om:

'U hebt als vader van de letters uit voorliefde het tegengestelde beweerd van wat het effect is. Want deze uitvinding zal bij de leerling eerder vergeetachtigheid bewerkstelligen, daar hij zijn geheugen verwaarloost, omdat dit - in vertrouwen op het schrift - de dingen zich zal herinneren van buitenaf en niet van binnenuit. '

Vertoont dit bezwaar geen analogie met het door velen geopperde bezwaar tegen het gebruik van rekenmachines en computers in onze dagen?

Er zijn echter wel levensbeschrijvingen van Pythagoras uit de Oudheid overge-bleven: die van Diogenes Laertius (3e eeuw na Chr.), Porphyrius (234 -

±

305) en lamblichus

(±

250 -

±

330). Ook zijn er fragmenten van werken van zijn leerlingen als Alcmaeon (± 500 voor Chr.), Philolaus (± 450 voor Chr.) en Archytas (± 375 voor Chr.). Opvallend is daarbij dat Aristoteles steeds de naam Pythagoras vermijdt en het uitsluitend heeft over Pythagoreërs.

Voor de Pytbagoreïsche wiskunde hebben we een belangrijke bron in de 'Ele-menten' van Euclides (± 300 voor Chr.). Voor de getallentheorie - die ons hier in het bijzonder bezighoudt - zijn met name van belang de boeken 7, 8 en 9. In dit als systematisch leerboek opgezette werk komen geen namen van auteurs voor, maar door reconstructie heeft men kunnen vaststellen dat veel van de vermelde resultaten afkomstig zijn uit de school van Pythagoras.

Bij de getallentheorie gaat hij uit van 22 definities en leidt daaruit een groot aantal stellingen af: o.a. een uitvoerige theorie van het evene en het onevene, van de vol-maakte getallen en niet te vergeten de 'Euclidische algoritme' ter bepaling van de g.g.d. van twee getallen.

Ter illustratie enkele deftnities [3].

'Eenheid is dat op grond waarvan elk van de dingen op zichzelf één genoemd wordt.'

'Een getal is een verzameling van eenheden.'

'Een even getal is een getal dat in twee gelijke delen verdeeld kan worden.'

'Een oneven getal kan niet in twee gelijke delen verdeeld worden.' Of ook: 'Een oneven getal verschilt een eenheid van een even getal.'

Bij het afleiden van de stellingen doet Euclides een regelmatig beroep op de axioma's uit het eerste boek [4].

Als verdere bronnen voor de kennis van de Pythagoreïsche wiskunde noemen we nog de eerder vermelde lamblichus, Nicomachus van Gerasa (± 140 na Chr.) en Proclus van Alexandrië (410 - 485).

3. Bij velen is Pythagoras bekend als wiskundige, in eerste instantie zelfs als meetkundige vanwege de 'Stelling van Pythagoras', waarmee menigeen in zijn jeugd geconfronteerd wordt, een stelling overigens die niet aan Pythagoras kan worden toegeschreven. Wel was deze stelling bekend in de school van Pythago-ras, hoewel daar niet bewezen. Een bewijs ervan vindt men in het eerste boek van de Elementen van Euclides, de oorsprong van deze stelling moet men echter zoeken bij de Babyloniërs (waar hij al 1200 jaren eerder bekend was), zoals zoveel van wat 'Pythagoreïsch' genoemd wordt eigenlijk van Babylonische oorsprong is. De voornaamste betekenis ontleent Pythagoras echter aan het leiderschap van zijn school, een aan Apollo gewijde godsdienstige gemeenschap in Croton (Zuid-Italië), die zijn grote bloei beleefde circa 530 voor Chr. De leerlingen - aan wie een zwijgplicht naar buiten was opgelegd - bestonden uit twee soorten:

1. 'akousmatici', die zich voornamelijk interesseerden voor leefregels (o.a. verbod van het eten van vlees, in verband met de leer van de zielsverhuizing en een verbod op het eten van bonen) en

2. 'mathematici' die zich richtten op de wetenschap, i.h.b. opde wiskunde. Bij allen genoot Pythagoras een bijzondere waardering en verering. Talloos zijn de legenden over zijn bijna bovenmenselijke gaven en de andere verhalen die over hem in omloop gebracht zijn. Zo weet Herodotus [5] te vertellen dat Pythagoras drie dagen (!) in het dodenrijk verbleef en daarna in het leven terugkeerde.

4. Voor de Pythagoreërs was het getal - d.w.z. het natuurlijke getal - het wezen van de dingen. Zeer duidelijk vindt men dit verwoord in een fragment, toegeschreven aan de Pythagoreër Philolaus (± 450 voor Chr.) [6]:

'Inderdaad heeft alles wat men kan kennen een getal, want het is niet mogelijk iets te begrijpen ofte kennen zonder het getal.'

Ook een fragment van Chrysogonos (± 500 voor Chr.) [7] spreekt duidelijke taal:

'Wij leven door getal en berekening, deze immers redden de stervelingen.'

Tot dit inzicht zouden zij gekomen zijn o.a. door het waarnemen van de beweging van de hemellichamen, de observatie van de sterrenbeelden en door intensieve bestudering van de muziek, waarbij zij het verband tussen snaar lengte en toonhoogte opmerkten.

Zo ontdekten zij in de kosmos een wetmatigheid, een harmonie die beheerst werd door gehele getallen of verhoudingen daarvan. Om een voorbeeld te noemen: een rechte hoek werd gekarakteriseerd door een Phytagoreïsch tripel als (3,4, 5) of (5, 12, 13). Het getal zelf kreeg daardoor een goddelijke betekenis, ja werd zelfs geïdentificeerd met de goden omdat het getal los stond van de materie. Ook het beoefenen van de getallentheorie kreeg iets van een goddelijke opdracht en moest in de beoefenaar een zekere 'katharsis', een reiniging, teweegbrengen.

Deze zienswijze op het getal voerde hen zowel tot de getallenmystiek alsook tot de ontdekking van enkele fundamentele stellingen op het gebied van de rekenkunde. Aan beide zullen we hier enige aandacht schenken.

5. Voor een goed begrip zowel van de getallenmystiek als van de getallenleer dient men te weten dat de Pythagoreërs de getallen voorstelden door middel van figuren gevormd met steentjes (Grieks: psèphos = steentje, vandaar: psèphos-arithmetiek). Daarvoor zijn verschillende aanwijzingen, directe alsook indirecte. Zo schrijft Aristoteles [8]:

' ... daarbij steentjes gebruikend, zoals diegenen die getallen gestalte geven in de vorm van de driehoek en het vierkant.'

Een overgebleven fragment van Epicharmos (± 500 voor Chr.) [9] zegt:

'Wanneer iemand aan een oneven getal of, zo gij wilt, een even getal een steentje toevoegt of er een wegneemt, denkt U dan dat dit getal hetzelfde blijft?'

Bedoeld is daarmee dat de pariteit (d.i. het even of oneven zijn) verandert. In dit licht kan men ook de uitspraak van lamblichus [10] zien als hij zegt:

'De grondslag van het getal is

de

eenheid (monade), die geen plaats heeft.'

Hiennee is bedoeld dat men de eerste steen van het getallenbeeld op willekeurige plaats kan neerleggen. Ook de definitie van een eenheid als 'stip zonder plaats',

bevestigt dit.

Er zijn echter ook indirecte aanwijzingen en wel van taalkundige aard, zoals de termen: vierkante getallen, langwerpige getallen, gelijkvormige getallen (bijv. 2 x 3 en 4 x 6, algemener: getallen die te brengen zijn in de gedaante ab, respec-tievelijk cd, waarbij a : b

=

c : á), driehoeksgetallen, vijfhoeksgetallen en - zeer sprekend - rechtlijnige getallen voor priemgetallen. Daarmee kan men immers geen rechthoek leggen!

6. Bij manipulaties met getallen speelde het begrip 'gnomon' een belangrijke rol. De oorspronkelijke betekenis van dit woord is: 'zonnewijzer' en vandaar 'winkel-haak'. Het was in oorsprong een van hout vervaardigde 'rechte hoek' , die verticaal opgesteld, de mogelijkheid gaf de hoogte van de zon te meten. Daarna kreeg het betekenis voor de getallenleer en wel betekende het de in de rechte hoek geplaatste rij steentjes om een reeds bestaande rechthoek (afbeelding 2) aan te vullen. Later verviel de eis van de rechte hoek en werd het de aanvulling van een willekeurige configuratie (afbeelding 3). Hier is de 'band' ABCD de gnomon.

• •

• • •

• •

•

• •

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

D Afbeelding 2. Afbeelding 3.

Zoals gezegd was de eenheid, de monade, de grondslag, de bouwsteen van het getal en daardoor juist zelf geen getal, zoals een punt geen lijn is en een lijn ook geen vlak is.

Uitgaande van de eenheid legde men daaromheen gnomons bestaande uit een oneven aantal steentjes (afbeelding 4). Zo ontstonden aldoor nieuwe getallen die klaarblijkelijk kwadraten waren en direct duidelijk is (in onze notatie)

1+3+S+7+9=SxS

of, algemeen:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

=

n2.

