Regelmaat in de ruimte

.2i:::)#

0 S-OO

s-:229

C;

bi)

i.,)~

..

Regelmaat in de ruimte

Blbi i ol heek TU DeiH

111111111111

C 189891212

2478

600

6

or

·

Regelmaat in de ruimte

o "o

A. K.

van

0

der Vegt

, . . .

00'

Delftse Uitgevers Maatschappij

o'

CIP-gegevens Koninklijke. Bibliotheek, Den Haag Vegt, A.K. van der

Regelmaat in de ruimte / A.K. van der Vegt - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. -Ill., fig.

ISBN 90-6562-141-5 Trefw.: meetkunde.

©

VSSD

Eerste druk 1991 .

Delftse Uitgevers MaatSchappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegev~nsbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of

op enige wijZe, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,

opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights. reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, meçhaJiical, photo-copying, recording; or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

5

·

VoorwoQ'

rd

Dit boekje gaat over een heel oud onderwerp. Al eeuwen geleden waren er mensen die · door veelvlakken geboeid werden en een groot deel van hun tijd besteedden aan het opsporen· en analyseren van regelmatige structur~n. In· de terminologie van de veel~lakkenkom je dan ook nariien tegen als Archimedes, Pythagoras, Plato en Kepier.

Veelvlakken spelen vandaag de dag een rol in orid~r andere de kristallografie, de · beeldende kunst (Escher!), de bouwkunde en, vooral, inde 'polyedrofilie'. Met dit laatste bedoel ik het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), datzci'het nietkunÏlen laten om er mee te spelen, ze te analy-seren, ze te plakken of ze te bOe~eren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men · dit verschijnsel eigenlijk 'Polyedromanie' zou moeten noemen:

Met alle lezers die mijn enthousiasme delen, acht ik' me, en ook gelet op boven-genoemde, namen, in goed g~z~lsch~p. Tientallen jaren spelen met veelvlakken heeft . uiteindelijk tot dit boekje geleid. Ik hoop dat het lotgenoten zal stimuleren om hun · hobby nog intensiever te beoefenen.

Dit boekje pretendeert geen historisch-wetenschappelijke verhandeling te zijn. Litera~ , tuur wordt daarom, op

een

kort historisch overzicht na, niet pf nauwelijks ~èrmeld . .. Als

duidelijk~

uitzondering noem ik.echter speciaal

he~

prachtige boek van Wenninger: 'Polyhedron modeis', een unieke foto-verzameling van door de auteur zelf geplakte , modellen van eenvoudige tot uiterst ,gecompliceerde veelvlakken.

Tenslotte nog iets over dé figuren. Deze zij~ tot stand gekomen door een combinatie·

· van:

- . toepassing van' een beetje analytische meetIa.inde, om vàmlit de 'coördinaten der hoekpunteQ,die der zijvlakken te berekenen, eri voor de 'tweede soort', raakvlak-ken en hun snijlijnen. .

een serie eenvoudig te schrijven BASIC-programma 's,met als meest gecompli-ceerd onderdeel het bepalen van de zichtbare delen van ribben bij hogere-orde veel-,

vlakken,. ,

- . een Archimedes 310 als krachtig en zeer snel rekentuig,

~. een voor de Archiniedes geschreven tekenprogramma: 'Superdump', waarmee het printen met hoge resolutie mogelijk is.

Ieder die belangstelling heeft in meer details, is welkom voor ver<lere informatie.

/ "

VOORWOORD

, 1. INLEIDING

l.I. Waar gaat het over? 1.2. Een oud onderwerp J.3. Watzijnvèelvlakken? '

1.4. ' Veelhoeken 1.5. Veelvlakshoeken: 1.6. Veelvlakken

1.7.' Ribben, hoekpunten en zijvlakken,

2. VOLLEDlGEREGELMAA:r(Platonische lichamen) 2.l. Algemeen

2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (33 3)

, !

2.3. Zesvlak (kubus) ofhexaeder,R6 of {4,3} of(444) '2.4. , Achtvlak of oktaeder, R8 of {3,4} of (3333)

2.5. Twaalfvlak of dodekaeder,R12of {5,3} of (5 55) ' 2.6. Twintigvlakoficosa~der, R20 of {3,5l of(3'3 3 3 3)

'2.7. Geometrische constanten van de regelmatige veelvlakken 2.8. Topologische projecties

3. HALVE REGELMAAT (Archimedische of uniformè veelvlakken) ,

3.1. Algemeen 3.2. Analyse 3.3. Archimedische prisma's (44 n) 3.4. Archimedische (Ultiprisma's (33 3. n) , 3,5. De kubo-oktaeder (3 4 3 4) , 3.6. De afgeknotte tetraeder (3 6 6) , 3.8. De afgeknotte kubus (3 8 8) 3.9. De romben-kubo-okta'eder (3 444) 3.10. De grote romben-lQlbo-oktaeder (4 6 8) , 3.1l. De icosi-dodekaeder (3 5 35) 3.12. De afgeknotte icosaeder (5 6 6) , ' , 3.13. De afgeknotte dodekaeder (3 10 10) 3.14., Deromben-icosi-dodekaeder (3 454) " , 3.15. De grote romben,-icosi-dodekaeder (4 (10)

3.16. De stompe kubus (3 3 3 3-4) 3.17. De stompe dodekaeder (3 3 3 3 5) 3.18. Oppervlakken en inhouden' 3.19. Reeksen " '5 9 9 9 10 11 12 ' , 13 14 .16 ,16 18 19 20 ' I 22 25 26 28 30 30 30 32 33 / 34 ,34 ' 35 36 38 38 39 40 40, 41 42 44 45 , 47

8 Regelmaat in

de

ruimte

4. HALVE REGELMAAT OMGEKEERD

(uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1. Inleiding

4.2. Berekening van de vorm" der zijvlakken

4.3. Bereke~g der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken 4.5. Archimedische dubbelpiramides

4.6. Archimedische trapezoëders 4.7. De rombendodeJcaeder

4.8. Intermezzo: ruirntevullende viervlakken "

4.9. Tussen kubus en oktaeder 4.9. Tussen dodekaeder en icosaeder 4.10. Reeksen "

5. VOllEDIGE REGELMAAT MET STÉRREN (Poinsot-lich~en)

5.1. Inleiding 5.2. Analyse 5.3. De grote sterdodekaed«r 5.4. De kleme sterdodekaeder' 5.5. De grote ikosaeder 5.5. De grote dodekaeder 5.6. Negen platonische lichamen 6. HALVE REGELMAAT MET STERREN

(hogere orde uniforme veel~lakken, UH's)

" 6.1. Inleiding 6.2. Analyse

6.3. Stervorming van zijvlakken 6.4. Stervorming in hoekpunten 6.5. Afknotting van hoekpunten 6.6. Andere mogelijkheden 7 . MEER DAN DRIE DIMf;NSIES

7.1. Inleiding 7.2. De achtcel 7.3: De vijfcel 7.4. De zestiencel 7.5. Andere polytopen 7.6. Nog meer dimensies LITERATUUR

.

" ,-',1" -50 50 50 51 53 54 56 57 59 62 64 66 66

68

70 70 71 73 73 75 75 75 77

79

86

87

88

88

88

90

90

-91 " 93 94

• "",,!"" " ! I 1 1 I 5 ! ! ! " M IH

9

1

Inleidin

·

g

.

1.1. Waar

gaat het over?

.

. .

Vraag je aan iemand, een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen

of

als doos, maar ook in . vervormde gedaante, als re~hthoekig of séheefhoekig blok. Ook prisma's zijn bekend: staven met vlakJSe kanten (als er vier kanten zijn, z:itten we weer in de buurt van de .

kubus). Verder: piramiden, beroemd vanuit Egypte.

. .

.

. .

Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn.voor dit boekje van belang: alleen die · exemplaren die een duidelijke regelmaat yeI1cmen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/ofalle zijvlakken gelijk en/öf regelinatig Zijn. De ~lokken en de piramiden vallen . dan af, behalve als depiramide driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige

driehoeken bestaan.

Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het viervlak. Er blijken, zoals w~ al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het , ach,tvlak,het twaalfvlak en het twintigvlak. Dit, vijftal is al boeiend geilOeg om

uitvoerig te bekijken, elk op zichzelf en in hun onderlinge relaties.

Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden, bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regebpaat (we. komen

dan bij de half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele werelden gaan dan open,' die we .in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen.

