Odbiór optymalny sygna³ów cyfrowych

Odbiór optymalny sygna³ów cyfrowych

Transmisja sygna³u cyfrowego

s (t),s ( ),...1 2 t 0 lub 1

Nadajnik Kana³

Odbiornik

...lub s (t)M

Decyzja 0 lub 1 zak³ócenia

Schemat blokowy uk³adu transmisji sygna³u cyfrowego

Parametry sygna³u

przep³ywnoœæ binarna [bit/s]

szybkoϾ modulacji [Bd]

energia sygna³u

s

œrednia moc energia na 1 bit

M l

R l

R_b =_m, =log₂

b b

m s s

M

i i i

s

T i i

m b

R E S

R T E

S E

E P E

d t t s E

R T R

=

=

=

=

=

=

a o

=1

0

2( ) 1

Funkcje odbiornika:

Synchronizacja elementowa

Odtwarzanie fali noœnej (detekcja koherentna)

Pomiar sygna³u (w bie¿¹cej szczelinie czasowej 0<t<T) Rozpoznanie sygna³u (algorytm decyzyjny)

Dekodowanie kodu transmisyjnego

Wykrywanie i ewentualna korekcja b³êdów binarnych

Model kana³u z szumem gaussowskim

H ( f )

G ( ) = /2

f

n(t)

s (t)_m

n(t) - additive white Gaussian noise (AWGN)

( f

G

)= =

2 2

N

- gêstoœæ mocy szumu

Kana³ dolnopasmowy i pasmowy

Transmitancja kana³u dolnopasmowego

Transmitancja kana³u pasmowego

Szum na wyjœciu kana³u pasmowego n'( )= ( )cos2 - ( )sin2 t nct f0t nst f t0

gdzie n (t) i n (t) - sk³adowe synfazowa i kwadraturowa c s

szumu pasmowego n'(t)

0

0 B

B

f f H (f)c

H (f)c

Odbiór optymalny dla modulacji 2-wartoœciowej

( f

H_c ) v( )^t

t ' t s '( )+ n( )₀ lub

t '

s '( )+ n(t)₁ G (f) = /2_n

n(t)

s (t)_o lub s (t)₁

Za³o¿enia:

Kana³ dolnopasmowy z szumem gaussowskim

Pasmo B na tyle du¿e, ¿e interferencje miêdzysymbolowe mo¿na pomin¹æ (s' (t) s (t),s'(t)~s (t))0 ~- 0 1

Jest zapewniona synchronizacja elementowa

(odbiornik “zna” momenty transmisji kolejnych sybmoli) _

_

Optymalny uk³ad pomiaru sygna³u:

(t )1

1/(2B) T

tN

t1 t₂ t3 1

1 2

3 ( )t

t ( )

t

Próbkowanie sygna³u

= =

(t )N N

N = 2BT

sygna³ odebrany

- wynik pomiaru sygna³u w pojedynczej szczelinie czasowej

Algorytm decyzyjny

Algorytm decyzyjny - przypadek dwuwymiarowy P = P P(1/0) + P P(0/1)

P = P p (v) dv + P p (v) dv

v₀ v₁

P⁰(v)=const

P¹(v)=c onst

s’0

s’₁

v

v

v₁ v2

Optymalny algorytm decyzyjny

Poniewa¿

to

czyli

Optymalny algorytm decyzyjny:

(decyzja “1”) (decyzja “0”)

P = P p (v) dv + P p (v) dv

v₀ v₁

min

1 )

1

( =

o

V

dv v p

0 1

1 0

0

1 1

1 0

0

) ( )

(

) ( )

(

V v

v p P v

p P

V v

v p P v

p P

Î

? 3

Î

?

<

1 )

( )

(

1 0

1

1

+ o =

o

V V

dv v p dv

v p

o

o o

- +

=

= -

+

=

1

1 1

] ) ( )

( [

) ( 1

) (

1 1 0

0 1

1 1

0 0

V

V V

e

dv v

p P v

p P P

dv v p P

dv v p P

P [ ]

Optymalna decyzja gdy P = P = 1/2

Je¿eli p (v) < p (v) decyzja jest “1”

Równowa¿ny algorytm (zasada minimum odleg³oœci):

Gdy ||v-s || < ||v-s ||, to decyzja “1”

gdzie - norma euklidesowa = a

x

x

||

||

"

1

"

) ( )

( ) ( 2 )

( )

( )

( ) ( 2 )

(

0 0

2 0 0

0 2

0 0

2 1 1

0

2 -

o o

o

o o

o

T T

T

T T

T

dt t s dt

t s t v dt

t v dt

t s dt

t s t v dt

t v

"

0

"

)]

( )

( [ )]

( )

( [

"

1

"

)]

( )

( [ )]

( )

( [

0

2 0

0

2 1

0

2 0

0

2 1

? -

3 -

? -

<

-

o o

o o

T T

T T

d t t

s t

v d t

t s t

v

d t t

s t

v d t

t s t

v

"

1

"

) ( )

( ) ( )

( )

( ) (

0 0

2 2 0 1 0

0 0

2 2 1 1

1 - >

o

o

o o

T T

T T

dt t s dt

t s t v dt

t s dt

t s t v

i i î i i í i

? -

L

? -

>

o o

o o

"

0

"

) ( )

(

"

1

"

) ( )

(

0 2 2 0

1 0

2 2 1

1

0 2 2 0

1 0

2 2 1

1

T T

T T

d t t s d t

t s

d t t s d t

t s

o ^-

T

dt t

s t

s t v

0

0 1

( ) ( )]

)[

(

rys. b) rys. a)

Korelator jako odbiornik optymalny

Zamieniaj¹c sumowanie ca³kowaniem, otrzymuje siê optymalny algorytm w postaci “analogowej”:

Dwa warianty odbiornika korelacyjnego:

a) porównywanie korelacji

b) wykorzystanie progu decyzyjnego

T

0

T

0

0

a)

b)

1 lub 0

próg decyzyjny

Odbiornik optymalny z filtrem dopasowanym

Zast¹pienie korelatora filtrem h(t)=p(T-t)

o

o

Y

Y -

Y

Y -

+ -

=

= -

=

*

=

t t t

t t t

d t

T p v

d t

h v t

h t v t

y

) (

) (

) (

) ( )

( ) ( )

(

o o

==

=

Y

Y -

T

d p v d

p T v

t t y y

0

) ( ) ( )

( ) ( )

( ttt ttt

P (BER) w odbiorniku optymalnym

E jest energi¹ sygna³u ró¿nicowego ₁₀

Komplementarna funkcja b³êdu:

o

=

T

dt t p E

0 2

10

( )

) ( )

( )

( t s

t s

t

p = -

) (

erfc

1 ^{1 0}

h E

P =

o

Y

-

=

x

d u u

x 2 ex p ( ) )

erfc(

p

) erfc( x

Je¿eli P = P = 1/2, wówczas

x

Optymalna para sygna³ów

Przy zadanej œredniej mocy nadajnika

( ) 2

1

0

1

E

T E

S = +

znaleŸæ sygna³y s (t) i ₀ s (t) zapewniaj₁ ¹ce maksimum E₁₀ Rozwi¹zanie: s (t) = -s (t)_{0 1}

Prawdopodobieñstwo przek³amania gdy s (t)= - s (t)

sygna³ ró¿nicowy: p(t) = s (t) - s (t) = 2s (t)_{1 0 1}

energia tego sygna³u: E = 4E , gdzie E = E = ST_{10 1 1 0} 1

2

1 2 E₁₀

4 = erfc

P = erfc _e ST

Odbiór optymalny dla modulacji wielowartoœciowej

Algorytm decyzyjny - przypadek dwuwymiarowy

Korelator jako odbiornik optymalny

P =const=1/M_i

o

® -

T

i

i v t s t dt

s v

0

2

2 min [ ( ) ( )]

||

||

min

} )]

( [ )

( ) ( 2 )

( { min

0

2 0

0

2

o o

o

®

T i T

i T

dt t s dt

t s t v dt

t v

} )

( ) ( {

max ₂¹

0

i T

i t dt E

s t

v -

®

o

Korelator (P =const=1/M)_i

1, 2,..., lub M