Mechanika kwantowa
Stanisław Kryszewski
Mechanika kwantowa
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2018
Recenzja
prof. dr hab. Andrzej Raczyński (UMK) Redakcja
Dorota Zgaińska
Projekt okładki i stron tytułowych Gabriela Gic-Grusza
Publikacja sfinansowana z działalności statutowej Wydziału Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego
Copyright by Stanisław Kryszewskic Copyright by Uniwersytet Gdańskic Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ISBN 978-83-7865-757-6
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ul.Armii Krajowej 119/12, 81-824 Sopot tel./fax 58 523 11 37, tel. 725 991 206 e-mail: wydawnictwo@ug.edu.pl www.wyd.ug.edu.pl
Księgarnia internetowa: www.kiw.ug.edu.pl
Spis treści
Od Autora 11
0.1 Mechanika kwantowa nie jest łatwa . . . 11
0.2 Informacje dla Czytelnika . . . 13
1 Cząstki i fale 15 1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony . . . 15
1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Younga . . . 17
1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta . . . 18
1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte . . . 19
1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego . . . 20
1.3 Dualizm korpuskularno-falowy . . . 22
1.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń . . . 22
1.3.2 Potrzeba innego opisu . . . 22
1.3.3 Dualizm korpuskularno-falowy . . . 24
1.4 Idea rozkładu spektralnego . . . 25
1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego . . . 25
1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne . . . 27
2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 29 2.1 Hipoteza de Broglie’a. Funkcje falowe . . . 29
2.2 Równanie Schrödingera . . . 31
2.2.1 Uwagi i komentarze . . . 32
2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera . . . 33
2.2.3 Uogólnienie . . . 35
2.3 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej . . . 36
2.4 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa . . . 39
2.4.1 Gęstość prądu prawdopodobieństwa . . . 39
2.4.2 Ciągłość prawdopodobieństwa . . . 40
3 Stacjonarne równanie Schrödingera 43 3.1 Wyprowadzenie . . . 43
3.2 Ogólne rozwiązania . . . 44
3.3 Cząstka swobodna . . . 45
3.3.1 Stacjonarne funkcje falowe . . . 45
3.3.2 Problemy interpretacyjne . . . 46
3.3.3 Nowa (inna) interpretacja . . . 48
3.4 Stany związane i rozproszeniowe . . . 48
3.4.1 Dyskusja ogólna . . . 48
3.4.2 Uwagi o ciągłości funkcji falowych . . . 50
6
Spis treści4 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 51
4.1 Przegląd metod matematycznych . . . 51
4.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta . . . 51
4.1.2 Operatory liniowe na przestrzeni funkcji falowych . . . 54
4.1.3 Operatory hermitowskie . . . 59
4.2 Pomiary kwantowo-mechaniczne . . . 61
4.2.1 Obserwable . . . 61
4.2.2 Pomiar kwantowo-mechaniczny . . . 62
4.2.3 Postulaty pomiarowe . . . 66
4.3 Wartości oczekiwane i wariancje . . . 67
4.3.1 Wartości oczekiwane . . . 67
4.3.2 Wariancje . . . 69
4.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli . . . 71
4.4.1 Operatory położenia i pędu . . . 71
4.4.2 Zasada odpowiedniości . . . 72
4.4.3 Hamiltonian cząstki . . . 74
4.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne. Metoda kwantowania . . . 74
5 Równanie Schrödingera 77 5.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej . . . 77
5.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego . . . 78
5.2.1 Ewolucja w czasie . . . 79
5.2.2 Normowanie funkcji falowej (5.20) . . . 81
5.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu . . . 82
5.2.4 Uwagi o zachowaniu energii . . . 83
5.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli . . . 84
5.3.1 h A it– liczbowa funkcja czasu . . . 84
5.3.2 Równanie ruchu dlah A it . . . 84
5.4 Równania Ehrenfesta . . . 86
5.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta . . . 86
5.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna . . . 88
6 Zasada nieoznaczoności 91 6.1 Formalna zasada nieoznaczoności . . . 91
6.1.1 Pojęcia wstępne . . . 91
6.1.2 Zasada nieoznaczoności . . . 93
6.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności . . . 93
6.2 Dyskusja i pewne zastosowania . . . 94
6.2.1 Ogólne sformułowanie . . . 94
6.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie-pęd . . . 95
6.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra . . . 96
6.3 Zasada nieoznaczoności energia-czas . . . 97
7 Ważny przykład. Oscylator harmoniczny 101 7.1 Klasyczny oscylator harmoniczny . . . 101
7.2 Dlaczego oscylator jest taki ważny? . . . 102
7.3 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora . . . 103
7.3.1 Zamiana zmiennych . . . 104
7.3.2 Zachowanie asymptotyczne . . . 105
7.3.3 Równanie dla funkcjif (ξ) . . . 106
7.3.4 Rozwiązania. Wielomiany Hermite’a . . . 107
7.3.5 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora . . . 109
Spis treści
7
7.4 Pewne zastosowania . . . 110
7.4.1 Element macierzowy operatora położenia . . . 110
7.4.2 Element macierzowy operatora pędu . . . 111
7.4.3 Elementy macierzoweh k | x2| n i i h k | p2| n i . . . 112
7.4.4 Zasada nieoznaczoności dla oscylatora w stanieψn(x) . . . 113
7.4.5 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności . . . 114
8 Notacja Diraca 117 8.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu . . . 117
8.2 Kety i bra. Notacja Diraca . . . 118
8.3 Operatory liniowe . . . 120
8.3.1 Operatory, kety i bra . . . 120
8.3.2 Operator rzutowy . . . 121
8.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca . . . 122
8.4.1 Definicja operatora sprzężonego . . . 122
8.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego . . . 122
8.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady . . . 123
