Mechanika kwantowa

(1)

Symulacje komputerowe Symulacje komputerowe

Mechanika kwantowa Mechanika kwantowa

Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (e-mail: jacek@fizyka.umk.pl)

http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/modsym/

Wersja: 20 kwietnia 2010

(2)

Plan

1. Tło i powstanie fizyki kwantowej

2. Podstawowe pojęcia i opis stanu w fizyce kwantowej 3. Czasowe i bezczasowe równanie Schrödingera

(dynamika stanu i szukanie stanów własnych) 4. Inne podobne równania różniczkowe cząstkowe

5. Metody num. 1D: Crank-Nicholsona i FFT+Czebyszew

6. Metody num. 2D i 3D: ADI i FFT+Czebyszew

(3)

Podręczniki

• I. Birula-Białynicki, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów, 1991

• L. Schiff, Mechanika kwantowa, 1977

• L. D. Landau, E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa, 1979

• H. Haken, H. C. Wolf, Atomy i kwanty, 1997

• R. Shankar, Mechanika kwantowa, 2006

• Skrypt prof. Andrzeja Raczyńskiego

http://www.fizyka.umk.pl/~raczyn/

(4)

Stara teoria kwantów

• Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc

(reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach):

– promieniowanie ciała doskonale czarnego

Planck założył kwantyzację energii (1900 r.) – prawo Wiena

(5)

Stara teoria kwantów

• Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc

(reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach):

– zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

Einstein wyjaśnił je zakładając kwantyzację energii fali elektromagnetycznej (fotony) (1904 r.)

prędkość fotoelektronów zależy tylko od częstości fali

ilość fotoelektronów zależy od natężenia światła (ilości fotonów)

(6)

Stara teoria kwantów

• Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc

(reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach):

– linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych

kwantyzacja energii atomu (momentu pędu), zmiana energii (stanu) atomu tylko przy emisji lub absorpcji fotonu

model atomu Bohra (1911 r.)

Widmo termiczne (np. Słońce)

Widmo emisyjne azotu

(7)

Stara teoria kwantów

• Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc

(reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach):

– linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych model atomu wodoru Bohra (1911 r.)

(8)

Stara teoria kwantów

• Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc

(reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach):

– ciepło właściwe ciał stałych (Einstein 1907 r., Debye 1914 r.) – doświadczenie Francka-Hertza (1918 r.)

– efekt Comptona (1923 r.)

– hipoteza de Broglie’a (1923 r.) - dualizm cząsteczkowo-falowy – doświadczenie Sterna-Gerlacha (1922 r.) - spin (wewn. m. pędu)

(9)

• Postulaty mechaniki kwantowej:

1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona,

zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną

) , ( tr



) ( ),

(t v t r  Interpretacja probabilistyczna



^

V

r d t

r, )² ³

( prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze V

1 )

, (

3

2 3







R

r d t

r pewność znalezienia cząstki;

funkcja falowa jest unormowana

(10)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

) , ( tr



) ( ),

(t v t r 

x )2

, ( tr



(11)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

) , ( tr



) ( ),

(t v t r 

Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone)

) , ( )

,

( ₂ ₂

1

1 r t c r t

c      superpozycja (zasada superpozycji)



^ ^



^



^ ^

3 1

3 2

* 2

1, ( , ) ( , )

R

r d t r t

r 

iloczyn skalarny funkcji falowych

(12)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

) , ( tr



) ( ),

(t v t r 

Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone)

Można skonstruować bazę ortonormalną funkcji falowych



^





n

n t r

c t

r, ) ( ) ( )

( 



^{ ,}_n ^_m



^ ^_nm widmo dyskretne

dE r

t E c t

r, ) ( ; ) _E( ) (



0







  ^c_n ^



^_n^,^⁽^r^^,^t⁾

 

^_E ^,p^_n _E_



c^_n ^² ⁽^E ^ ^E^⁾ widmo ciągłe

(13)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych)

r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 















i

i p

x t

x )(

analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa

(14)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:



^ ^ ^ ^







3 3

2 3 3

*( , ) ( , ) ( , )

ˆ ) , ( ) (

R R

r d t r x

t r x

t

x   

Operator położenia cząstki:

x xˆ 





i

i p

x t

x )(

analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa

r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











(15)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:



^ ^ _^ ^







3

*( , )( ) ( , )

ˆ ) , ( ) (

R

x r t d r

i x t

r p

t

p 

  Operator pędu cząstki:

i x p_x



 

  ˆ

r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











(16)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:



^ ^







3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

R

r d t r H

t r H

t

E  

Operator energii całkowitej (hamiltonian):

) , 2 (

ˆ ˆ

) ˆ , 2 (

ˆ ˆ ˆ

ˆ ² ² ² ² V r t

m p p

t p r m V

V p T

H  ^x  ^y  ^z  











r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











(17)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:



^ ^







3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

R

r d t r H

t r H

t

E  

) , 2 (

ˆ 1 ˆ

ˆ ² ² ² V r t

i z i y

i x V m

T

H 



 











 



 







 

 



 







 

 



 







 







r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











(18)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:



^ ^







3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

R

r d t r H

t r H

t

E  

) , 2 (

ˆ ˆ

ˆ ²

2 2 2

2 2

t r m V

t r z V

y x

V m T

H          



 







 



 



 







r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











(19)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

Twierdzenie Ehrenfesta:

