4.2 Analiza fourierowska (F1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygna- łów okresowych.

4.2 Analiza fourierowska (F1)

Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygna- łów okresowych.

Zagadnienia do przygotowania:

– szereg Fouriera;

– sygnał prostokątny;

– sygnał trójkątny;

– układ RLC.

Literatura podstawowa: [3], [20], [21].

4.2.1 Podstawowe pojęcia i definicje Szereg Fouriera

Rozkład funkcji okresowej F o okresie T na szereg Fouriera ma postać:

F (t) = a0

2 +

∞

X

k=1

akcos (kωt) +

∞

X

k=1

bksin (kωt) , (4.2.1) gdzie współczynniki ak i bk dane są równaniami:

a_k= 2 T

t0+T

Z

t0

F (t) cos (kωt) dt, (4.2.2)

b_k= 2 T

t0+T

Z

t0

F (t) sin (kωt) dt, (4.2.3)

a ω = 2π/T jest częstością kołową.

Jeżeli funkcja F spełnia warunki Dirichleta, tzn.:

– przedział, w którym funkcja jest określona, można rozłożyć na skończoną liczbę podprzedziałów, a w każdym z nich funkcja F jest ciągła i monotoniczna;

– w każdym punkcie nieciągłości F istnieje granica prawostronna F (t⁺) i lewo- stronna F (t⁻),

to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się F (t) w punktach cią- głości funkcji, a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się [F (t⁻) + F (t⁺)] /2.

Sygnał prostokątny

Mamy dany sygnał prostokątny postaci:

F (t) =







U dla t ∈ 0, ^T₂

−U dla t ∈ _T

2, T

. (4.2.4)

Współczynniki szeregu Fouriera dla tego sygnału wynoszą:

a_k= 0 dla k = 0, 1, 2, . . . b_k = 0 dla k = 2, 4, 6, . . . bk = ^4U_kπ dla k = 1, 3, 5, . . .

. (4.2.5)

Sygnał trójkątny

Niech będzie dany sygnał trójkątny postaci:

F (t) =







4U t

T dla t ∈ −T

4 ,^T₄ U 2 −^4t_T

dla t ∈ _T

4,^3T₄ 

. (4.2.6)

Maksimum i minimum sygnału wynoszą odpowiednio U dla t = T /4 i −U dla t = −T /4 lub t = 3T /4. Współczynniki szeregu Fouriera mają postać:

a_k= 0 dla k = 0, 1, 2, . . . b_k= ^8U

(kπ)² sin^kπ₂ dla k = 0, 1, 2, . . . . (4.2.7) Należy pamiętać (szczególnie przy rekonstrukcji sygnału), że dla sygnału przesuniętego względem podanego wyżej współczynniki Fouriera będą inne. Przykładowo dla sygnału trójkątnego zdefiniowanego następująco:

F (t) = U −    

4U t T

dla t ∈

−T 2 ,T

2



, (4.2.8)

współczynniki mają postać:

a_k= ^8U

(kπ)² dla k = 1, 3, 5, . . . a_k= 0 dla k = 0, 2, 4, . . . bk = 0 dla k = 0, 1, 2, . . .

. (4.2.9)

Układ RLC

Eksperymentalne wyznaczanie współczynników Fouriera polega na wykorzystaniu układu filtrującego, który po podaniu na wejście badanego sygnału okresowego o am- plitudzie maksymalnej U , na wyjściu wybiera składową szeregu Fouriera. Z pomiaru amplitudy U_{k,W Y} sygnału wyjściowego otrzymujemy szukany współczynnik Fouriera.

Należy jeszcze uwzględnić w amplitudzie wyjściowej pewien wkład A_kod samego ukła- du, co daje nam związek:

U_{k,W Y} = A_kb_k. (4.2.10)

Nieznaną wartość A_k wyznaczamy filtrując sygnał sinusoidalny o wybranej częstotli- wości. Dla takiego sygnału otrzymujemy prosty związek:

A_{k,W Y} = A_kA_{k,W E}, (4.2.11)

który pozwala nam wyznaczyć A_k z pomiarów amplitudy wejściowej A_{k,W E} i wyj- ściowej Ak,W Y sygnału sinusoidalnego. Urządzeniem, które realizuje wybieranie danej składowej z szeregu Fouriera, jest układ szeregowy RLC pokazany na rysunku 4.2.1

WE

R WY L

C

Rys. 4.2.1: Schemat układu szeregowego RLC.

W układzie tym w zależności od nastaw pojemności C, indukcyjności L i oporu R możemy dokonać transmisji wybranej składowej, inne składowe zostaną wytłumione.

Z drugiego prawa Kirchoffa dla tego układu otrzymamy równanie różniczkowe liniowe i niejednorodne postaci

Ld²q

dt² + Rdq dt + q

C = U cos (ωt) , (4.2.12)

gdzie na wejście układu podano sygnał sinusoidalny o amplitudzie U i częstości wymu- szającej ω. Szukamy funkcji q (t) opisującej ładunek zgromadzony na kondensatorze.

Prąd płynący w układzie możemy obliczyć z równania I (t) = dq

dt. (4.2.13)

Przy rozwiązywaniu równania (4.2.12) warto mieć w pamięci mechaniczny odpowied- nik naszego układu elektrycznego, jakim jest oscylator harmoniczny tłumiony podda- ny działaniu siły wymuszającej (opisany w rozdziale 1.3). Z matematyki wiadomo, że pełne rozwiązanie równania (4.2.12) jest sumą rozwiązania ogólnego równania jedno- rodnego (z dwoma stałymi wyznaczanymi z warunków początkowych) i rozwiązania szczególnego związanego z wyrazem niejednorodnym. Z fizyki wiadomo natomiast, że rozwiązanie ogólne jest szybko tłumione i wystarczy zajmować się tylko rozwiązaniem szczególnym, które ma postać

q (t) = Aq(ω) cos (ωt + δ) , (4.2.14)

A_q(ω) =

U L

q

ω₀²−ω²
2

+ ^R_L
2

ω²

, (4.2.15)

ω²₀ = 1

LC. (4.2.16)

Jest to periodyczne rozwiązanie opisujące drgania z częstością napięcia wymuszającego i z amplitudą zależną od tej częstości. Warto dla porządku podać również zależność od czasu dla prądu płynącego w układzie

I (t) = AI(ω) sin (ωt + δ) , (4.2.17)

A_I(ω) = −ωA_q(ω). (4.2.18)

Ważne jest ustalenie częstości wymuszającej ω_r, która odpowiada maksymalnej ampli- tudzie danej wielkości fizycznej. Jest to częstość dla której zachodzi rezonans. Rezonans dla ładunku występuje przy ω²_r = ω²₀−¹

2 R L

2

, natomiast dla prądu przy ωr = ω₀. Ze względu (m.in.) na prostą relację będziemy korzystać z własności prądu w ukła- dzie. W praktyce obserwujemy spadek napięcia na oporze R.

4.2.2 Przebieg pomiarów Układ doświadczalny

Przyrządy: generator sygnałów sinusoidalnych, prostokątnych i trójkątnych; oscy- loskop dwukanałowy do obserwacji sygnału wejściowego i wyjściowego oraz do pomiaru amplitud; dekadowy opór, pojemność i indukcyjność; kable połączeniowe. Schemat wy- korzystywanego układu pomiarowego przedstawiono na rysunku 4.2.2.

Badanie tłumienia układu

Zestawić układ pomiarowy według schematu. Ustalić indukcyjność L = 0.1 H, opór R = 100 Ω i pojemność C_t = 253.3 nF . Wielkości te teoretycznie odpowiadają

generator

oscyloskop

RLC

WE WY

CHI CHII

Rys. 4.2.2: Schemat układu pomiarowego.

dostrojeniu układu RLC do częstotliwości rezonansowej f₁ = 1 kHz. Z generatora doprowadzić sygnał sinusoidalny o częstotliwości f = 1 kHz. Faktyczne dostrojenie układu RLC może być inne głównie ze względu na dodatkowe pojemności połączeń.

Sprawdzić faktyczne dostrojenie układu RLC zmieniając f w otoczeniu f1. W razie potrzeby znaleźć pojemność C_d, która daje potrzebne dostrojenie do f₁. W tym celu należy ustalić f = f₁ i zmieniać pojemność tak, aby uzyskać maksymalną amplitu- dę. W punkcie rezonansu zmierzyć amplitudę wejściową A1,W E i wyjściową A1,W Y

sygnału sinusoidalnego. Powtórzyć powyższą procedurę dla częstotliwości f_k = 3, 5, 7, 9, 11 kHz, dostrajając układ jedynie poprzez zmianę pojemności. W ten sposób otrzymać pojemności Cdoraz amplitudy Ak,W E i Ak,W Y dla k = 3, 5, 7, 9, 11.

Analiza sygnałów prostokątnego i trójkątnego

Z generatora doprowadzić sygnał prostokątny o częstotliwości f = 1 kHz. Dostroić układ RLC do częstotliwości f₁ = 1 kHz. Zmierzyć amplitudę wejściową U_{1,W E} i wyj- ściową U_{1,W Y}. Powtórzyć powyższą procedurę dostrajaj¸ac układ RLC do częstotliwości fk= 3, 5, 7, 9, 11 kHz nie zmieniaj¸ac parametrów wejściowego sygnału prostokątnego.

Z generatora doprowadzić sygnał trójkątny o częstotliwości f = 1 kHz. Wykonać pomiary tak jak w przypadku sygnału prostokątnego.

Badanie krzywych rezonansowych

Dostroić układ RLC do częstotliwości f₃ = 3 kHz. Na wejście układu podać sy- gnał sinusoidalny, który należy zmieniać w przedziale od 1 do 10 kHz i mierzyć jego amplitudę wyjściową. Analogiczne pomiary wykonać przy dostrojeniu układu RLC do częstotliwości f5= 5 kHz i f7 = 7 kHz.

Aby zbadać wpływ oporu na kształt krzywej rezonansowej wykonać ponownie po- miary amplitudy wyjściowej sygnału sinusoidalnego przy dostrojeniu układu RLC do f₅, ale tym razem zmienić wartość oporu na R = 200 Ω i R = 500 Ω.

4.2.3 Opracowanie wyników

Obliczyć teoretyczne wartości współczynników Fouriera i porównać je z uzyskanymi doświadczalnie. Oszacować niepewności wyznaczonych współczynników.

Zrekonstruować sygnały prostokątny i trójkątny na podstawie teoretycznych i wy- znaczonych doświadczalnie współczynników Fouriera (do jedenastego wyrazu włącz- nie).

Narysować krzywe rezonansowe (zależność amplitudy sygnału wyjściowego od czę- stotliwości napięcia wymuszającego) na podstawie punktów doświadczalnych oraz przy wykorzystaniu zależności teoretycznej f (ω) = RA_I(ω). Do danych doświadczalnych dofitować funkcję postaci

f (ω) = ωP₁

q

(P2−ω²)²+ P3ω²

, (4.2.19)

gdzie P₁, P₂ i P₃ to parametry fitowania. Wykorzystać trzy parametry fitowania do obliczenia czterech wartości U , R, L, C, przy czym ze względu na pewną swobodę ustalamy wartości L lub C zgodnie z danymi z eksperymentu. Można również fitować parametry P₁ i P₃ przy ustalonym ustalonym P₂= ω²₀. Przedyskutować wpływ oporu R na kształt krzywej.