8.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne . . . 124
8.5 Operatory hermitowskie – obserwable . . . 124
9 Reprezentacje w przestrzeni stanów 127 9.1 Definicja reprezentacji . . . 127
9.1.1 Intuicyjne wprowadzenie . . . 127
9.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności . . . 128
9.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów . . . 129
9.2.1 Reprezentacje ketów i bra . . . 129
9.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego . . . 130
9.2.3 Uwagi o normowaniu . . . 131
9.2.4 Reprezentacja wektora| ˜ψi = ˆA| ψ i . . . 131
9.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów . . . 132
9.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego . . . 133
9.2.7 Wyrażenie dlah ϕ | ˆA| ψ i . . . 133
9.3 Nowa terminologia . . . 134
9.3.1 Funkcje falowe w reprezentacjiU . . . 134
9.3.2 Operatory w reprezentacjiU . . . 135
9.3.3 Wyjaśnienia dodatkowe . . . 136
10 Reprezentacje położeniowa i pędowa 139 10.1 Reprezentacja położeniowa . . . 139
10.1.1 Definicja reprezentacji położeniowej . . . 139
10.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej . . . 140
10.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej . . . 141
10.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej . . . 142
10.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej . . . 144
10.2 Reprezentacja pędowa . . . 144
10.3 Związek między reprezentacjami|~r i i | ~p i . . . 146
10.3.1 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej . . . 147
10.3.2 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie . . . 149
10.3.3 Cząstka swobodna . . . 150
10.3.4 Kłopoty interpretacyjne . . . 150
8
Spis treści11 Zupełny zbiór obserwabli komutujących 153
11.1 Twierdzenia matematyczne . . . 154
11.2 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK) . . . 157
11.3 Uwagi praktyczne . . . 158
12 Postulaty mechaniki kwantowej 161 12.1 Postulat 1: wektor stanu . . . 162
12.2 Postulat 2: obserwable . . . 163
12.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartości własne obserwabli . . . 164
12.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wyników pomiarowych . . . 164
12.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji . . . 164
12.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją . . . 165
12.4.3 Przypadek widma ciągłego . . . 166
12.4.4 Ogólne komentarze do postulatu 4 . . . 166
12.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu . . . 167
12.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera . . . 168
13 Kwantowa teoria momentu pędu 169 13.1 Podstawowe definicje . . . 169
13.2 Relacje komutacyjne . . . 170
13.3 Ogólny operator moment pędu . . . 171
13.3.1 Uogólnienia . . . 171
13.3.2 Relacje komutacyjne . . . 172
13.4 Wartości własne operatorów ~J2 oraz J3= Jz . . . 174
13.4.1 Wartość własnam jest ograniczona . . . 175
13.4.2 WłasnościJ±| j m i . . . 176
13.4.3 Wartości własne ~J2 orazJ3= Jz . . . 177
13.4.4 Podsumowanie . . . 178
13.5 Wektory własne operatorów ~J2oraz J3= Jz. Reprezentacja standardowa . . . 179
14 Orbitalny moment pędu 181 14.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu . . . 181
14.1.1 Wartości własne i wektory własne . . . 182
14.1.2 Elementy macierzowe . . . 182
14.2 Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej . . . 183
14.2.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne . . . 183
14.2.2 OperatoryLk we współrzędnych sferycznych . . . 184
14.2.3 Operator ~L2we współrzędnych sferycznych . . . 185
14.2.4 Wartości własne i funkcje własne ~L2 iL3 . . . 187
14.3 Harmoniki sferyczne . . . 189
14.3.1 Pożyteczne formuły . . . 190
15 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 193 15.1 Kwantowe zagadnienie dwóch ciał . . . 193
15.1.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej . . . 193
15.1.2 Wartości i funkcje własne hamiltonianu . . . 195
15.1.3 Współrzędne sferyczne. Hamiltonian . . . 197
15.2 Radialne równanie Schrödingera . . . 198
15.2.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących . . . 198
15.2.2 Radialne równanie Schrödingera . . . 200
15.2.3 Zachowanie się funkcji radialnych wr = 0 . . . 201
15.3 Podsumowanie . . . 202
Spis treści
9
16 Atom wodoropodobny 205
16.1 Stabilność atomu . . . 206
16.1.1 Dyskusja klasyczna . . . 206
16.1.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna . . . 206
16.2 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego . . . 208
16.2.1 Równanie radialne – własności . . . 208
16.2.2 Rozwiązanie równania radialnego . . . 209
16.2.3 Analiza rekurencji i kwantowanie energii . . . 214
16.3 Omówienie uzyskanych rezultatów . . . 217
16.3.1 Poziomy energetyczne. Główna liczba kwantowa . . . 217
16.3.2 Radialne funkcje falowe . . . 219
16.3.3 Średni rozmiar atomu . . . 222
16.4 Podsumowanie . . . 223
17 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 225 17.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej . . . 225
17.1.1 Hamiltonian . . . 225
17.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie . . . 226
17.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa . . . 227
17.2 Jednorodne pole magnetyczne . . . 229
17.2.1 Wybór potencjału wektorowego . . . 229
17.2.2 Hamiltonian . . . 230
17.2.3 Dyskusja rzędów wielkości . . . 231
17.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego i diamagnetycznego . . . 233
17.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego . . . 235
17.3.1 Poziomy energetyczne . . . 235
17.3.2 Dyskusja fizyczna . . . 236
18 Teoria spinu 1/2 239 18.1 Braki dotychczasowej teorii . . . 239
18.2 Postulaty teorii Pauliego . . . 240
18.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 . . . 243
18.4 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/2 . . . 246