Maar eerst een heel summier Overzicht over wat de mens in de afgélopen25.eeuwen over vee~vlakken te weten is gekomen.

1.2. Een

'

oud onderwerp

2500 j~ar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de'iQJbus, het viervlak en

· . . f . ' . . ~ .

· hettwaalfvlak. . . .. ' . . ' . . . .

Plato (roIid 350 voor Christus) kende ie alle vijf, inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld' in verband met de vijf elemèn~èn:

,10 Regelmaat in de ruimte

vuur, lucht; water, aarde en 'hemelmaterie'. Vandaàr de aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen'. Euklides (rond 300 voor Christus) 'beschreef ze nog eens' in meer detail.

, Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13 halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven.

Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (157r-1630) [1] met een samenvilttende beschrijving van de vijf Platonische ende dertien Archimedische lichamen. Va,n Kepler is ook de gedachte dat de vijf Platonische lichamen ver~and houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve de Aarde, in die tijd nog maar vijf , planeten bekend!). Kepler kwam bovendien op het idee d~t. ook pentagrammen (regelmatige vijfhoekige sterren) tot reg~lmatige' veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de' kleine en de grote sterdodekaeder.

Het duurde nog twee éeuwen voordat Poinsot (1777-1859) [2] deze serie van twee aanvulde tot ,de complete verzameling van vier gel:leel regelmatige ster-veelvlakken.

, '. .

,Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op steivorming gebaseerde halfregelmatige lichamen. Telkens worden et weer een paar' ontdekt', waarbij onder andere de namen, Pitsch [3], Brueckner [4] en Hess [5] geregeld voorkpmen (allen eind 1ge eeuw).

Coxeter [6] maakte een diepgaande mathematische analyse vàn de diverse veelvlakken en tevens van de uitbreiding naar högere diniensies.

. . ! .

Ten slotte: het fotoboek van Wenninger ~7] geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van een groot aantal' veelvlakken. Bó~éndien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de veelvlakken zelf te plakken. "

,

1.3. Wat zijn veelvlakken?

Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke ' veelhoeken, zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken

van veelvlakken zullen we dus e~rst de aandacht Otoeten 'richten 'op de zijvlakken. Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De zijvlakkeri zijn veelhoeken, de hoekp\lllten vonnen veelvlakshoeken; elk van deze is gekarakteriseerd door:, al

daO

niet regelmatigheid, aantal ribben etc. Om iets van veelvlakken te begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten bezien.

' Inleiding 11

1.4.

Veelhoeken

, Een veellioek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten (de zijden) AIA2; A2A3, A3A4,' ... , An':'IAn, AnAt. die opvolgende paren Van n puntèn Ah A2, ... , A~ (dehoekpuntelJ.) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig b:eschouwen we veelhoeken waarvan de zijden elkaar nièt snijden.

.

"

Een veellioek noemen we gelijkzijdig als alle zij~eQgelijkzjjnf-en.gelijkhoekig als 'de hoeken gelijk zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig ~ heten ze

~_ .

regelmatig. Dit is het geval bij de gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, (3), het

vierkant, (4) etc. •

Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig is de~echlhöek. Er zijn uiteraard oneindig veelreg~lmatige veelhoeken; we

,

....

. . . .

geven ze aan met {n}.

De

hoeken van {nI kunnen gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom ,der hoeken (n - 2)·180°, 9US per hoekpunt180°·(n":' 2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6J;

{8} en {10} wordt dit respectievelijk 600,90°, 108°,120°,135° en 144°.

Elke {n} heeft- een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en rj, staan in de volgende relaties tot elkaar en tOt de ribbe I :

. 1800 " 180°,

1 = 2ro sm - -_n = 2rj tan - -_n Het oppervlak vàn {nI is:

n 180° n " '3600 '

0=-·Z2·cotg - - = - ·~·sm - - ' " .

' 4 , n 2 0 _n

Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervl~ van de OIngeschreven cirkel, 1t.~.

1\.-1

Ai

12 Regelmaat in de ruimte

---.:. .

'1

1.5. Veelvlakshoeke

';>

Veelvlakshoeken worden gevonnd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een punt 0 snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak dat 'niet door

b

gaat, een veelhoek vonnt (BIB2 ... Bm). _{. .} De lijnen OBI, OB2, ... , OBm zijn de ri be de veelvlakshoek~ de vlakdelen die door deze

{ ~ ribben begrensd worden, zijn e ij den. Het is duidelijk dat het aantal ribbçn zowel als het aantal zijden gelijk aan m is. \ , . . . .

De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormti wordt (bijvoorbeeld B2 O. BI), terwijl onder de hoeken. van een

. veelvlakshoek de standhoeken, dat wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval is is de veelvlakshoek regelmatig. Een voorbeeld:van een regel~

matige viervlakshoek is de top van een ~eg~lma~ge v,ierzijdige piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is.

o

/-/.//

"

B3

Figuur 7.2, Veelvlakshoek. Figuur 7,3, Standhoek ..

. Als van een drievlakshoek de zijden a, ~ en

'Y

zij~ dan is de ho~k (standhoek) tussen

de vl~en met zijden aen ~ gegeven door (zie figuur 1.3):

cos

'Y -

cos a·cos ~

cos <p

sin a·sin ~ (1.1)

Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen.

Voor een m-vlakshöek met m > 3 is uiteraard niet zo'n algemene relatie aan te geven, omdat de m-vlakshoek niet alleen door de grootte der zijden is vastgelegd (analoog met de n-hoek voor n > 3). Voor regelmatigem-vlalçshoeken wordt de standhoek tussen

Inleiding . 13

cos

a.

~ p (1 .. 2)

cos <p =.

cos

a.

+ 1

waarin.p

=

1 + 2'cos(360o/m), dus p

=

0, 1,

(",[5

+ 1)/2 en

2.

voor m;" 3,4,5 en6.

respectievelijk.

1.6. Veelvlakken

Een veelvlak is een lichaam, begrensd do<;>r een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee aansluiten langs gemeenschappelijke zijden

(rib~n),en

waarvan

dri~

of meer samenkomen in gemeenschappelijke

hoekpunten.

c1?)x>k bij veelvlakken ,kunnen we Spreken vangelijkzïm eict (alle zijvlakken gelijk) en

rz.

~lijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in, de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van deze, twee eigenschappen niet. vold,oende, om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoide, die ontstaan gedacht kari worden door in een onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de hoekpunten 'om te klappen' tot een viervlak (zie figuur 1.4).

Figuur 1.4. Disphenoide.

f.J)

,

Wil een veelvlak regelinatig zijn dan is bovendien nodig dat

de

ziMakken re elmatige

veelhoeken zi 'n; de veelvlakshoekèn zijn dan eveneens

regelmatig

~

Deze

~egelmatige

veelvlakken worden aangeduid als Platonische veelvItikken, waarvan e~, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in hoofdstuk 2 worden behandeld.

Behalve deze PI~tonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals de

ha!fre8elmatige

of

uniforme

of

Archimedischeveelvlakken,

waar-, van twee soorten kunnen worden onderscheiden:

- de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk

(~erste soort)"

14 Rege/maat in de ruimte

zijvlakken zijn gelijk (tweede soort).

Op deze twee soorten veelvlakken komen we uitvoerig terug in de hoofdstukken 3 en

4.

Ten slotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de·vijfpuntige ster),en daarmee ook een nieuwe serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks half-regelmatige of uniforme veelvlakken. Deze komen in de hoofdstukken 5 toten met 7 . aap bod.

1.7. Ribben, hoekpunten en zijvlakken

Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een algemene relatie tu§sen de aantallen hoekpunten'H, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Z()'n relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de'mogèlijkheden om een veelvlak op te bouwen.

Er is een stelling van Euler, luidend: H

+

Z

=

R

+

2, die bijvoort>eeid voor een kubus gemakkelijk te verifiëren is: H = 8 ; Z =,6 ; R == 12. De stelling kan, op diverse manieren bewezen worden. Een der bewijzen is als volgt:

Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we oris een plat vlak voor dat aanvankelijk geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt zodanig dat het eerste en het laatste contact opeen hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens iijn tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk 'passeert; dit is mogeliJK: omdat het vlak tijdens zijn beweging in willekeurige richtingen ., mag krommen zonder ruit dit uiteraard het resultaat beïnvloedt.

b

c

d .Jo ... B C

~

.

.

...

A

...

....

"

Inleiding 15

Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak; we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij onblloet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p- 1 zijvlakken (A, B en C): De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk ~H = 1, ~ == P - 1 .. ~R= p.Dus is H+ Z ~R niet vail waarde veranderd. Dit geldt voor îeder gepasseerd hoekpunt, bèhalve voor het eer~te en het laatste. Als het eerste hoekpunt een' m-vlakshoek is, is bij het p~sseren daarvan AH

=

1, llZ == m, LlR.= m. Bij hei· passeren van het laàtste hoekpunt is MI

=

1, !lZ

=

0 en LlR = O. Totaal bliJict dus te gelden: . .

\ '.

. . H+Z=R-t:2 . . ' , , . . . (1.3)

~\('

De

ste~ling v~Euier

geldt niet in deze

v~rm

voor alle

so~>rten ~eelvlakken. ~n ~rste

.

voorwaarde lS dat dat het veelvlak vanult een punt e.r brnnen m enkelvoudlg op een

.'

~

omliggende bol

g~projecteerd

kan worden, anders gezègd datmenhet als het ware op

~ kan blazen tot een enkelvoudig boloppervlak. Aan deze v_oorwaarde

iS

niet voldaan bij .de later te behandelen hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide, stelliflg van Euler tegenkomen.

Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet

he

i

gevat met een veelvlak bestaande uit

\

.

een kubus inet op een zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervooris gemakkelijk te verifiëren dat H + Z = R + 3 (16+11=24+~).

Dat eel) veelvlak IiÏet conv.ex is (ook standhoeken> 180°) doet er: voorde· stelling van Euler niet toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd.

' . -~

. 1

16

2

Volledige regelmaat

(Platonische lichamen

'

)

2.1. Algemeen

.

· Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlaks-· hoeken regelmatig en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormçn kunnen

hebben: (3), (4) of (5). (6} en hoger is niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Keruielijk moet de som van de hoeken die in een hoekpunt samenkomen kleiner dan 360° zijn.

Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe ze er uit zien moet nog uitgezocht worden.

Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoek-punten, Z zijvlakkèn en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samen-· komen, dan is het.aantal vlakke hoeken gelijk aan Z

x

n, inaar ook gelijk aan H x m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld, doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus:

Z··n=H·m=2·R (2.1)

· Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler:

Z+H=R+2 #

dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost. Het resultaat is

2·m

Z = -n-+-m---n-m-'/=2 _{H = n + m - nm/2} 2·n _{' R = n + m - nm/2} n·m (2.2) Uit deze relaties blijkt allereerst dat n + Xli ~ nm/2 positief moet zijn. Dit is niets anders dan de reeds genoemde vOOlwaarde dat de som der hoeken per hoekpunt niet groter mag zijn dan 360°. De som van de hoeken in een n-hoek: is namelijk (n .:....2)·180°, zodat de voorwaarde wordt: (m/n)·(n - 2)-180° < 360° of:

Volledige regelmaat 17

-m(n - 2) < 2n of n + m - nm/2 > 0

We voeren nu het be~ip 'hoektekort' in, dat is hoeveel de samenvoeging in een hoekpunt tekort komt om een plat vlak (of; op een bol, een boloppervlak) te vormen. Dit hoektekort bedraagt: '

3600

- 1800 x m(n - 2)/n =

720~

x Po

+

~

nm/2=

720

0

lH

, ,

Hieruit blijkt dat de som van de,hoektekorten voor alle hoekp~ten 7200 (41t) bedraagt (dit geldt overigens ook voor niet-:regelmatige veelvlakken). Met dit gegeven is het zeer gemakkelijk om het aantal hoekpunten (als deze gelijk zijn) uit het hoektekort

te

, berekenen. Voor een hoekpunt waar drie regelniatige vijfvlakken samenkomen is het

, , " , ' 3

tekort 3600

- 3 x 1080 = 360 dus H = 720/36 =20. Uit (2.1) volgt Z/H = mln ='5 dus

Z = 12 en, tevens, R =30. {3A) 3 4

~(,a

3.

€y

3 5 ... ~.v.'{4.3} 4 3 {5.3} 5 3

a

,6 20 12 6

a

12 20 12 30 12 -30 Ra , twintigvlak (icosaeder) R20 zesvlak (kubus) (hexaeder) R6 '

twaalfvlak (dodekaeder) R12 Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige

oi

Platonische veelvlakken. Figuur 2,1 geeft van elk een ,afbeelding,

ie

kunnen met verschillende notaties worden aangeduid,

, bijvoorbeeld als R4; R8'etc., doch ooknaar de in een hoekpunt samenkomende veel -hoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld worden beschreven als (3 333) en R12 als (5 5 5), of ook, in de ve~korte notatie als Iespectievelijk -(3,4) ,en (5,3 ).,Jo het vervolg van dit boek zullen deze verschillende notaties door elkaar gebruikt worden, om bij de later te ,

beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde) gemakkelijk aan te sluiten . _.

- . . ' . .

, Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het

g~d

om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, Hen R de verwisselbaarhei~ van de grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met, H

verwisselbaar ,is met de combinatie van m en :z>Dit is een uitvloeisel ván de algemene regel inde stereometrie dat men in elke wetmatj.gbeid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook ' direct uit de tabel: R6 en R8 ({ 4,3) en {3,4}} zijn als het ware elkaars pendant, evenals R12 en R20 ({5,3) en (3,5}),terwijl R4 of {3,3) bij dualê verwisseling in zichzelf overgaat.

18 Regelmaat in de ruimte

/

1\

,l , I : , I , , . . ,

'./

1

"

"

j

/ \ i \ / I \

.

~

I

'

r=r=\

~

~----'

V

Figuur 2.1. De vijf Platonische .veelvlakken.

\

Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat

\~ wil zeggen er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan ~ alle zijvlakken raakt

2.2. Viervlak of tetraeder ,

R4

of {3,3} of (3

3

3)

Het regelmatig viervlak, de tetraeder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakke-of lichaamsdi'agonalen ..

Uit formule (l.3) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met

a

=

f3

= y = = 60": cos<p = 1/3 en <p.= 70,53°. Hieruit blijkt dat m.et regelmatige viervlakken de

. ruimte niet vol te stapelen is, want dan zou op zijn minSt 360° /<p een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is.

Behalve als ~iramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoide, namelijk dOOf twee overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2): Uit deze opstelling is onmiddellijk te zien dat een doo~snede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand 'gelegen, een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant. Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakk~n uit karton te vervaardigen; als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot.het eenvoudigst mogelijke lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk

! " " ' , "" " " ' . . . . " '" "I! , PI!! 11' ' .. ' '. ",,'! .... ,," H 'II"IImll"Ilt"I1B"""'I tut 1 "111 UI '1"'''111'''''''''''''''''''''' 11111""""" !!1II"'''''''' IIIY

Volledige regelmaat 19

Figuur 2.2. Viervlak als prismoide .

. _. Viervlakken kuimen_. .op veei manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde _{. I} .' ruimtelijke lichamen; een der aardigste mogelijkhedenis om ze aaneen te rijgen tot een .

' /

buis; de bijna in elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuQf

2.3) /

Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken.

2.3. Zesvlak (kubus) of hexaeder;R6 of {4,3} of (4 4 4)

_,

De kubus is wel het bekendste regelmatige veelvlak, waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons gemakkelijke waarden van 90° hebben. Het is IJ9vendien ruimtevullend, met 8 kubussen samenkomend ineen hoekpunt. .

De

kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de lichaaiIlsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken: . . (figuur 2:4). Dè twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige

driehoeken, de doorsnede met een vlak op hiuve hoogte is een regelmatige zeshoek. Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze starid is

in

te zien dat er een'gat met . vierkante doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige. afmeting dat

door dat gat een even grote, en zelfs nog een iets .grotere kubus kan schuiven!

De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.

20 Regelmaat in de ruimte

Figuur 2.4. Kubus op punt.

Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken. blijkt dat er twee R4's in een R6 ingepast kunnen worden, waarvan de hoekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6 samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4's door<b"ingen elkaar gedeeltelijk en hebben als gemeenschappelijke ],cern de in R6 ingeschreven R8 (zie par.

2.4). De .twee tetraeders vormen de achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler

(figuur 2.6). ~--- --'.

_.

\"~, .... \ .. ":'-... I \ . . . ' \ . , \

,

\ \ " 1/ \.' 1/ . , \ ' I! , ,\',I! ,

'v·-Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus. Figuur 2.6. De Kepler-ster.

2.4. Achtvlak of

okt~eder,

R8 of {3,4} of (3 3 3 3)

Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige

vierzijdige piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn gelijkwaardig.

Volledige regelmaat 21

De oktaeder kan ook als prismoide beschouwd 'Worden, waarbij twee overstaande zijvlakken grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de _{, . ' . ,} doorsnede met een vlak halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige,

zeshoek.

,

-:~/-_ .. -.. --_

.

----..

---... ,!._ ... __ ... _-_ ... _ ....

--Figuur 2.7. De oktaeder als prismo(de.

, ,

Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangre~nde zijvlakken gegeven zijn door cos <p

=

-1/3, dus <p

=

.109,47°. HetbIljkt dus dat de standhoeken van tetraeder en oktaeder elkaars s~pplement zijn. De oktaeder in figuur 2.7 kan dus' gecompleteerd worden tot e'en parallelopiPedum door bovenop en aan de onderkant een tetraeder te plaatsen. Met een combinatie van oktaeders en tetraeders

kait

~en dus' door opstapelen de ruimte vullen, everiàls men 4it m,et kubussen kan doen~ De zo .verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef(Escher: 'Platwormen').

, ' .

In par. 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 enR8 al genoemd. Deze relatie komt 'O.a. hierin tot uiting, dat de middens van de zijvlakken van R8 de hóekpunten van een R6 vormen en omgekeerd (figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid·om een combinatie-~eelvlak

te

VOrmen, waàrbij de middens van R6 en

22 Regelmaat in de ruimte

R8 samenvallen en de ribben elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan

. danken de rhombendodekaeder en de kubo-oktaeder (zie hoofdstuk 3) hun ontstaan .

. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds gebleken in par 23: R8

kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8 .vlakken samenvallen met de

vlakken

Vall

R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R4.

2.5. Twaalfvlak of dodekaeder, R12 of {5,3} of (5 5 5)

De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we totdusver bij de andere

regelmatige veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst 'de 5-hoek zijn intree doet.

Van de 12 vijfhoeken waaruitR12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere

plaats toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee

groepen van vijf te verdelen, waarvan er een serie aan het ooven- en een aan het

ondervlak grenst. De scheidingslijn tusse~ de .twee series wordt door een niet-vlakke

lO-h~k gevonnd (figuur 2.10). " .

Figuur ,2, 10. De dodekaeder.

, _,

De dodekaeder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaeder

R20; deze verwantschap zal in par. 2.6 besproken worden. Echter ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele zelfs,

want wwel in als om de R12 past een kubus!

In figuur 2.11 is een kubus in een dodekaeder geplaatst; de hoekpunten van de kubus

~allen samen. met 8 van de 20 hoekpunten van dedodekaeder en de ribben van de kubus worden gevonnd door diagonalen van de zijvlakken van R12. Daar de 12

zijvlakken van R12 samen 60 diagonalen bezitten, is er op deze ' wijze 1/5 deel van de

diagonalen en 2/5 deel van de hoekpunten 'verbruikt'. Het is gemakkelijk in te zien dat

er totaal 5 kubussen in R12 op deze manier ondergebracht trunnen worden; elk

. Volledige regelmaat 23

24 Regelmaat in de .ruimte

Figuur 2.". R6 in R12. Figuur 2.12. R6 om R12.

kubussen vonnen samen een samengesteld regelmaug veelvlak: CcompOund'); het bestaat uit 30 vierkanten die elkaar op vrij ingewikkelde wijie snijden, doch die' aan het oppervlak een bijwnder fraai regelmatig patroon van stervormige figuren v~rmen.

Figuur 2.13: Vijf kubussen. passend in een dodekaeder.'

Ook rondom R12 kan op eenvoudige wijze een kubus geconstrueerd worden, zoals weergegeven in figUur 2.12. Zes van de 30 ribben van R12, dus 12 van de 20 hoekpunten, liggen daarbij in de zijvlakken van de kubus. De ribbe van de kubus, uitgedrukt in de ribbe van R12 als eenheid, is (3 + {5)/2; omgekeerd is de ribbe van R12 (3- {5)/2 maal die van R6. De 8 overblijvende hoekpunten qie niet in de _{. .}

I

;.

Volledige regelmaat 25

zijvlakken van R12 vallen,' vormen de hoekpunten van de bovengenoemde . ingeschreven kubus. Dit. alles maakt het bijzonder gemakkelijk om een projectie van R12 snel te construeren: uitgaande van een kubus met ripbe

=

1 tekent m~nde 6 ribben van R12 ter lengte (3 - ...[5)/2 en de hoekpunten van een gelijkstandige Ideinerekubus met ribbe ({5 ~

1)/2

.Het is duidelijk dat ook in dit geval niet sleChts een, doch een vijftal kubussen passen. Deze vijf vormen dezelfde penta-hexaeder als de' vijf die in·

. R12 passen. '

In par. 2.3 hebben we gezien dat de hoekpunten van de kubus samenvallen met de hoekpunten van twee ingeschreven viervlakken. Hieruit vc;>lgt dat in het twaalfvlak ook

. viervlakken kunnen worden ingebouwd. Hel blijkt dat we twee series van vijf ~îer­ vlakken kunnen vormen, die elkaars spiegelbeeld

v~rm~n

'

,doch

ook een tienvoudige . samenstelling (deka-tetraeder) lqumen maken die beide series bevat.

2.6. Twintigvlak of icosaedèr,R200f

{3~5}of

(33 3 3 3)

I .

{

De

eenvoudigste wijze waarop men zich een regelmatig

twinti~lak

kan voorstellen, is

.~. . doo.~ het opgeb.ouwd te denk<?n uit twee v~jfzijdige pir~ides met daartussen een

- , , : schijf, begrensd door een krans van 10 drlehoeken, afwlsselend met de punt naar _ beneden en naar boven (zie figuur 2.14). Op deze wijze past de icosaeder precies in eendodekaeder die op een van zijn zijvlakken als grondviak rust (zie figuur 2. 15).

oe

'

hoekpunten van de R20 vallen .in de middens der zijvlakken van de R12 (ze zijn mers elkaars duaal toegevoegden)

Figuur 2.14. De icosaeder R20. . Figuur 2.15 .. R20 În R12.

Er is echter ook een andere stand mogelijk die meer perspectieven biedt, namelijk door het licha~ aan de onder- en boverdijde niet door een hoeIq)unt maar door een ribbe te

laten begrenzen. Hetblijkt dan dat, behalve dit eerste ribbenpaar, nog een ander paar . in een verticaal vlak ligt, terwijl door een derde paar een horizontaal vlak te brengen is, met andere woorden: R20 past precies in een kubus! Dit is weergegeven

m

figuur 2.16. Zes van'de 30 ribben en alle 12 hoekpunten liggen in de zijvlakken van de' kubus, die een

ets -

i)/2 Irlaal zo grote ribbe heeft als de R20. Dit biedt een nog

26 Regelmaat in de ruimte

eenvoudiger constructiemogelijkheid als bij de R12: men hoeft alleen maar zes middenparalleien in de zijvlakken van de kubus te tekenen en daarop de juiste lengte af te zetten om allehoekptinten van de icosaeder te vinden.

: .: ~

....

.. : ....

Figuur 2.16. Icosaeder past in kubl,Js.

Een andere aardige consequentie is dat: men in de kubus de R20 als het ware kan laten groeien uit het achtvlak. We beginnen dan met de R8 door de middens van de zijvlakken van de (niet getekende) R6 te verbinden en laten deze zes hoekpunten uitgroeien tot lijnstukjes, zoals in figuur 2.17 weergegeven. De.12 ribben van R8 verbreden zich tot vlakken, die samen met de oorspronkelijke acht de 20 zijvlakken van de R20 gaan vorinen. Tijdens dit groeiproces krimpen de driehgeken die het oorspronkelijke achtvlak begrensden, en roteren tevens om hun as; de vlakken schuiven naar buiten doch blijven evenwijdi~ aan hun oorspronkelijke stand, loodrecht op de liéhaarnsdiagonaal van de kubus. Als de R20 uiteindelijk gevormd is, zijn deze acht vlakken nog steeds evenwijdig aan die van de oorspronkelijke R8, met andere woorden ze vormen nog steeds een R8, die de R20 omhult (zie de laatste figuur in figuur 2.17). Alle hoekpunten van de R20 liggen op de ribben VaJ.l de R8, 24 van de . 30 ribben liggen in de zijvlakken van R8, en 8 van de zijvlakken vallen samen met de

oktaedervlakken. De relatie is dus wel bijzonder nauw!