Kort en bondig gezegd: de som van de eerste n oneven getallen is juist n2•

Hieraan komt een fundamenteel beginsel te pas: wanneer men een verzameling op twee verschillende manieren telt (en dat goed doet!) zijn de uitkomsten aan elkaar gelijk en heeft men een stelling verkregen. Ook in andere richting gelezen is deze stelling van belang: elk kwadraat is de som van opvolgende oneven getallen. Nu bewezen de Pythagoreërs deze stelling niet expliciet; daaraan hadden zij ook geen behoefte, zij zagen de juistheid daarvan in. Zou men daarentegen deze stelling ronder meer aan iemand voorleggen als oefening voor een bewijs d.m.v. volledige inductie, dan kan men deze stelling wel bewijzen, maar daarmee heeft men deze nog niet begrepen!

Met behulp van twee monaden vormde men dan de dyade (onze 2), die veelal ook niet als getal werd aangemerkt. Uitgaande daarvan bouwde men d.m.v. gnomons, bestaande uit even aantallen steentjes, rechthoeken, d.w.z. rechthoekige getallen (afbeelding 5) en ook hier wordt door tweemaal tellen een stelling duidelijk:

2 + 4 + 6 + 8 + 10

=

5 x 6. Algemeen: 2 + 4 + 6 + ... + 2n

=

n(n + 1).

•

•

•

•

•

•

• • •

• •

•

• •

• •

_{• • • • • •}

• •

•

•

•

• •

•

• •

•

~

•

•

•

~

_•

•

•

:-1.

_{• • •}

_{• • I •}

_{• • •}

Afbeelding 4. Afbeelding 5.

Kort en bondig gezegd: de som van de eerste n even getallen is juist n(n

+

1). Men kan uit afbeelding 5 nog een andere stelling afleiden door nu eens niet via gnomons te tellen, maar d.m.v. lijnen evenwijdig aan de in afbeelding 6 getekende diagonaal. Nu is direct duidelijk:

(1 + 2 + 3 + 4) + (4 + 3 + 2 + 1)

=

4 x 5. Algemeen:

~ ₅

•

i

•

•

•

•

•

•

~

•

•

4

~

~

•

• •

Afbeelding 6.

.""'-

.

•

•

•

n(n + 1) 1+2+3 ... +n=

2

7. Configuraties zoals die van afbeelding 4 en afbeelding 5 brachten de fantasie van de Pythagoreërs in beweging en voor een deel kunnen wij hen daarin volgen, voor een deel ook niet. Zo werd het oneven getal, waarmee de vierkanten zijn

opgebouwd, het symbool van het vierkant natuurlijk, maar ook van het zichzelf

gelijkblijvende, de rust dus, van de bepaaldheid, de eenheid en - omdat zij deze als ideaal zagen - ook het symbool van het goede, het licht, het rechte, en - typische voor de oudheid - ook van rechts. Rechts immers had bij de Ouden een goede

klank. Bij het voorspellen van de toekomst uit de vlucht van de vogels door de augures, betekende een vogel die van rechts kwam voorspoed en geluk. Het Latijnse woord voor links is identiek met dat voor ongunstig: 'sinister'.

Tenslotte moet het hoge woord eruit: in deze rij van positieve kwalificaties paste bij de Pythagoreërs ook het predicaat: mannelijk!

Met het even getal was het juist het tegengestelde: de opvolgende rechthoeken zijn niet gelijkvormig, veranderen dus. Vandaar dat het evene, dat langwerpige, niet

gelijkvormige, wisselende figuren voortbrengt, gerangschikt werd in één lijst met

beweging, de onbepaaldheid, de veelheid, het kwade, de duisternis, het kromme, links en - 0 tempora, 0 mores! - het vrouwelijke. De associatie van de Vrouw met het veranderlijke klinkt nog door bij de Ouden in de regel van Vergilius [11]:

oVarium et mutabile semper femina.'

De onzijdige vorm van de bijvoegelijke naamwoorden geeft ons extra te denken! Bij Aristoteles [12] vinden we deze lijst van tegenstellingen, maar in een andere volgorde: Bepaaldheid Oneven Eenheid Rechts Onbepaaldheid Even Veelheid Links

Mannelijk Rust Recht Licht Goed Vierkant Vrouwelijk Beweging Krom Duisternis Kwaad Langwerpig

Deze lijst van tegenstellingen past uitstekend in de dualistische filosofie van de Pythagoreërs. Dat het er juist 10 zijn is geen toeval. Het getal 10 was bij hen een bijzonder getal. Daarover strak meer.

Niet alleen met het evene en het onevene waren bepaalde associaties verbonden, maar ook met individuele getallen. Zo stond 2 voor de door 2 punten bepaalde rechte lijn en - begrijpelijKerwijze - 3 voor het door 3 punten bepaalde platte vlak. Het getal 4 had vele associaties en werd ook apart benoemd: 'tetractys'. Het stond voor de ruimte (afbeelding 7), maar ook voor de gerechtigheid: 2 x 2

=

4 (even maal even).

Afbeelding 7.

Er zijn vier seizoenen, 4 elementen: vuur, lucht, water, aarde. Ook deelde men het mensenleven in 4 perioden in: 20 jaar knaap, 20 jaar jongeman, 20 jaar volwassene, 20 jaar oude man. De som van de 4 grootheden, de eenheid en de eerste 3 getallen, leverden een wel zeer bijzonder getal op: 10, de grondslag van het talstelsel. Deze som werd gesymboliserd door een figuur als in afbeelding 8 .

•

• •

•

• •

•

•

•

•

Afbeelding 8.

Ook deze werd tetractys genoemd. Tot slot: 5 was het getal van het huwelijk als de som van het eerste mannelijke en het eerste vrouwelijke getal.

8. Wij zullen hier deze lijn van getallenmystiek niet verder vervolgen, maar enkele getallen-theoretische resultaten bespreken die d.m.v. de 'psèphos-arithmetiek' op bijzonder vernuftige, maar heldere, doorzichtige wijze kunnen worden afgeleid.

Om te beginnen denken we nog even door over de configuratie van afbeelding 4. We komen dan al spoedig op een eenvoudige, maar interessante toepassing van de psèphos-arithmetiek, nl. de bepaling van Pythagoreïsche tripels, d.w.z. drietallen natuurlijke getallen a, b, c met de eigenschap dat a2

_{+ b}

2 _{= c2. Het is direkt} duidelijk dat men zeker zulke tripels verkrijgt indien men de rij van opvolgende kwadraten opstelt, de verschillen bepaalt en nagaat welke van deze verschillen zelf weer kwadraten zijn. In de taal van de psèphos-arithmetiek: wanneer is het aantal steentjes in een gnomon met breedte 1 zelf een kwadraat? In zijn commentaar op de 'Elementen' van Euclides en wel op het daarin voorkomende bewijs van de 'Stelling van Pythagoras' (ELIA7), gaat Proclus nader in op het bepalen van Pythagoreïsche tripels en noemt daarbij twee methoden die hij toeschrijft aan respectievelijk Pythagoras en Plato. Het verschil tussen beide methoden is daarin gelegen dat het eerste geval uitgaat van een gnomon met breedte 1 en met een aantal steentjes daarin dat het kwadraat is van een (uiteraard) oneven getal. In de tweede situatie heeft de gnomon breedte 2 en dus een even aantal steentjes, maar ook dit is een kwadraat.

De manier waarop Proclus de methoden schetst is die van een recept. Een bewijs geeft hij niet, want - zegt hij - dat is zo duidelijk dat het overbodig is. De eerste situatie beschrijft hij als volgt: 'Neem 3, kwadrateer dat, trek 1 af van 9, neem de helft daarvan: 4. Tel daar 1 bij op, zo verkrijgt men 5.'

Uiteraard zien wij direct dat 32 _{+ 4}2

₌

_{52, maar dit recept wordt eerst doorzichtig}

wanneer men de configuratie van de 'uitdijende' vierkanten voor ogen heeft (afbeelding 4); immers laten we veronderstellen dat het aantal steentjes in de gnomon het kwadraat is van een oneven getal a en dat de gnomon breedte 1 heeft. Indien het voorafgaande vierkant

b2

steentjes bevat, dan bedraagt het aantal steen-tjes in de gnomon 2b

+

1 en dus geldt: 2b

+

1

=

a2, waaruit volgt: b

=

(a2 - 1)/2. Het gaat dus om het tripel

(a

2 _-

1

_a2 ₊

1)

2 '

a,

2

waarin a een willekeurig oneven natuurlijk getal is (afbeelding 9).

Het Platonische geval wordt door Proclus op analoge manier beschreven, maar bedenk dat nu de gnomon breedte 2 heeft. Hij geeft nu het volgende recept: neem bijvoorbeeld het getal 4, verhef de helft daarvan tot de tweede macht, en men verkrijgt 4. Trek daarvan 1 af, zo verkrijgt men 3, teIl erbij op, zo verkrijgt men 5 en men heeft dezelfde driehoek als bij de andere methode. Het gaat nu om een

~---• ~---• ~---•

•

•

•

•

• •

•

•

•

• •

•

• •

•

•

•

•

• •

•

•

• • • •

•

• • • •

•

• •

• • •

•

• •

• •

•

• •

•

•

Afbeelding 9. Afbeelding 10. tripel (4,3, 5).

Ook hier is de verklaring met gnomons eenvoudig: de gnomon heeft nu de breedte 2 en bevat, zeg (2ajl steentjes. Wanneer het voorafgaande vierkant nu b2 _steentjes bevat, dan is het aantal steentjes in de gnomon juist 4b

+

4, dus hebben we: 4b

+

4 = 4a2, zodat b = a2 - 1. Het gaat nu dus om het tripel (a2 - 1, 2a, a2 + 1) waarin a een willekeurig natuurlijk getal is (afbeelding 10).

Het ligt voor de hand deze methode te generaliseren door uit te gaan van een gnomon met willekeurige, grotere breedte, zeg m (m > 2). Het zal dan al spoedig blijken dat men m toch niet geheel willekeurig mag nemen, maar dat m de gedaante 2t2 moet hebben. Daartoe bekijken we de algemene vergelijking

x

2 + y2

=

z2,

waarvan we oplossingen zoeken met gehele getallen x, y, z. Om voor de hand

liggende redenen kunnen we ons beperken tot drietallen (x, y, z) waarvan elk paar

(x, y), (y, z), (z, x) onderling ondeelbaar is, de zgn. primitieve oplossing.

Aangezien het kwadraat van een even getal deelbaar is door 4 en dat van een oneven getal bij deling door 4 als rest 1 oplevert, ziet men eenvoudig in dat voor een oplossing (x, y, z) steeds geldt: x en z oneven en y even, of: y en z oneven en

x even. Wij nemen het geval x en zoneven, y even en veronderstellen dat in de

gnomon tussen x2 en z2 het aantal steentjes y2 bedraagt. Nu is y even, zeg y

=

2s.

Als nu de gnomon de breedte m heeft, dan geldt dus voor het aantal steentjes in de

gnomon:

2xm

+

m

2

₌

_4s2,

hetgeen impliceert dat m even is, bijvoorbeeld m = 2n. Hieruit volgt:

xn + n2

=

s2,

d.w.z. n (x

+

n)

=

s2 en daar n niet deelbaar kan zijn op x (N.B. x

+

2n

=

z en x en z zijn onderling ondeelbaar!), moet n een kwadraat zijn, bijvoorbeeld n

=

t2.

Dan geldt echter voor de breedte van de gnomon: m = 2t2. Hieruit volgt t2_{(x +}

_t2)

=

s2,

dus ook

x

+ t

2

is een kwadraat, zeg ,2 en wel zo dat

,2P

=

s2.

Zo vinden we

x=

,2-

t2

y=2rt z

=,2

+ t2

als meest algemene oplossing. Euclides zelf geeft deze oplossing ook in boek (X,28) als lemma, maar niet met behulp van gnomons.

9. Als tweede voorbeeld bespreken we we de berekening van de sommen van de opvolgende kwadraten, te beginnen met 1. Dit probleem - en algemener het sommeren van ne-machten (n = 1,2,3, ... ) van natuurlijke getallen heeft vanaf oude tijden grote belangstelling gehad, vooral in de tijd van de ontwikkeling van de integraalrekening (17 e eeuw). De eerste functies die geïntegreerd werden hadden namelijk de gedaante

f

(x) = xn (n = 1, 2, 3, ... ). Deze kwamen op natuurlijke wijze aan de orde bij de berekening van oppervlakten en inhouden en werden al spoedig gegeneraliseerd totf(x) = xl (t E Q).

Het sommeren van opvolgende kwadraten komt al voor bij Archimedes (287 - 212 voor Chr.) en wel in verband met de berekening van de oppervlakte van het vlaktedeel ingesloten door een boog van een spiraal en de afsluitende voerstraal. Hiervoor vond hij een formule die - in het geval van de spiraal met poolver-gelijking R

=

afp-voor het deel tussen qJ= 0 en qJ= 2n, voor de oppervlakte A zou geven: A = 1/3n (2na)2 (zie ook afbeelding 11, hier is dus de gestippelde oppervlakte 1/3 van dat van de cirkel C).

Afbeelding 11.

Aangezien hij niet beschikte over een symbolentaal, gaf hij zowel het bewijs als het resultaat geheel verbaal. Ter illustratie de formulering - in vertaling - van de door hem gebruikte hulpstelling over de som van opvolgende kwadraten [13]: