Logika A
8. TWIERDZENIE GÖDLA O NIEZUPEŁNOŚCI
8.1. Twierdzenie. Zbiór (oznaczany przez T h(N )) zdań elementarnej arytmetyki prawdziwych w modelu stndardowym (N, +, ·, <, 0, 1) jest nierozstrzy- galny. Co wi¸ecej, ani T h(N ), ani jego dopełnienie nie s¸a nawet rekurencyjnie przeliczalne.
Dowód. Niech H b¸edzie zbiorem zdefiniowanym w p. 7.6. Na mocy 7.8 zbiór H nie jest rekurencyjny. Na mocy Twierdzenia 7.1 istnieje formuła arytmetyki elementarnej ψ(x) taka, że
N |= ψ(n) ⇔ n ∈ H.
Druga cz¸eść twierdzenia wynika z faktu, że dopełnienie zbioru H nie jest rekurencyjnie przeliczalne.
Niech PA b¸edzie
- zbiorem standardowych aksjomatów struktury (N, +, ·, <, 0, 1) (tzn., że (N, +, <, 0) (i (N, ·, <, 1)) jest uporz¸adkowan¸a półgrup¸a komutatywn¸a i beztorsyjn¸a, że mnożenie przez zero daje zero i działania + i · spełniaj¸a standardowy aksjomat rozdzielności) - razem z nast¸epuj¸acym schematem aksjomatów indukcji matematycznej:
∀x(ψ(x) → ψ(x + 1)) → (ψ(0) → ∀xψ(x))
gdzie ψ jest formuł¸a arytmetyki elementarnej z jedyn¸a woln¸a zmienn¸a x.
8.2. Twierdzenie Gödla o niezupełności. Istnieje takie zdanie ψ0 w j¸ezyku arytmetyki elementarnej, że PA 6` ψ0 i PA 6` ¬ψ0.
Dowód. Ponieważ zbiór PA jest rekurencyjny, zbiór wszystkich wniosków z PA jest rekurencyjnie przeliczalny.
Jeśliby stwierdzenie 8.2 nie było prawdziwe, to zbiór wszystkich wniosków z PA byłby rekurencyjny.
Ponieważ wszystkie wnioski PA s¸a spełnione w (N, +, ·, <, 0, 1), powyższe oznacza, że T h(N ) składa si¸e ze wszystkich wniosków zbioru PA. Wówczas teoria T h(N ) musiałaby być rozstrzygalna, co przeczy Twierdzeniu 8.1.
1