Het blijkt uit de figuur d~t een e~ hetzelfde zijvlak van R20 op twee verschillende manieren deel kan uitmaken van een zijvlak van R8; deze twee vertegenwoordigen 2 van de totaal 5 mogelijkheden waarop een R8 om te R20 aangebracht kan worden. De vÜr'oktleders vormen samen een penta-oktaeder. .

2.7. Geometrische constanten van de regelmatige

.

veelvlakken

.

We hebben in het voorgaande ~ezien dat de Platonische veelvlakken op diverse manieren in en om elkaar pasSen; gebruikmakend van de inpassingsmogelljkheden in

Volledige regelmaat 27

, Figuur 2, 17, Achtvlak, uitgroeiend tot twintigvlak,

de kubus kunnen de hoekpunten

van

de diverse regelmatige veelvlakken op ~er

eenvoudige wijze in _. rechthoekige _{. . :}coördinatep. (x_. ,y,z) worden ·uitgedrukt. Het middelpunt valt hierbij steeds samen met de oorsprong van het assenstelsel.

(X,y,Z) ribbe

R4 (1.1,1), (-1,-1>1), (1,-1 A), (-1 ,1.-1 ) 2-f2

R6 (:t1 ,±1 ,±1) 2

RS (:tl,O,Ol. (0,±1,01. (0,0,±1) -f2

R12 (±a,±~,±a), (±a2,O,];1), (O,±1 ,~a2),(±1 ,±a2,O) a 2'

R20 (±a,0,±11. (O,±1,±a), (±1,±a,oi a

"

. waarin a = ({5 -:-1)/2 e~ a2 =(3 - {5)/2

, '

Verder zijirvan belang de totale oppervlakken en de inhouden der lichamen. De eerste

kunnen niet behulp van eenvoudige planimetrie berekend' worden, 'de inhouden

kunnen bepaald worden dOOf het veelvlak te verdelen in een aantal piramiden, alle met

hun top in het middelpunt en met de ~ij~lakken als grondvlakken: De hoogte van zo'n

28 Regelmaat in de-ruimte

-berekenen met behulp van analytische geometrie als de afstand van de oorsprong tot

een vlak gaande door door drie der hoekpunten van een der zijvlakken. De straal van

-de omgeschreven bol, ro, is de afstand van de oorsprong tot een willekeurig hoekpunt.

Dit so~rt berekeniDgen leidt tot de volgende tabel, waarin de diverse grootheden zijn

uitgedrukt in de lengte van de ribbe als eenheid~ Tevens zijn de standhoeken <p tussen

de vlakken aangegeven. , H4 R6 R8 R12 R20 bol ro (--/6)/4- ({3)!3 -({2)/2 (-{3)(...[5 + 1)/4

(..J1o

+ 2...[5114 -ri_ (--/6)/12 -112 (-{e1l6 ({ïör../ 25 + 11...[5)/20 (-{3 (3 + ...[5)/12 rcJri 3 {3",1,732 {3

=

1,732 ...J 15-6,.[5

=

1,258 ...J 15-6{5

=

·1,258 1 opp. {3 6 2{3 (3{5)...J 5 +-2{5- 5{3 41t/3 inh. (...[2)/12 1 (...[2)/3 (15 + 7...[5)/4 5(3 + ...[5)/12 41t opp/inh 7,206 6 5.719 5.312 5.184 4.836 cos cp 1/3 0 -1/3 -(...[5115 -(...[5)/3 (-1) cp 70,53· 90· 109,47· 116.57· _ 138,19· (180·)

Aan de hand van de in de tabel gegeven waarden is te zien hoe bij toenemend aantal zijvlakken de r.egelmatige veelvlakken steeds dichter de bol gaan benaderen. De

standhoeken worden steeds groter, hoewel de grootste (R20) nog ver van _1800

verwijderd is. De verhouding der stralen van om- en ingeschreven bol neemt af; voor

~an elkaar toegevoegde veelvlakken is -deze verhouding dezelfde, hetgeen ook

gemakkelijk in te zien is als men een serie elkaar steeds omhullende toegevoegde

veelvlatdcen indenkt: de omgeschreven bol van de ene is steeds de ingeschreven bol van de andere. Ten slotte kunnen we de oppervlakken voor een gegeven volUme beschouwen: hieniit blijkt dat bij hetzelfde volume R20 slechts een ongeveer 7%

groter oppervlak dan de ,bol heeft.

2.8.

Topologische projecties

•

De topologische projectie is een gemakkelijk hulpmiddel om structuur en

wetmatig-heden van veelvlakken te ~nderzo(ácen.·AJ.lezljvlakken, ribben en hoekpunten van een

veelvlak worden hierbij in een plat vlak afget>eeld in hun onderlinge samenhang, zij het, uiteraard, vervonnd.

Een viervlak kan op drie manieren worden afgebeeld (zie figuur 2.18). In het eerste

- \

figuurtje steltde buitenomtrek een der-vlakken van het viervlak voor; in het volgende

is het vierde hoekpunt qriemaal_ afgebeeld; in het derde vormen de uitstekende

-lijnstukken samen de zesde ribbe. Figuur 2~19, 2.20, 2.21 en 2.22 gevenenlcele

Volledige regelmaat 29

figuur 2.21 is daarbij een der mogelijke ingeschreven kubussen in RI2 door

stippellijnen aangegeven., '

Á

'

,

, .

-<1>-

.

. '

'

,.

',

', _. .'. , "

.

..

-. , ' , , '

Figu.ur 2. 18. Topologische projectiers van. R4.'

..

~

®-Figuur 2. 19. Topologische proje~tjes van R6.

.)g(

.

_~

'

. ' . , ' . . .

, '

Figuur.2.20. Topologische projecties van RB.

Figuur 2.21, Topologische projecties ván Ri2.

30

3

Halve regelmaat (Archimedische

of uniforme

_,

_.

'

veelvlakken)

'

3

.'

1.

-

Algemeen

Iri hoofdstuk I is de definitie van half-regelm~tige of uniforme, ook Archimedische

veelvlakken genoemd, al gegeven. Het zijn veelvlakken met regelm~tige veelhoeken

als zijvlakken, die echter niet gelijk zijn (bijvoorbeeld driehoeken naast vierkanten etc.), en waarvan de veelvlakshoeken aan de hoekpunten gelijk, doch niet regeIlnatig Zijn. Dit zijn de zogenaamde halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort

Men kan de definitie volgens het dualiteitsprincipe ook omkeren; dan krijgen we de halfregelmatige polyeders van de tweede sOort: de veelvlakshoeken zijn wel regelmatig

doch niet gelijk; de zijvl~en zijn gelijk doch iliet regelmatig.

, '

De dualiteit tussen eerste en tweede soort blijkt al uit deze deflnities, doch kan ook op

de volgende wijze worden uitgedrukt: Beschrijven we een bol door de hoekpunten van

een Hl (halfregelmatig ,eerste soort), hetgeen bij elke Hl mogelijk is, en brengen we

de raakvlakken aan dIe bol in de hoekpunten aan, dan vormen deze raakvlakken een H2 die de pendant van de betreffende Hl is. Omgekeerd: de ip.geschreven bol in een H2 (die altijd bestaat) raakt de zijvlakken in punten die de hoekpunten van de aan deze H2 toegevoegde Hl vormen.

In dit hoofdstuk zullen we de halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort

bekijken. Allereerst moet oride~zocht worden welke mogelijkheden er zijn om

regelmatige, veelhoeken van verschillende soort zodanig in hoekpunten samen te

voegen dat een gesloten veelvlak ontstaat.

3.2.

Analyse

We beschouwen een enkel hoekpunt van het Archimedische veelvlak (alle hoekpunten

zijn iÎnmers gelijk), en nemen aan dat in dit hoekpunt mInI-hoeken, m2 n2~hoekeri

etc. samenkomen. Het aantal hoekpunten no.emen we 'H, het aantal zijvlakken

Z

=

Zl + Z2 + ...

=

I. Zj , waarin Zj het aantal nj-hoeken voorstelt. De berekening van

H verloopt analoog als bij de geheel regelmatige veelvlakken: het aantal vlakke hoeken.

in de ni-hoeken i~ Zj"nj doch ook H·mj, dus Zj = H·(mJnj). Verder is het totaal aantal

. ' . \. .

Halve regelmaat (Archimedische of uniforme' veelvlakken) 31 Combinatie van deze relaties met de stelling van Euler:

L

Zi + H

=

R + 2 levert als resultaat:

(3.1) Hieruit zijn d~ Zj 's te berekenen met Zi=;= H·(mJnj) en R met R

=

Z + H - 2.

De waarde van H kan ook uit de hoektekorten worden bepaald, zoals we dat bij d« regelmatige veelvlakken gezien hebben, dusinet: H =720°/(360° - L(li), wat

, . . I . .

overigens op qetzelfde neerkomt.. ' .

. . ' . ' ' . ' I

Alle halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort kunnen nu gevon4en worden

.door systematisch proberen van combinaties van n en in. Een voorbeeld: mI =.2, .

~ . " .

nl = 3, m2 = 2, nz = 4 (twee driehoeken en twee vierJcanten vorinen een hoekpunt) geeft: H == 12, Zl == 8, Z2~ 6, R =24, ofwel een li~h~am, begrensd door 8 driehoeken en 6 vierkanten, dat 12 hoekpunten heèften 24 ribben. We zullen voor dit lichaam de notàtie (3 4 3 4) gebniiken. I

. ,

Bij verschillende combinaties geeft de formule voor H een gebroken waarde, zoals bijvoorbeeld mI = 2, nl = 3, mi= 1, n2= 4i (3 3 4): H =4,8; deze rangschikking levert dus geen bestaand veelvlak.

Er zijn echter ook combinaties die weliswalU" een geheel getal voor H opleveren, doch ..

geen bestaand veelvlak, zoals mI

=

2,ni = 5,

mz

=

1, nl = 6, (5 5 6). Hiervoor vinden we H = 30, Zl ~.12, Z2 = 5, R = 45. Dit veelvlak bestaat echter Diet; als we de topologische projectie proberen te tekenen beginnen we met twee zeshoeken, elk in drie ~oekpunten grenzend aan twee vijfhoeken, doch zien dan dat erál twee (5 5 5) hoekpunten ontstaan (zie figuur-3.1),. Nadere,beschoqwing van deze en degelijke

. situaties leert dat erop ,topologische gronden de ~olgende nevènvoorwaarde geldt voor het bestaan van een half-regelmatig veelvlak: een oneven veelhoek moet in ieder hoekpunt aan onderling gelijke buren grenzen (zoals (3 454», tenzij er in hetzelfde

. ~

32 Regelmaat inde ruimte

hoekpunt nog twee of meer veelhoeken van zijn soort samenkomen (zoals (33334). Kennelijk voldoet (5 5 6) niet aan deze voorwaarde; bovendien blijkt dat voor de eerder bekeken combinatie (3 4 3 4) wel voldoet doch niet (3 344).

Om de complete lijst van Archimedische veelvlakken op te stellen moeten vele tientallen combinaties geprobeerd en geanalyseerd worden (een bijzonder boeiend karwei!). Het uiteindelijk resultaat wordt gegeven in de tabel; deze bevat 13 afzonderlijke en twee oneindige reeksen uniforme veelvlakken. Wat de reeksen betreft, in beide gevallen kan n alle waarden van 3 of hoger aannemen; de eerste·reeks is dan die der Archimedische prisma's, de tweede die der Archimedische antiprisma's.

notatie zijvlakken aantal zijvl. aantal. hoekp. aantal ribben

Z H R (3434) 8{3} + 6{4} . 14 12 24 (366) 4{3} + 4{6} 8 12 18 (466) 6{4} + 8{6} 14 24 36 (388) 8{3} + 6{8} 14 24 36 . (3444) 8{3} + 18{4} 26 24 48 (468) 12{4} + 8{6} + 6{8} 26 48 72, (3535) 20(3} + 12{5} 32 30 60 (5 6 6) 12{5} + 20{6} 32 60 90 (3 10 10) 20{3} + 12{10} 32 60 90 (3454) 20{3} + 30{4} + 12{5} 62 60 120 (4610) 30{4} + 20{S} + 12{10} 62 120 180

q

3 334) 32{3} + 6{4} 38 24 60 (33335) 80{3} + 12{5} 92 60 150 (44 n) n{4} +2{n} 2+n 2n 3n (33 3·;') 2n{3} + 2{n} 2+2n 2n 4n

3.3. Archimedische

prisma's

(4

4n)

De

Archimedische prisma's worden begrensd door 2 n-hoeken, gelegen in evenwijdige vlakken, en n vierkanten in loodrecht daarop staande vlakken (zie figuur 3.2). Het eenvoudigste Archimedisch prisma is (3 3 4); het daaropvolgende, (444) is niet een half- maar een geheel regelmatig zesvlak (de kubus). Bij toenemende n wordt het veelvlak steeds platter van VOIm en nadert tot een dunne cilindrische schijf; dit in tegenstelling tot de regelmatige veelvlakken en, zoals we later zullen zien, de echte Archimedische veelvlakken, die bij toenemend aantai zijvlakken steeds dichter de bolvorm benaderen. We kunnen bij deze' lichamen 4us met ~echt van ontaardingen van het haIfregelmatige veelvlak spreken.

Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 33,

~.~

---

---Figuur 3.2. Archimedische,:prisma's.

3.4. Archimedische antipris

,

ma's (3 3 3 n)

, . . ,

De (3 33 n), het Archimedisch antiprisma is iets interessanter van vorm; hoewel het eveneens aan boven- én onderzijde door 2 n-hoeken in evenwijdige vlakken begrensd

, wordt, liggen.deze n-hoeken ten opzichte van elkaar gedraaid over een hoek 180" In. Het eerste lid van deze familie is (3 3 3 3), de regelmatige oktaeder; het volgende, ,

(3 3 3 4) oo"at twee vierkanten en 8 driehoeken; het daaropvolgende, (3 3 3 5). vinden we tenig als middendeel van {3,5}, de regelmatige ikosaeder (zie figuur 3.3). Ook voor de antiprisma's geldt dat ze bij toenemende n steeds meer tot een platte schijf ,

naderen' endus steeds minder interessant van vorm worden; ,

34 Regelmaat in de ruirrite

3.5. De kubo-oktaeder (3 4 3 4)

Dit veelvlak neenitmet de hierna te behandelen (3 5 3 5) een bijzondere plaats in onder de Archimedische veelvlakken; het is namelijk de gemeenschappelijke kern van een (3,4) (oktaeder) en een· (4,3) (kubus), die elkaar doordringen op zodanige wijze dat alle ribben elkaar paarsgewijze snijden. Het ontleent aan dit feit zijn naam 'kubo-oktaeder' (zie figuur 3.4).

Figuur 3.4: (3 4 3 4) .

. De 12 hoekpunten van de (3 4 3 4) liggen op de mÛldens' van de ribben van een kubus, en eveneens op die van een regelmatig achtvlak. Een dergelijke situatie vinden webij de

(3

53 5); deze twee worden dan ook quasi-regelmatige veelvlakken ge-noemd. De c:oördinaten van (3 4 3 4) zijn gemakkelijk af te leiden uit çle positie in een kubus met ribbe

=

2, namelijk (0 ±l ±l) cycl (cycl betekent: naast (a b ç) ook (hc a) en (c a b»; de lengte van de ribbe is hierbij l =-fï.

3.6. De afgeknotte

tetra eder

(3 6 6)

De (36 6) is te beschouwen als een regelmatig viervlak (3,3) waarvan de vier punten zijn afgesneden op zodanige wijze dat van de vier ziJ~lakken regelmatige zeshoeken overblijven. De vier snijvlakken vormen regelmatige driehoeken (figuur 3.5) .

. . Uitgaande van een tetraeder die in een kubus (ribbe

=

6)

geplaatst is, kan men de coördinaten van de hoekpunten gemakkelijk als volgt weergeven: (±1 ±l ±3) cycl met voorwaarde x,y·z > O. De ribbe ~an het veelvak is dan

,=

2-fï.

Halv~ regelmaat (Archimedische of uniform.e veelvlakken) 35

Laat men de vlakken die de hoekpunten afknotten nog verdeli doorschuiven naar het· midden, tot d~ zeshoek in een driehoek overgaat '(dus op analoge wijze als de (34 3 4) ..

door afknotting uit de (3,4) ont,siaat) dan is .het resultaat weer een {3,3). .

3.7. De afgeknotte óktaéder (4 66) .

Zo;Us de (366) uit de {3,3}

ontstaa~

kán

men de (4 66) uit de {3,4 } door afknotting ,

· verkrijgen; ook hier worden de driehoeken tot regelmatige zeshoeken afgeknot (figuur

· 3.6). Doo~gaaDde afknottIllg tot aan de middens der ribben levert d~ (3 4 34).,

Figuur 3.6. (4 6 6) .

.

Pe hoekpunten hebben, als we uitgaan van een {3,4} met

coördin~ten (00 ±3) cycl, .

. de volgende c~J;'diriaten: (0 ±1 ±2) cycl; de ribbe is

1=--12.

De (46 6) heeft een merkwaardige eigenschap, namelijk dat men

ze

zo kanopstapeleri

. dat

ze

de ruimte vullen. Er zijn slechts een zeer beperkt aantal veelvlakkeri, zoals de kubus, enkele prisma's en de «3434) van de tweede-soort Archi~edi~che veelvlakken, die deze eigenschap ook hebben.

3~8.

De afgeknotte

~ubus

(3 8 8l

.

t . .

. .

De (3 8 8) is een afgeknottè kubus {4,3), di~ ontstaat door doorsnijding van de kubus met 8 vlakken loodrecht op de lichaaamsdiagonaleil (die dus een· {3,4) vormen), doch niet tot aan de ~ddens van de ribben zoals bij de (3 4 3 4) maar totdat de zijvl~en

. uit regelmatige achtvlakken bestaan (figuur 3.7).

De

c~rdinaten

vaD. de 24

hoekP~ten

zijn (±c ±1 ±I) cycl, waarin c·=

--12 -

1. Hierbij

· is uitgegaan van een kubus met ribbe ::; 2, terwijl' cvolgt uit de voorwaarde dat de ribben van een achthoek gelijk zijn .. namelijk 2(-{2':"

1).

. . .

oe·in deze en in de vorige paragraaf besproken afknottingen worden gei11ustrèerd in

figuur 3.8, waarm een kubus via een (388), een (3.4.3 4), en een (466) tot een oktaeder wordt getransfonneerd. c

36 Regelmaat in de ruimte

Figuur 3.7. (3 8 8).

Figuur 3.8. Transformatie door afknottingen.

3.9. De romben-kubo-oktaeder (3 4 4 4)

Ditlichaam wordt begrensd door 8 driehoeken en 18 vierkanten (figuur 3.9), doch is gemakkelijker te analyseren als we de 18 vierkanten splitsen in een groep van 6 en een

groep van 12. Het past namelijk met zijn driehoeken in een oktaeq.er (3,4}, en met 6

van de vierkanten in een kubus (4,3). De ,12 andere vierkanten zijn dan min of meer

Halve r.egelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken)· 37·

. " . .

Men kan zich de (3 44.4) nam.elijkontstaan denken door een kubus langs de ribben af te knotten zodat de rib~n als het ware· tot rechthoeken getransfonneerd worden (figuur 3.10). De hoekpunten van de kubus breiden zich daarbij uit tot driehoeken. Als de snijvlakken zodanig worden gekozen dat de rechthoeken langs de o{)rspronkelijke

·ribben :vierkanten worden, hebben we de (3 4 4 4) gekregen. Hetzelfde p~oces kan aan het regelmatig achtvlak worden uitgevoerd met hetzelfde resultaat.

. 38 Regelmaat in de ruimte

Van dit halfregelmatig veelvlak bestaat een merkwaardige variant, namelijk het lichaam

dat. ontstaat als we het bovenste gedee~te dat op de 8-ring van ribben rust, over een

hoek van 450

draaien. Dit veelvlak valt ook onder de definitie van (3 444); in ieder

hoekpunt komen namelijk drie driehoeken en een vierkant samen,

en

het voldoet -dus

in strikte zin aan de defmitie vaneen halfregelmatig veelvlak vaD. {ie eerste soort. De

relatie tot de Platonische lichamen {3,4} en {4,3} is echter verstoord en er is nog maar een enkel symmetrievlak overgebleven.

3.10. De grote romben-kubo-oktaeder (4 6 8)

De (4 6 8) is het "eerste half-regelmatige veelvlak dat we tegenkomen met drie

. verschillende zijvlakken. Ook dit veelvlak is weer verwant aan de kubus en aan het

achtvlak; de 6 achthoekige zijvlakken vallen samen met de zijvlakken van een omgeschreven kubus, de 8 zeshoeken met die van een oktaeder, terwijl we de 12 vierkanten weer kunnen denken als 'kwadrateringen' van dè ribben van achtvlak of kubus (figuur 3.11).

Figuur 3. 11. (4 6 8).

Op het eerste gezicht lijkt het dat de (4 6 8) zou kunnen ontstaan door afknotting van de hoekpunten van een (3 4 3 4); het veelvlak wordt daarom ook wel 'afgeknot kubo-oktaeder' genoemd. Bij nadere beschouwing blijkt dat zo'n afknotting nooit vierkanten

. kan opleveren; de snijvlakken worden rechthoeken. Men moet daaronl na afknotting

de zijvlakken nog over enige afstand evenwijdig verschuiven om de goede (4 6 8) te krijgen.

Na enig gereken vindt men voor de coördinaten van de 48 hoekpunten: (±1 ±a ±b)

cycl en (±1 ±b ±a)cycl, waarin a

=

1 +

12

en b

=

1 +2...[2

=

de halve ribbe van de

omgeschreven kubus; de ribbe van de (4 6 8) is dan.l

=

2.

3.11. De icosi-dodekaeder (3 5 3 5)

Zoals reeds opgemerkt bij de bespreking van de (3 4 3 4) is de (3 5 3 5) of icosi-dodekaeder het tweede veelvlak dat quasi-regelmatig genoemd wordt. Het verhoudt

-Halve regelmaat (Archimeclische of uniforme veelvlakken) 3.9

' . .

ontstaan gedacht worden door volledige afknotting (tot de middens der ribbeh).van de {3,5} zowel als van de {5,3) (figuur 3.12).

Figuur 3.12. (3535).

, . ' . ' . - . . " .

De hoekpunten liggen dus

op

de middens van de 30 ribben van de R20 of van de R12 .. De coördinaten van de hoekpunten zijn, wannrer we uitgaan van een R12 in een R6 geplaatst:

. .

(0 () ±2) cycl (6 hoekpunten van een R8), en(±1 ±a ±(a+l» cycl (8 $1( 3 hoekpunten

. . . ./

van driehoeken gelegen in de zijvlakken van een gelijkstandige grotere R8). De ribbe'

is 1=-[5 - 1. .

oe

(3535) past dus ~ alle viJf regelmatige veelvlakken; bij vier ervan, R4, R8, R12 enR20, heeft hij met all~ beschikbare zijvlakken een zijvlaIegemeen, bij de vijfde, R6, . valt in elk zijvlak een hoekpunt van' de (3 5 3 5).

3.12 .

.

De afgeknotte icosaedér

(5,

6 6)

De (5 66) kan ontstaan door afknotting van de hoekp1JIlten van een icosaeder {3;5}, waarbij de driehoeken totregelmatige zeshoeken worden beknot. Ook voor dit'lichaaIn geldt dat het in alle Platonische veelvlakken past (figuur 3.13).

Figuur 3, 13, . (5 6 6),

De coördinaten van de 60 hoekpunten zijn als volgt:

(0 ±3 ±a) cycl, de 12 hOekpunten in de zijvlakken van de oinhuiIende kubus, (±1 ±2a ±(2 + a» cyCl, de 24 hoekpunten gre~Iid aan bovenstaande serie,'

40 Regelmaat in de ruimte

waarin a :;:

(-f? -

1 )/2; de ribbe is I

=

2a.

Dit veeh:lak is op verschillende manieren bekend geworden. Als leren voetbal is het vrijwel dagelijks op de TV te zien, met zwarte vijfhoeken en witte zeshoeken (hoewel daarnaast ook wel. de (3 5 3 5) gebruikt wordt). Zeer onlangs is het in de chemie naar voren' gekoinen; men is er namelijk in geslaagd C60 moleculen te maken in een bolvorm; de 60 koolstofatomen zitten op de hoekpunten van het (5 6 6)-vlak, en zijn door enkelvoudige en dubbele bindingen met elkaar verbOnden, respectievelijk langs de ribben van de vijfhoeken en langs de gemeenschappelijke ribben van twee zes-hoeken. Het molecule heeft daaromeçn soort 'gekromde' grafietstructuur. Men heeft het de fraaie naam 'BuckminsterfuUereen' (Bf) gegeven, waarmee het vernoemd is naar de architect R. Buckminster Fuller, die in 1954 patent kreèg op een koepelstruc~ tuur op 'basis van dit veelvlak. Meer van dergelijke structuren zijn mogelijk, namelijk do~r het veelvlak te 'verdunnen' met een 'willekeurig aantal zeshoeken, hoewel deze lichamen dan natuurlijk niet meer tot de Archimedische veelvlakken ,behoren. Ze vinden hun plaats in de Fuller-koepels, en zijn ook teruggevonden in bolvormige Cn

structuren, waarbij, naast C

=

60, tot dusver ook waarden van n

=

70, 76, 84, 90 en

94

aangetoond zijn.

3.13. De afgeknotte dodekaeder (3 10 10)

De afgeknottedodeka~der wordt beg~ensd door 12 lO-hoeken en 20 driehoeken en heeft soortgelijke eigenschappen als de (5 66) (figuur 3.14). De hoekpunten worden gegeven door:

, ,

(0 ±2{5 ±(3 - 2{5» cycl, de 12 hoeIq)unten in kubusvlakken,

" (±4 ±2 ±(3 -{5» cycl; de 24 hoekpunten grenzend aan de eerste serie, . (±2 ±({5 +1) ±(2{5 - 2» cyèl, de overige 24 hoekpunten.

Bij deze coördinaten is de ribbe I

=

2(3 - {5).

Figuur 3. 14. (3 10 10).

Een soortgelijke reeks afknoltingen als we in figuur 3.8 gezien hebben, wordt voor de (566) en de (3 10 10) weergegeven in figuur 3.15, waarin een R12 via een (310 10), een (3 5 3 5) en een (5 6 6) getransformeerd wordt tot een R20.

. /

Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken)

4,.

Figuur 3.15. Trans forma. tie door afknottingen. I ·

3.14. De romben-icosi-dodekaeder (3 4 5 4)

. .

Evenals de (3 44-4) ~ntstaan geda"cht kan worden uit R8 ofR6 door langs de ribben af

te knotten, kan men iich de (3 4 5 4) voorstellen vanuit de R20 of de R12; Met 20 .

. driehoekige zijvlakken past dit veelvlak precies in een R20; met zijn 12 vijthoeke~ in

êen R12. De 30 vierkanten zijn de 'kwadrateringen' van d~ 30 ribben van R20"of R12

(figuur 3.16). ' '. " .' .

Figuur 3.16. (3454).

42 Regelmaat in de ruimte ·

Van de 60 hoekpunten liggen er 24 in de zijvlakken van een omhullende kubus (zes vierkanten). De coördinaten hiervan zijn: (±a ±a ±(2+a» cycL De coördinaten van de

~dere hoekpunten zijn: (0, ±(a+l) ±(2a+I» cycl en (±I ±2 ±(a+I» cycl, waarin a

=

({5 - 1). De ribbe van de omhullende kubus is 4+2a; de ribbe van (3 4 5 4) is 2a. Het proces van de uitgroei van ribben van een RI2 tot rechthoeken wordt gei1lustreerd

. in figuur 3.17. Als de vierkante vorm bereikt is hebben we de (3 4 5 4); bij verdere verbretling nadert het veelvlak tot een R20.

Figuur 3.17. (34 54) ontstaande uit eenR72

o!

een R20.

3.15. De grote romben-icosi-dodekaeder (4 6 10)

De· (46 "IO) wordt wei, ten onrechte, genoemd 'de afgeknótte icosi-dódekaeder'. Evenals bij de (4 6 8) ontstaat echter alleen een half-regelrilatigveelvlak wanneer de zijvlakken nog een evenwijdige verschuiving hebben ondergaan. De verlengde ribben der zeshoeken en die der tienhoeken hebben dari ook geen gemeenschappelijke snij-punten meer (figuur 3.18).

De coördinaten van d~ 120 hoekpunten zijn, in de eenvoudigste vorm: [±(3 - {5) ±(3 - {5) ±(3{5 - I)] cycl,

[±2 ±(3+{5)" ±(6 - 2{5)]cyCI, [±({5+I) ±(7 - {5) ±(3 - {5)] cycl,

\ .

Halve regelmaat (Archim~dische of uniforme veelvlakken) . 43

[±2..J5

[±4

. ±(5 - {5)

±(2.J5 -

2)] cycl.· ±2 ±(3{5 - 3)] cyd ..

De ribbe van dè

(46

10) is. bij dezecoördinatenkeus,2(3 - {S).

. / .

Figuur 3.18. (46 10).

3.16. De stompe kubus (3 3 3 34)

. ~

'.{

De tot dusver beschreven Archjmedis~heveelvlalÇken konden alle beschouwd worden als vrij eenvoudig omstaan uit

regelm~tige veelvlakken door een- ofmeèrmalige

. afknotting van hoekpunt~n of langs ribben'. Met de

c3

3 3 3 4) is dit niet het geval; dit .

licha~ laat zich niet zO simpel 'ontdekken' als de andere. Het is weliswaar nauw

verwant aaride kubus; het bevat _. immers _. zes vierkanten; die, zoals gemakkelijk is in te

) ~ .

zien; geheel liggen binnen d~ zijvl~en van een omhullende k;ubus (figuur 3.19). Ze·

liggen echter in deze kubusvlakken over een bepaalde hoek gedraaid; de positie der hoekpunten wordt bepaald 'door twee onafhankelijke voorWaarden van gelijkheid der'

ribben .. Deze voorwaarden leiden tot een derdeinachts vergelijking; die geen, in . gesloten vorm uit te drukken. oplossiiigen heeft.

. Figuur 3.19, (33334).

De coördinaten der 24 hoekpunten kunnen worden uitgedrukt als: (±a±a2 ±1) cycl met xyz <

O.

(±a ±1 ±a2) cyclmet xyz

>

O.

_a volgt uit a3

+

a2

+

a .,; 1; a :::: 0,54369; a2

=

_0,29560. De ribbe volgt uit

J2=

2(a2_{+2a - 1).}

44 Regelmaat in de ruimte

Verwisselt men de tekenbeperking in de coördinaten dan ontstaat een soortgelijk veelvlak dat het spiegelbeeld van het eerste is. Er bestaan dus twee modificaties van de (33334): een waarbij de vierkanten ten opzichte van de zijvlakken der omhullende kubus naar rechts gedraaid zijn en een waarbij dedfaaiingszin naar links is.

Van de 32 driehoekige zijvlakken nemen er 8 een bijzondere positie in; deze 8 worden aan alle drie zijden door andere driehoeken begrensd. Het blijkt dat deze 8 vlakken loodrecht op de lichaamsdiagonalen van de omhullende kubus staan; deze vlakken vormen, voldoende uitgebreid, dus een regelmatigoktaeder, Binnen de zijvlakken va deze {3,4} liggen de acht driehoekige zijvlakken van de (33334) op een soortgelijke

wijze gedraaid als de vierkante zijvlakken ten opzichte van de kubus. De overige 24

driehoekige zijvlakken vormen twee aan twee de afscheiding tussen twee vierkante zijvlakken (en ook tussen twee driehoeken van de andere soort); dit suggereert een

analogie met de ribben van een kUbus (en van een o~taeder).

3.17. De stompe dodekaeder

.

(3 3 3 3 5)

De (3 3 3 3 5) is analoog aan de (3 3 3 3 4); in plaats van een kubus nemen we een

dodekaeder {5,3} en beschrijven concentrische doch kleinere regelmatige vijfhoeken binnen ieder vijfhoekig zijvlak. die weer iets ten opziChte van de grote vijfhoek gedraaid zijn (figuur 3.20). Bij de juiste keus van de draaiingshoek en de verkleiningsfactor zijn de afstanden tussen de hoekpunten van de naastliggende vijfhoeken gelijk, en ontstaat een half-regelmatig veelvlak, opgebouwd uit vijfhoeken en driehoeken.

Figuur 3.20. (3 3.3 3 5).

De (33335) heeft uiteraard 12 vijfhoekige zijvlakken, 20 .driehoekige vlakken die in

een regelmatige ikosaeder passen, en 60 driehoeken die twee aan twee de

. begrenzingen tussen de vijfhoeken vormen.

Bij het berekenen van de coördinaten stuiten we op een vierdegraads vergelijking met irrationele coëfficiënten, die hier niet zal worden weergegeven. Na oplossen van deze vergelijking blijken de coördinaten van de hoekpunten als volgt te zijn: