Transformatorvelden: Een onderzoek der magnetische velden in transformatoren en van den invloed dien deze op het net uitoefenen

TRANSFORMATOR VELDEN

EEN ONDERZOEK DER MAGNETISCHE VELDEN

IN TRANSFORMATOREN EN VAN DEN INVLOED

DIEN DEZE OP HET NET UITOEFENEN.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR

IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE

TECH-NISCHE HOOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN

DEN R E C T O R - M A G N I F I C ' Ï Ï S C. F E L D M A N N .

HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING DER

ELECTRO-TECHNIEK, VOOR EEN COMMISSIE UIT DEN SENAAT

TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 1 JULI 1925, DES

NAMIDDAGS 3 UUR

DOOR

HENRI GEORGE NOLEN,

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR, GEBOREN TE ROTTERDAM.

GEDRUKT BIJ DE TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ J. WALTMAN JR. DELFT - 1925.

geven aan het gevoel van hartelijke dankbaarheid dat mij vervult.

Dankbaar ben ik aan de onderwijzers en leeraren van mijn schooljaren, wier onderwijs voor de latere studie van zoo groote beteekenis is geweest; vooral aan Dr. L E M : op de door hem op meesterlijke wijze gelegde funda-menten kon het gebouw der Hoogere Wiskunde gemakkelijk en veilig worden opgetrokken.

Aan de Hoogleeraren, die mij in Delft opleidden in de Algemeene en de Technische Wetenschappen, maar bovenal aan de Hoogleeraren in de Electrotechniek.

U, Prof. FELDMANN, mijn hooggeachten promotor, ben ik zeker het meest verschuldigd, en het is mij een vreugde, U hier met een enkel woord te danken voor U w onderwijs en voor den steun, dien ik in mijn verdere leven en met name bij het samenstellen van dit proefschrift van U heb mogen ondervinden. Hoewel ik reeds in Delft het als een genot beschouwde U w onderwijs te volgen en later U w assistent te zijn, leerde ik toch de volle waarde van U w leiding pas begrijpen, toen ik reeds verscheidene jaren uit Delft weg was. Bij U w onderwijs vulden de eenvoudige redeneering en de zuiver mathema-tische behandeling elkaar steeds op volmaakte wijze aan, iets wat m.i. de hoofdvoorwaarde voor een goede ingenieurs-opleiding is. U heeft ons trachten bij te brengen het „electrotechnisch denken", zooals U het noemde en ik geloof dat U er inderdaad in geslaagd is ons tot op zekere hoogte dit denken, dat ons later zoo te stade zou komen, te leeren. U deed ook gaarne een beroep op ons „boerenverstand" en eerst later heb ik ten volle begrepen, hoe juist dit verstand ons in de practijk het meest onontbeerlijk is. Met bijzondere erkente-lijkheid denk ik ook aan het, juist in mijn studietijd door U begonnen „collo-quium", dat zoovele ingenieurs, evenals mij, heeft gebracht tot zelfstandige wetenschappelijke studie, die allengs voor hen een levensgeluk werd. Mijn dank tenslotte voor alle werk en moeite, die U de inwilliging van mijn verzoek om bij U te mogen promoveeren, heeft gebracht.

Met weemoed herdenk ik hier Prof. SNIJDERS, mijn voortreffelijken leer-meester, wien ik zoo gaarne thans ook mijn dank had betuigd. Zijn persoon en zijn onderwijs blijven mij steeds in eerbiedige en dankbare herinnering.

VAN DER B I L T , die mijn electrotechnische studie mede leidden en die mij steeds met vriendelijken steun en raad terzijde stonden, waar ik die behoefde.

Ik kan mijn herinneringen aan mijn studiejaren niet afsluiten, zonder ook aan mijn studiegenooten en studentenvrienden te denken. Ook van hen leerde ik veel, zoowel op vakgebied als in de kunst van het mensch-worden; velen van hen werden vrienden voor het leven, wier trouw en steun men, in de maatschappij gekomen, steeds meer leert waardeeren.

Mijn dank ten slotte aan de DiRECTlE DER N . V . WiLLEM SMIT EN Co's TRANSFORMATORENFABRIEK, die mij in de gelegenheid stelde, de proeven en metingen te verrichten, die in dit proefschrift zijn verwerkt. Hoog waardeer ik het door haar steeds getoonde begrip der beteekenis van wetenschappelijk onderzoek voor de industrie. Mijn dank ook aan allen op deze fabriek die mij bij mijn metingen behulpzaam waren.

Inhoud.

Biz.

Inleiding 1 D E E L I. Lek 3 D E E L II. Het magnetische veld der transformatoren van éénphase-stelsels

bij nuUast en bij belasting 12 D E E L III. Het magnetische veld der transformatoren van

driephasen-stelsels bij nullast.

Hoofdstuk 1 : Sterpuntspanning. Indeeling der driephasen-stelsels . . 15 Hoofdstuk 2: Sterpuntspanning ten gevolge van onsymmetrie der

magnetische velden 21 Hoofdstuk 3 : Sterpuntspanning ten gevolge van drievoudige

boven-harmonischen der magnetische velden 29 Hoofdstuk 4 : Sterpuntspanning ten gevolge van onsymmetrie en

drie-voudige boven-harmonischen der magnetische velden tezamen . . . 59 Hoofdstuk 5: Invloed der schakeling op de magnetische velden en op

de sterpuntspanning 76 Hoofdstuk 6 : Invloed der sterpuntspanning op het net 83

D E E L IV. Het magnetische veld der transformatoren van driephasen-stelsels bij belasting.

Hoofdstuk 1: Algemeene opmerkingen 86 Hoofdstuk 2 : Vereffeningsstroomen tusschen transformatoren die

ove-rigens onbelast zijn 88 Hoofdstuk 3 : Symmetrische belasting tusschen phasen en sterpunt . 92

Bij de studie der verschillende electrische machines komen problemen voor, die oppervlakkig bezien van zeer uiteenloopenden aard schijnen te zijn, maar die in den grond toch veel overeenkomst met elkaar blijken te hebben. Wil men de kern dezer vraagstukken goed leeren begrijpen, dan moet men beginnen ze in den meest eenvoudigen vorm op te stellen. Men wordt dan vanzelf geleid tot de studie van den transformator, die de grondvorm is van alle electrische machines, waarin het zuiver „electrisch" karakter het best bewaard is gebleven. Hieraan is het toe te schrijven dat bij den transformator in de eerste plaats die problemen onderzocht zijn, waarvan de oplossing voor de studie van alle electrische machines van belang was en dat dit onderzoek in hoofdzaak van de machine-constructeurs uitging.

Men heeft hierdoor te veel verzuimd die eigenaardigheden der transforma-toren te bestudeeren, welke op zichzelf ook wel reeds belangrijk en interessant zijn, maar die vooral dan van eminente beteekenis blijken te zijn, als men den transformator als onderdeel van het net beschouwt, als men den weder-keerigen invloed van beiden op elkaar nagaat.

Sommige verschijnselen in electrische netten blijken beheerscht te worden door bepaalde eigenschappen van de magnetische velden der transforma-toren, eigenschappen, die afhangen van de wijze waarop deze gebouwd en

geschakeld zijn. D e studie van deze magnetische velden is natuurlijk voor hem, die zich voor transformatoren op zichzelf interesseert, reeds van betee-kenis; zij krijgt nieuwe, grootere waarde en moet in ruimeren kring stelling wekken door het feit, dat de eigenaardigheden dezer velden belang-rijken invloed op het net blijken uit te oefenen.

Verschillende dezer eigenaardigheden der magnetische velden zijn ook door anderen bestudeerd, de opgestelde conclusies zijn echter niet altijd juist geweest en het onderzoek was verbrokkeld en verre van volledig. Er is vooral ook onvoldoende verband gelegd tusschen de verschijnselen in- en buiten de transformatoren, tusschen de magnetische velden eenerzijds en het net anderzijds.

De hier volgende studie der magnetische velden is zoodanig opgesteld dat juist dit verband sterk naar voren komt en het principieele verschil tusschen deze velden is als uitgangspunt gekozen voor de verklaring van het uiteen-loopend gedrag, dat transformatoren van verschillende bouwwijze en schake-ling in vele gevallen vertoonen.

r •

2

Ik zal hierbij zoo kort mogelijk zijn waar het dingen betreft, die reeds uit bestaande publicaties volledig en juist bekend zijn, daarentegen wil ik meer uitwijden over datgene, waarover slechts onjuiste of onvolledige mede-deelingen ter beschikking stonden.

Het is hierbij nog in het bijzonder mijn doel, vooral den practischen kant der dingen te belichten en door het invoeren van aan de practijk ontleende getallen, hun meerdere of mindere belangrijkheid vast te stellen. Juist dit laatste ontbreekt in vele beschouwingen volkomen, waardoor het niet mogelijk is de gewichtige dingen van de onbelangrijke te scheiden. Een ingenieur dient steeds te weten, met welken graad van nauwkeurigheid hij moet werken, hij mag geen zevendecimalige logarkhmentafel gebruiken waar hij met een eenvoudige rekenliniaal kan volstaan. Verliezen wij dezen eisch niet wel eens uit het oog als wij bij een betoog ons verliezen in een theoretisch zoo volledige beschouwing, dat de hoofdzaak in de bizonderheden verloren gaat, de werke-lijke proporties der onderdeelen onherkenbaar worden?

»;;.. ) .

u

Ik zal eerst de magnetische velden behandelen, die bij den onbelasten transformator bestaan en daarbij den transformator onbelast noemen, wan-neer geen stroomen over de secundaire klemmen naar op die klemmen aan-gesloten apparaten of leidingen vloeien. In dezen toestand behoeft dus de secundaire wikkeling zelf niet stroomloos te zijn, er kunnen, bijv. bij drie-hoekschakeling, stroomen in circuleeren. Vervolgens worden de velden bestu-deerd voor het geval, dat er wel stroomen over de klemmen naar apparaten of leidingen kunnen vloeien. Deze stroomen kunnen van verschillenden aard zijn: stroomen afgegeven aan verbruiksapparaten in het net, laadstroomen van kabels, vereffeningsstroomen die door parallel geschakelde andere trans-formatoren circuleeren of kortsluitstroomen ontstaan door isolatiefouten in het net.

Aan deze bespreking zullen echter eenige beschouwingen over „lek" vooraf gaan, die wij gedeeltelijk voor een goed begrip van het volgende noodig hebben.

Lek.

In de electrotechniek wordt met groot succes van het begrip „lek" gebruik gemaakt. Men moet, naar mijn meening dit begrip zoo ruim mogelijk maken en steeds van lek spreken, als bij een bepaald stelsel van magnetische velden en ampère-windingen niet alle krachtlijnen met alle ampère-windingen ge-koppeld zijn. ^) De invoering van het woord „lekveld" was minder gelukkig. Dit woord toch heeft veelal tot de verkeerde opvatting geleid, dat men in de krachtlijnenteekening van een magnetisch veld direct kon zien welke krachtlijnen tot het lekveld, welke tot het gemeenschappelijke veld behooren. Dit is echter onmogelijk, men kan slechts door een berekening den lekfactor of den lek-inductie-coëfficient ^) bepalen. Hiertoe moet de koppeling der ver-schillende krachtlijnen met de diverse ampère-windingen nagegaan worden. Gewoonlijk behooren deze ampère-windingen tot twee of meer, op bepaalde wijze te onderscheiden, verschillende stelsels en wordt er van lek slechts gesproken als er minstens twee van deze stelsels bestaan. Ik vraag mij af of deze beperking noodzakelijk en nuttig is. In vele gevallen zou men met succes van het begrip lek gebruik kunnen maken als men de meer of minder volledige koppeling beschouwt van de door één stelsel van ampère-windingen voort-gebrachte magnetische krachtlijnen met die windingen zelf.

In ARNOLD, W . T . I wordt voor de lek-inductie-coëfficient Si opgegeven:

waarin Rx de magnetische weerstand is van een krachtlijnbuis x, die met Wn primaire en W2x secundaire windingen gekoppeld is. Wanneer er slechts één stelsel ampère-windingen bestaat, of er slechts één beschouwd behoeft te worden (zooals bij nullast) dan zou de koppeling volkomen zijn, als alle krachtlijnen met alle windingen Wi van dat stelsel gekoppeld waren. Men ^) Ik beschouw het woord ,,ampère-windingen" ook toepasselijk op een stelsel windingen waarin de stroom nul is.

-) Ik gebruik dit woord ondanks het feit dat het sterk op een germanisme lijkt, omdat ik aan de gebruikelijke omschrijving ,,zelfinductie-coëfficient van het lek-veld" het bezwaar verbonden vind dat juist ^veer het lekveld als iets bepaald waar-neembaars wordt ingevoerd. Het woord komt trouwens zeer goed overeen met de algenïeen gebruikelijke woorden ,,zelfinductie-coëfficient" en ,,coëfficiënt van v^ederzijdsche inductie".

4

zou nu soms het werkelijk verloop der krachtlijnen kunnen vergelijken met een bepaald ideaal verloop, waarvoor die volledige koppeling zou bestaan. Noemen wij den magnetischen weerstand van dit ideaal verloopende veld R i , dan zou men den lek-inductie-coëfficient Sn voor dit geval kunnen vast-leggen door de uitdrukking:

S - ^Z y ^ n

Wij kunnen bijv. bij een transformator zeggen, dat de koppeling volkomen zou zijn als alle krachtlijnen van het nullastveld door het ijzer verliepen; de weerstand Ri is hier eenvoudig de magnetische weerstand van het ijzer-circuit. Dit ideale geval zou bijv. tot werkelijkheid worden, als de transformator uit een volkomen regelmatig bewikkelde gesloten ijzeren ring bestond; Sn zou hier nul zijn. Verlaten er echter op sommige plaatsen krachtlijnen het ijzer op zoodanige vAjze, dat deze met een deel der windingen niet meer gekoppeld zijn, dan krijgt Si, een zekere waarde. Dit geval doet zich voor zoodra het ijzer-circuit zelf of de verdeeling der magnetiseerende ampère-windingen onregelmatig is. De magnetomotorische kracht der ampère-win-dingen die op een bepaald deel van het circuit zijn aangebracht is dan niet langer gelijk aan de lijn-integraal der magnetische kracht over dat zelfde deel van het circuit, er ontstaan vrije polen, waar krachtlijnen uit moeten treden uit het eigenlijke hoofd-circuit in de magnetisch niet geheel onge-leidende lucht, en het kan zijn (het behoeft niet steeds zoo te zijn) dat dit leklijnen zijn, die met een deel der wikkeling niet langer gekoppeld zijn. Wanneer bijv. de magnetiseerende ampère-windingen van een twee-pootigen eenphase-transformator op de beide pooten verdeeld liggen, dan zullen er door de afwisseling der bewikkelde kernen met de onbewikkelde jukken der-gelijke leklijnen ontstaan, die van juk tot juk loopen en zich door één der kernen sluiten; hun aantal wordt zeer groot als er zich tusschen kernen en

jukken, of in de jukken luchtspleten bevinden.

Als zeer sterke onregelmatigheid in het aanbrengen der ampère-windingen kunnen wij het geval beschouwen, dat er afwisselend ampère-windingen van verschillend teeken zijn aangebracht; maar in dit geval heeft het meer zin van meer dan één stelsel ampère-windingen te spreken. Dit is een geval dat zich bij nullast niet voordoet, maar waarin b.v. elke belaste transformator met schijfwikkeling verkeert. In normale omstandigheden zal daarbij één der stelsels ampère-windingen overwegen, zoodat er in de ijzeren kern een resul-teerend veld overblijft. Men kan zich dat veld in de kern voortgebracht denken door de resultante der ampère-windingen (die ongeveer gelijk aan de nullast-ampère-windingen is) omdat beide stelsels windingen de geheele kern

om-^) 2 - = komt overeen met de door H a l l o ingevoerde waarde — 5 ^ — , E.u.M.

Kx R 1914, blz. 3 .

vatten; voor de krachtlijnen buiten de kern echter moet men er rekening mee houden, dat de primaire en secundaire ampère-windingen niet op dezelfde plaats zijn aangebracht, men mag dus voor de bepaling dezer lijnen niet van de resulteerende ampère-windingen uitgaan. Beschouwt men het totale veld als één geheel, dan kan men zich het krachtlijnenverloop steeds bepaald denken door de gezamenlijke ampère-windingen, rekening houdend met de ruimelijke verdeeling dier ampère-wandingen.

Het verloop der krachtlijnen is op elk tijdstip van een periode anders, op het oogenblik dat primaire- en secundaire ampère-windingen gelijk maar tegensteld zijn is het hoofdveld nul (ijzerverliezen verwaarloosd) en bestaan er krachtlijnen die slechts met primaire of slechts met secundaire windingen gekoppeld zijn. Alleen op dit oogenblik hebben de lekvelden hetzelfde verloop als de velden die RoGOWSKI *) onderzocht door primaire en secun-daire windingen door een gelijken stroom in tegengestelde richting te doen doorloopen (bij transformatie-verhouding 1 : 1 ) . Zoodra de eene wikkeling een stroom voert, die overweegt op dien van de andere, zoodat het hoofdveld weer van nul verschillend is geworden, verdwijnen — althans bij normale verhoudingen — de krachtlijnen die alleen met de secundaire wikkeling gekoppeld zijn. Sommigen spreken in dit geval van „afwijzing" **) in tegen-stelling met „zuivere lek". Dit is m.i. volkomen misplaatst; al hebben de velden onder uiteenloopende omstandigheden een ander verloop, principieel hebben wij steeds weer te maken met „lek". Dat men meent in sommige gevallen van lek te mogen spreken, in andere gevallen echter een ander woord te moeten gebruiken, is m.i. een gevolg van het feit dat men het bestaan van lek gebonden denkt aan het voorkomen van bepaalde met elk der beide windingsstelsels afzonderlijk gekoppelde „lekvelden", inplaats van steeds van een lekverschijnsel te spreken, als niet alle krachtlijnen van een zeker als één geheel te beschouwen totaal veld, met alle windingen gekoppeld zijn.

Een andere onnoodige en ongewenschte beperking van het begrip „lek" leidde tot het onderscheid dat sommige schrijvers maken tusschen „lek" en „stuwing". Zij spreken n.l. van „stuwing" als op een ijzer-circuit elkaar tegenwerkende ampère-windingen voorkomen. Bij de beschrijving gaan zij gewoonlijk van het eenvoudige geval uit, dat deze elkaar tegenwerkende ampère-windingen elk op één kant van een ijzeren ring of elk op één poot van een twee-pootigen transformator zijn aangebracht.

Zoo schrijft b.v. BENISCHKE ") : „in solchen Fallen besteht also die ge-samte magnetische Streuung aus zwei Teilen, namlich aus der magnetischen Streuung im engeren Sinne, die nur von dem Strome in der eigenen Wicklung abhangig, von dem der anderen aber unabhangig ist, und aus der magne-tischen Stauung die von der Lage und Grösze der entgegen-gerichteten

*) E. T. Z. 1910, pag. 1033.

^) Zooals P e t e r s e n in K i t t l e r , Allgemeine Elektrotechnik Bd. Il, pag. 4 7 6 . 8) ,,Die wis«enschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik", 3e Aufl., pag. 169. B e n i s c h k e zegt in 1902 het w o o r d , , S t a u u n g " het eerst te hebben ingevoerd.

M. M. K. e, also von den Stromstarken in den beiden Spuien und ihrer gegenseitigen Lage, sowie von der Phasenverschiebung zwischen den beiden Stromen abhangt." KAPP ') zegt, na eerst het geval besproken te hebben dat slechts één systeem stroom voert, „Flieszt jedoch in II auch ein Strom, so ist derselbe bestrebt einen Kraftliniënflusz in der umgekehrten Richtung zu bilden, der sich mit dem durch I erzeugten Flusse staut und dadurch eine viel starkere Streuung der Kraftlinien aus dem Eisen heraus und durch den Luft-raum hervorbringt." De uitspraak van BENISQHKE is zeker veel verwarrender dan die van van K A P P , maar toch is ook in de laatste het verkeerde begrip van stuwende velden te vinden. Het schijnt mij toe, dat men desgewenscht wel van een stuwing der magnetomotorische krachten of der ampère-win-dingen mag spreken maar niet van een stuwing der velden. Welke reden er echter is om ook hier niet eenvoudig van lek te spreken is mij niet duidelijk; natuurlijk zijn de velden die ontstaan bij „stuwende" magnetomotorische krachten anders dan die bij elkaar ondersteunende krachten, maar de onvol-ledige koppeling is en blijft het te bestudeeren verschijnsel en het gevolg dier onvolledige koppeling kan men het beste dus ook steeds met hetzelfde woord „lek" aanduiden.

De verschillende omstandigheden waaronder lek voorkomt, kunnen het eenvoudigst bestudeerd worden, door een twee-pootige kern aan te nemen, die op beide pooten een willekeurig aantal ampère-windingen draagt (fig. l ) . I Deze ampère-windingen oefenen magnetomotorische

krachten M en M' uit Eerst denken wij ons alleen M aanwezig. Zijn de kernen volledig en regelmatig be-wikkeld, dan treden de luchtvelden in hoofdzaak uit bij de jukken. In de kern, waarop M werkt, is de veldsterkte overal dezelfde, in de andere kern nemen wij aan, dat dit bij benadering ook het geval is. Wij beschouwen alleen die krachtlijnen van het luchtveld, die van juk tot juk verloopen en slechts met één stelsel ampère-windingen gekoppeld zijn. Wij denken ons het luchtveld qn in twee deelen (p\i en (p\2 verdeeld, gescheiden door een vlak dat dwars door het midden der jukken gaande de transformatorkern in twee symmetrische helften verdeelt, elk met den weerstand Ri. Voorts stellen wij ons voor, dat het geheele lucht-veld (fix het boven juk bij een bepaald punt P j verlaat en weder bij één punt Qi in het onderjuk uitkomt, evenzoo dat het veld 9512 geheel tusschen P2 en Q2 verloopt. De magnetische weerstanden der luchtvelden (p\x en (pi2 nemen wij gelijk aan en noemen wij Ri. Tusschen de punten Pi en P2 is dus, onder de hier aangenomen vereenvoudigde omstandigheden, de flux constant en wij noemen die cpu terwijl de magnetische weerstand van dit jukgedeelte Rj is.

Wanneer alleen de magnetomotorische kracht M' werkt, worden overeen-komstige velden gevonden die met een accent aangeduid worden.

Rekent men nu eerst de diverse fluxen uit bij werking van M alleen, dan bij werking van M ' alleen, dan geeft de som dezer uitkomsten ons de totale velden die bij aanwezigheid van beide magnetomotorische krachten tegelijk bestaan zullen. Hierbij is verondersteld dat het ijzer geen verzadigingsver-schijnselen vertoont. Voorts zijn de velden die naar boven- en die welke naar rechts gericht zijn positief gerekend, de anderen negatief. Hetzelfde geldt voor de magnetomotorische krachten. ' _, ,^,,

Bij de afleiding voerde ik nog in:

Ric + I 1

+

R, p'

R,''

V ' p )

R,^

V P )

hl 1 /U' / (Pi + Ti' = + (M' — M) (e + o) (3)

'- P

.• -.' ^ 1 + ^ i ' = — <! (M -flVf) e + Mo\ (4) , , , . ' ^:,+^,,' = —\(M + M')Q + MO\ (5) Noemen wij nog: q^ii + 9312 = fi en «Pu' -f (P12' = ï?/,

dan is voorts:

'^^+~^,' = — {2(M + M')Q+(M + M')o\ (6)

Deze formules gelden voor alle gevallen; de hier aangegeven luchtvelden zijn ook werkelijk lekvelden, en zij zijn dit voor alle omstandigheden, zoodat het geen zin heeft in het eene geval het lekverschijnsel anders te noemen dan in het andere. Inderdaad vinden wij in de formules 4 en 5 voor de beide luchtvelden een term met M + M', die dus afhankelijk is van beide magneto-motorische krachten en één afhankelijk van slechts één dezer krachten. (In

beide termen komen echter alle magnetische weerstanden der verschillende deelen voor). Dit is m.i. slechts een gevolg van het feit, dat door de aan-wezigheid van den magnetischen weerstand Rj van het juk, de beide mag-netomotorische krachten M en M ' bij gelijke grootte, verschillend sterke luchtvelden voortbrengen in eenzelfde baan P i Qi, resp. P2 Q2 en het gaat niet aan daaraan de theoretische gevolgtrekking vast te knoopen dat een deel van het lucht-lekveld principieel slechts van het ééne stelsel ampère-windingen afhangt, een ander deel van beide stelsels.

Wanneer M en M ' gelijk en tegengesteld zijn, zoodat zij elkaar onder-steunen bij de veldvorming in het ijzer, hetgeen in normale omstandigheden bij nullast het geval is, dan worden de velden:

^k2 + W = — ( ^ 1 + ^ 1 ' ) = — ) M(2Q + a)i (7)

V> + W= ~—2M(Q + O) (8)

P

^ 2 + ^ 1 2 ' = — ( ^ 1 + ^ 1 ' ) = + M o (9)

^ 1 - f ^ / = 0. (10) Er treden twee gelijke en tegengesteld gerichte luchtvelden op.

Zijn M en M ' gelijk en gelijk gericht, zoodat zij elkaar bij de veldvorming in het ijzer tegenwerken, dan kan men afleiden:

<3'k2 + ï'ka' = q^ki + (Pki.' = M (2Q + o) (11)

^j + ^ j ' = 0 (12)

<Pii + ^12 = <Pii + TH'= — M (2 Q + o) (13)

^ + ^ ' = _ 2 M ( 2 e + o) (14) Er zijn dus nu twee gelijke, gelijk gerichte luchtvelden, het jukveld is nul,

d.w.z. het symmetrievlak dat de transformatorkern dwars over de jukken in twee gelijke deelen verdeelt, wordt niet door krachtlijnen gesneden. Men zou dezen toestand verkrijgen als men de wikkelingen der beide pooten tegen elkaar schakelt en met stroom laat doorloopen, zoodat deze bij beide in dezelfde richting om de kern circuleert. Dit geval zou zich voordoen als primaire en secundaire wikkeling elk op één der pooten was aangebracht op het moment dat de resultante der beide ampère-windingen nul was. Practisch komt dit niet voor, omdat men de primaire en secundaire wikkelingen nooit elk op een poot aanbrengt, daar dit veel te groote spanningsdaling zou geven. Toch ontstaat ook bij de normale constructie, waarbij de beide stelsels wikke-lingen op denzelfden poot gemonteerd zijn een toestand, die principieel dezelfde is als de laatst geschetste, hoewel natuurlijk de sterkte en het verloop der velden dan een andere is. De luchtvelden gaan dan over in de normale lekvelden.

In het algemeen kunnen wdj zeggen dat het eerste geval typisch is voor lek bij nullast, het tweede voor de lek bij belasting op het moment dat de resultante der ampère-windingen nul is. Er zijn echter ook zeer belangrijke lekverschijnselen bij nullast, waarbij de ampère-windingen op de verschil-lende pooten elkaar ondersteunen in de luchtveldvorming. Deze komen bij driephasensystemen voor.

Als derde geval kunnen wij nog een toestand beschouwen, waarbij de magnetomotorische krachten M en M' gelijk gericht zijn, elkaar dus in het ijzer-circuit tegenwerken, maar ongelijk zijn. Het is duidelijk dat dit geval, (zij het dan weer in gewijzigden vorm, waarbij de primaire en secundaire ampère-windingen op eenzelfden poot liggen), bestaat bij den normaal belasten transformator. Gedurende het grootste deel van de periode toch zijn de primaire en secundaire ampère-windingen iets van elkaar verschillend, maar blijven zij componenten hebben die tegengesteld gericht zijn. Laten wij ook dit interessante geval even nader beschouwen. Wanneer bij den zooeven beschreven tweeden toestand M iets aangroeit t.o. van M', dan keert het kernveld in kern II spoedig van teeken om, d.w.z. er zijn dan geheel binnen het ijzer gesloten krachtlijnen ontstaan, de magnetisatie door de wikkeling op kern I overweegt. Op het oogenblik dat het kernveld II nul geworden was, waren er geen luchtkrachtlijnen meer die zich sloten door de kern II, m.a.w. die met de wikkeling II gekoppeld waren, op dit moment zou dus de lek overgaan in „afwijzing". Het is uit al het vorige, waarbij de ver-schillende speciale gevallen allen op geheel ongedwongen wijze uit het alge-meene geval afgeleid zijn, wel duidelijk, dat het in het geheel geen zin heeft, het nieuwe woord „afwijzing" in te voeren. Ik wajs er speciaal op, dat op het moment dat het kernveld II nul zou zijn, alle krachtlijnen slechts met de wikkeling I gekoppeld zijn, maar dat het toch niet geoorloofd is te zeggen dat zij uitsluitend door deze wikkeling voortgebracht worden, immers die eigenaardige toestand kan juist alleen ontstaan door de samenwerking der magnetomotorische krachten van de beide wikkelingen.

Keeren wij nog even terug tot de formules die den flux in diverse deelen weergaven. Wanneer wij daarin de ijzerweerstanden verwaarloozen t.o. van de luchtweerstanden dan wordt:

p = 2 (Rk -f R)) = Ru

waarin Ru de totale magnetische weerstand van het ijzercircuit is - ^ ^

Rl Ra _ 2 R i

Rl Ru

Voor elkaar ondersteunende M. M. K. gaan de formules 7 tot en met 9 nu over in:

95k2 + ï^ka = — (q^ki + 9?ki ) = ö— (7a) Ku

— — 2M

Vi + Ti' = o - (8a)

Ku

— , — , ,— —,. 2 Rj M

<Pi2 + <Pi2 = — (95ii + <Pii) = -^^ ^R- (9a)

Ki Ku

en voor M en M ' gelijk maar elkaar tegenwerkend t.o.v. het ijzer-circuit gaan de formules 11, 13 en 14 over in:

— — — M

Q'ks + 9'k2' = ^'ki + 9?ki' = ^ (11a)

_ _ _ _ _ „ M

^'la + 9312' = 9'ii + •J'ii' = — - p - (13a) 951 + 9 ' i = p — (14a) De velden in het ijzer zijn in het tweede geval zeer klein t.o.v. die in het

eerste geval, elk der kernvelden sluit zich in het tweede geval geheel door de lucht. De luchtvelden zijn in het tweede geval sterker dan in het eerste en wel in de verhouding:

RH f , , Rk 2 R r °^ ' + R 7

Dit resultaat wordt direct begrijpelijk door de volgende redeneering: Neemt men de lijn-integraal langs een krachtlijn die zich sluit door één kern en de lucht, dan is deze over de geheel gesloten baan genomen = M. In het eerste geval is echter in de kern zelf de veldsterkte groot, zoodat over het gedeelte van de krachtlijn dat in de kern verloopt, reeds het grootste

2 R

deel der magnetomotorische kracht, en wel het deel ^^— verbruikt is, voor

2 RJ

de luchtbaan blijft slechts over ~^^~ M, hetgeen een flux in de lucht geeft Ru

2 R ) M

van: _{Rl Ru}

In het tweede geval daarentegen is de veldsterkte in de kern slechts gering, zoodat nagenoeg de geheele magnetomotorische kracht M beschikbaar is voor den luchtweg, en men dus, daar Rij is te verwaarloozen bij Ri, moet

M . . ..

hebben een luchtveld v j ' • Ook hier zien wij weer hoe de luchtvelden, die Ki

hier tevens de lekvelden zijn, in beide gevallen op volkomen dezelfde wijze afgeleid kunnen worden uit de magnetomotorische krachten en magnetische

weerstanden, zoodat het geen zin heeft in beide gevallen de verschijnselen met een verschillenden naam te betitelen.

In normale omstandigheden verschillen de gevallen van lek bij nullast en bij belasting nog daarin, dat de betrokken krachten in het tweede geval veel grooter zijn, immers zij zijn evenredig met de belastings-ampère-windingen terwijl bij nullast de M. M. K. slechts met de nullast-ampère-windingen evenredig zijn. Vandaar dat de lek bij belasting steeds als een verschijnsel >s beschouwd, dat niet alleen van theoretisch belang maar ook van groote prac-tische beteekenis is, zoodat zelfs de geheele bouw van den transformator er in hooge mate door bepaald wordt. De lek bij nullast daarentegen is eigenlijk steeds als een onbelangrijk verschijnsel behandeld, en toch zullen wij in het volgende telkens weer ontdekken, dat ook déze van groote beteekenis is, dat het bij sommige typen van transformatoren juist de nullast-lek is die in vele opzichten hun gedrag bepaalt.

Met een kort woord moet ik hier nog wijzen op de gewoonte die bij som-mige schrijvers bestaat om het woord „lek" te gebruiken in een beteekenis, waarin het eigenlijk niet gebruikt mag worden, of althans niet zonder dat men uitdrukkelijk vermeldt, welke speciale beteekenis men er aan gehecht heeft. Zij spreken n.l. van „leklijnen" voor alle luchtkrachtlijnen. Zij be-doelen hiermede, dat deze krachtlijnen uit het eigenlijk voor het magnetisch veld bestemde ijzer-circuit uittreden, „uitlekken". Deze krachtlijnen kunnen echter wel degelijk met alle windingen gekoppeld zijn, zoodat zij feitelijk in het geheel geen leklijnen in de juiste beteekenis van het woord behoeven te zijn. Deze nonchalance kan tot verwarring aanleiding geven. Zoo zijn bijv. de in de lucht van juk tot juk bij nullast verloopende krachtlijnen voor een éénphase-transformator met slechts één bewikkelde kern, geen leklijnen, voor een éénphase-transformator echter met twee bewikkelde kernen zijn het wel leklijnen, daar zij slechts met de windingen van één der beide pooten gekoppeld zijn.

Ik zal steeds van luchtvelden en lucht-krachtlijnen spreken (ook al ver-loofden deze velden natuurlijk wel eens gedeeltelijk door ijzeren constructie-deelen) en ze slechts als lekvelden resp. leklijnen aanduiden, wanneer zij dat bij de beschouwing van de koppeling tusschen krachtlijnen en ampère-windingen werkelijk blijken te zijn.

Het magnetische veld der transformatoren

van éénphase-stelsels bij nullast

en bij belasting.

Wij beschouwen hierbij, zooals de titel reeds aangeeft, alleen die één-phase-transformatoren, welke werkelijk in een éénphase-systeem gebruikt worden; die welke tot meerphasen-stelsels zijn samengevoegd, worden in het volgende deel besproken.

Bij n u l l a s t zijn de verschijnselen van onderlingen lek tusschen de primaire ampère-windingen die op eenzelfde kern zijn aangebracht te verwaarloozen, en ook als deze windingen op twee kernen verdeeld liggen, kunnen zij in normale gevallen practisch eveneens als volkomen gekoppeld beschouwd worden. Wil men echter het verloop der leklijnen door de lucht wel nagaan, dan komt men tot het vraagstuk dat wij in het vorige reeds uitvoerig behan-delden. Wij merkten daarbij reeds op, dat niet alle luchtkrachtlijnen, lek-lijnen zijn en noemden als voorbeeld de luchtlek-lijnen bij een éénphase-trans-formator met slechts één bewikkelden poot; ook bij den transéénphase-trans-formator met twee bewikkelde pooten bestaan zulke lucht-krachtlijnen, n.l. lijnen die tus-schen spoel en kern verloopen en lijnen die ongeveer // de jukken hun weg door de lucht nemen. Het is duidelijk dat ook deze beide soorten kracht-lijnen wel degelijk met de ampère-windingen van beide pooten gekoppeld kunnen zijn.

De bij nullast bestaande lek van de primaire wikkeling t.o. van de secun-daire heeft tot gevolg dat de nullast-overzetting iets afwijkt van de verhouding der aantallen windingen. Al is deze afwijking klein, toch moet men er soms rekening mede houden, o.a. bij spanningstransformatoren. Deze lek kan nog een ander gevolg hebben, n.l. dat de primaire en secundaire spannings-krommen bij nullast niet geheel denzelfden vorm hebben. Hierbij moeten v«j even stilstaan.

Gaan wij uit van de veronderstelling dat de door de generatoren ontwik-kelde spanning sinusoïdaal is, dan moet ook — afgezien van het Ohmsche spanningsverlies door den nuUaststroom veroorzaakt — de totale door de primaire wikkeling omvatte flux sinusvormig verloopen. Zooals bekend is zal

dus de nuUaststroom die noodig is om dit veld te onderhouden niet sinus-vormig zijn, maar hij zal aanzienlijke bovenharmonischen bevatten. D e derde en vijfde harmonische zijn hierbij de belangrijksten. Wanneer het primaire net voor deze bovenharmonische stroomen geen zeer groote impedantie heeft, blijft de primaire klemspanning van den transformator sinusvormig. Is het spanningsverlies in het primaire net door den nuUaststroom veroorzaakt niet geheel te verwaarloozen, dan zal de transformator-klemspanning niet vol-komen sinusoïdaal blijven. Wij nemen echter aan dat zij dit wel blijft, iets wat practisch meestal nagenoeg het geval zal blgken te zijn. Wij hebben dus in de primaire wikkeling een niet sinusvormigen stroom, terwijl de totale door die wikkeling omvatte flux sinusoïdaal moet zijn. Beschouwen wij nu eener-zijds krachtlijnen die geheel door het ijzer verloopen, andereener-zijds krachtlijnen die zich door de lucht sluiten, dan zal voor beide soorten de veldsterkte op een andere wijze met den tijd varieeren. De leklijnen nu der primaire wikkeling t.o. van de secundaire sluiten zich steeds door de lucht. De secundaire wikke-hng omvat een flux (p2 die gelijk is aan den primair omvatten flux qpi minus de leklijnen <Pi- Daar nu Ti sinusvormig moet verloopen en 9^1 dit niet doet, kan ook T2 niet sinusoïdaal zijn en dus ook de secundair geïnduceerde spanning niet. Daar de sterkte van het lekveld bij nullast uiterst gering is, zal ook de afwijking der secundaire spanning van den sinusvorm slechts klein zijn.

De vorm van de kromme van den magnetisatiestroom kan uit het verloop van de magnetisatie-karakteristiek van het blik worden afgeleid. Deze aflei-ding is bekend en behoeft dus hier niet te worden weergegeven.

Bij b e l a s t i n g veranderen de magnetische velden, wij hebben in het vorige deel deze verandering reeds in hoofdzaak besproken en er o.a. ook op ge-wezen, dat de primaire en secundaire wikkehng op één poot aangebracht moeten zijn, wil men geen abnormaal grooten lek tusschen beide hebben. Wanneer de beide stelsels windingen op verschillende pooten zijn aangebracht, dan zal een krachtlijn die zich door één kern en de lucht sluit, met de volle primaire- of secundaire ampère-windingen gekoppeld zijn, m.a.w. de mag-netomotorische kracht voor dergelijke krachtlijnen is zeer groot. De lucht-velden worden dus zeer sterk en de lek zoo groot dat van een normale transformatorwerking geen sprake meer is. Wanneer men bij een dergelijken transformator de kortsluitspanning meet. dan vindt men hiervoor waarden van b.v. 100 of 150%, d.w.z. het is bij secundaire kortsluiting zelfs, al wordt primair aangesloten op de normale volle spanning, niet mogelijk den vollast-stroom door den transformator te doen circuleeren.

Dit uiterste geval, waarbij zich de geheele primaire wikkeling op den éénen, de geheele secundaire wikkeling op den anderen poot bevindt, komt dan ook niet voor. Wel worden soms expresselijk de beide windingstelsels ongelijk i' over de beide pooten verdeeld om een zeer groote spanningsdaling te krijgen. Elr moet hierbij zorgvuldig op gelet worden dat de lekkrachtlijnen hun weg niet door massieve ijzeren deelen kunnen nemen, daar dit hooge extra-verliezen en

ongewenschte verwarming meebrengt; ook niet magnetische metalen kunnen zulke extra-verliezen en verwarming veroorzaken, als n.l. de leklijnen hen snijden en daardoor stroomen in hen induceeren.

Bij sommige schakelingen der éénphase-transformatoren moet er speciaal op gelet worden dat per poot de ampère-windingen steeds in evenwicht zijn — afgezien van de nullast-ampère-windingen — daar het niet voldoende is dat dit evenwicht voor de kern als geheel beschouwd, bestaat. Heffen nl. de belastings-ampère-windingen elkaar wel op voor de geheele kern, maar niet ook voor eiken poot afzonderlijk, dan ontstaan ook weer sterke lekvelden en groote extra-spanningsverliezen. De belangrijkste gevallen, waarin deze kwestie zich voordoet zijn: de Scottschakeling en de drieleiderschakeling. Deze gevallen zijn echter zoo algemeen bekend en betrekkelijk eenvoudig,

dat ik van een verdere bespreking af zal zien.

Wanneer de primaire en secundaire ampère-windingen wel op denzelfden poot liggen treden de normale lekverschijnselen op.

Wanneer de afgenomen stroomen sterk van den sinusvorm afwijken, zullen ook de spanningsverliezen aanzienlijk daarvan verschillen. Het gevolg hiervan is, dat ook de secundaire klemspanning bij dergelijke belasting niet langer sinusoïdaal blijft.

Het magnetische veld der transformatoren

van driephasen stelsels bij nullast.

HOOFDSTUK 1.

STERPUNTSPANNING. INDEELING DER DRIEPHASEN-STELSELS.

Oppervlakkig beschouwd zou het voor de hand liggen de driephasen-stelsels te verdeelen in die waarbij één enkele driephasen-transformator ge-bruikt wordt en die waarbij drie éénphase-transformatoren tot een drie-phasige groep samengevoegd zijn, daarbij den naam driephasen-transformator gebruikende voor transformatoren die een als één geheel te beschouwen ijzeren kern bezitten, waarop de wikkelingen der drie phasen zijn aangebracht.

Het zal ons echter blijken, dat deze indeeling voor de behandeling der hier bestudeerde vraagstukken ondoelmatig is. Er zal n.l. bij de verschillende typen der z.g. driephasen-transformatoren een zoo groot verschil blijken te bestaan tusschen de eigenschappen der magnetische velden, dat sommige dezer transformatoren wat deze eigenschappen betreft veel meer gelijken op de driephasen-systemen, samengesteld uit éénphase-transformatoren. Ik wil daar-om een andere indeeling maken, die gebaseerd is op het verschil in de bij

nul-last tusschen de ampère-windingen der drie phasen mogelijke lekvelden.

Wij beschouwen de nullast-ampère-windingen van één phase onderling als volkomen gekoppeld. Bij de driephasen-transformatoren zijn deze ampère-windingen op eenzelfden poot aangebracht, zoodat deze veronderstelling nagenoeg geheel met de werkelijkheid overeenkomt; bij de éénphase-trans-formatoren liggen deze windingen meestal op twee pooten verdeeld, elkaar ondersteunend bij de veldvorming in het ijzer; de lek tusschen de ampère-windingen dezer beide pooten zal echter ook betrekkelijk gering zijn en heeft bovendien geen invloed op den lek die tusschen de windingen der diverse phasen onderling bestaat, wij mogen dus ook bij de éénphase-transformatoren van deze veronderstelling uitgaan.

De met elke phase gekoppelde velden zullen in het algemeen bestaan uit krachtlijnen, die ook nog met een andere phase gekoppeld zijn, en uit lijnen die slechts met die eene phase zelf gekoppeld zijn. Deze laatste krachtlijnen zgn dus leklijnen van de eene phase t.o. der anderen en wij kunnen hen —

daar wij hier over de nullast-velden spreken — nullast-leklijnen, de uit hen bestaande velden nullast-lekvelden noemen. Wij zullen in het vervolg, waar wij bij driephasenstelsels spreken van nullast-lekvelden steeds deze lekvelden van de phasen onderling bedoelen.

Bij een uit drie éénphasetransformatoren opgebouwde groep is geen enkele der krachtlijnen van de eene phase met de windingen der andere phasen gekoppeld (zigzagschakeling uitgezonderd), alle krachtlijnen zijn dus lek-lijnen t.o. der andere phasen. De lekinductie-coëfficienten zijn gelijk aan de zelfinductie-coëfficienten, de wederzijdsche-inductie-coëfficienten zijn nul:

Ouo — i-mo ^vo — I-ivo i^wo — I-»wo MuVO = MuWO = M v w o = 0 .

De index o duidt hierbij aan dat deze beschouwingen voor den nullast-toestand gelden.

Bij een driephasen-kerntransformator met slechts drie pooten daarentegen zullen, als de lucht magnetisch volkomen ongeleidbaar is, alle krachtlijnen door twee pooten verloopen, zij zullen alle met de ampère-windingen van twee phasen gekoppeld zijn. Wij kunnen dus de nullastvelden bij dezen idealen transformator volkomen gekoppeld noemen, er zijn geen nullast-lek-velden, de lek-inductie-coëfficienten zijn nul.

Alle grootheden, die betrekking hebben op een dergelijken idealen trans-formator zullen wij den index i geven.

In het algemeen zullen er zoowel met twee phasen gekoppelde- als slechts met één phase gekoppelde krachtlijnen bestaan.

Wij zullen nu eerst nagaan, op welke wijze de bestaans-mogelijkheid der nullast-lekvelden sommige karakteristieke eigenschappen der transformatoren bepaalt.

Wij nemen aan dat de transformator aangesloten is op een volkomen symmetrisch systeem van gekoppelde spanningen Emv, Euw, Evw. Deze span-ningen kunnen allerlei oneven harmonischen bevatten, behalve die van de orde 3k (k is een geheel getal). Deze laatste harmonischen kunnen niet in het symmetrische driephasen systeem der gekoppelde spanningen voorkomen, omdat zij voor de drie spanningen gelijkphasig zouden zijn, hetgeen onmo-gelijk is. Men kan nu een ideëel sterpunt voor het systeem aannemen, dat de

eigenschap heeft, dat Voor alle harmonischen de spanningsverschillen tusschen dit punt en de drie leidingen van het net een gelijkstralige ster vormen, zoodat de som dezer spanningsverschillen steeds nul is. De spanningsverschillen van

de orde 3k zijn door deze definitie vanzelf uitgesloten, m.a.w. wij nemen aan, dat dit fictieve sterpunt geen spanningsverschillen van die orde 3k met de phaseleidingen heeft.

Noemen wij op een bepaald oogenblik de werkelijke phase-spanningen van den transformator eu, Cv en ew, noemen wij voorts de waarden die deze spanningen zouden hebben als het sterpunt met het ideale samenviel, de ideale phase-spanningen, eui, evi. ewi. dan is steeds:

eu — Cui + es ev = CTI + Cs Cw — ewi ~ r ^a

als Cs op hetzelfde oogenblik het totale spanningsverschil is tusschen het ideëele en het werkelijke sterpunt. Dit spanningsverschil noemen wij de

sterpuntspanning. Optelling der vergelijkingen geeft, daar

Cui + Cvi + Cwi ^ 0 :

Cu + Cv + Cw — 3ea. ( 1 5 )

De oogenblikkelijke waarde der sterpuntspanning is een derde deel van de som der oogenblikkelijke waarden van de phase-spanningen.

Het al of niet bestaan van een sterpunt-spanning is van het grootste belang voor den transformator en voor het net, zooals ik later uitvoerig zal uiteen-zetten.

Uit (15) volgt nu, dat de bestaanbaarheid der sterpuntspanning afhangt van de mogelijkheid dat de som der phase-spanningen van nul verschilt. Nu is echter:

, _ , , _ ^ d ( y u + yv + yw)

3 Cs — Cu + Cv + ew C j ( 1 6 )

waaruit volgt dat men zich de sterpuntspanning géinduceerd kan denken

door het derde deel van de som der met elk der phasen gekoppelde velden.

Bepaalt men nu die som der bij elk der drie phasen behoorende velden, dan is het duidelijk dat de met twee phasen gekoppelde krachtlijnen tegen elkaar wegvallen en alleen de som der leklijnen overblijft. Wij komen hier-door tot de stelling: De sterpuntspanning kan men zich geïnduceerd denken

door een derde van de som der drie nullast-lekvelden, dus door de som der slechts met één phase gekoppelde krachtlijnen.

Bij den boven beschreven idealen transformator, waarin alle krachtlijnen met de ampère-windingen van twee phasen gekoppeld waren, moet de som der velden in de drie pooten steeds nul zijn, de lekvelden zijn nul, dus:

Tni + Tvi + Tvii = O (17)

en ook:

Cui + evi + Cwi = O ( 1 8 )

Voor den idealen driephasenkerntransformalor moet dus ook de sterpunt-spanning nul zijn, het sterpunt heeft een vaste plaats, samenvallend met het ideëele sterpunt. Er bestaan geen derde bovenharmonischen in de phase-zpanningen, voor alle andere harmonischen dezer spanningen blijft de ster gelijkstralig, ook al is de bouw van den transformator onsymmetrisch.

Bij de groep van ééntransformatoren daarentegen zijn de drie phasevelden door niets aan elkaar gebonden, alle krachtlijnen zijn nullastleklijnen,

-ale som der Velden kan dus willekeurige waarden aannemen en de

sterpunt-spanning eveneens, het sterpunt heeft een onbepaalde plaats, er kunnen derde harmonischen bestaan, terwijl de diagrammen der andere harmonischen van de phasespanningen onsymmetrische sterren kunnen zijn.

De ideale driephasen-kerntransformator bestaat niet. De lucht n.l. bezit een zekere magnetische geleidbaarheid. Bij den normalen

driephasen-kern-transformator bestaan dus wel nullast-lekvelden, de som dezer velden is gelijk aan het totale luchtveld Ti>' er kunnen geringe derde bovenharmonischen bestaan in de fluxen en spanningen, de sterren der andere harmonischen van de phase-spanningen kunnen eenigszins onsymmetrisch zijn.

Men heeft:

T» + Ty + Ty = Tl (19)

3 e . = _ ^ ^ - i (20) De sterpuntspanning hangt ook hier weer direct van de som der lekvelden

af. Daarom interesseert ons hierbij gewoonlijk ook slechts het totale lucht-veld. Bij den driephasen-kerntransformator met slechts drie pooten blijft de nullast-lek in elk geval klein, omdat ze slechts uit krachtlijnen bestaat, die zich door de lucht moeten sluiten. Er bestaan echter andere driephasen-trans-formatoren, waarbij deze leklijnen zich in de ijzeren kern zelf kunnen sluiten, zooals bij de kerntransformatoren met één of meer extra pooten, die onbe-wikkeld zijn en de manteltransformatoren. Bij deze typen kan de som der drie phase-velden evenals bij de groep éénphase-transformatoren zeer groote waarden aannemen en de eigenschappen dezer typen zullen dus, voorzoover die samenhangen met het bestaan van een sterpuntspanning, veel meer over-eenkomst vertoonen met de groep éénphase-transformatoren dan met den driephasen-kerntransformator met slechts drie pooten.

Ik wil daarom onderscheiden eenerzijds de typen waarbij zeer groote nul-last-lekvelden mogelijk zijn, doordat de leklijnen zich geheel in de kern sluiten kunnen en deze kortheidshalve noemen: é é n p h a s e - g r o e p e n ; ander-zijds die waarbij slechts kleine nullast-lekvelden bestaan kunnen, doordat de lijnen dezer velden zich uitsluitend buiten de kern sluiten kunnen. Deze laatste typen noem ik d r i e p h a s e n - t y p e n .

Wij verdeelen dus de driephasenstelsels in:

Eénphase-groepen, waarbij de krachtlijnen van het nullastveld, die slechts met één phase gekoppeld zijn en die dus leklijnen zijn t.o. der windingen Van de beide andere phasen, zich in de kern zelf kunnen sluiten en driephasen-typen, waarbij die krachtlijnen zich slechts buiten de kern kunnen sluiten.

Tot de éénphase-groepen behooren bijv.: de uit éénphase-transformatoren opgebouwde stelsels, de manteltransformatoren, de vijfpootige transformator, de transformatoren in ARNOLD W . T . II, 2e druk, fig. 71 en 191 weergegeven. Tot de typen behooren daarentegen: de normale driephasen-kerntransformatoren, de bij ARNOLD in fig. 72, 73 en 75 voorgestelde typen.

W i j moeten er ons van bewust zijn d a t de formule ( 1 5 ) geldt voor de oogenblikkelijke w a a r d e n der spanningen. D e z e spanningen zijn samengesteld uit verschillende harmonischen, zoodat zij niet door vectoren kunnen worden voorgesteld en de vergelijking ook niet omgezet m a g worden in een vector-vergelijking. Dit laatste m a g alleen geschieden voor elk der harmonischen afzonderlijk.

M e n heeft:

Cu = Eiu sin (cot — Tiu) + Eau sin ( 3 wt — (p^^) +

+ Esu sin ( 5 tut — Tsn) + enz. ev = Eiv sin ( c o t — T I ^ ) + E-av sin ( 3 cot — q)^,) +

+ Eev sin ( 5 cot — QSsv) + enz. ew = Eiw sin (cot — q)^^) + Esw sin ( 3 cot — q?3w) +

+ Esw sin ( 5 cot — Q5,w) + enz. es = Eis sin (cot — (p^s) + Ess sin ( 3 cot — qp^^) -f

+ Ess sin ( 5 cot — TSB) + enz. V o o r de diverse harmonischen kunnen nu de volgende vergelijkingen ge-schreven w o r d e n :

3 Eis sin ( cut — 93is) = Em sin ( cot — qSiu) +

-f- Eiv sin ( cot — cp^y) -\- Eiw sin ( cot — Tiy) 3 Ess sin ( 3 cot — TSS) = Esu sin ( 3 cot — 993U) +

+ Eav sin ( 3 cot — qj^y) + Esw sin ( 3 cot — ipsw) 3 Ess sin ( 5 cot — q^s) = E,™ sin ( 5 cut — q^^) +

+ Esv sin ( 5 cot — ^sv) + Esw sin ( 5 cot — q^^)

(21) of de vector -vergelijkingen: 3 Ê i s 3 Ess 3 Ess = Eiu Ili3U Jl«5U + Eiv + Esv + Esv + Eiw + Esw + Esw (22)

D i t resultaat k a n aldus onder woorden gebracht worden:

De n" harmonische van de sterpuntspanning is een derde deel der meet-kundige som van de n" harmonischen der drie phase-spanningen.

D e spanningen der orde 3k, die wij voortaan d r i e v o u d i g e b o v e n -h a r m o n i s c -h e n willen noemen, verkeeren in de bizondere omstandig-heid, d a t zij niet voorkomen in de gekoppelcie spanningen. Hieruit volgt:

Esku sin ( 3 kcot — gss^u) — Eskv sin ( 3 kcut — 9?3kv) = O Eskv sin ( 3 kcot — Ta^y) —Eskw sin ( 3 kcot — 9?3kw) = O Egkw sin ( 3 kcut — Q^skw) — Esku sin ( 3 kcut — 9?3ku) = O zoodat:

De drievoudige bovenharmonischen der sterpuntspanning en der drie phase-spanningen zijn evengroot en gelijkphasig.

Er zij uitdrukkelijk op gewezen dat deze stelling steeds juist is, ook al is bijv. het systeem der eerste harmonischen van de phase-spanningen onsymme-trisch. Terwijl dus de drievoudige bovenharmonischen der sterpuntspanning bestaanbaar zijn bij symmetrische en onsymmetrische stelsels, kunnen de andere harmonischen van deze spanning slechts voorkomen als de éénphase-groep of het driephasentype onsymmetrisch van bouw is. In vele opzichten is het daarom nuttig, naar gelang der oorzaak van het ontstaan der sterpunt-spanning, te spreken van een s t e r p u n t s p a n n i n g door onsymmetrie, of kortweg o n s y m m e t r i e s p a n n i n g en van een s t e r p u n t s p a n n i n g door d r i e v o u d i g e h a r m o n i s c h e n .

Wanneer het stelsel der aangelegde spanningen sinusvormig is, dan zou volgens sommigen de sterpuntspanning slechts een eerste harmonische onsym-metriespanning bevatten en de drievoudige bovenharmonischen. Mijns inziens mag men dat niet a priori aannemen, al zal gewoonlijk de veronderstelling vrijwel juist zijn. De andere harmonischen, zooals de vijfde, zevende, enz. kunnen door de onsymmetrie van het systeem zoodanig ontstaan, dat ze voor de drie phasen gelijk en gelijkphasig zijn en elkaar in de gekoppelde span-ningen dus opheffen. Zoo zullen wij later een interessant voorbeeld behan-delen van een onsymmetrisch type, waarbij in de gekoppelde spanningen slechts zeer geringe-, in de phasespanningen daarentegen belangrijke vijfde harmonischen voorkomen, zoodat zelfs de vijfde harmonische in de sterpunt-spanning grooter is dan de eerste. Bij symmetrische transformatoren kunnen echter, als de gekoppelde spanningen sinusoïdaal zijn, slechts drievoudige harmonischen als sterpuntspanning bestaan.

Wanneer het stelsel der aangelegde spanningen niet symmetrisch is, maar alle harmonischen spanningsdriehoeken vormen die gelijkvormig zijn met dien der eerste harmonischen, dan kunnen wij toch het begrip „ideëel sterpunt" behouden. Dit punt zou dan ook weer daardoor gekenmerkt zijn, dat de som der spanningsverschillen van dit punt met 6e drie phasen op elk cwgenblik nul is. Dit punt zou het gemeenschappelijk zwaartepunt zijn van de spannings-driehoeken der verschillende harmonischen van de gekoppelde spanningen. Het potentiaalverschil tusschen dit punt en het werkelijke sterpunt zou men ook hier de sterpuntspanning kunnen noemen. Heeft men bijv. een onsymme-trisch systeem van gekoppelde spanningen tusschen een stelsel leidingen waar-voor de som der spanningsverschillen met de aarde waar-voor de drie leidingen nul is, dan zal ook het zooeven beschreven ideëele sterpunt aardpotentiaal heb-ben. Zijn de spanningsdriehoeken der verschillende harmonischen onderling niet gelijkvormig, dan vallen de zwaartepunten niet samen, er is dus ook niet één bepaald ideëel sterpunt aan te wijzen, daar dit voor alle harmonischen anders is. Het begrip sterpuntspanning verliest in dit geval zijn beteekenis.

In het algemeen zullen de systemen der aangelegde gekoppelde spanningen slechts zeer weinig van de symmetrie afwijken, terwijl zij bovendien meestal sinusoïdale systemen zullen zijn. Ik wil daarom slechts het geval behandelen dat de aangelegde spanningen een symmetrisch stelsel vormen en, waar ik niet uitdrukkelijk iets anders vermeld, veronderstellen dat die spanningen sinusoïdaal zijn.

Ik wil thans achtereenvolgens de beide oorzaken voor het ontstaan eener sterpuntspanning, de onsymmetrie der magnetische velden en de drievoudige harmonischen dezer velden behandelen, daarna het geval bespreken dat beide oorzaken optreden, om tenslotte den invloed van ck schakeling der trans-formatoren na te gaan, en den invloed van de sterpuntspanning op het net te bestudeeren.

H O O F D S T U K 2.

STERPUNTSPANNING TENGEVOLGE V A N ONSYMMETRIE DER MAGNETISCHE VELDEN.

Bij driephasen-systemen kan van symmetrie der magnetische velden ge-sproken worden, als voor elk der phasen precies dezelfde nullast-impedantie bestaat. Er kunnen verschillende oorzaken zijn, die maken dat deze impe-dantie voor de drie phasen niet dezelfde is; zoo kan er verschil in afmetingen zijn van de ijzeren deelen, waarin de nullast-ampère-windingen hun velden voortbrengen, of verschil in de inductie dan wel in de magnetische eigen-schappen van het blik.

Wij hebben in het vorige hoofdstuk uiteen gezet, dat elk der harmonischen van de sterpuntspanning een derde deel der meetkundige som is van de over-eenkomstige harmonischen der phasespanningen. Nu kunnen soms in de phase-spanningen bovenharmonischen voorkomen, die betrekkelijk gering zijn verge-leken bij de eerste harmonische, maar die bovenspanningen kunnen een vrij groote onsymmetrie hebben, terwijl de grondharmonischen daarentegen een tamelijk symmetrisch systeem vormen. Dan zal in de sterpuntspanning die bovenharmonische sterker kunnen zijn dan de component der normale grond-frequentie. Op deze wijze kunnen reeds bij nullast zeer sterk vervormde ster-puntspanningen bestaan.

Wij zullen achtereenvolgens de driephasentypen en éénphase-groepen bespreken.

ONSYMMETRIE VAN DRIEPHASEN-TYPEN.

De ons)anmetrie bestaat bij de meest gebruikelijke soorten dezer typen daarin, dat de magnetische weerstand langs krachtlijnen, die zich door de beide buitenpooten sluiten, anders is dan langs de lijnen, die door een buitenpoot en dem middenpoot verloopen. De onsymmetrische driephasen-kerntransformator

22

is meerdere malen in de litteratuur behandeld, maar men heeft verzuimd er op te wijzen dat deze transformator uitsluitend aanleiding kan geven tot het ontstaan van een sterpuntspanning doordat er een resulteerend luchtveld optreedt en dat de ideale transformator zonder lekvelden in de lucht, ook al is hij onsymmetrisch, nooit een zoodanige spanning zou kunnen ontwikkelen. Gewoonlijk is het hoofddoel bij de verhandelingen het bepalen der nullast-stroomen geweest en men nam daarbij gemakshalve zelfs meestal aan, dat de kernvelden der grondfrequentie een gelijkzijdigen driehoek vormcJen, ^) m.a.w. dat het resulteerende luchtveld nul is. Uitgaande van deze veronder-stelling kan natuurlijk nooit een onsymmetrie-spanning van grondfrequentie gevonden worden. Men kan echter wel eerst met deze methode de op elk der pooten noodig zijnde bekrachtigings-ampère-windingen bepalen en daarvan uitgaande nagaan welke ampère-windingen er dan tenslotte totaal aanwezig blijken te zijn, die een resulteerend luchtveld kunnen opwekken. Daar dit veld steeds zeer gering is, zal de op deze wijze bij de bepaling dezer ampère-windingen en van de sterpuntspanning gemaakte fout ook zeer gering zijn. Oorspronkelijk dus aannemende dat de bovengenoemde veronderstelling juist is, komt men tot het resultaat, dat het aantal ampère-windingen van de middelste poot grooter is dan de lijn-integraal der magnetische kracht tus-schen twee punten midden in de jukken gelegen onder en boven dien middel-sten poot. De ampère-windingen op de buitenste pooten zijn grooter dan de lijn-integraal der magnetische kracht over de pooten, maar kleiner dan die integraal genomen over de pootlengte en een half onder- en bovenjuk. Vol-gens het op blz. 4 medegedeelde bestaat er dus onder en boven alle pooten aanleiding tot het uittreden van krachtlijnen in de lucht. Zooals wij daar zagen, is dit verschijnsel het onvermijdelijk gevolg van de onregelmatige bewikkeling der kern, van de afwisseling der onbewikkelde jukken met de bewikkelde pooten. Er zullen niet alleen onder en boven den poot, maar (wk langs de jukken zelf, krachtlijnen uit de ijzeren kern treden, maar voor al deze krachtlijnen zijn de beschikbare magnetomotorische krachten en de aanwezige luchtweerstanden verschillend. Vooral dit laatste maakt het uiterst moeilijk om het resulteerencfc luchtveld nauwkeurig te bepalen. Groote nauwkeurigheid is hier echter ook geheel onnoodig, daar de heele onsymmetriespanning slechts uiterst gering zal blijken te zijn. Bij benadering meen ik, aansluitende bij ARNOLD'S diagram, het volgende te kunnen vaststellen:

De magnetomotorische kracht op den middelsten poot overtreft de integraal der magnetische kracht over dien poot met een bedrag overeenkomend met de ampère-windingen '/s A . W j , waarbij A . W j de ampère-windingen zijn noodig voor de bekrachtiging van een half onder- en bovenjuk. Het overschot aan magnetomotorische kracht cier buitenpcwten boven de lijn-integraal langs die pooten, heeft de maximale waarde ^jr, A . W . j , de phaseverschuiving

tus-8) Zooals: A r n o l d W. T. II, 2e dr., pag. 96. Mandl E.U.M., 1918, pag. 197. K o r n f e l d E. u. M., 1920, pag. 300.

schen de overschotten boven de drie pooten is ongeveer 120°. Stellen wij nu alle ampère-windingen olie de lucht magnetiseeren samen, dan krijgen wij dus een resultante 180° in phase verschillend met de ampère-windingen van den

A . W j

middelsten poot, en groot (°/r, — Vs) A . W j = -^— . Noemen wij den totalen weerstand van het luchtveld Ri, dan wordt dit door onsymmetrie ontstane totale luchtveld NIQ:

N,o = - 2 R ^ (24) Deze uitkomst komt niet overeen met die van KORNFELD.") Deze vindt

de dubbele waarde en beweert dat het resulteerende luchtveld door onsym-metrie ontstaan, voor gelijke derde gedeelten door de ampère-windingen der cirie pooten wordt voortgebracht. De onjuistheid van dit resultaat moet, naar ik meen, geweten worden aan de verkeerde veronderstelling dat het totale luchtveld geconcentreerd gedacht mag worden tusschen de beide punten gelegen boven en onder den middelsten poot.

Wij zullen later verschillende metingen mededeelen, waaruit volgt dat Ri ongeveer 40 maal zoo groot is als de magnetische weerstand van een poot Rp. A . W J zal voor normale omstandigheden omstreeks V2 A.W,, zijn, zoodat het totale luchtveld slechts circa 0,6% is van het veld in de pooten en de onsymmetrie-spanning dus ook niet meer dan dit geringe percentage van de phase-spanning zal uitmaken.

Wij komen dus tot het resultaat, dat bij driephasen-typen de

sterpunt-spanning tengevolge van onsymmetrie te verwaarloozen is.

Zuiver genomen is de bovenstaande redeneering alleen geldig voor de eerste harmonische. Wanneer in de gekoppelde spanning andere harmonischen voorkomen, dan zal echter voor deze een overeenkomstig betoog kunnen worden opgesteld, zoodat ook hunne onsymmetrie-spanning gering wordt. Men zou zich nu nog de vraag kunnen stellen, of de verzadiging van het ijzer zelf in dit geval het systeem van hoogere harmonischen niet zeer onsym-metrisch zou maken. Daar de groncfliarmonischen zoo buitengewoon weinig van elkaar verschillen, en de geheele kern uit den aard der zaak uit één soort blik is opgebouwd, is er geen enkele reden, waarom de bovenharmonischen voor de drie pooten aanzienlijk verschillen zouden. Deze bovenharmonischen zullen dus ook weer nagenoeg symmetrische stelsels vormen, behalve die der orde 3k, welke wij later bespreken zullen.

Ook de onsymmetrie-spanningen van hoogere orde zijn dus te verwaar-loozen.

De symmetrische stelsels der hoogere harmonischen in de phase-spanningen zouden met overeenkomstige harmonischen in de gekoppelde spanningen samen moeten gaan, maar zij zijn daar alleen bestaanbaar, voorzoover zij in de aangelegde spanningen voorkomen; voor zoover zij daarin niet voorkomen,

worden ze door driephasige stelsels vereffeningsstroomen van overeenkomstige orde uit het net opgeheven.

Bij de door onsymmetrie veroorzaakte ongelijkheid der magnetiseerings-stroomen wil ik niet stilstaan, hierover bestaan voldoende gegevens. In de meeste gevallen zal deze ongelijkheid voor het net van weinig beteekenis zijn. Het doet dan ook wonderlijk aan de nadeelen der onsymmetrie als reden te zien aanvoeren tot het aanbrengen van extra onbewikkelde sluitpooten bij den driephasen-kerntransformator. Daardoor toch ontstaat een type met de eigenaardigheden der groepen, en het zijn juist deze éénphase-groepen, die tot veel belangrijker onsymmetrie-spanningen aanleiding kunnen geven, omdat daar de som der nullast-lekvelden niet beperkt is tot een lucht-veld! Ik wil later den in vele opzichten interessanten vijfpootigen transforma-tor uitvoerig bespreken en het zal dan ook blijken hoe hierbij in werkelijkheid een sterke onsymmetriespanning optreedt.

ONSYMMETRIE VAN ÉÉNPHASE-GROEPEN.

Wanneer twee transformatoren, in serie geschakeld, aangesloten worden op een bepaalde spanning, dan worden beiden door denzelfden stroom door-loopen en de verdeeling der totale spanning hangt dus af van de voor beiden bij denzelfden stroom uit de nullastkarakteristiek volgende spanningswaarden. In het algemeen zal, als de transformatoren van verschillend vermogen en fabricaat zijn, de verdeeling der spanning natuurlijk ongelijk zijn, ook al zijn beiden normaal bestemd voor dezelfde bedrijfsspanning. Iets dergelijks mag men verwachten wanneer drie éénphase-transformatoren tot één groep ver-eenigd worden, immers tusschen twee phasen liggen telkens twee transforma-toren in serie. De ongelijkmatige verdeeling der gekoppelde spanning zal hierbij leiden tot een onsymmetrische ligging van het sterpunt, tot een ster-puntspanning dus. Wanneer de eenheden, waaruit de groep is samengesteld, volkomen identiek zijn, is er geen reden tot het ontstaan van onsymmetrie. Bij de éénphase-groepen die bestaan uit nagenoeg gelijke éénphase-transfor-matoren zal uit den aard der zaak de onsymmetrie gering zijn. Andere één-phase-groepen zijn als één symmetrische eenheid gebouwd, waaronder te verstaan is dat êoor elk der drie pooten een vlak aangebracht kan worden, dat den transformator in twee gelijke deelen scheidt; hierbij is geen onsym-metrie-spanning te verwachten. Vertoont de bouw echter niet deze drie-voudige symmetrie of zijn de éénphase-transformatoren van de groep niet gelijk, dan zal er een sterpuntspanning door onsymmetrie te verwachten zijn en daar hier de som der velden in de pooten een groote waarde kan krijgen, kan hier zelfs een vrij groote sterpuntspanning door onsymmetrie optreden

(vijfpootige transformator, manteltransformator).

Om den invloed der onsymmetrie na te gaan, willen wij een onsymme-trische groep van éénphase-transformatoren beschouwen, waarbij wij aan-nemen dat alle spanningen en stroomen sinusoïdaal zijn. Het is duidelijk dat dit geval practisch onbestaanbaar is, wij willen dan ook later, nadat

wij ook de derde harmonischen hebben behandeld, de resultaten van de nu volgende bladzijden, nog eens herzien; men krijgt echter een duidelijker indruk van de gevolgen der onsymmetrie alleen, als men eerst slechts sinus-vormige spanningen en stroomen invoert.

De verdeeling der spanningen over de drie transformatoren en de stroom door elk opgenomen, worden bepaald door de voorwaarden, dat de som der opgenomen stroomen nul is, omdat de drie stroomen in één sterpunt samen komen, en dat de verschillen van telkens twee phase-spanningen de gekop-pelde spanningen opleveren. Wij kunnen eenvoudigheidshalve aannemen dat twee der transformatoren geheel gelijk zijn, de derde echter een afwijkende nullastreactantie heeft. Voorts zien wij af van de ijzerverliezen, die trouwens op alle hier behandelde verschijnselen slechts zeer weinig invloed hebben. Xu = Xw is de nullastreactantie van elk der onderling gelijke transformatoren. Eu = Ew en lu = Iw zijn de maximale waarden hunner spanningen, resp.

nullaststroomen.

Xv, Ev, Iv zijn de overeenkomstige grootheden van den afwijkenden trans-formator.

De gekoppelde spanningen vormen den driehoek U V W . Daar twee der nullastreactanties gelijk zijn, zal het sterpunt S in de hoogtelijn van den driehoek gelegen zijn. Voor een zuiver symmetrisch stelsel zou het sterpunt Si zijn, dit punt is tevens het zwaartepunt van den driehoek, zoodat Si A = Va V A . Kiezen wij de gekoppelde spanning als eenheid, dan is dus Si A ^ ^/e \ / 3 = 0,29. De onsymmetriespanning is S Si =: Es en men heeft

Es = S A — 0 , 2 9 .

Bij verwaarloozing der ijzerverliezen moeten de magnetisatiestroomen een systeem vormen, waarvan de vectoren 1 de spanningsvectoren S U, S V en S W staan. De magnetisatie-stroomen van twee der

trans-Eu

formatoren hebben de waarde L = — , die van den derden is L =

Fig. 2a. 2b.

Ev Xv In fig. 2b zijn de magnetisatie-stroomen weergegeven. De gelijke, maar phase-verschoven, stroomen L en Iw worden voorgesteld door O P en O R, de stroom Iv van den derden transformator door O Q. De lijnen O P , O Q en O R maken dezelfde hoeken met elkaar als S U , S V en S W .

Nu moet tengevolge van het feit dat de som der stroomen in het sterpunt O is:

O P - t - O Q - f O R = 0 zijn.

Nu is A P O R — A U S W , d u s O B = A S O P "US'

of: O B = A S

en daar O het zwaartepunt van den driehoek is, moet: 2 A S I, = 0 Q = 2 0 B = Aangezien voorts S V = Xv O Q is,

S V = — . 2 A S Xu Xu wordt: X , Xu S V S, V — Es 0,58 2 A S 2 (S, A + Es) 0,58 + 2 Es

Drukken wij omgekeerd Es uit in de verhouding der reactanties p = dan krijgen wij:

0.58(1—p) Xv Xu ^^ ~ 2 p + 1 Ev = 0,58 — Es (25) (26) Ew = Eu = V 0 ^ 5 ^ ( 0 j 9 T Ë s F (27) Voor verschillende waarden van p zijn de sterpunt-spanningen en

phase-spanningen in de volgende tabel weergegeven: T A B E L I. p 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0.5 0.4 0.3 0,2 0.1 0 Es 0 0,021 0.044 0,072 0,106 0,145 0,200 0,254 0,332 0.435 0.580 Ev 0,58 0,56 0,54 0,51 0,47 0,43 0,38 0,33 0,25 0.15 0 Ew = Eu 0.58 0.59 0.60 0.62 0,64 0.66 0,70 0.74 0,80 0,88 1

Voor p = O zou de afwijkende transformator geen spanning opnemen, de andere transformatoren zouden de gekoppelde spanning krijgen. Dit is duide-lijk want dit geval zou bestaan als Xv =^ O was, d.w.z. als de afwijkende transformator zelfs bij de grootste magnetiseeringsstroomen geen spanning kan ontwikkelen dus b.v. kortgesloten is. Voor p = 1 gaat het stelsel over in een volkomen symmetrische groep, zoodat Es nul wordt en de phase-span-ningen onderling gelijk worden.

Nu is echter de nullastreactantie sterk afhankelijk van de spanning; hoe hooger deze laatste is, hoe kleiner die reactantie wordt. De p zal dus zelf weder veranderen, naarmate de spanningsvercleeling over de transformatoren zich wijzigt. Voerden wij nu bij bovenstaande berekening voor Xv en Xu de waarden in, die uit de magnetisatie-kromme zouden volgen als alle trans-formatoren de spanning 0,58 kregen, dan zal voor p < 1 een Ev gevonden

Xv

worden, die kleiner dan Eu is. Daarvoor echter wordt p ^ — weder grooter, Xu

nadert dus meer tot één, en dit heeft weder een meer gelijkmatige spannings-verdeeling ten gevolge. Door de verzadigingsverschijnselen wordt dus de

onsymmetrie-spanning verminderd.

Het is van belang te weten hoe sterk deze invloed der verzadiging is. Om dit na te gaan heb ik voor een bepaald geval van sterke onsymmetrie, de sterpuntspanning, de phase-spanningen, de verhouding dezer spanningen en der magnetisatie-strcwmen voor verschillende waarden der normale inductie berekend. Onder ,,normale inductie" worcJt verstaan, de inductie die zou bestaan als alle transformatoren van de groep dezelfde phase-spanning hadden. De onsymmetrische groep is samengesteld uit vier gelijke één-phase-transformatoren, waarvan er twee parallel geschakeld de eene phase vormen, de beide anderen, elk afzonderlijk één der andere phasen. Het is duidelijk dat voor een bepaalde klemspanning de enkele transformatoren tweemaal zoo groote nullast-reactantie moeten hebben als de combinatie der twee parallel geschakelde transformatoren. Bestonden er dus geen verzadi-gingsverschijnselen dan zou p = 0,5 zijn. Op de eerste regel van tabel II zijn de bij p =^ 0,5 behoorende waarden der andere grootheden weer gegeven. Door de kromming der magnetisatie-karakteristiek echter treedt nu een zekere nivelleering op, die sterker is, naarmate de normale inductie hooger is. De daardoor ontstane toestanden worden door de getallen der tabel gekarakteriseerd.

De hier aangenomen verhoudingen zouden practisch ongeveer bestaan als een éénphase-groep was samengesteld uit twee gelijke transformatoren en een derden transformator van 2,5 a 3 maal het vermogen der anderen. Dit mag dus wel een zeer extreem geval genoemd worden. Zelfs in dit geval van enorme onsymmetrie echter, zou voor een normale inductie 13860, de ster-puntspanning nog maar 4,5% bedragen van de gekoppelde spanning, de spanningen der drie phasen zouden slechts 12% verschillen. Moderne groote transformatoren worden voor inducties van 13000 a 15000 Gauss