18.4.1 Wektory stanu – spinory . . . 246
18.4.2 Operatory i ich działanie na spinory . . . 247
18.4.3 Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych . . . 248
19 Dodawanie momentów pędu 251 19.1 Całkowity moment pędu . . . 251
19.1.1 Przykład kwantowo-mechaniczny . . . 251
19.1.2 Oddziaływanie spin-orbita – dyskusja wstępna . . . 253
19.2 Dodawanie dwóch momentów pędu . . . 255
19.2.1 Omówienie ogólne . . . 255
19.2.2 Podstawowe własności operatora ~J= ~j1+~j2. . . 256
19.2.3 Wartości własne (liczby kwantowe)J oraz M . . . 258
19.2.4 Wektory własne operatorów ~J2iJ3 . . . 259
19.3 Współczynniki Clebscha-Gordana (CG) . . . 264
19.3.1 Własności współczynników CG . . . 265
10
Spis treści20 Stacjonarny rachunek zaburzeń 273
20.1 Istota problemu . . . 273
20.2 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego . . . 275
20.2.1 Formalizm matematyczny . . . 276
20.2.2 Poprawki pierwszego i drugiego rzędu . . . 277
20.2.3 Dyskusja uzyskanych rezultatów . . . 280
20.3 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego . . . 281
20.3.1 Formalizm rachunku zaburzeń z degeneracją . . . 282
20.3.2 Dyskusja macierzy zaburzenia . . . 284
20.3.3 Podsumowanie . . . 286
20.3.4 Przykłady zastosowań . . . 287
21 Rachunek zaburzeń z czasem 289 21.1 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera . . . 290
21.1.1 Wpływ zewnętrznego zaburzenia . . . 290
21.1.2 Prawdopodobieństwo przejścia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń . . 291
21.2 Zaburzenie harmoniczne . . . 293
21.2.1 Prawdopodobieństwo przejścia . . . 294
21.2.2 Własności funkcji pomocniczych . . . 296
21.2.3 Przybliżenie rezonansowe . . . 298
21.2.4 Zaburzenie stałe w czasie . . . 301
21.2.5 Szerokość rezonansu i zasada nieoznaczoności . . . 302
21.2.6 Warunki stosowalności . . . 302
21.2.7 Podsumowanie . . . 304
21.3 Sprzężenie ze stanami z kontinuum . . . 305
21.3.1 Dyskusja problemu . . . 305
21.3.2 Złota reguła Fermiego . . . 306
22 Oddziaływanie atomów z falą elektromagnetyczną 309 22.1 Hamiltonian oddziaływania . . . 309
22.2 Układ atomowy . . . 309
22.3 Oddziaływanie z falą elektromagnetyczną . . . 310
22.3.1 Fala płaska. Hamiltonian oddziaływania z atomem . . . 311
22.4 Prawdopodobieństwo przejścia . . . 313
22.4.1 Przybliżenie dipolowe . . . 313
22.4.2 Uzasadnienie zaniedbania członu ~S· ~B . . . 315
22.4.3 Obliczenia . . . 316
22.5 Reguły wyboru . . . 317
22.5.1 Polaryzacja liniowa . . . 318
22.5.2 Polaryzacja kołowa . . . 319
22.5.3 Uwagi dodatkowe . . . 320
22.6 Stosowalność rachunku zaburzeń . . . 320
22.7 WspółczynnikiA i B Einsteina . . . 322
22.7.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego. Teoria Einsteina . . . 322
22.7.2 Wyniki kwantowo-mechaniczne . . . 325
22.7.3 Uśrednienie po orientacjach dipola atomowego . . . 325
22.7.4 WspółczynnikA emisji spontanicznej . . . 326
22.7.5 Czas życia wzbudzonego stanu atomowego . . . 326
Bibliografia 327
Skorowidz 329
Od Autora
0.1 Mechanika kwantowa nie jest łatwa
Mechanika kwantowa jest w moim przekonaniu najtrudniejszym i chyba najważniejszym przedmiotem wykładanym w trakcie uniwersyteckich studiów fizyki. Jej trudność wynika z wielu powodów.
Po pierwsze, mechanika kwantowa wymaga odrzucenia wielu nawyków i intuicyjnych przyzwyczajeń typowych dla fizyki klasycznej i życia codziennego. Na przykład, doskonale znane i zrozumiałe pojęcie toru ruchu ciała materialnego jest zupełnie nieadekwatne, by nie rzec fałszywe, w obszarze mikroświata opisywanego za pomocą mechaniki kwantowej. Stu- diując ten przedmiot trzeba włożyć wiele trudu, aby porzucić argumenty i sposób myślenia właściwy dla makroświata, w którym żyjemy.
Po drugie, przewidywania mechaniki kwantowej są, z natury rzeczy, statystyczne.
Nie możemy przewidzieć, jak będzie przebiegać dane zjawisko czy efekt fizyczny. Może- my jedynie powiedzieć, że z takim lub innym prawdopodobieństwem zdarzy się taki czy inny wynik eksperymentu.
Po trzecie, formalizm matematyczny mechaniki kwantowej jest zasadniczo inny. Mó- wiąc w sporym uproszczeniu – fizyka klasyczna bazuje przede wszystkim na równaniach różniczkowych. Tak jest w mechanice klasycznej, elektrodynamice i termodynamice. Nato- miast mechanika kwantowa „żyje” w przestrzeniach Hilberta – przestrzeniach wektorowych z iloczynem skalarnym. Konkretne zastosowania prowadzą do trudnego pojęcia reprezen- tacji. Najpopularniejsza z nich – położeniowa – pozwala zapisać równanie Schrödingera w postaci równania różniczkowego. Dzięki temu możemy używać narzędzi analizy matema- tycznej takich samych jak w fizyce klasycznej. Nie jest moim celem ścisłe omówienie apa- ratu matematycznego mechaniki kwantowej. Jedynym, jak mi się wydaje, bezdyskusyjnym faktem jest to, że matematyka mechaniki kwantowej sprawia wiele trudności studentowi, który dopiero zapoznaje się z przedmiotem.
Kolejnym powodem, dla którego studiowanie mechaniki kwantowej jest trudne, są pod-
ręczniki. Zdanie powyższe może, na pierwszy rzut oka, wydać się dziwaczne. Przecież pod-
ręczniki mają służyć studentowi jako pomoc i drogowskaz w studiowaniu. Istnieje wiele
podręczników lepszych i gorszych, różniących się, czasem zasadniczo, objętością materia-
łu. W języku polskim są dostępne (przykładowo, bowiem pewnie nie znam wszystkich)
podręczniki [7, 12, 25, 31, 32]. Ważnym źródłem jest także książka [24] stanowiąca część
fundamentalnego kursu fizyki teoretycznej napisanego pod kierownictwem jednego z najwy-
bitniejszych fizyków XX wieku – Lwa Dawidowicza Landaua. Na zakończenie (z koniecz-
ności skrótowego i niepełnego) przeglądu należy także wskazać zbiór zadań z mechaniki
kwantowej [8], którego wielką zaletą jest to, że zawiera obszerne wskazówki do rozwiązań
większości zadań.
12
Od AutoraPowstaje więc naturalne pytanie: po co pisać nowe podręczniki, takie jak niniejszy.
Odpowiedź jest wieloraka.
Po pierwsze, wykład mechaniki kwantowej prowadzony zazwyczaj na trzecim roku uni- wersyteckich studiów z fizyki jest wykładem semestralnym. Wobec tego zakres przedstawio- nych zagadnień jest ograniczony do omówienia zasadniczych zasad mechaniki kwantowej oraz najważniejszych i fundamentalnych problemów.
Po drugie, treści zawarte w wyżej podanych podręcznikach są na ogół znacznie bardziej obszerne niż materiał podstawowego wykładu mechaniki kwantowej. Utrudnia to studiu- jącemu selekcję i rozróżnienie, co jest naprawdę ważne i zgodne z (typowym) programem wykładów. Co więcej, w wielu podręcznikach długie i złożone przekształcenia matema- tyczne są potraktowane skrótowo albo też sformułowane w postaci zadań (zwykle bez odpowiedzi). Student „ginie” w gąszczu czysto matematycznych wyprowadzeń i przestaje koncentrować się na fizyce, usiłując uzupełnić brakujące kroki matematyczne.
I wreszcie po trzecie, moim zasadniczym celem jest ominięcie wspomnianych wyżej trudności, na jakie może napotkać student poznający mechanikę kwantową. Wyprowa- dzenia matematyczne są (na ogół) przedstawione metodą „krok po kroku”. Wyjątkami są naprawdę elementarne obliczenia, a także obliczenia całek, gdzie odsyłam do tablic całek.
Chciałbym tu przywołać zupełnie (moim zdaniem) nadzwyczajne dzieło. Jest nim mo- numentalny, liczący ponad 1000 stron, dwutomowy podręcznik autorstwa Cohena-Tannou- djiego, Diu i Laloë [11]. Niestety książka ta jest trudno dostępna i to tylko w wersji anglo- języcznej. Podręcznikowi temu zawdzięczam bardzo wiele. Niniejszy skrypt powstał pod wielkim wpływem Cohena-Tannoudjiego i jego współpracowników. W wielu miejscach po- winienem zawrzeć odpowiednie odnośniki. Czynię to rzadko, aby nie zakłócać studiów osobie początkującej. Niemniej jednak pragnę wyrazić swoje uznanie i podziękowania au- torom pracy o niezwykłych walorach pedagogicznych, zawierającej (w porównaniu z innymi książkami) ogromną liczbę przykładów i pięknych dyskusji fizycznych.
Powyższe uwagi (przynajmniej częściowo) wyjaśniają motywy, jakie mi przyświecały w trakcie przygotowywania tego skryptu. Prace nad nim rozpocząłem tuż pod koniec XX wieku. Kontynuuję je do dziś, ciągle wprowadzając uzupełnienia i poprawiając usterki, więc „rzecz rośnie”. Dalej wyjaśniam to bardziej konkretnie.
Pozostaje pytanie, na ile mój skrypt pozwoli ominąć opisane wyżej trudności. Zawsze będę wdzięczny Czytelnikom za wszelkie uwagi. Rzeczą ludzką jest się mylić, więc na pewno nie udało mi się uniknąć błędów drukarskich czy językowych. Mam natomiast nadzieję, że nie ma tu żadnych poważnych błędów merytorycznych. Proszę o uwagi i komentarze (zawsze można coś poprawić) na mój email: fizsk@ug.edu.pl.
Na zakończenie pragnę wyrazić swoje podziękowania. Przede wszystkim dziękuję Stu- dentom – słuchaczom moich wykładów. Wychwycili oni wiele usterek i błędów typograficz- nych. Ponadto, ich komentarze pozwoliły mi poprawić i uściślić wyjaśnienia wielu trudnych zagadnień.
Serdecznie dziękuję recenzentowi Panu Profesorowi Andrzejowi Raczyńskiemu za wska- zanie wielu niedociągnięć i niejasności. Sądzę, że Jego uwagi przyczyniły się do istotnej poprawy klarowności prowadzonych przeze mnie rozważań.
Dziękuję Pani dr Annie Przysiężnej, która przygotowując się do obrony swej (świetnej)
rozprawy doktorskiej, zwróciła mi uwagę na usterki. Pani Anno, dziękuję.
0.2. Informacje dla Czytelnika
13 Dziękuję Panu dr. Krzysztofowi Sczygielskiemu za pomoc w końcowych etapach re- dakcji tej książki. Jego znakomita znajomość metod matematycznych fizyki była wielce pożyteczna przy formułowaniu zasad mechaniki kwantowej, a także przy dopracowaniu szczegółów ich dyskusji.
0.2 Informacje dla Czytelnika
Niniejsza książka jest (najważniejszym) fragmentem większego projektu rozpoczętego pod koniec ubiegłego wieku. Wtedy mój wspaniały mentor i niezwykły nauczyciel prof. dr hab.
Jan Fiutak przeszedł na emeryturę. Przejąłem po Nim prowadzenie wykładu (a niekiedy także i ćwiczeń) z mechaniki kwantowej. Efektem mojej wieloletniej pracy jest skrypt internetowy składający się z kilku części. Są nimi:
1. Część główna – semestralny wykład.
2. Uzupełnienia i ćwiczenia – trzon ćwiczeń rachunkowych, ale nie tylko.
3. Zagadnienia dodatkowe – do wyboru (jeśli czas pozwala).
4. Zadania – do ewentualnego wykorzystania na ćwiczeniach, jak i w ramach tzw. pracy własnej studenta.
5. Dodatki matematyczne – informacje uzupełniające powyższe części.
Wszystkie pięć części skryptu mojego autorstwa można znaleźć w internecie pod adresem http://iftia9.univ.gda.pl/~sjk/.
Poniższe wyjaśnienia służą wyjaśnieniu konstrukcji całego skryptu. Chyba jednak najważ- niejsze są uwagi dotyczące Uzupełnień i ćwiczeń.
Ad 1. Niniejsza książka stanowi nieco wzbogaconą, i poprawioną, Część główną. Jej treść to trzon 45-godzinnego wykładu podstawowych zasad mechaniki kwantowej. Wybór omawianych problemów i zagadnień jest oczywiście wyrazem mojego osobistego spoj- rzenia na fundamentalną strukturę podstaw mechaniki kwantowej. Innymi słowy, jest to wykład czysto autorski.
Ad 2. Uzupełnienia i ćwiczenia są integralną częścią zajęć (wykładów i ćwiczeń audyto- ryjnych) z mechaniki kwantowej. Pewne treści tam zawarte stanowią uzupełnienie wykładu, a inne są przedmiotem ćwiczeń rachunkowych. Książka, którą Czytelnik ma w ręku, jest więc „niepełna”, ale umieszczenie w niej treści zawartych w Uzupeł- nieniach i ćwiczeniach skutkowałoby niemal podwojeniem jej objętości.
Uważam, że pełne zrozumienie treści zawartych w tej książce wymaga równole- głego korzystania z Uzupełnień i ćwiczeń, stąd w treści książki jest wiele odwołań do nich. Odwołania te nie są jednak całkiem precyzyjne. Jest tak dlatego, że prak- tycznie wszystkie rozdziały Uzupełnień i ćwiczeń mają te same tytuły co rozdziały tej książki. Jest jeden wyjątek – gdy tytuł jest „rozszerzony” w stosunku do tego książkowego. I wreszcie ostatni komentarz. Książka wydrukowana jest „zamknięta”.
Planuję natomiast ciągłą pracę nad udoskonalaniem Uzupełnień i ćwiczeń, choć ich zasadnicza struktura pozostanie bez zmian.
Ad 3. Zagadnienia dodatkowe są (jak sama nazwa wskazuje) rozszerzeniem Części głów-
nej , a więc i tej książki. Są tam omawiane problemy nie będące treścią zasadniczego
14
Od Autorawykładu. Są przeznaczone przede wszystkim dla studentów, którzy chcą samodziel- nie uzyskać szersze spojrzenie na niektóre poruszane tu zagadnienia. Ponadto są tam zawarte koncepcje, którą mogą być przydatne dla osób studiujących mechanikę kwantową według programu innego niż proponowany w tej pracy.
Zamierzam rozbudowywać Zagadnienia dodatkowe. Dostępne w internecie Uzu- pełnienia i ćwiczenia będą nieznacznie poprawiane i doskonalone. Tu natomiast pla- nuję sukcesywne rozbudowywanie o nowe rozdziały. Trudno mi jednak powiedzieć, kiedy to nastąpi.
Ad 4. Ta część skryptu jest zebraniem przykładowych zadań, które (oczywiście nie wszyst- kie) wykorzystuję prowadząc ćwiczenia rachunkowe z mechaniki kwantowej. Niestety nie ma tam ani wskazówek, ani pełnych rozwiązań. Zainteresowanym proponuję kon- takt emailowy pod adresem wskazanym w poprzedniej części przedmowy.
Ad 5. Mechanika kwantowa jest działem fizyki trudnym pod względem stosowanych w niej metod matematycznych. Student rozpoczynający naukę mechaniki kwantowej po- winien być do tego przygotowany. Służą temu (prowadzone zazwyczaj na drugim roku studiów) wykłady metod matematycznych fizyki (MMF). Ponadto wszystkie niezbędne informacje można znaleźć w ogromnej literaturze poświęconej MMF. Nie- mniej uznałem, że pewne przydatne informacje warto zgromadzić w jednym miejscu, po to aby student nie musiał „obłożyć się” literaturą matematyczną.
Mam nadzieję, że po tych uwagach, wyjaśniających strukturę mojego skryptu interneto- wego, student rozpoczynający studiowanie mechaniki kwantowej skorzysta ze wszystkich proponowanych tu źródeł. Oczywiście deklaruję też ewentualną pomoc za pośrednictwem emaila.
Stanisław Kryszewski
Gdańsk, 13 listopada 2018
1 Cząstki i fale
W tym rozdziale wprowadzono i omówiono pewne zasadnicze idee mechaniki kwantowej.
Trzeba jednak wyraźnie podkreślić, że omawiane tu zagadnienia są przedstawione w spo- sób, który nie jest ani kompletny, ani też ścisły. Posługiwać się będziemy rozumowaniem intuicyjnym i, by tak rzec, zdroworozsądkowym. Jak się okaże, uzyskane wnioski będą sprzeczne z typowymi intuicjami wynikającymi z fizyki klasycznej i z doświadczeniami dnia codziennego. Co więcej, napotkamy pewne trudności interpretacyjne, które wymusza- ją odstąpienie od idei typowo klasycznych. Należy tu nadmienić, że mechanika kwantowa ciągle budzi kontrowersje interpretacyjne. Nadal trwają dyskusje, jak należy ją rozumieć.
Będziemy się starać ominąć różne trudności interpretacyjne. Skoncentrujemy się na zagad- nieniach, które, jak się wydaje, są ogólnie przyjęte i raczej mało kontrowersyjne. Mechanika kwantowa „działa” wspaniale – w tym sensie, że jej przewidywania teoretyczne są zgodne z rezultatami doświadczalnymi z najzupełniej fenomenalną dokładnością.
Nie będziemy tu zajmować się historią powstawania i rozwoju mechaniki kwantowej.
Kwestie natury historycznej są szeroko omawiane w literaturze. Zainteresowani mogą sko- rzystać, na przykład, ze znakomitej Historii fizyki autorstwa A. K. Wróblewskiego [33], a także z innych dość elementarnych podręczników [1, 13]. Ponadto godne polecenia są książki G. Białkowskiego [4, 5, 6], opisujące rozwój i osiągnięcia fizyki współczesnej.
Nie będziemy także dyskutować problemów natury filozoficznej. Mechanika kwanto- wa jest diametralnie inna niż dobrze zrozumiała fizyka klasyczna. Burzy wiele z prostych i intuicyjnie oczywistych koncepcji fizyki klasycznej. Dlatego jest trudna i wymagająca pogłębionych studiów. Co więcej, rodzi cały szereg pytań i problemów interpretacyjnych.
Autor niniejszych wykładów nie czuje się dostatecznie kompetentny, aby wskazywać prace filozoficzne dotyczące mechaniki kwantowej i związanej z nią problematyki ontologicznej czy też epistemologicznej. Jedynym wyjątkiem jest, obejmujące ogromną bibliografię, mo- numentalne dzieło brytyjskiego fizyka Rogera Penrose’a [26]. Książka ta zawiera przegląd praktycznie całej współczesnej fizyki, jej podstaw matematycznych i problemów filozoficz- nych, wynikających z takich czy innych trudności interpretacyjnych.
1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony
Pewne, i jak się wydaje fundamentalne, koncepcje mechaniki kwantowej omówimy na przy-
kładzie światła. Kluczowe doświadczenia ze światłem są dobrze znane i łatwe do wyobra-
żenia, są więc dobrym punktem wyjścia do dyskusji podstawowych idei. Zanim do niej
przejdziemy, w wielkim skrócie przedstawmy rozwój poglądów dotyczących natury świa-
tła. Warto tu polecić książkę Hakena [16], w której szeroko przedstawiono zagadnienia
potraktowane tutaj „telegraficznie”.
16
1. Cząstki i faleNewton (XVII-XVIII wiek) uważał światło za strumień korpuskuł. Autorytet Newtona sprawił, że proponowane przez Huygensa podejście falowe było mało popularne, a niekie- dy wręcz odrzucane. Dopiero na początku XIX wieku przełomowe doświadczenia Younga i Fresnela, dotyczące interferencji i dyfrakcji, spowodowały definitywne odrzucenie idei Newtona i przyjęcie opisu falowego. Co więcej, Fresnel rozwinął teorię Huygensa, co przy- czyniło się do upowszechnienia falowej teorii światła. Elektrodynamika Maxwella (druga połowa XIX wieku), pozwalająca na wyprowadzenie równania falowego, ugruntowała kon- cepcje falowe. Doświadczenia Hertza z falami elektromagnetycznymi w zasadzie zakończyły fundamentalne badania światła – fali elektromagnetycznej. W XIX wieku zbadano także widma promieniowania różnych pierwiastków. Ich dyskretna struktura została opisana em- pirycznie, ale brakowało sensownych wyjaśnień teoretycznych.
Kłopoty zaczęły się pod koniec XIX wieku, gdy próbowano teoretycznie wyprowadzić tzw. widmo promieniowania ciała doskonale czarnego. Różnorodne próby (w ramach fizyki, czy też raczej elektrodynamiki klasycznej) prowadziły do ewidentnych sprzeczności. Szereg prób zakończyło się fiaskiem. Dopiero Planckowi w 1900 roku udało się pokonać wszyst- kie trudności. Okazało się konieczne wprowadzenie koncepcji kwantu światła – fotonu.
Dzięki tej najzupełniej rewolucyjnej koncepcji Planckowi udało się wyprowadzić formułę zgodną z ówcześnie znanymi wynikami eksperymentalnymi. Dlatego też Planck jest po- wszechnie uważany za „ojca” teorii kwantowej. Następnie Einstein w 1905 roku posłużył się koncepcją fotonu (korpuskuły światła), co pozwoliło mu wyjaśnić właściwości efektu fotoelektrycznego. Compton w 1924 przeprowadził eksperyment polegający na rozprasza- niu promieniowania rentgenowskiego na elektronach ([1], s. 110-113). Zmierzone zmiany długości fali promieniowania rozproszonego można było wyjaśnić, opisując zjawisko jako rozpraszanie cząstek, fotonu na elektronie.
Wiele innych doświadczeń (Francka-Hertza (1914), Sterna-Gerlacha (1920), Davisso- na-Germera (1925)) udało się prawidłowo zrozumieć i zinterpretować wyłącznie przy za- stosowaniu koncepcji kwantów. Ich dyskusję można znaleźć w podręczniku [1].
Podsumowując ten skrótowy przegląd, stwierdzamy, że mamy do czynienia z duali- zmem korpuskularno-falowym. Oznacza to, że światło w pewnych sytuacjach zachowuje się jak fala elektromagnetyczna o częstości ω i wektorze falowym ~k. Natomiast w innych sytuacjach (np. w oddziaływaniach z materią), światło zachowuje się jak strumień (wiązka, itp.) cząstek – fotonów, przy czym fali elektromagnetycznej o częstotliwości ν = ω/2π i długości λ = c/ν odpowiadają fotony o energii i pędzie wynoszących
E = hν = ~ω, ~p = ~~k, gdzie
~k
= 2π
λ . (1.1)
Powyższe relacje nazywane bywają postulatami de Broglie’a dla fotonu (wrócimy do nich w następnym rozdziale, gdzie będzie mowa o innych cząstkach materialnych). Występuje w nich stała Plancka
h = 6,62 · 10
−34J · s, ~ = h
2π = 1,05 · 10
−34J · s. (1.2)
W dalszej części wykładu mówiąc „stała Plancka”, praktycznie zawsze będziemy mieć na
myśli ~, a nie samo h, bo tak jest znacznie wygodniej.
1.2. Analiza doświadczenia interferencyjnego Younga
17
1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Younga
Motto
1:
W gruncie rzeczy nie potrafimy całkowicie wyjaśnić tajemniczego charakteru tego zja- wiska [interferencji światła lub cząstek materialnych], to znaczy, nie umiemy „wytłuma- czyć”, dlaczego przebiega w taki, a nie inny sposób, możemy natomiast „opowiedzieć”, w jaki sposób ono przebiega, a mówiąc o tym, opowiemy równocześnie o podstawowych osobliwościach mechaniki kwantowej w ogóle.Richard P. Feynman
Rozważymy tu dwa doświadczenia związane z ugięciem i interferencją światła na przesło- nie z dwiema szczelinami. Jest to skądinąd znane interferencyjne doświadczenie Younga.
Doświadczenia, o których będziemy mówić, przedstawiono schematycznie na rysunku 1.1.
Celem naszej analizy jest pokazanie, że korpuskularne i falowe aspekty natury światła są niezbędne do pełnej interpretacji zjawiska interferencji światła na dwóch szczelinach.
z
E2 x
E1
x
S1
S2
P
Dwa do´swiadczenia
Otwarte S1alboS2
¯I1
¯I2
¯I1+ ¯I2
Otwarte S1iS2
Rys. 1.1 Schemat dwóch doświadczeń dyfrakcyjno-interferencyjnych na dwóch wąskich szczelinach
W omawianych tu doświadczeniach światło pochodzi ze źródła znajdującego się daleko w lewo (nie jest tu istotne co jest źródłem, a o koniecznych własnościach fali padającej powiemy nieco dalej). Przyjmiemy, że praktycznie równoległa wiązka rozchodzi się wzdłuż osi z i pada z lewej na przesłonę P w której znajdują się dwie równoległe, bardzo wąskie i położone blisko siebie szczeliny S
1i S
2. Po przejściu przez nie, światło pada na ekran (E
1w pierwszym, E
2w drugim doświadczeniu).W obu doświadczeniach ekrany znajdują się w tej samej odległości od przesłony. Nie da się jednak tego przedstawić przejrzyście na jednym rysunku. Należy pamiętać, że odległość pomiędzy przesłoną a ekranem jest
1Piękną dyskusję interferencji elektronów na dwóch szczelinach znajdziemy w podręczniku Feynmana [14] (t. 1, cz. 2, rozdz. 37, s. 173). Niniejsza dyskusja jest bardzo podobna do Feynmanowskiej.
18
1. Cząstki i faleznacząco większa niż odległość pomiędzy szczelinami. Na ekranach są gęsto rozmieszczo- ne detektory, które zliczają padające fotony (mierzą natężenie światła). Zliczenia fotonów mogą być, w razie potrzeby, sumowane (podobny rezultat da klisza fotograficzna – duże zaczernienie oznacza rejestrację światła o dużym natężeniu). Obie metody dają więc infor- mację (w funkcji x – odległości od osi z) o powstałym na ekranie obrazie. Wyniki takich doświadczeń (tj. zależności natężeń od x) ilustrują wykresy „nad” ekranami E
1i E
2. 1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta
Jedna ze szczelin (najpierw S
2) jest zasłonięta, czyli światło przechodzi przez szczelinę S
1i ulega na niej ugięciu (dyfrakcji), a następnie pada na ekran E
1. W rezultacie, uśrednio- ne po czasie natężenie ¯I
1światła na ekranie E
1przedstawia linia ciągła. W drugiej części eksperymentu zakrywamy szczelinę S
1i pozwalamy światłu przechodzić przez szczelinę S
2. Linia przerywana ¯I
2odpowiada uśrednionemu natężeniu mierzonemu w tej sytuacji. Linia kropkowana przedstawia sumę natężeń ¯I
1+ ¯ I
2zmierzonych w czasie obu części ekspery- mentu. Opiszmy ten eksperyment nieco dokładniej.
Fala ugięta na szczelinie S
ii padająca na ekran E
1w pewnym punkcie odległym o x od osi z ma przybliżoną postać formalną
f
i= A
i(x) cos ωt − kz + φ
i, i = 1, 2. (1.3)
Amplituda A
ijest zależna od x, bo energia fali kulistej maleje wraz z kwadratem odle- głości od źródła (w tym wypadku szczeliny). Przybliżenie polega na tym, że w zasadzie w argumencie kosinusa powinno być ~k · ~r, bowiem fala ugięta rozprzestrzenia się w kie- runku innym niż oś z. Jeśli jednak odległość pomiędzy przesłoną a ekranem jest znacznie większa od szerokości szczelin, które z kolei są sporo szersze niż długość fali padającej, to zastosowane przybliżenie wydaje się być uzasadnione (bowiem wektor ~k mało różni się od |~k|~e
z). Będziemy je stosować także w dalszej części niniejszych rozważań. Faza φ
izależy od długości drogi optycznej od szczeliny S
ido danego punktu na ekranie, a więc zależy także od współrzędnej x. Natężenie takiej fali, mierzone przez detektory (lub kliszę) na ekranie, wynosi
I
i= α A
2i(x) cos
2ωt − kz + φ
i, (1.4)
gdzie współczynnik α zależy od wyboru układu jednostek (a więc nie ma znaczenia w na- szych rozważaniach). Uśredniając po okresie drgań fali, uzyskamy
I ¯
i= 1
2 α A
2i(x), (1.5)
bowiem cos
2uśrednia się (co jest zrozumiałe
2) do 1/2. Wykresy na rysunku 1.1 („nad”
ekranem E
1) przedstawiają właśnie takie natężenia ¯I
1oraz ¯I
2(odpowiednio, linia ciągła i linia przerywana), a także ich sumę (linia kropkowana), która jest złożeniem wyników dwóch części eksperymentu.
2Można to zrozumieć prosto i intuicyjnie. Funkcja cos2 oscyluje pomiędzy zerem a jedynką. Zatem średnio równa się 1/2.
1.2. Analiza doświadczenia interferencyjnego Younga
19 1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte
Teraz odsłaniamy jednocześnie obie szczeliny i usuwamy ekran E
1. Światło przechodzi w kierunku ekranu E
2, na którym rejestrujemy charakterystyczne prążki interferencyjne.
Natężenie światła na ekranie ma intensywne maksima (interferencja konstruktywna, gdy różnica dróg optycznych od szczelin S
1i S
2do danego punktu na ekranie jest całkowitą wielokrotnością długości fali λ) oraz minima (interferencja destruktywna, gdy różnica dróg optycznych jest nieparzystą wielokrotnością λ/2).
W tym przypadku na detektor w danym punkcie ekranu E
2padają dwie fale pocho- dzące z dwóch szczelin (opisane formułą taką jak (1.3)). Wobec tego detektor rejestruje natężenie (chwilowe)
I = α f
1+ f
22= α
A
1cos ωt − kz + φ
1+ A
2cos ωt − kz + φ
22= α A
21cos
2ωt − kz + φ
1+ α A
22cos
2ωt − kz + φ
2+ 2 α A
1A
2cos ωt − kz + φ
1cos ωt − kz + φ
2. (1.6)
Z tożsamości trygonometrycznej 2 cos β cos γ = cos(β + γ) + cos(β − γ) wynika, że ostatni składnik można zapisać inaczej. Zatem z powyższego mamy
I = α A
21cos
2ωt − kz + φ
1+ α A
22cos
2ωt − kz + φ
2+ α A
1A
2cos 2ωt − 2kz + φ
1+ φ
2+ α A
1A
2cos φ
1− φ
2. (1.7) Uśredniając względem czasu, widzimy, że trzeci składnik nie daje wkładu (średnia wartość kosinusa jest równa zeru). Wobec tego
I = ¯ 1
2 α A
21+ 1
2 α A
22+ α A
1A
2cos φ
1− φ
2. (1.8)
Wyrażając amplitudy przez natężenia (por. (1.5), A
i=
q2 ¯ I
i/α ), otrzymujemy I = ¯ ¯ I
1+ ¯ I
2+ 2
qI ¯
1I ¯
2cos φ
1− φ
2. (1.9)
Aby uprościć nasze rozważania, przyjmijmy, że A
1= A
2, a co za tym idzie, ¯I
1= ¯ I
2(patrz (1.5)); wówczas z(1.9) mamy
I = 2 ¯ ¯ I
1+ 2 ¯ I
1cos φ
1− φ
2. (1.10)
Oznacza to, że natężenie ¯I światła rejestrowanego na ekranie E
2zmienia się od ¯I
min= 0 do I ¯
max= 4 ¯ I
1, bowiem kosinus przyjmuje wartości z przedziału (−1, 1). Natężenie ¯I nie jest więc prostą sumą natężeń światła biegnącego od każdej ze szczelin. Zauważmy ponadto, że zależność amplitud od x sprawia, że obraz interferencyjny jest scharakteryzowany także pewną obwiednią, która opisuje zanik obrazu, gdy odchylenie |x| od środka ekranu staje się duże.
Różnica faz δ = (φ
1− φ
2) , występująca we wzorze (1.9) lub (1.10), może być w zasa-
dzie dowolna i zależy od różnicy dróg optycznych od szczelin S
1i S
2do danego punktu na
20
1. Cząstki i faleekranie. Światło spójne (koherentne) charakteryzuje się dobrze określonymi i niezmiennymi w czasie różnicami fazowymi. W świetle niespójnym (niekoherentnym) różnice faz szybko i chaotycznie fluktuują w czasie. Gdybyśmy więc przeprowadzali doświadczenie interferen- cyjne z falą niespójną, wówczas różnice faz szybko zmieniałyby się i cos δ byłby uśredniony do zera
3. Na ekranie E
2zaobserwowalibyśmy ten sam efekt, co przy zsumowaniu rezulta- tów doświadczenia pierwszego (linia kropkowana na ekranie E
1). Warunkiem otrzymania prążków interferencyjnych jest więc spójność wiązki padającej. Na ekranie E
2obserwujemy prążki tylko wtedy, gdy światło przechodzące przez szczeliny S
1i S
2jest koherentne.
Jako ćwiczenie warto tutaj polecić wyprowadzenie znanych ze szkoły warunków okre- ślających położenia maksimów i minimów interferencyjnych
4,
x =
nλL
d , maksima,
1
2
+ n
λL
d , minima, (1.11)
gdzie d jest odległością pomiędzy szczelinami, zaś L – odległością między przesłoną P a ekranem E
2, na którym rejestrujemy prążki interferencyjne.
1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego
Interpretacja i opis zjawiska interferencji w języku teorii falowej nie sprawia poważniej- szych trudności. Fale rozprzestrzeniają się w przestrzeni i w pewnych obszarach interferują konstruktywnie, a w innych destruktywnie. W naszym intuicyjnym podejściu, cząstki to obiekty dobrze zlokalizowane przestrzennie, mające rozmiary znacznie mniejsze, niż ja- kiekolwiek inne długości charakteryzujące doświadczenie (szerokość szczelin czy odległość między nimi). Jak więc interpretować efekt interferencji w ujęciu korpuskularnym? Mówi- my tu o świetle, a więc o fotonach, ale równie dobrze moglibyśmy mówić o innych cząstkach, np. o elektronach czy neutronach (interferujących np. na kryształach).
Fala padająca ulega ugięciu na szczelinach w przesłonie. Możemy uznać, że ugięcie takie da się wyjaśnić zderzeniami fotonów z brzegami szczelin. Bardziej dokładna ana- liza pokazałaby, że nie jest to argument wystarczający, choć intuicyjnie sensowny. Aby więc nie komplikować sytuacji, pozostańmy przy tym niezbyt ścisłym wyjaśnieniu. Zlicze- nia fotonów, odbywające się na ekranach, mogą polegać na badaniu stopnia zaczernienia kliszy fotograficznej. Można także stosować fotopowielacze, które komputerowo zliczają poszczególne fotony (i w razie potrzeby sumują takie zliczenia). A więc i to, co dzieje się w konkretnym punkcie „na ekranie”, możemy dość łatwo zrozumieć w ramach korpuskular- nej interpretacji zjawiska. Trudności pojawiają się, gdy chcemy zrozumieć charakter całego obrazu zarejestrowanego na ekranie. Powinniśmy zdać sobie sprawę, że już tutaj pojawia się pierwszy znak zapytania nad słusznością naszych intuicji, polegających na zastosowaniu klasycznego rozumienia ruchu cząstek.
Doświadczenie pierwsze (z otwartą jedną szczeliną) nie nastręcza specjalnych trudności interpretacyjnych. Fotony padające na otwartą szczelinę uginają swój tor lotu (ulegają
3Spójność (koherencja) jest właśnie tą własnością światła padającego na przesłonę, która jest konieczna do zaobserwowania zjawiska interferencji.
4Odpowiednie wyprowadzenie znajduje się w Uzupełnieniach i ćwiczeniach [20].