Wartość oczekiwane operatorów położenia i pędu zmieniają się w sposób analogiczny, jak w układzie nieskwantowanym (klasycznym)

Ale w mechanice kwantowej wynik pomiaru np. położenia nie musi być równy wartości oczekiwanej –

to nie musi być nawet najbardziej prawdopodobne położenie

(20)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

x ) 2

, ( tr



najbardziej

prawdopodobne położenie

wartość oczekiwana położenia

możliwy wynik pomiaru położenia

(21)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

Doświadczenie Younga na pojedynczych fotonach

(22)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

Niepewność – wariancja:

r d t r O

t r O

t O

R

3

*( , ) ˆ ( , ) ˆ )

, ( ) (

3



 











wartość oczekiwana

r d t r O

O t

r O

O O

R

3

*( , )( ˆ ) ( , ) )

ˆ ) ( , (

3



  

















^wariancja

Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga

(23)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

Niepewność – wariancja:

r d t r x

x t r x

x x

R

3

*( , )( ) ( , ) )

) (

, (

3



  

















^niepewność_położenia

Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga

r d t r x p

i t

r p

p p

R

x x

3

*( , ) ( ) ( , )

) ˆ )

( , (

3

 

  



 

















^niepewność_pędu

2

 



x p_x Granica dokładności pomiaru stanu cząstki (powód „fizyczny”, a nie „technologiczny”)

(24)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją

operatora (związek teorii z doświadczeniem) operator położenia – dowolne wartości

(zbiór liczb rzeczywistych) x

xˆ 

Wartość oczekiwana operatora może nie być wartością własną (problem pomiaru – redukcja pakietu falowego) energia całkowita (hamiltonian) – tylko wybrane wartości

) , 2 (

ˆ ² V r t

H  m    Mówimy, że energia jest skwantowana ale ma również część widma ciągłego

(25)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

operatora (związek teorii z doświadczeniem)

(26)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru?

Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy)

Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych

n n

n

E

H ˆ   

(27)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru?

Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy)

Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych

n n

n

E

t r

m V    



 



    ( , ) 2

2





bezczasowe

równanie Schrödingera

(28)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

operatora (związek teorii z doświadczeniem) Stany własne atomu wodoru (funkcje falowe)

http://www.falstad.com/qmatom/

http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/intro_hyd.html

1s 2s, 3s

(29)

Mechanika kwantowa

• Postulaty mechaniki kwantowej:

4. Ewolucja układu kwantowego (cząstki), gdy nie dokonuje się pomiaru, jest opisana zależnym od czasu równaniem Schrödingera

) , ˆ (

) ,

( H r t

t t

i r  

  







) , ( )

, 2 (

) ,

(

²

t r t

r m V

t t

i r    

  



 



   

 





To jest fundament symulacji kwantowomechanicznych!

Równanie różniczkowe cząstkowe (PDE)

Odpowiednik równania Newtona

(30)

• Opis stanu w mechanice kwantowej

– nowa jakość

– Opis probabilistyczny (możliwość interferencji)

– Komplementarność (problem zupełnego opis stanu) – Kwantyzacja wielkości fizycznych

– Nieklasyczne wielkości fizyczne (spin) – Nierozróżnialność identycznych cząstek

Mechanika kwantowa

• Zasada korespondencji (Niels Bohr)

(31)

• Jednowymiarowe równanie Schrödingera

• Implementacja na ćwiczeniach

• Pokaz typowych zjawisk

http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/download/qdyn.htm

Mechanika kwantowa

) , ( )

, ) (

, ( 2

) , (

2 2

2

t r t

r x V

t r m

t t

i r   

 

  





 

 





C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\QDyn http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/fkanim/index.html

(32)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Rozszerzanie pakietu gaussowskiego (brak potencjału)

Cząstka swobodna. Im węższy pakiet, tym szybciej się rozszerza.

Stan początkowy:

pakiet gaussowski, szerokość a Potencjał: brak potencjału

Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100);

sieć czasowa: 1000, krok 0.1 a = 1

a = 2

a = 4

Na wykresie pokazany jest

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

(33)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Rozpraszanie na progu potencjału

Stan początkowy:

pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1

sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 0.5

(34)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Rozpraszanie na progu potencjału

Stan początkowy:

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 1

(35)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Rozpraszanie na progu potencjału

Stan początkowy:

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 1.5

(36)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Rozpraszanie na progu potencjału

Stan początkowy:

(37)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

k = 0.5 Stan początkowy:

pakiet gaussowski (pęd k)

Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100);

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

(38)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

k = 1 Stan początkowy:

(39)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

k = 1.5 Stan początkowy:

(40)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

(41)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 0.5

(42)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

(43)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1.5

(44)

Mechanika kwantowa w obrazach

• Zjawisko tunelowania

Stan początkowy:

a = 2.5

(45)

Inne równania falowe

• Równanie propagacji fali elektromagnetycznej (wyprowadzane z równań Maxwella)

• Równanie powierzchni cieczy

• Równanie dyfuzji

0 )

, 1 (

2

2  



 







 

 E r t

t c

 

0 )

, 1 (

2

2  



 







 

 B r t

t c

 

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Założenie: strumień proporcjonalny do gradientu stężenia

n x

D

J   ( ) ⁽ ^, ⁾



^D⁽^r^,^t⁾ ⁿ⁽^r^,^t⁾



^S⁽^r^,^t⁾

t t r

n    









 

